1、III、綜合局部第四章 線性多變量系統(tǒng)的綜合與設(shè)計(jì)4.1引言前面我們介紹的內(nèi)容都屬于系統(tǒng)的描述與分析。系統(tǒng)的描述主要解決系統(tǒng)的建模、各種數(shù)學(xué)模型時(shí)域、頻域、內(nèi)部、外部描述 之間的相互轉(zhuǎn)換等；系統(tǒng)的分析，那么主要研究系統(tǒng) 的定量變化規(guī)律如狀態(tài)方程的解，即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析等和定性行為如能控性、能觀測(cè)性、穩(wěn)定性等。而綜合與設(shè)計(jì)問(wèn)題那么與此相反，即在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)被控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的根底上，尋求控制規(guī)律，以使系統(tǒng)具有某種期望的性能。一般說(shuō)來(lái)，這種控制規(guī)律常取反饋形式，因?yàn)闊o(wú)論是在抗干擾性或魯棒性能方面，反應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的性能都遠(yuǎn)優(yōu)于非反應(yīng)或開(kāi)環(huán)系統(tǒng)。在本章中，我們將以狀態(tài)空間描述和狀態(tài)空間方法為根底，仍然在時(shí)

2、域中討論線性反應(yīng)控制規(guī)律的綜合與設(shè)計(jì)方法。問(wèn)題的提法給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述n -1Q =B AB A B假設(shè)再給定系統(tǒng)的某個(gè)期望的性能指標(biāo)，它既可以是時(shí)域或頻域的某種特征量如超調(diào)量、過(guò)渡過(guò)程時(shí)間、極、零點(diǎn)，也可以是使某個(gè)性能函數(shù)取極小或極大。此時(shí)，綜合問(wèn)題就是 尋求一個(gè)控制作用 u,使得在該控制作用下系統(tǒng)滿足所給定的期望性能指標(biāo)。對(duì)于線性狀態(tài)反應(yīng)控制律u = -Kx r對(duì)于線性輸出反應(yīng)控制律u = _Hy r其中r Rr為參考輸入向量。由此構(gòu)成的閉環(huán)反應(yīng)系統(tǒng)分別為x =A-BKx Br y 二 Cx或x =A - BHCx Br y =Cx閉環(huán)反應(yīng)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣分別為Ak = A-BKAh 二

3、 A-BHC即 Zk =(A_BK,B,C)或二h =(A-BHC, B,C)。閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣Gk(s) =Csl _(A_ BK)BGh(s) =Csl -(A-BHC)B我們?cè)谶@里將著重指出，作為綜合問(wèn)題，將必須考慮三個(gè)方面的因素，即1)抗外部干擾問(wèn)題；2)抗內(nèi)部結(jié)構(gòu)與參數(shù)的攝動(dòng)問(wèn)題， 即魯棒性(Robustness)問(wèn)題；3)控制規(guī)律的工程 實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。一般說(shuō)來(lái)，綜合和設(shè)計(jì)是兩個(gè)有區(qū)別的概念。綜合將在考慮工程可實(shí)現(xiàn)或可行的前提下，來(lái)確定控制規(guī)律 u；而對(duì)設(shè)計(jì)，那么還必須考慮許多實(shí)際問(wèn)題，如控制器物理實(shí)現(xiàn)中線路的選 擇、元件的選用、參數(shù)確實(shí)定等。性能指標(biāo)的類型總的說(shuō)來(lái)，綜合問(wèn)題中的性能指標(biāo)

4、可分為非優(yōu)化型和優(yōu)化型性能指標(biāo)兩種類型。兩者的差異為：非優(yōu)化型指標(biāo)是一類不等式型的指標(biāo)，即只要性能值到達(dá)或好于期望指標(biāo)就算是實(shí)現(xiàn)了綜合目標(biāo)，而優(yōu)化型指標(biāo)那么是一類極值型指標(biāo)，綜合目標(biāo)是使性能指標(biāo)在所有可能的控制中使其取極小或極大值。對(duì)于非優(yōu)化型性能指標(biāo)，可以有多種提法，常用的提法有：1、 以漸近穩(wěn)定作為性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問(wèn)題稱為鎮(zhèn)定問(wèn)題；2、 以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)作為性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問(wèn)題稱為極點(diǎn)配置問(wèn)題。從線性定常系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析中可知，如時(shí)域中的超調(diào)量、過(guò)渡過(guò)程時(shí)間及頻域中的增益穩(wěn)定裕度、相位穩(wěn)定裕度，都可以被認(rèn)為等價(jià)于系統(tǒng)極點(diǎn)的位置，因此相應(yīng)的綜合問(wèn)題都可視為極點(diǎn)配置問(wèn)題；3、 以

5、使一個(gè)多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)為“一個(gè)輸入只控制一個(gè)輸出作為性能指 標(biāo)，相應(yīng)的綜合問(wèn)題稱為 解耦問(wèn)題。在工業(yè)過(guò)程控制中，解耦控制有著重要的應(yīng)用；4、 以使系統(tǒng)的輸出y(t)無(wú)靜差地跟蹤一個(gè)外部信號(hào) y°(t)作為性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問(wèn) 題稱為跟蹤問(wèn)題。對(duì)于優(yōu)化型性能指標(biāo)，那么通常取為相對(duì)于狀態(tài)x和控制u的二次型積分性能指標(biāo)，即J (u(t)(xTQx uTRu)dt其中加權(quán)陣Q =Qt 0或- 0 , R二Rt 0且(A, Q1/2)能觀測(cè)。綜合的任務(wù)就是確定u (t)，使相應(yīng)的性能指標(biāo) J(u(t)極小。通常，將這樣的控制u (t)稱為最優(yōu)控制，確切研究綜合問(wèn)題的主要內(nèi)容主

6、要有兩個(gè)方面：1、 可綜合條件可綜合條件也就是控制規(guī)律的存在性問(wèn)題。可綜合條件的建立， 可避免綜合過(guò)程的盲目性。2、 控制規(guī)律的算法問(wèn)題這是問(wèn)題的關(guān)鍵。作為一個(gè)算法，評(píng)價(jià)其優(yōu)劣的主要標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)值穩(wěn)定性，即是否出現(xiàn)截?cái)嗷蛏崛胝`差在計(jì)算積累過(guò)程中放大的問(wèn)題。一般地說(shuō)，如果問(wèn)題不是病態(tài)的，而所采用的算法又是數(shù)值穩(wěn)定的，那么所得結(jié)果通常是好的。4.1.4 工程實(shí)現(xiàn)中的一些理論問(wèn)題在綜合問(wèn)題中，不僅要研究可綜合條件和算法問(wèn)題，而且要研究工程實(shí)現(xiàn)中提出的一系列理論問(wèn)題。主要有：1、狀態(tài)重構(gòu)問(wèn)題由于許多綜合問(wèn)題都具有狀態(tài)反應(yīng)形式，而狀態(tài)變量為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，通常并不能完全直接量測(cè)或采用經(jīng)濟(jì)手段進(jìn)行量測(cè)，解決這

7、一矛盾的途徑是：利用可量測(cè)輸出y和輸入u來(lái)構(gòu)造出不能量測(cè)的狀態(tài) x,相應(yīng)的理論問(wèn)題稱為狀態(tài)重構(gòu)問(wèn)題，即觀測(cè)器問(wèn)題和Kalman濾波問(wèn)題。2、魯棒性Robustness'可題3、抗外部干擾問(wèn)題本章的組織結(jié)構(gòu)如下。本章將首先討論極點(diǎn)配置問(wèn)題。將討論利用極點(diǎn)配置方法來(lái)設(shè)計(jì) 控制系統(tǒng)。這里將設(shè)計(jì)一個(gè)受制于初始條件的倒立擺系統(tǒng)，使其在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)， 返回到垂直位置；其次還將討論狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)；最后研究含積分器的伺服系統(tǒng)和不含積分器的伺服系統(tǒng)。我們將設(shè)計(jì)一個(gè)倒立擺系統(tǒng)，當(dāng)我們施加于小車一個(gè)階躍輸入時(shí)，仍可使該系統(tǒng)穩(wěn)定也就是說(shuō)，擺不會(huì)倒下來(lái)。本章4.1節(jié)為引言。4.2節(jié)將討論控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的極點(diǎn)配置

8、方法，給出問(wèn)題提法、可配 置條件及極點(diǎn)配置的算法。4.3節(jié)將介紹利用 MATLAB求解極點(diǎn)配置問(wèn)題，并給出用于極 點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的 MATLAB程序。4.4節(jié)以倒立擺為例，給出用極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)器型系 統(tǒng)的一個(gè)例子，并分別介紹分析解法和MATLAB解法。4.5節(jié)將介紹狀態(tài)觀測(cè)器。對(duì)于全維和最小階觀測(cè)器均將進(jìn)行討論，將介紹3種確定觀測(cè)器增益矩陣Ke的方法，并引入控制器-觀測(cè)器概念。4.6節(jié)討論利用MATLAB設(shè)計(jì)狀態(tài)觀 測(cè)器。4.7節(jié)研究伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，將討論當(dāng)含有積分器和不含積分器時(shí)I型伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。4.8節(jié)介紹用MATLAB設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的一個(gè)例子，將用MATLAB設(shè)計(jì)倒立擺控制系統(tǒng)。 通過(guò)

9、使用MATLAB，可得到所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。4.2極點(diǎn)配置問(wèn)題本節(jié)介紹極點(diǎn)配置方法。首先假定期望閉環(huán)極點(diǎn)為s =卩1, S =卩2,，s =卩n。我們將證明，如果被控系統(tǒng)是狀態(tài)能控的， 那么可通過(guò)選取一個(gè)適宜的狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣 K ,利用狀 態(tài)反應(yīng)方法，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到任意的期望位置。這里我們僅研究控制輸入為標(biāo)量的情況。將證明在S平面上將一個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置到任意位置的充要條件是該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。我們還將討論3種確定狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣的方法。應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)控制輸入為向量時(shí)，極點(diǎn)配置方法的數(shù)學(xué)表達(dá)式十分復(fù)雜，本書(shū)將不討論這種情況。還應(yīng)注意，當(dāng)控制輸入是向量時(shí)，狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣并非

10、唯一。可以比擬自由地選擇多于n個(gè)參數(shù)，也就是說(shuō)，除了適當(dāng)?shù)嘏渲胣個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)外，即使閉環(huán)系統(tǒng)還有其他需 求，也可滿足其局部或全部要求。421問(wèn)題的提法前面我們已經(jīng)指出， 在經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中，不管是頻率法還是根軌跡法，本質(zhì)上都可視為極點(diǎn)配置問(wèn)題。給定單輸入單輸出線性定常被控系統(tǒng)x = Ax Bu(4.1)式中 x(t) Rn,u(t) RA Rn n,B Rn1。選取線性反應(yīng)控制律為u - -Kx(4.2)這意味著控制輸入由系統(tǒng)的狀態(tài)反應(yīng)確定，因此將該方法稱為狀態(tài)反應(yīng)方法。其中1X n維矩陣K稱為狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣或線性狀態(tài)反應(yīng)矩陣。在下面的分析中，假設(shè)u不受約束。圖4.1 ( a)給出了由

11、式(4.1)所定義的系統(tǒng)。因?yàn)闆](méi)有將狀態(tài) x反應(yīng)到控制輸入u中， 所以這是一個(gè)開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)。圖 4.1 ( b)給出了具有狀態(tài)反應(yīng)的系統(tǒng)。因?yàn)閷顟B(tài) x反應(yīng)到 了控制輸入u中，所以這是一個(gè)閉環(huán)反應(yīng)控制系統(tǒng)。(缺圖，見(jiàn)更新版)圖4.1 (a)開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)(b)具有u = - Kx的閉環(huán)反應(yīng)控制系統(tǒng)將式(4.2)代入式(4.1),得到x(t) =(A - BK)x(t)該閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為x(t)二 e(A_BK)tx(0)(4.3)式中x(0)是外部干擾引起的初始狀態(tài)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性將由閉環(huán)系統(tǒng)矩陣A-BK的特征值決定。如果矩陣 K選取適當(dāng)，那么可使矩陣A-BK構(gòu)成一個(gè)漸近穩(wěn)定矩陣，此時(shí)

12、對(duì)所有的x(0)豐0，當(dāng)t *時(shí)，都可使x(t) 0。一般稱矩陣A-BK的特征值為調(diào)節(jié)器極點(diǎn)。如果這 些調(diào)節(jié)器極點(diǎn)均位于 s的左半平面內(nèi)，那么當(dāng)t *時(shí)，有x(t) 0。因此我們將這種使閉環(huán)該系統(tǒng)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置到所期望位置的問(wèn)題，稱之為極點(diǎn)配置問(wèn)題。F面討論其可配置條件。我們將證明，當(dāng)且僅當(dāng)給定的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控時(shí),的任意極點(diǎn)配置才是可能的。422可配置條件考慮由式4.1定義的線性定常系統(tǒng)。假設(shè)控制輸入u的幅值是無(wú)約束的。如果選取控制規(guī)律為u = -Kx4.1 b所示。式中K為線性狀態(tài)反應(yīng)矩陣，由此構(gòu)成的系統(tǒng)稱為閉環(huán)反應(yīng)控制系統(tǒng)，如圖 現(xiàn)在考慮極點(diǎn)的可配置條件，即如下的極點(diǎn)配置定理。定理

13、4.1 極點(diǎn)配置定理線性定常系統(tǒng)可通過(guò)線性狀態(tài)反應(yīng)任意地配置其全部極點(diǎn)的充要 條件是，此被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。證明：由于對(duì)多變量系統(tǒng)證明時(shí)，需要使用循環(huán)矩陣及其屬性等，因此這里只給出單輸入單輸出系統(tǒng)時(shí)的證明。但我們要著重指出的是，這一定理對(duì)多變量系統(tǒng)也是完全成立的。10必要性。即閉環(huán)系統(tǒng)可任意配置極點(diǎn)，那么被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。現(xiàn)利用反證法證明。先證明如下命題：如果系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，那么矩陣A-BK的特征值不可能由線性狀態(tài)反應(yīng)來(lái)控制。假設(shè)式4.1的系統(tǒng)狀態(tài)不能控，那么其能控性矩陣的秩小于n,即rank B AB AnB 二 q ： n現(xiàn)定義q個(gè)線性無(wú)關(guān)列向量為這意味著，在能控性矩陣中存在

14、 q個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量。f1, f2 /, fq，選擇n-q個(gè)附加的n維向量Vq 1 , Vq 2, Vn，使得P= ff2 ' 弋叫1 “2 ' S的秩為n。因此，可證明A = p'apAn=_0BN0 一這些方程的推導(dǎo)可見(jiàn)例4.7。現(xiàn)定義那么有si A + BK| = P(sl A + BK)P=si PAP + PBKP=|sl 一 A BK?|si -Aki k2 slq - A"!B11k1-A12 ' Bii k?si-A22si_A11 ' B11kl| |sin -q-A22=式中，iq是一個(gè)q維的單位矩陣，Inj是一個(gè)n-q維

15、的單位矩陣。注意到A22的特征值不依賴于 K。因此，如果一個(gè)系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，那么矩陣的 特征值就不能任意配置。所以，為了任意配置矩陣A-BK的特征值，此時(shí)系統(tǒng)必須是狀態(tài)完全能控的。20充分性。即被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控這意味著由式4.5給出的矩陣Q有逆，那么矩陣A的所有特征值可任意配置。在證明充分條件時(shí)，一種簡(jiǎn)便的方法是將由式4.1給出的狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形。Q =B 2B 兒識(shí)nBana111anda 1a091o00o0 一(4.4)(4.5)(4.6)定義非奇異線性變換矩陣 P為其中Q為能控性矩陣，即an 4an J2W = '-aiJ式中ai為如下特征多項(xiàng)式的系數(shù)。si

16、 _ A 二 snaVan 八 an定義一個(gè)新的狀態(tài)向量 x，x = P:?如果能控性矩陣 Q的秩為n 即系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，那么矩陣Q的逆存在，并且可 將式4.1改寫(xiě)為(4.7)? = Ac>? Bcu其中00Ac = PAP =:0anO01 -Bc=P B=:0式4.8和4.9的推導(dǎo)見(jiàn)例態(tài)完全能控的，且利用由式10 001 0aaI-(4.8)00 1a n _1an/ a14.9可將式4.1變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形。選取一組期望的特征值為卩1 ,S 丄1 S 匕''4.8和例4.9。式4.7為能控標(biāo)準(zhǔn)形。這樣，如果系統(tǒng)是狀4.4給出的變換矩陣P,使?fàn)顟B(tài)向量x變換為狀態(tài)向

17、量5?,那么2，n,那么期望的特征方程為s- 呂二 sna1SnJ anjS a* = 04.10設(shè)斤=KP = 、n "1(4.11)由于U =K? =-KP5?，從而由式4.7，此時(shí)該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為>? = Ac?- BcK?相應(yīng)的特征方程為si - Ac + BcK? =0事實(shí)上，當(dāng)利用U - -Kx作為控制輸入時(shí)，相應(yīng)的特征方程與式4.11 的特征方程 相同，即非奇異線性變換不改變系統(tǒng)的特征值。這可簡(jiǎn)單說(shuō)明如下。由于x = Ax Bu = (A - BK )x-4該系統(tǒng)的特征方程為si A + BK = P°(sl A + BK)P = si PAP + P

18、BKP = si Ac 十 BcK? =0對(duì)于上述能控標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)特征方程，由式4.8 、4.9和4.11 ,可得01si _Ac +BcK?=si -0IL- an-an 41S_1 00s0a件12)an +6nanjL+gjLS十a(chǎn)r +斬=sn -亠帀s2亠亠and亠心ns an亠An = 0這是具有線性狀態(tài)反應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，它一定與式4.10 的期望特征方程相等。通過(guò)使S的同次幕系數(shù)相等，可得印 * =a；a? - 2 二 a?對(duì)S i求解上述方程組，并將其代入式4.11 ，可得(4.13)K =KP=、.n 、n=an an an J-an 1因此，如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的

19、，那么通過(guò)對(duì)應(yīng)于式4.13 所選取的矩陣 K可任意配置所有的特征值。證畢極點(diǎn)配置的算法現(xiàn)在考慮單輸入單輸出系統(tǒng)極點(diǎn)配置的算法。給定線性定常系統(tǒng)x 二 Ax Bu假設(shè)線性反應(yīng)控制律為u = -Kx那么可由以下步驟確定使 A-BK的特征值為卩1,卩2,卩n 即閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)值的線性反應(yīng)矩陣第1步：K 如果卩i是一個(gè)復(fù)數(shù)特征值，那么其共軛必定也是 A-BK的特征值。 考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，那么可按以下步驟繼續(xù)。第2步：利用系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式det(sl A) = sl - A = sn +&住2 + 十 an/S + an確定出a1, a2 / ,an的值。

20、第3步：確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣P。假設(shè)給定的狀態(tài)方程已是能控標(biāo)準(zhǔn)形，那么 P=I。此時(shí)無(wú)需再寫(xiě)出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)方程。非奇異線性變換矩 陣P可由式4.4 給出，即P =QW式中Q由式4.5 定義，W由式4.6 定義。第4步：利用給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)，可寫(xiě)出期望的特征多項(xiàng)式為s _，打s -2s _n =sn - a；sn 亠-亠 ans - an并確定出盯忌；,an的值。第5步：此時(shí)的狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣 K為K 二a. - a.an A an Aa -ai PJ424注釋注意，如果是低階系統(tǒng)n w 3,那么將線性反應(yīng)增益矩陣 K直接代入期望的特征多項(xiàng)式， 可能更為簡(jiǎn)便。例

21、如，假設(shè)n = 3，那么可將狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣K寫(xiě)為K = ki k2 k3 丨進(jìn)而將該矩陣K代入期望的特征多項(xiàng)式si -A + BK ,使其等于s-4Js P2s-卩3,即si -A + BK =s-出s»2s-巴由于該特征方程的兩端均為 s的多項(xiàng)式，故可通過(guò)使其兩端的 s同次幕系數(shù)相等，來(lái)確 定ki, k2, k3的值。如果n = 2或者n = 3，這種方法非常簡(jiǎn)便對(duì)于 n =4,5,6,，這種 方法可能非常繁瑣。還有其他方法可確定狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣K。下面介紹著名的愛(ài)克曼公式，可用來(lái)確定狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣Ko4.2.5 愛(ài)克曼公式Ackermann' Formula考慮由式4

22、.1 給出的系統(tǒng)，重寫(xiě)為x 二 Ax Bu假設(shè)該被控系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，又設(shè)期望閉環(huán)極點(diǎn)為s二比，S=卩2，s= An o利用線性狀態(tài)反應(yīng)控制律u _ - Kx將系統(tǒng)狀態(tài)方程改寫(xiě)為x=A-BKx件14定義A = A - BK那么所期望的特征方程為：sl A + BK = si A = s »s 罷s-巴=s a1 san4s an =0由于凱萊-哈密爾頓定理指出 A應(yīng)滿足其自身的特征方程，所以n*n1*©(A) = A A - +an/A + anl =0(4.15 )我們用式(4.15 )來(lái)推導(dǎo)愛(ài)克曼公式。為簡(jiǎn)化推導(dǎo)，考慮n = 3的情況。對(duì)任意正整數(shù),F面的推導(dǎo)可方便

23、地加以推廣。考慮以下恒等式I = lA = A BKA =(A-BK) = A -ABK-BKA33322A =(A-BK) =A - A BK - ABKA - BKA將上述方程分別乘以a；, a；, a；, a； (a；二1)，并相加，那么可得*； 3a3I a； A a； A A= a3I a；(A BK) a； (A - ABK - BKA) A3； ；-A BK - ABKA - BKA( 4.16)*;3*= a3l a2A a1 A A - a2 BK - a1 ABK - a1 BKA -A BK -ABKA - BKA參照式(4.15 )可得* *； 3a3I a2A a1

24、AA 二(A)二 0也可得到* *；3a3I a2A a-i A A = (A)0將上述最后兩式代入式(4.16 )，可得(A)二(Aa2BK - a BKA-BKA； - a ABK - ABKA - A；BK由于(A) =0，故I* ；*；(AB(a2K a1KA KA；) AB(a1 K KA) A；BK-* * ；(4.17 )a；K +a1 KA + KA；=B : AB : A；B+ KA: K 一由于系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，所以能控性矩陣Q = B AB A；B* ；1 + 內(nèi) KA + KA；*a1KAK的逆存在。在式(4.17 )的兩端均左乘能控性矩陣 Q的逆，可得a*KB ：

25、AB -A；B S(A) = I上式兩端左乘0 0 1，可得a2K +a,KA + KA I0 0 1 B : AB :A2B 尸®(A) =0 0 1 a；K + kA = K1 K 一重寫(xiě)為K -0 0 1 B AB A2B J (A)從而給出了所需的狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣Ko對(duì)任一正整數(shù)n有K 二0 00 1 B ABAnJBJ (A)件18)式(4.18 )稱為用于確定狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣K的愛(ài)克曼方程。例4.1考慮如下線性定常系統(tǒng)x=Ax Bu式中01 0 1一0A =001,B =0-1-5-6_1 一利用狀態(tài)反應(yīng)控制u - -Kx，希望該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為s = -2 ±

26、j 4和s = -10。試確定狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣 K=首先需檢驗(yàn)該系統(tǒng)的能控性矩陣。由于能控性矩陣為：001Q = B ：AB：A2B=01-61-631一所以得出det Q= -1。因此，rankQ = 3。因而該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，可任意配置極點(diǎn)。 下面，我們來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題，并用本章介紹的3種方法中的每一種求解。方法1:第一種方法是利用式(4.13 ) o該系統(tǒng)的特征方程為-s-10 | si -A|=0s-1-15s + 6_=s3 +6s2 +5s + 1二 s3a1s2a2sa3 二 0因此a6, a? =5, a1期望的特征方程為(s 2 一 j4)(s 2j4)(s 10) =

27、s314s260s 2003*2*二 s ysa2s a3 = 0因此ai = 14, a? = 60, a§ = 200參照式4.13 ,可得K 二200-60-5 14-6-199 55 8方法2:設(shè)期望的狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣為K =k1 k2k3并使| si - A BK |和期望的特征多項(xiàng)式相等，可得S001010 100s0001+00s-1-5_6 一1ds-100s-11 +k15+k2s + 6 + k3| si -A BK |二(5 k2)s 1 k132二 S3(6 k3)s2k1 k?k3 32二s 14s60s200因此6 k3 =14, 5 k 60,1 k1-

28、200從中可得k1 = 199, k2 = 55,K =199 55方法3:第三種方法是利用愛(ài)克曼公式。參見(jiàn)式4.18，可得K =0 0 1 B AB A2B(A)由于(A)二 A3 14A260A 200I可得1013_0001+140-1-5 -6i-1199558 1-81597'-7-43117_210001+60 010 1001 +200 0 1-5 -6一1-5-6001- 2B ： AB： A B = 01-61-631-00K =0 0 101i1-6_56=0 0 16101 和995581-6-8159731j-7-43117一1 199558108159701-

29、743117-199 55 8顯然，這3種方法所得到的反應(yīng)增益矩陣K是相同的。使用狀態(tài)反應(yīng)方法， 正如所期望的那樣，可將閉環(huán)極點(diǎn)配置在s = -2 ± j 4 和 s = -10 處。應(yīng)當(dāng)注意，如果系統(tǒng)的階次n等于或大于4,那么推薦使用方法1和3，因?yàn)樗械木仃囉?jì)算都可由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。如果使用方法2,由于計(jì)算機(jī)不能處理含有未知參數(shù)k1,k2/ ,kn的特征方程，因此必須進(jìn)行手工計(jì)算。注釋對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，矩陣K不是唯一的，而是依賴于選擇期望閉環(huán)極點(diǎn)的位置這決定了響應(yīng)速度與阻尼，這一點(diǎn)很重要。注意，所期望的閉環(huán)極點(diǎn)或所期望狀態(tài)方程的選擇 是在誤差向量的快速性和干擾以及測(cè)量噪聲的靈敏性之

30、間的一種折衷。也就是說(shuō)，如果加快誤差響應(yīng)速度，那么干擾和測(cè)量噪聲的影響通常也隨之增大。如果系統(tǒng)是2階的，那么系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性響應(yīng)特性正好與系統(tǒng)期望的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置聯(lián)系起來(lái)。對(duì)于更高階的系統(tǒng)，。所期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置不能和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性響應(yīng)特性聯(lián)系起來(lái)。因此，在決定 給定系統(tǒng)的狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣K時(shí)，最好通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真來(lái)檢驗(yàn)系統(tǒng)在幾種不同矩陣基于幾種不同的所期望的特征方程下的響應(yīng)特性，并且選出使系統(tǒng)總體性能最好的矩陣Ko4.3利用MATLAB解極點(diǎn)配置問(wèn)題用MATLAB易于解極點(diǎn)配置問(wèn)題。現(xiàn)在我們來(lái)解在例4.1中討論的同樣問(wèn)題。系統(tǒng)方程為x = Ax Bu式中，P 10 1 PA =001,B

31、=0-1-56i1采用狀態(tài)反應(yīng)控制u = -Kx，希望系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為s =卩i(i=1,2,3)，其中亠=-2 j4,J = -2 - j4,J 二-10現(xiàn)求所需的狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣匕如果在設(shè)計(jì)狀態(tài)反應(yīng)控制矩陣K時(shí)采用變換矩陣 P,那么必須求特征方程|sl-A=0的系數(shù)a1、a2、和a3。這可通過(guò)給計(jì)算機(jī)輸入語(yǔ)句P = poly( A)來(lái)實(shí)現(xiàn)。在計(jì)算機(jī)屏幕上將顯示如下一組系數(shù)：A = 010; 001; -1-5-6;P = poly(A)P =1.00006.00005.00001.0000那么 a<)= a1 = P(2), a2 = a2 = P(3), a3 = a3 = P(4

32、)。為了得到變換矩陣 P,首先將矩陣Q和W輸入計(jì)算機(jī)，其中11Q = B AB A2Ba2a110寺征方;程。可定義矩陣J,使得00 1-2 + j4000鳥(niǎo)0=0-2 - j4000i0010J 二然后可以很容易地采用 MATLAB完成Q和W相乘。 其次，從而可利用如下poly(J)命令來(lái)完成，即J =一2 4*i 0 0;024*i 0;0 0 -10;Q = poly(J)Q1 14 60 200因此，有a<i = aa1 = Q(2), a? = aa2 = Q(3), a3 = aa3 = Q(4)即對(duì)于a*，可采用aai。故狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣K可由下式確定：K = a3 - a

33、3 a2 - a2a1 PJ或K=aa3-a3 aa2-a2 aal - al * (i nv(P)采用變換矩陣 P求解該例題的 MATLAB 程序如MATLAB Program 4.1所示。MATLAB Program 4.1%Pole placement%*Determi naton of state feedback gain matrix k by ues of %tra nsformatio n matrix P*%*E nter matrices A and B*A=010;001;-1-5-6;B=0;0;1;%* Define the con trollability matr

34、ix Q*Q=B A*BAA2*B;%*Check the rank of matrix Q*ran k(Q)ans=3%*Si nee the rank of Q is 3, arbitrary pole placeme nt is% possible *%*Obta 和 the coefficie nts of the characteristic polyno mial %|sl-A|. This can be done by entering statement poly(A)*JA=poly(A)JA=1.00006.00005.00001.0000a仁JA(2);a2=JA(3);

35、a3=JA(4);%*Defi ne matrices W and P as follows*W=a2 a1 1;a110;10 0;P=Q*W;%*Obta in the desired chracteristic polyno mial by defi ning %the followi ng matrix J and en teri ng stateme nt poly(J)* J=-2+j*400;0-2-j*40;00-10;JJ=poly(J)JJ=11460200aa仁 JJ(2);aa2=JJ(3);aa3=JJ(4);%*State feedback gai n matrix

36、 K can be give n by *K=aa3-a3 aa2-a2aa1-a1*(i nv(P)K=199558%*He nee, k1,k2,a nd k3 are give n by * k仁K(1),k2=K(2),k3=K(3)k1 =199k2=55k3=8如果采用愛(ài)克曼公式來(lái)確定狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣K，必須首先計(jì)算矩陣特征方程$ (A)。對(duì)于該系統(tǒng)(A) = A3 a1A2 a2A a3I在MATLAB中，利用Polyvalm可計(jì)算矩陣多項(xiàng)式$ (A)。對(duì)于給定的矩陣J,如前所示,poly( J)可計(jì)算特征多項(xiàng)式的系數(shù)。對(duì)于010A=001_1_5_6_利用MATLAB 命令Po

37、lyvalm(Poly( J), A)，可計(jì)算以下 $ (A),即卩199558©(A) =A3+14A2 +60A +2001 = -81597-743117 一實(shí)際上,Polyvalm(poly(J), A)Ans=199558-21597-7-43117利用愛(ài)克曼公式，MATLAB Program 4.2將求出狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣K。MATLAB Program 4.2%Pole placement%*Determi natio n of state feedback gai n matrix K by use of %Ackermann ' s formula*%*E n

38、ter matrices A and B*A=010;001; -1-5-6;B=0；0；1；%*Defi ne the con trollability matrix Q*Q=B A*B AA2*B;%*Check the rank of matrix Q*ran k(Q)ans=3%*Si nee the rank of Q is 3, arbitrary pole placeme nt is %possible*%*Obtai n the desired characteristic polyno mial by defi ning %the followi ng matrix J an

39、d en teri ng stateme nt poly(J)* J=-2+j*400;0-2-j*40;00-10;Poly(J)ans=11460200%*Compute the characteristic polyno mial %Phi=polyvalm(poly(J),A)*Phi=polyvalm(poly(J)A);%*State feedback gai n matrix K can be give n by* K=001*(i nv(Q)*PhiK=199558%*He nee, k1,k2,a nd k3 are give n by*k仁 k(1),k2=k(2),k3=

40、k (3) k1 =199k2=55k3=84.4利用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)器型系統(tǒng)考慮如圖4.2所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個(gè)小車上。這里僅考慮倒立擺 在圖面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的二維問(wèn)題。缺圖，見(jiàn)更新版圖4.2倒立擺系統(tǒng)希望在有干擾如作用于質(zhì)量m上的陣風(fēng)施加于小車的這類外力時(shí)，保持?jǐn)[垂直。當(dāng)以適宜的控制力施加于小車時(shí)，可將該傾斜的擺返回到垂直位置，且在每一控制過(guò)程結(jié)束時(shí)，小車都將返回到參考位置x = 0。設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)，使得當(dāng)給定任意初始條件由于擾引起時(shí)，用合理的阻尼如對(duì)主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)有Z =0.5 ,可快速地如調(diào)整時(shí)間約為2秒使擺返回至垂直位置，并使小車返回至參考位置x = 0。假設(shè)M、m和I的

41、值為M = 2千克， m = 0.1千克， I = 0.5米進(jìn)一步設(shè)擺的質(zhì)量集中在桿的頂端，且桿是無(wú)質(zhì)量的。對(duì)于給定的角度 B和/或角速度二的初始條件，設(shè)計(jì)一個(gè)使倒立擺保持在垂直位置 的控制系統(tǒng)。此外，還要求控制系統(tǒng)在每一控制過(guò)程結(jié)束時(shí)，小車返回到參考位置。該系統(tǒng)何初始條件的干擾有效地做出響應(yīng)所期望的角0 d總為零，并且所期望的小車的位置總在參考位置上。因此，該系統(tǒng)是一個(gè)調(diào)節(jié)器系統(tǒng)。這里，我們采用極點(diǎn)配置的狀態(tài)反應(yīng)控制方法來(lái)設(shè)計(jì)控制器。如前所述，對(duì)任意極點(diǎn)配置的充要條件為系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。設(shè)計(jì)的第一步是推導(dǎo)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模參見(jiàn)3.6節(jié)，我們已推導(dǎo)了如圖3-16所示的倒立擺系統(tǒng)的數(shù)

42、學(xué)模型。當(dāng)角度 0不大時(shí)，描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的方程為式3.55和3.56 o將其重寫(xiě)如下為M mx mh - u2 l ml 汀：mix 二 mgh式中，I是擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由于該系統(tǒng)的質(zhì)量集中在桿的頂端，所以重心就是擺球的中心。在分析中，假設(shè)擺圍繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零，即1 = 0。那么，其數(shù)學(xué)模型為M mx mlv - u4.192ml v mix 二 mgh4.20式4.19和4.20定義了如圖4.2所示的倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型只要 0不大，線性化方程 就是有效的。式4.19和4.20可改寫(xiě)為Mi v - M m gr - u4.21Mx 二 u - mgr4.22式4.21可由式

43、4.19和4.20消去x得到。 式4.22可由式4.19和4.20消去丁得到。從式4.21 可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為0 (S)1 2-U (s) Mis -(M m)g代入給定的數(shù)值，且注意到g = 9.81 米/秒 2,可得0(S)11-U(s) 一 s2 -20.601 一 s2 -(4.539)2顯然，該倒立擺系統(tǒng)在負(fù)實(shí)軸上有一個(gè)極點(diǎn) 4.539,因此，該系統(tǒng)是開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定的。定義狀態(tài)變量為s = -4.539,另一個(gè)極點(diǎn)在正實(shí)軸上s =x1 二x2 -X3 =xx4 = x注意，0表示擺桿圍繞點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)角，x表示小車的位置，將0和x作為系統(tǒng)的輸出，即又由于0和x均是易于量測(cè)的量。由狀態(tài)變量的

44、定義和式4.21 和4.22,可得以向量-矩陣方程的形式表示,X11M +x2mlx300 一m-0g-MmX2MlgXi 二MlX3X4=X4可得MgX1X11x2x3Ml(4.23)X1y1(4.24)0 X2X3式4.23和4.24給出了該倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式注意，該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表 達(dá)式不是唯一的，存在無(wú)窮多個(gè)這樣的表達(dá)式。代入給定的M、m和I的值，可得M mm1“ 1g = 20.601, g = 0.4905,1,0.5MlMMl M于是，式4.23和4.24可重寫(xiě)為：x = Ax Buy 二 Cx式中010000100 1-1一1000120.601A =,B=,C =00

45、0000010 一-0.4905000 一-0.5 一米用以下線性狀態(tài)反應(yīng)控制方案u _ - Kx為此首先檢驗(yàn)該系統(tǒng)是否狀態(tài)完全能控。由于-0-10-20.601-2-3Q = B ：AB ：A B ：A B=_ 10-20.601000.500.4905-0.500.49050 一的秩為4，所以系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。系統(tǒng)的特征方程為s-20.6010.0.49054-100|sl - A|二s000s-100s 一=S -20.601S3 2=s4 ys a2sa3s a4 = 0因此a1 =0, a2 = -20.601, a3 = 0, a4 = 0其次，選擇期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置。由于要求

46、系統(tǒng)具有相當(dāng)短的調(diào)整時(shí)間約2秒和合適的阻尼在標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)中等價(jià)于 E = 0.5,所以我們選擇期望的閉環(huán)極點(diǎn)為 S=片i =123,4 ,其中- -2 j2*?3- -2 - j2'. 3,3 - -10,- -10在這種情況下，卩1,和卩2是一對(duì)具有E = 0.5和3 n = 4的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)。剩余的兩 個(gè)極點(diǎn)卩3和卩4位于遠(yuǎn)離主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)的左邊。因此，卩3和卩4響應(yīng)的影響很小。所以，可滿足快速性和阻尼的要求。期望的特征方程為S - rs -2s - ds4=S 2 一 j2'. 3s 2 j2 3s 10s 10= s2 4s 16s2 20s 1004 32二 s 2

47、4s196s720s 1600=sai s a2Sa3S a4 = 0因此a1 = 24, a2 = 196, a3 二 720, a4 = 1600現(xiàn)采用式4.13來(lái)確定狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣K，即K片州州片1* 1-a4 _ a3 _ a2 _ a?£1_ a1 P式中P由式4.4得到，即P 二 QW這里Q和W分別由式4.5和4.6得出。于是_0Q = B -AB -A2B -A3B = -1-10-20.6010 -20.601 00.500.4905因此-a3a2a111- 0-20.6010a2a110-20.60401W =a11000101000一1 1100變換矩陣P成為-

48、00-1000P =QW =-9.8100.5-0 -9.8100 1-100.5-'0.59.81P=0-100109.810.501一9.81一 9.81000-100 一1【000故狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣 K為=a4 -a4一 a3a4 _ a2a *d:a4 -ajP=1600 -0 720 -0 49620.601 亡4 -0 P '0.59.81c0.51600 720 216.60 24 0-9.81-1 019.8100衛(wèi)-10019.8100-298.1504 -60.6972-163.0989-73.3945反應(yīng)控制輸入為u =-Kx =298.1504 60.6972x2 163.0989x3 73.3945x4注意，這是一個(gè)調(diào)節(jié)器系統(tǒng)。期望的角0 d總為零，且期望的小車的位置也總為零。因此，參考輸入為零將在 4.6節(jié)考慮有參考輸入時(shí)，對(duì)應(yīng)的小車的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。圖4.3為用于倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)反應(yīng)控制結(jié)構(gòu)圖因?yàn)樵撓到y(tǒng)中的參考輸入總為零，所以在圖中沒(méi)有畫(huà) 出。缺圖，見(jiàn)更新版圖4.3具有線性狀態(tài)反應(yīng)控制的倒立擺系統(tǒng)利用MATLA確定狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣 KMATLAB Program 4.3是一種能求出所需狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣K的MATLAB程序。MATLAB Program 4.3%Desig n of