1、無限循環小數如何化為分數由于小數部分位數是無限的，所以不可能寫成十分之幾、百分之幾、千分之幾的數。轉化需要先“去掉”無限循環小數的“無限小數部分”。一般是用擴倍的方法，把無限循環小數擴大十倍、一百倍或一千倍使擴大后的無限循環小數與原無限循環小數的“無限小數部分”完全相同，然后這兩個數相減，這樣“大尾巴”就剪掉了。方法一：（代數法）類型1：純循環小數如何化為分數例題：如何把 0.33和 0.4747 化成分數 例1： 0.33×103.330.33×100.33=3.330.33 (10-1) ×0.33=3即9×0.33=3 那么0.33=3/9=1/3

2、例2：0.4747×10047.47470.4747×1000.474747.47470.4747(1001)×0.4747=47即99×0.4747=47 那么 0.4747=47/9由此可見, 純循環小數化為分數,它的小數部分可以寫成這樣的分數：純循環小數的循環節最少位數是幾，分母就是由幾個9組成的數；分子是純循環小數中一個循環節組成的數。 練習：（1）0.3=3/（10-1）1/3 （2）0.31 31=31/（100-1）31/99。（3）0.312 312=類型2：混循環小數如何化為分數例題：把0.4777和0.325656化成分數

3、例3： 0.4777×10=4.777 0.4777×100=47.77 用即得: 0.4777×90=474 所以：0.4777=43/90 例4： 0.325656×100=32.5656 0.325656×10000=3256.56 用即得: 0.325656×9900=3256.565632.5656 0.325656×9900=325632 所以： 0.325656=3224/9900練習：（1）0.366=（2）1.25858=（3）6.23898989=可見，無限循環小數是有理數，是有理數就可以化成分

4、數。方法二：（方程法）用一元一次方程求解 1.把0.232323. 化成分數 。 設X=0.232323. 因為0.232323. = 0.23 + 0.002323. 所以 X = 0.23 + 0.01X 解得：X = 23/99 2.把0.1234123412341234.化成分數 。 解：設X=0.1234123412341234. 因為0.1234123412341234. = 0.1234 + 0.000012341234. 所以X = 0.1234 + 0.0001X 解得：X = 1234/9999 3.把0.56787878.化成分數， 因為0.56787878.= 0.56

5、 + 0.01 * 0.787878. 所以設X=0.787878.則X=0.78 + 0.01X 所以X = 78/99 所以原小數0.56787878.=0.56+ 0.01X = 0.56 + 0.078/99 = 2811/4950 其它無限循環小數，請仿照上述例題去作方法三：任意一個無限循環小數都可以看成一個有限小數加上一個等比數列的極限和比如說0.233333333.就可以看成0.2加上一個首項為0.03，公比為0.1的等比數列。那么問題就很簡單了0.233333333.=0.2+0.03/(1-0.1)=1/5+1/30=7/30。 也就是說任意一個有限循環小數化成分數有如下方法

6、： 首先找出選環節，如上面的例子就是3，然后計算選環節的單位長度，如上題就是1，如0.232323.就是2，0.123123123.就是3，這里記為q，然后寫出不是循環節的部分，如上題就是0.2，這里記為a，再寫出第一個循環節，如上題就是0.03，如0.01789789789.就是0.00789，這里記為b，分數的形式就是a+b/(1-1/(10q)，這里的a,b,q都是有限小數，可方便化為分數。在高中學完了數列、極限以后，就會知道下面的方法： 一，純循環小數化分數：循環節的數字除以循環節的位數個9組成的整數。例如： 0.3333=3/9=1/3； 0.285714285714=285714/

7、9999992/7. 二，混循環小數：（例如：0.24333333）不循環部分和循環節構成的的數減去不循環部分的差，再除以循環節位數個9添上不循環部分的位數個0。例如： 0.24333333=(243-24)/900=73/300 0.9545454=(954-9)/990=945/990=21/22 1位循環 0.X X X X = X/9 2位循環 0.XY XY XY = XY/99 3位循環 0.XYZ XYZ = XYZ/999 N 位循環0.a1a2a3an a1a2a3an=a1a2a3an/99999(n個9) 推理依據： 0.X X X X = 0.X + 0.0X + 0.

8、00X + 0.000X + = X *（0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ） = X * 0.1/（1-0.1） 無限等比數列和Sn=a1/(1-q) 首項/（1-公比） = X * 1/9 0.XY XY XY = 0.XY + 0.00XY + 0.0000XY + = XY *（0.01 + 0.0001 + 0.000001 + ） = XY * 0.01/（1-0.01） = XY * 1/99 0.XYZ XYZ XYZ = 0.XYZ + 0.000XYZ + 0.000000XYZ + = XYZ *（0.001 + 0.000001 + 0.000

9、000001 + ） = XYZ * 0.001/（1-0.001） = XYZ * 1/999 0.a1a2a3an a1a2a3an = 0.a1a2a3an+0.0000a1a2a3an(n個0) + = a1a2a3an * 0.0001(n-1個0)/(1-0.0001) = a1a2a3an * 1/99999(n個9) 用冪的形式也可。 0.0001(n-1個0) 表示為 1/10n x = 0.333333. 10x = 3.33333. 10x - x = 3 x = 1/3純循環小數,循環節有幾個數字,分母就有幾個9,分子是循環節的數字 混循環小數,循環節有幾個數字,分母就

10、有幾個9,循環節前到小數點間有幾位數字,分母9后面就有幾個0,分子是混循環數字減去循環節前數字的差 或者用極限解,還有就是樓上的樓上的方法我們可以將無限小數按照小數部分是否循環分成兩類：即無限循環小數和無限不循環小數。無限不循環小數不能化成分數，而無限循環小數是可以化成分數的。那么，無限循環小數又是如何化分數的呢？由于它的小數部分位數是無限的，顯然不可能寫成十分之幾、百分之幾、千分之幾的數。其實，循環小數化分數難就難在無限的小數位數。所以我就從這里入手，想辦法去掉無限循環小數的循環的部分。策略就是用擴大倍數的方法，把無限循環小數擴大十倍、百倍或千倍使擴大后的無限循環小數與原無限循環小數循環的部

11、分完全相同，然后這兩個數相減，這樣就把循化的部分去掉了,我們的目的就達到了,我們來看兩個例子： 例1 把0.4747和0.33化成分數。 解法1：        0.4747×100=47.4747    0.4747×1000.4747=47.47470.4747 (1001)×0.4747=47 即99×0.4747 =47  那么  0.4747=47/99  解法2： 

12、0.33×103.33 0.33×100.33=3.330.33  (10-1) ×0.33=3 即9×0.33=3  那么0.33=3/9=1/3 由此可見, 純循環小數化分數,它的小數部分可以寫成這樣的分數：純循環小數的循環節最少位數是幾，分母就是由幾個9組成的數；分子是純循環小數中一個循環節組成的數。 把0.4777和0.325656化成分數。 想1：0.4777×10=4.777 0.4777×100=47.77 用即得:  0.4777×90=474 所以,

13、0;0.4777=43/90   想2：0.325656×100=32.5656 0.325656×10000=3256.56 用即得:  0.325656×9900=3256.565632.5656 0.325656×9900=325632 所以, 0.325656=3224/9900 由以上例題可以看出，一個混循環小數的小數部分可以化成分數，這個分數的分子是第二個循環節以前的小數部分組成的數與小數部分中不循環部分組成的數的差，分母的頭幾位數是9，末幾位是0。9的個數與循環節中的位數相同，0的個數與不循環部分的位數相同。

14、從上面例題可知，一個純循環小數的小數部分可以化成分數，這個分數的分子是一個循環節表示的數，分母的各位數都是9，9的個數與循環節的個數相同.最后能約分再約分。把無限循環小數化為分數 給定一個無限循環小數，我們是否能把它化為分數呢？其實方法也很簡單，其關鍵在于利用無限循環這一點。例如，給定小數0.272727.，如何把它化為分數呢？我們可以先把它寫成  1 x 0.272727. = 0.272727. (1) 由于這個小數包含兩個循環數字，我們把它乘以100：  100 x 0.272727. =

15、 27.2727. (2) 接著用(2)減(1)，利用無限循環的特點，把小數點后的數字全部去掉，得  99 x 0.272727. = 27 (3) 接著把(3)化簡，得  0.272727. = 3/11 當循環數字并非包括小數點后所有數字時，我們便需要多一點工夫。例如要把小數0.11345345.化為分數，可以這樣做：  100 x 0.11345345. = 11.345345. 100000 x 0.1134

16、5345. = 11345.345. 99900 x 0.11345345. = 11334 0.11345345. = 11334/99900 = 1889/16650  利用上述方法，我們還可以獲得某些意想不到的結果。試把0.99.化為分數：  1 x 0.99. = 0.99. 10 x 0.99. = 9.99 9 x 0.99. = 9 0.99.

17、 = 1  于是，我們得到1的無限循環小數表達式除了是1.00.外，還可以是0.99.。事實上，我們可以證明，凡是除得盡的分數，除可表達為以無限個0結尾的循環小數外，還可表達為以無限個9結尾的循環小數將純循環小數改寫成分數，分子是一個循環節的數字組成的數；分母各位數字都是9，9的個數與循環節中的數字的個數相同.將混循環小數改寫成分數，分子是不循環部分與第一個循環節連成的數字組成的數，減去不循環部分數字組成的數之差；分母的頭幾位數字是9，末幾位數字是0，9的個數跟循環節的數位相同，0的個數跟不循環部分的數位相同.無限循環小數，先找其循環節（即循環的那幾位數字），然后將其展開為一等比數列、求出前n項和、取極限、化簡。 例如：0.333333 循環節為3 則0.3=3*10(-1)+3*10(-2)+310(-n)+ 前n項和為：30.1(1-(0.1)(n)/(1-0.1) 當n趨向無窮時（0.1）（n）=0 因此0.3333=0.3/0.9=1/3 注意：mn的意義為m的n次方。 方法二：設零點三，三循環為x，可知10x-x=三點三，三循環-零點三，三循環 9