1、第五章定積分一、內容精要一 根本概念定積分的概念是由求曲邊梯形面積，變力作功，變速直線運動的速度求路程，密度不均質線段的質量所產生。定義3.3 設函數fx在閉區間上有定義，在閉區間a,b內任意插入n-1個分點將就= 1,2嚴屛，財和"稱i-l為積分元，把這些乘積相加得到和式稱為積分和式設= maxA召：1勺n，作乘積n個小區間"j ，記，極限存在唯一且該極限值與區是a,b的分法及分點纟的取法無關，那么稱這個唯一的極限值為函數fx在，即上的定積分，記作否那么稱fx在 'I 上不可積.注1由牛頓萊布尼茲公式知，計算定積分與原函數有關，故這里借助了不定積分的符號。注2假設

2、存在，區間b進行特殊分割，分點V進行特殊的取法得到的和式極限存在且與定積分的值相等，但反之不成立，這種思想在考題中經常岀現，請讀者要真正理解。注3定積分是否存在或者值是多少只與被積函數式和積分區間有關與積分變量用什么字母表示無關,即_!： r y ； f門定積分的幾何意義：假設fx在上可積,與直線y =所圍成的曲邊梯形的面積且I：那么I '表示曲線 廠血同樣，變力所作的功其中fx是變力變速直線運動的路程S二諷出誡是瞬時速度，密度不均質直線段b上的質量財二J； “xdx其中 災是線密度規定廣義積分定義3.4 設函數 /W 在區間b，Ho上連續，稱記號JT兒呃Bsd亦(1)為函數/W在無窮

3、區間_上的廣義積分或第一類廣義積分假設1 式右端極限存在，稱廣義積分伽收斂，該極限值稱為廣義積分的值，否那么稱廣義積分連續必有原函數，設的原函數為嗆。/(X協二 lim &腳二 limJ 盤Ft +w Jifl.t +®=lim 肥)-F紂二 lim 科x)-F(d)i己成F&)|巴f+®從而廣義積分可以按照正常定積分計算方式來計算，即發散。于是卄lim陀存在=a，4發散。7嘰斂，且"加U同理可得J:幾論二陀-帆卄曲陀假設2-8存在，那么廣義積分應收斂，否那么發散。/妙心恥尸二曲喇-恥在，那么假設fci F(x)不存+ ©lim附Y-4+

4、w-lim 恥) I-4-o假設帆網lim F(x)f ) QO都存在，那么收斂，否那么發散。T麗定義3.5 設7 - f在區間上連續,不存在稱a點為瑕點，VoOs<b-a，稱記號和啞帆J丿碎與上面研究方式相同，可得畑二恥曙陀-嘰嗆存在，那么廣義積分同理假設一匕；在：e 上連續，二汀，不存在稱b點為瑕點，有假設1：-收斂，否那么發散。打妙“F魂二蚪陽_盹假設了匕在b，dusb上連續，打仗禺二打如)(忸不存在稱c點為瑕點，定義當且僅當都收斂時,丿帕收斂，且，的值之和。事實上，定義lim /(x) = Z常數，那么可看成正常積分,上連續，即Fdxd.存在，而1址二熱加熱£?仙 如L

5、畑在伸胡，由于陀在打一上連續，知變下限函數上連續，有略雛卜GO=l枷，即M論“恥故 協可看成正常積分。假設廣義積分收斂，也有線性運算法那么，不等式性質，也有湊微分，變量替換，分部積分公式，換句話說可以像正常的定積分一樣運算。第一 p廣義積分山7a0，常數時發散第二p廣義積分11a-r atF_令由第一 p廣義積分知，當2-p，即陽1時收斂，當2-p，即戸21時發散。(二)重要定理與公式定理3.2假設函數f(x)在閉區間/上 可積，那么f(x)在''I 上有界，反之不成立。%)二點：鬻囂訥上有叭棘:,無理數=0,知1-1不存在。定理3.3假設f(x)在閉區間定理3.4假設f(x)

6、在閉區間定理3.5假設f(x)在閉區間定積分的性質性質1性質2(線性運算法那么)設立.“上連續，那么f(x)在上可積，反之不成立.上只有有限個間斷點且有界，那么f(x)在p,劃上可積,Hl.上單調，那么f(x)在be上可積，反之不成立./W.gW 在M上可積，對任何常數反之不成事實上，因為不管把0,1分割得多么細，在每個小區間IS 中，總能找到有理數ft，知巴送D®；)&嚴= I巴&D(如脫二爲0j-li-li-1f(x)+熄皿二妙/必+ 0J：咖X .該性質用于定積分的計算與定積分的證明,b,c順序性質3(區間的可加性)，假設f(x)在以a,b,c為端點構成的最大區

7、間上可積，那么不管如何，有J； f(x)dx =了何必該性質用于計算分段函數的定積分與定積分的證明性質4假設f(x)在k聖上可積且%)辿那么防必沙性質5假設 f(x),g(x) 在一，'上可積且性質6假設 f(x)在"'上連續，一L且 f(x) 0 那么!： ' '：-；，'性質7假設 f(x),g(x) 在|上連續且二二J :-但：； ：1性質8 假設f(x)在“上可積, 那么性質9 假設f(x)在上可積，在區間一 上, mef(x) < M m, M是常數，那么m(b - a)瑩 J：/(Rdx W M(b- a).性質4、5、6、7

8、、8、9主要用于定積分不等式的證明及不通過定積分的計算，估計定積分值的范圍性質io(積分中值定理)假設f(x)在閉區間你，"上連續，那么至少存在一點，使2 /必=了©© - a).稱為f(x)在區間上,引上的平均值，即閉區間a,b上連續函數f(x)的平均是不同的。值是-二注：這里的性質131變上限積分求導定理 設f(x)連續,可導，那么£關幾)血二(認訕' (或-/(V(枷'("1定積分計算的方法(1)牛頓一萊布尼茲公式上連續,那么陽)卜盹)-盹)(2)湊微分仏(帕二陽(銖)0(訕二(能)勿心)pm 1=-(3)變量替換Ex壺火

9、)嶼)=比畑?咖嚴期曲冷；二F-尺(的4分部積分設一C在丄二上導數連續，那么Ju麗厲御口仙訥 具體的用法是防必"紜必二加訥X二譏x(x) *-V(X)dfa(X)= £f(X)vW :-JhUJuU)必就可以計算岀如果能夠計算岀定積分的湊微分、變量替換、分部積分與不定積分中三種方法適合的被積函數相同，即不定積分用 三種的哪一種方法，定積分也用三種方法的哪一種。(5)設 f(x)在一上連續，那么事實上,Q假設/Q為奇函數2弟如.董/為偶函數上Jx必二化他血+許加血ft/W7出=/7必=- J防X必，董/力為奇數， Jo /xrfx董/0為偶函數故得證推論金+心2為偶函數，2為

10、奇函數，于是且證由于八一 /W+A-x)( /W-/(-x)?=2I 2:dx0.上/如二打型嚴+牛D t£ii 必二此/x+/-x必6設fx為周期函數且連續，周期為T，那么嚴伽品枷.事實上臚佩必=陽訥+K /訥+等幾訥丁 H二s丄-于是嚴血必=防"血由于(7)設f(x)在0,1上連續，那么Jj x/(sin x)dx = fj /(sin x)dx2事實上fj 伙 sin x)dtr Il_ t)=x)必二開J： /(gin x)dx-fg 伙sin x)dx.移項兩邊同除以2得Jj 伙$血 X)必二 ylj /(sin x)必Q所分布的區間爲切且區間一 ：上的總量Q具有等于各小區間上局部量之和的特點(1)取近似求微元.選取區間。寫出局部量的近似值即要求是AQ的線性主部即計算的過程中，可以