1、西安科技大學研究生課程數據倉庫與數據挖掘實驗報告實驗題目使用Haar小波和傅里葉變換方法濾波及數據壓縮 指導老師：李愛國 學 生：陳立朝 學 號：16208009004 專 業：應用數學西安科技大學計算機科學與技術學院實驗報告一、實驗題目：使用Haar小波和傅里葉變換方法濾波及數據壓縮二、實驗目的1.掌握離散數據的Haar小波變換和傅里葉變換的定義，基本原理和方法.2.使用C+實現數據的Haar小波變換和離散傅里葉變換. 3.掌握數據濾波的基本原理和方法. 4.掌握使用Haar小波變換和離散傅里葉變換應用于數據壓縮的基本原理和方法，并且對兩種數據壓縮進行評價.3、 實驗步驟 1 算法原理 1.

2、1 Haar小波變換（1）平均，細節及壓縮原理設x1，x2是一組兩個元素組成的信號，定義平均與細節為，。則可以將a，d作為原信號的一種表示，且信號可由a，d恢復，。（2）尺度函數和小波方程在小波分析中，引入記號，其中，表示區間0，1上的特征函數。定義稱為Haar尺度函數。由上式可知，都可以由伸縮和平移得到。小波分析中，對于信號有不同分辨率的表示，當用較低分辨率來表示原始信號時，會丟失細節信息，需要找到一個函數來描述這種信息，該函數稱之為小波函數。基本的小波函數定義如下：則稱為Haar小波。稱為兩尺度方程，稱為小波方程。（3）Haar小波變換計算方法設是一個長度為(n>1)的離散信號序列，

3、記為，該序列可以用如下的帶有尺度函數來表示：一次小波分解的結果：對上式積分，由尺度函數的正交性，可得。令k=0，得到。 一般的，有同理，有2.傅里葉變換（1）一維連續函數的傅里葉變換定義設f(t)為連續的時間信號，則定義為f(t)的傅里葉變換，其反變換為。（2）一維離散傅里葉變換對連續的時間信號f(t)等間隔采樣，得到離散序列f(n)。假設采樣N次，則序列表示為。令n為離散變量，u為離散頻率變量，則一維離散傅里葉變換及其反變換定義：傅里葉變換的數學性質中，最重要的一點是：一個在時域或空域上看起來很復雜的信號（比如聲音或圖像）通常在頻域上只集中在很小一塊區域內，而很大一部分數值都接近于零。即一個

4、在空域中看起來占滿全空間的信號，從頻域中很可能只占用了極小一塊區域，而大部分頻率是被為零的。這就得到一個極為實用的結論：一個看起來信息量很大的信號，其實可以只用極少的數據就可加以描述。只要對它先做傅里葉變換，然后只記錄那些不接近零的頻域信息就可以達到數據壓縮的目的。（3）快速傅里葉變換FFT原理FFT的基本思想：將大點數的DFT分解為若干個小點數DFT的組合，從而減少運算量。令，則F(u)可改寫為。令N=2M，其中M為一正整數。帶入式中，得到 ，則有，上述推導說明：對一個長度為N的序列進行傅里葉變換可以通過將其劃分為2個N/2的序列進行傅里葉變換，對于N/2的傅里葉變換，可劃分為兩個N/4的變

5、換，這一過程不斷迭代，知道兩點的序列為止，可計算出該序列的傅里葉變換。（4）時間抽取的基2FFT蝶形算法對于（3）中的計算方法，可以采用蝶形運算符號來表示。本實驗中采用的算法是時間抽取的基2FFT算法實現快速傅里葉變換。3. 數據壓縮的評價準則（1）數據壓縮比設原始信號f(n)的數據量大小為S，經過數據壓縮后，信號的數據量變為M，一般情況下M<S。則數據壓縮比率的定義為：由上式可知，數據壓縮得越小，其數據壓縮比越大。（2）數據失真度對于壓縮后的數據，可以采用反變換等方式還原信號。設原信號為f(n)，還原信號為f1(n)，則我們定義還原信號與原始信號的差異為數據失真度。顯然，數據恢復越接近

6、原始信號，數據失真度越小。4.算法步驟（1）Haar小波方法步驟a) 讀入原始數據f(n)b) 對原始數據f(n) 進行小波變換。對原始數據進行不同層級（分辨率）下的小波變換，得到不同的小波變換結果An , Dnc) 對于上步中的小波變換結果，把細節分量Dn置為0，即濾波得到壓縮數據 And) 對于濾波結果 An，通過小波逆變換，恢復數據e) 計算恢復數據與原始數據的差異，進行壓縮評價（2）離散傅里葉變換步驟a) 讀入原始數據f(n)b) 對原始數據f(n)進行離散傅里葉變換。使用蝶形算法計算傅里葉變換結果F(u)c) 對F(u)進行濾波，保留低頻成分，舍棄高頻成分，即得到原始數據的近似表示d

7、) 對濾波結果的低頻數據，高頻分量恢復為零值，使用傅里葉反變換，恢復數據e) 計算恢復數據和原始數據的差異，進行壓縮評價5.程序流程圖開始讀取原始數據小波變換DWT變換結果濾波數據寫入文件結束圖1 Haar小波變換流程圖在圖1中，原始數據存放在文本文件eggs.txt中，由程序運行時讀入。對結果的濾波是舍棄小波分解的細節部分。計算結果寫入dwt.txt文件中。開始讀取原始數據數據f(n),變換后A(n)對A(n)小波逆變換IDWT，得f1(n)計算f(n)和f1(n)差異結束圖2 Haar小波壓縮數據差異計算流程圖圖2是計算使用Haar小波進行數據壓縮后，與原始數據差異。圖中的f(n)表示原始

8、數據，A(n)是小波變化結果，f1(n)表示逆變換結果。開始讀取原始數據f(n)傅里葉變換FFT,得到F(u)變換結果F(u)濾波F(u)數據寫入文件結束圖3 離散傅里葉變換流程圖圖3是傅里葉變換流程圖。原始數據是eggs.txt。對F(u)濾波時，舍棄高頻信息。計算結果寫入fft.txt文件中。開始讀取原始數據數據f(n),變換后F1(u)對F1(u)傅里葉逆變換IFFT，得到f1(n)計算f(n)和f1(n)的差異結束圖4 離散傅里葉變換壓縮數據差異計算流程圖圖4是傅里葉變化壓縮數據后的差異計算。傅里葉逆變換時，對于高頻分量補零，與低頻分量來恢復數據f1(n)。四、實驗結果分析 1.傅里葉

9、變換圖5 測試數據集的FFT變換及IFFT變換結果在上圖中，得到測試數據集的傅里葉變換結果。圖中帶括號的是數據變換的復數結果，后邊的小數是變換后的幅值。可以看出，在傅里葉變換的結果中，有1/2的數據經過變換之后變為0值。這部分為0值的數據可以采用壓縮方式存儲，從而壓縮原始數據。并且，經過傅里葉反變換后，原始數據可以得到良好的恢復。圖6 eggs.txt數據傅里葉變換結果使用eggs.txt中的數據時，由于數據量較大，此處只是部分數據截圖。數據不足的部分用零補齊。可以看出，變換后的數據幅值較大，且基本沒有為0數據。此時，采用閾值進行濾波處理，取閾值，即將閾值小于30的值置為0。 2.小波變換圖7

10、 測試數據集的小波變換DWT由上圖的實驗結果可以看出，數據經過小波變換后，其能量集中于數據的靠前的小波系數。對于相同的數據集，可以采用不同級別的小波變換數據。圖8 eggs.txt數據小波變換結果由上圖，對于實驗數據，經過小波變換后，大部分的數據都為0。正式小波變換的這一特點，使得小波變換可以用于數據的壓縮。五、實驗結論在報告的上兩節中，分別介紹了使用傅里葉變換和小波變換處理數據的方法。由實驗中，可以得到以下兩點：第一，傅里葉變換時數據的整體變換方法，數據經過傅里葉變化后，其能量主要集中在變換結果的靠前的數據部分，對于后邊的能量較小的部分，對于原始數據的差異描述，在存儲時可以忽略，從而進行數據

11、壓縮。第二，小波變換的方法是既考慮數據整體性，又考慮數據的局部性。數據小波變換后，小波變換的前半部分系數表示數據的整體，后半部分表示數據的細節特征，對于一個連續的信號，其細節部分是微小的，可以忽略，從而使得小波變換的后半部分系數為0，從而實現了數據的壓縮。小波變換可以在不同的層級上進行。對于一個連續的信號，采用傅里葉變換或是小波變換，數據可以得到較好的恢復，例如實驗中的測試樣本數據。對于給定的eggs.txt數據集，由于其波動較大，細節差異超過了原始信號，對其進行壓縮，恢復得到的數據跟原始數據的差異很大。六、實驗心得體會 1. 傅里葉變換和小波變換的原始數據快速傅里葉變換和小波變換處理的數據都是個。對于不足N的數據，用零補齊后進行相應的變換，原始數據實際上改變。 2.數據恢復數據壓縮后，為了得到數據，數據恢復是必須的。對于傅里葉變換，采用傅里葉反變換的方法，可以得到壓縮數據的回復數據；對于小波變換，則采用小波重構的