1、?高 等 數 學? 試 卷 1下a b 0 a b 0 a b 0 a b330函數z x y3xy的極小值是xsin y，貝U y1,4()一.選擇題3分101.點M1 2,3,1到點M 2 2,7,4的距離M1M2().4C 向量 a i 2j k,b 2ij，那么有a. a II b b. a 丄 b . a,b ： . a,b 3.函數y2 x2 y1的定義域是Jx22y1x,y12 x2y2 .x,y12 xy22x,y12 x2y2x,y12 xy2 24.兩個向量a與b垂直的充要條件是、2假設p級數2收斂，那么n 1 npxnp 1 p 1 p 1 p 1幕級數的收斂域為()n

2、1 nnx1,11,11,11,1 幕級數在收斂域內的和函數是n 0212 2 1微分方程xyylny 0的通解為.1 x 2 x 1 x 2 xxxxex _y ee y e y exe y e 一 填空題(4 分 5)1.一平面過點 A 0,0,3且垂直于直線 AB，其中點B 2, 1,1 ,那么此平面方程為2.函數Zsin xv的全微分是3.設Z3xy3xy1,那么i4.1的麥克勞林級數是2 x5.微分方程y 4y 4y0的通解為三.計算題5分6、-u zz1.設 z e sin v，而uxy,v x y，求 ，.xy2.隱函數ZZ x, y2 2 2由方程x2yz4x2z 50確定，求

3、一,一x y一 - 2211, t 2 2223.計算sinxy d，其中D :xy4.D4. 如圖，求兩個半徑相等的直交圓柱面所圍成的立體的體積R為半徑.5. 求微分方程y 3y e2x在yx0 0條件下的特解.四.應用題10分231. 要用鐵板做一個體積為 2m的有蓋長方體水箱，問長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最 省？2.曲線y fx上任何一點的切線斜率等于自原點到該切點的連線斜率的2倍，且曲線過點 1,-，3求此曲線方程試卷1參考答案一 選擇題 CBCADACCBD二. 填空題1.2x y 2z 60.2. cos xy ydx xdy .2 23.6x y 9y 1.4.n 0

4、12n5. y C C?x e2xzxy.1.e y sin x yzxycos x y ， e xsin x yxy三.計算題cos x y223.dsind01634.R .35. y3x e2x e四.應用題1長、寬、高均為 %2m時，用料最省.1 22. y x .3?高數?試卷2 下一. 選擇題3分101.點 Mj 4,3,1 ，M 2 7,1,2 的距離 MjM?0，那么兩平面的夾角12 -.13 . 14 . 15設兩平面方程分別為 x2y2z1 0和 x y 5為2 2函數z arcs in x y 的定義域為.6 4 3 2x,y 0 x2 y21 . x, y 0 x2 y

5、21C22c22x, y 0 x y .x,y0 x y -4.點P 1, 2,1到平面x 2y 2z 50的距離為.2 2.4C函數z2xy3x 2y的極大值為.1 22z I.1c 1 一設 z x 3xy y，那么一122.7C假設幾何級數arn是收斂的，那么.1幕級數 n 1xn的收斂域為n 0sin na1,11,11,11,1 級數是n 1 nA.條件收斂B.絕對收斂C.發散D.不能確定10微分方程xy yin y 0的通解為.cxxxX 亠y e y ce y e y cxe 二.填空題4 分 5x3 t1直線1過點A 2,2, 1且與直線yt平行，那么直線1的方程為z12t2.

6、函數z exy的全微分為2 23.曲面z 2x 4y在點2,1,4處的切平面方程為 4. 的麥克勞林級數是 1 x0在yx1 1條件下的特解為2j 3k，求 a b.5.微分方程xdy 3ydx三. 計算題5分61.設 a i 2j k,b2 22.設 z u v uv，而 u xcosy, v3.隱函數zz x, y由x33xyz 2確定，求,zxy4.如圖，求球面 x2 2yz22 2 24a與圓柱面xy2ax a 0所圍的幾何體的體積5.求微分方程y3y2y0的通解.四.應用題10分22.如圖，以初速度Vo將質點鉛直上拋，不計阻力，求質點的運動規律提示學dt2g .當t 0時,dx x&

7、#176;，dtVo)試卷2參考答案一. 選擇題二. 填空題x 21.-1CBABACCDBA.xy2.eydxxdy .3.8x8yz 4.4.n 02n x5. y.計算題i.8i3j2k .2.3x2sin ycosy cosy sinzy ,一2x3sin y cos y sin y cos y yx3 sin 3 ycos3 yz3.-xxyyzz2 ,z yxyxz2 .z324. a35. y C1e 2xC2e四.應用題161. .32. x= gt2 V0t2Xo .?高等數學?試卷 3 下1、二階行列式2-3的值為45A、10B、20C、24D、222、設a=i+2j-k,

8、b=2j+3k，貝U a與b的向量積為A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、-1、-2、1到平面 x+2y-2z-5=0 的距離為2B、3C、 4D、 54、函數z=xsiny 在點1，-處的兩個偏導數分別為4()2C、25、()設 X2+y2+z2=2RX0 z , z 分別為y紅、z6、設圓心在原點，半徑為R，面密度為X22y的薄板的質量為2(面積A= R )R2AB、2R2AC、3R2AD、nX7、()級數 1n的收斂半徑為n 1n12B、 C、1D、328、cosx的麥克勞林級數為()2nn0(1)n1)n2nX(2n)!1)n2nX(2n)

9、! n o(1)n2n 1X(2n1)!9、微分方程y'' 4+y' 5+y'+2=0的階數是一階B、二階C、三階D、四階10、微分方程y''+3y'+2y=0的特征根為A、-2，-1B、2，1C、-2，1D、1，-2、填空題此題共 5小題，每題4分，共20 分X 1 y 31、 直線 Li: x=y=z與直線 L2： Z的夾角為 。2 1X 1 y 2 z直線La：與平面3x 2y 6z0之間的夾角為。2 1 22、 的近似值為 ,sin10°的近似值為 。3、 二重積分d , D : x2y2 1的值為。Dn4、 幕級數n!

10、xn的收斂半徑為 ,的收斂半徑為 。n 0n 0 n!5、 微分方程y'=xy的一般解為 ，微分方程xy'+y=y 2的解為。三、計算題此題共6小題，每題 5分，共30分1、用行列式解方程組-3f+2y-8z=17<2x-5y+3z=3x+7y-5z=22、 求曲線x=t,y=t2,z=t3在點1，1 , 1處的切線及法平面方程.3、 計算 xyd，其中D由直線y 1,x2及yx圍成.D4、 問級數 1n sin1收斂嗎？假設收斂，那么是條件收斂還是絕對收斂？n 1n5、將函數fx=e3x展成麥克勞林級數6、用特征根法求y''+3y'+2y=0的一

11、般解四、應用題此題共2小題，每題10分，共20分1、求外表積為a2而體積最大的長方體體積。2、放射性元素鈾由于不斷地有原子放射岀微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減小，這種現象叫做衰變。由原子物理學知道，鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比，比例系數為 kt=0時，鈾的含量為 M。，求在衰變過程中鈾含量M t隨時間t變化的規律。參考答案一、選擇題1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B10,A二、填空題2 . 81、ar cos, arcs in2、，心8215、y ce2 ,cx 1三、計算題1、-32-8解： =2-53= (-3 )X -53-2 X 23+ (-

12、8 ) 2-5=-13817-57-51-5172-8 x=3-53=17 X -53-2 X 33+ (-8 )X -5=-13827-57-52-527同理:-317-8 y=233=276, z=4141 2-5x所以，方程組的解為x1, y2, z2、解：因為 x=t,y=t 2,z=t 3,所以 xt=1,y t=2t,z t=3t2,所以 xt 11=1 =1,y 111=1 =2,z t| t=1 =3故切線方程為:法平面方程為：:x-1 ) +2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因為 D由直線y=1,x=2,y=x 圍成, 所以D:2 2故:xyd 1

13、xydxdyD：(2y £)dy114、解：這是交錯級數，因為Vn1sin 0,所以，Vn n1 Vn,且 lim sin - n0,所以該級數為萊布尼茲型級數，故收斂。1sin 當x趨于o時，sin nx x，所以,limn.1sinn11,又級數；發散，從而nn 1sin1發散。1 n所以，原級數條件收斂。5、解：因為 1e 1 x x2!)用2x代x，得:6、解：特征方程為r2+4 r+4=0所以，(r+2)2=0213x3!1xn!得重根ri=r2=-2，其對應的兩個線性無關解為y1=e-2x,y2=xe-2x所以，方程的一般解為y=(C1+c2X)e-2x四、應用題1、解：

14、設長方體的三棱長分別為那么 2 (xy+yz+zx ) =a2構造輔助函數F( x,y,z) =xyz+ (2xy 2 yz2zx a2)求其對x,y,z的偏導，并使之為0,得:yz+2(y+z)=oxz+2(x+z)=0xy+2(x+y)=0與 2(xy+yz+zx)-a 2=0 聯立，由于x,y,z均不等于零可得x=y=z代入 2(xy+yz+zx)-a 2=0 得 x=y=z= _所以，外表積為 a2而體積最大的長方體的體積為xyz、6a3362、解：據題意?高數?試卷4 (下)一.選擇題：3 10301 以下平面中過點(1 ,1 ,1)的平面是 .(A) x+y + z =0(B) x

15、+y + z = 1(C) x = 1(D) x=32 在空間直角坐標系中，方程 x2 y22表示.(A)圓 (B)圓域 (C)球面 (D)圓柱面3 .二兀函數z (1 x)2(1 y)2的駐點是(A)(0 ,0)(B)(0, 1)(C)(1,0)(D)(1,1)4 .二重積分的積分區域x2y24，那么 dxdyD(A)(B) 4(C) 3(D)155 .交換積分次序后xdx0f(x, y)dy1 1dy f (x, y)dx(A) 0 y(B)1odyof以 y)dx (C)1 y0dy 0 f(x,y)dx(D)x 10dy0f(x,y)dx6. n階行列式中所有元素都是1,(A)n (B

16、)0(C)其值是(D)17 .對于n元線性方程組，當r(A) r(A) r時，它有無窮多組解，那么_.(A)r = n(B)r <n(C)r >n(D)無法確定8 .以下級數收斂的是(A) ( 1)n 1n 1n 13n(B)2nn 1 2(C)(1)n 1 口(D)n9 .正項級數Un和Vn滿足關系式UnVn，那么n 1n1(A)假設Un收斂，那么Vn收斂(B)假設Vn收斂，那么Un收斂n 1n 1n1n 1(C)假設Vn發散，那么Un發散(D)假設Un收斂，那么Vn發散n 1n 1n1n 110.：1 1x x2，那么一19的幕級數展開式為1 x1x(A)1 x2x4(B)1x

17、2x4(C)1x2x4(D)1 x2x4填空題：45201 數 z ,x2 y2 1 In(2 x2 y2)的定義域為 .2 假設 f(x,y) xy，那么 f(Y,1).x3 (xo, yo)是 f (x,y)的駐點，假設 fxx(xo,yo) 3, fyy(xo, yo) 12, fxy (xo,yo) a那么當時，(xo, yo) 定是極小點.4矩陣A為三階方陣，那么行列式3AA5 級數Un收斂的必要條件是 n 1三.計算題一 : 6 5 3O1.:z xy，求：，zxy2.計算二一重積分J4 x2 dD，其中D(x, y) | 0y 4x2,0 x 2.1 21，B =1 233.：X

18、B = A，其中 A =0 12 ，求未知矩陣X2 01O O 1xn4 求幕級數1n 1 x的收斂區間.n 1n5 求fx e x的麥克勞林展開式需指岀收斂區間四.計算題二:102201.求平面x 2 y +z=2和2 x +y z =4的交線的標準方程.x yz12.設方程組 x yz1，試問：分別為何值時，方程組無解、有唯一解、有無窮多組解x yz1參考答案5.A;6.B;7.B;8.C;9.B;1 O.D.二(x, y) |12 2x y2 2.yx四. 1解：yxy 1 xy ln yxy1.C;2.D;3.D;4.D;3.6 a 64.272odx5. lim un On2解：.4

19、 x2do 4 x2 4x2dy2 2o(4 x2)dx4xx3 21631273.解：B 11 1 0 2012 ,AB 124150 0 15 解：.因為exxn0 n!)，所以 ex 3 LXnx (,). non! non!4 解:R 1,當|x| 1時，級數收斂，當x=1時，得1 收斂,n 1n當x1時，得 12n 11發散，所以收斂區間為 1,1.n 1 nn 1 n1四.1解：.求直線的方向向量：S 12當 1,2 時,r(A) (A)3,有唯一解：x yj k21 i 3j 5k，求點:令 z=0,得y=0,x=2,即交點為(2,所以1 1交線的標準方程為:.乞二 y 1135

20、2解：11 11 1 11 1 1111A11 11 1 10 1 1 001 101 111 1 10 1 1 2 100 (1 )(2)1(1)當 2 時，r(A)2, (A)3,無解;x 1C11 C21時，rAA1,有無窮多組解：y qC1,C2為任意常數Z C2?高數?試卷5 下一、選擇題3分/題I-I- * f1、 a i j，b k，那么 a b ¥ * + ¥* -A0B i j c i j d i j2 22、空間直角坐標系中 x y 1表示A圓B圓面C圓柱面D球面sin xy3、 二元函數Z在0，0點處的極限是xA1B0C D不存在4、 交換積分次序后d

21、Xxf(x,y)dy=()01 11 1a dy 0 f(x,y)dxB dy 0 f (x,y)dx0x1 11yC dy f(x,y)dxD dy 0 f (x,y)dx0 05、二重積分的積分區域 D是x y 1,那么 dxdy ()DA2B1C0D46、 n階行列式中所有元素都是1,其值為()A0B1C nDn!7、 假設有矩陣 a32，b2 3，C3 3 ，以下可運算的式子是()A AC B CBc ABCd AB AC8、n元線性方程組，當r( A) r(A) r時有無窮多組解，那么()Ar=nBr<nCr>nD 無法確定9、在一秩為r的矩陣中，任r階子式()A必等于零B必不等于零C可以等于零，也可以不等于零D不會都不等于零10、正項級數un和vn滿足關系式un vn，那么()n 1n 1A假設Un收斂，那么Vn收斂B假設Vn收斂