1、習(xí)題參考答案4-1已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求：使系統(tǒng)增益裕度為10的K值；使系統(tǒng)相角裕度為的K值。解: 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為(1) 求的K值：令為相角交越頻率，有，由可解得K=1。(2) 求的K值：由定義求得系統(tǒng)幅值交越頻率由注意：涉及相角的計(jì)算時(shí)，可以（1）逐個(gè)計(jì)算基本環(huán)節(jié)的相角，然后疊加起來。（2）將頻率特性展開為實(shí)部和虛部，然后計(jì)算相角。計(jì)算幅值一般將各個(gè)基本環(huán)節(jié)的幅值相乘。4-2試由幅相頻率計(jì)算式確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解:由相頻計(jì)算式可得出傳遞函數(shù)的形式為由幅頻計(jì)算式有求得，所求最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為4-3已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)若希望系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)都具有小于-1的實(shí)

2、部，試用Nyquist判據(jù)確定增益K的最大值。解：令，則“平面所有極點(diǎn)均處于負(fù)平面”等價(jià)于“平面所有閉環(huán)極點(diǎn)均具有小于-1的實(shí)部”，并且可見并無右半平面的開環(huán)極點(diǎn)，所以的Nyquist軌線不能包圍點(diǎn)。只要滿足：軌線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)在-1點(diǎn)右側(cè)（大于-1）即可，令的相頻為，得到求得的相角交越頻率 即若希望系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)都具有小于-1的實(shí)部，增益K的最大值為。注意：作變量替換時(shí)，嘗試選一些點(diǎn)驗(yàn)證一下。4-4設(shè)某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，其中K >0。（1）試求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差；（2）若=1時(shí),要求穩(wěn)態(tài)誤差幅值，試選擇K值。解：(1)求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為其幅值與相位

3、為因輸入，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(2)因，令有解得 (舍去).故滿足題意要求的K值范圍為4-5已知系統(tǒng)型次（含有個(gè)積分環(huán)節(jié)），Nyquist曲線起始于實(shí)軸（），試問什么情況下起始于負(fù)實(shí)軸，什么情況下起始于正實(shí)軸。答：當(dāng)開環(huán)增益時(shí)，起始點(diǎn)位于正實(shí)軸；當(dāng)開環(huán)增益時(shí)，起始點(diǎn)位于負(fù)實(shí)軸。4-6 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中。（1）已知，試概略繪制該系統(tǒng)的Nyquist圖。（2）若，請概略繪制該系統(tǒng)的Nyquist圖。解：（1），而且對于小正數(shù)，有， 概略繪制的Nyquist圖如下 （2），而且對于小正數(shù)，有，概略繪制的Nyquist圖如下 注意：一般情況下Nyquist圖的起點(diǎn)總是在正實(shí)軸。4-7 設(shè)系統(tǒng)的

4、開環(huán)頻率特性函數(shù)的極坐標(biāo)圖如圖所示。試用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 開環(huán)系統(tǒng)有2個(gè)RHP極點(diǎn)解：（1）P=0，2，N= P+=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個(gè)RHP極點(diǎn)。（2）P=0，1，故N= P+=1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有1個(gè)RHP極點(diǎn)。（3）P=2，-2，故N= P+=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。4-8已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)把虛軸上的開環(huán)極點(diǎn)視為不穩(wěn)定的開環(huán)極點(diǎn)，重新確定Nyquist路徑，并繪制L(s)的Nyquist圖，據(jù)此判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：s平面小圓弧順時(shí)針的路徑映射為L(s)平面逆時(shí)針的大圓弧。 Nyquist路徑 L(s)的Nyquist圖w

5、n =-1（逆時(shí)針）， P=1，N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。4-9已知最小相位（單位反饋）開環(huán)系統(tǒng)的漸近對數(shù)幅頻特性如圖所示。（1）試求取系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；（2）要求系統(tǒng)具有的穩(wěn)定裕度，求開環(huán)放大倍數(shù)應(yīng)改變的倍數(shù)。解: (1) 由圖可得出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的基本形式為 將點(diǎn)(0.1，40)代入上式，因低頻段幅值僅由比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)決定，即求得 K=10，所求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(2)由相角裕度的定義導(dǎo)出 解出由交越頻率的定義有解出K=0.335。即開環(huán)放大倍數(shù)衰減30倍。4-10 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）用漸近線法繪制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖；（2）由Bode圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（3）求出交越

6、頻率以及相角裕度的近似值；（4）由MATTAB作Bode圖，求出交越頻率和相角裕度，并與漸近線圖解比較。解：（1）首先將化為尾1標(biāo)準(zhǔn)形式=知該系統(tǒng)為典型型系統(tǒng)，各環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率為0.2、0.6 、12、50rad/s，20lgK=20lg10=20，過=1，|G(i)|dB=20的點(diǎn)，作斜率為-40的直線，遇到轉(zhuǎn)折頻率0.2、0.6 、12、50時(shí)，相應(yīng)地直線斜率變化，如下圖所示。（2）P=0，故N= P+=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）由=1 ，解得5.56，（4）MATTAB程序校驗(yàn)>>num=400/3*25 15 9;den=conv(1 0.2 0 0,1 62 600);bod

7、e(num,den); grid on >> Gm,Pm,Wcg,Wcp = margin(num,den)Gm =10.7036；Pm =56.7919；Wcg =23.9829；Wcp =5.0533交越頻率為5.05rad/s，相角裕度為，這與近似計(jì)算值非常接近。4-11 已知各最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖所示，（1）試確定各系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；（2）求相角裕度；（3）概略畫出對應(yīng)的相頻特性曲線；（4）分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：I. 針對(a)圖：(1)如圖，轉(zhuǎn)折頻率為2、10、20。該系統(tǒng)為典型型系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)形式為即20lgK=20，解得K=10。該系統(tǒng)的

8、開環(huán)傳遞函數(shù)為(2)即20=20lg(2) ，解得=5，由此(3) (4)P=0，故N= P+=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。II. 針對(b)圖：(1)設(shè)未知轉(zhuǎn)折頻率從左至右依次為、，則其開環(huán)傳遞函數(shù)形式為， 解得K=10；，解得=1 =1；，解得=82.54， =0.0121，解得=46.42，=0.0215 解得=2.61 =0.383該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(2)=100，由此(3) (4)P=0，故N= P+=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個(gè)RHP極點(diǎn)。4-12針對正反饋系統(tǒng)，Nyquist給出=0的幅相頻率特性圖如下，臨界點(diǎn)為1，重新表述Nyquist穩(wěn)定性定理。正反饋系統(tǒng)的Nyquist圖，臨界點(diǎn)為1答：若開環(huán)傳遞函數(shù)的RHP極點(diǎn)數(shù)為P, 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是L(s) 的Nyquist 圖 L(i) ，=順時(shí)針環(huán)繞臨界點(diǎn)L=1的圈數(shù)為P。4-13設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，求交越頻率和相角交越頻率，并用MATLAB程序進(jìn)行校核，你得到什么結(jié)論。解：（1）起點(diǎn)：（2）終點(diǎn)： （3）=與實(shí)軸的交點(diǎn)：令虛部為即=0 解得=0.2，=0.447，此時(shí)=-9。與虛軸的交點(diǎn)：令實(shí)部為即=0 解得=9.57 =3.09，此時(shí)=4.43。使用理論計(jì)算值與nyquist(sys)的計(jì)算結(jié)果基本沒差別，但相差較大。原因是變化范圍為-+。若指定頻