1、第一章第一章 統計推斷準備統計推斷準備0.預備知識0.1 大數定律與中心極限定理闡明大量隨機現象平均結果的穩定性的一系列定理統稱大數定律，而研究獨立隨機變量的和的極限分布在什么條件下為正態分布的一類定理叫中心極限定理。0.1.1車貝雪夫不等式車貝雪夫不等式設隨機變量 有期望 和方差 ，則對任意 ，有2DPEED00.1.2大數定律大數定律定義：若 隨機變量序列，如果存在常數列 使得對任意的 有 成立，則稱隨機變量序列 服從大數定律.定理定理1（貝努里大數定律）（貝努里大數定律）設 是n重貝努里試驗中事件A出現的次數，又A在每次試驗中出現的概率為p（0p0，使有 則對任意的 ，有例1.： 設 為

2、獨立同分布的隨機變量序列，均服從參數為 的泊松分布 則定理定理3（辛欽大數定律）（辛欽大數定律）設 是一列獨立同分布的隨機變量，且數學期望存在，則對任意的 有12,.,.n ,1,2,.iDC i01111lim1nniiniiPEnn12,.,.n ,1,2,.iiEDi11lim1niniPn 12,.,.n 011lim1niniPan, 2 , 1,iCDaEii0.1.3.中心極限定理定理定理1（林德貝格（林德貝格-勒維定理）勒維定理）若 是獨立同分布的隨機變量序列，且 則隨機變量 ，其中 的分布函數 對一切x，有：即隨機變量 漸近地服從標準正態分布。定理定理2 2（德莫佛（德莫佛-

3、 -拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）設 是n重貝努里試驗中事件A出現的次數，而0p1是事件A在每次試驗中出現的概率，則 漸近的服從正態分布 ，其中q=1-p或2nnSnan12,.,.n 2,0,1,2,.kkEa Dk1nniiS nFx 2221limlimlim2txnnnnnnSnaFxPxPxedtnnn,N np npq221lim2txnnnpPxedtnpqn例2：有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3米，現從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少有30根短于3米的概率是多少？ 例3：某車間有200臺車床，獨立工作，開工率為0.6，開工時耗電各為1000瓦，問供電部門至

4、少要供給這個車間多少電力才能使99.9%的概率保證這個車間不會因為供電不足而影響生產。例 4 ： 一 加 法 器 ， 同 時 收 到 2 0 個 噪 聲 電 壓 設他們是相互獨立的，且在區間（0，10）上服從均勻分布的隨機變量，記 ，求,1,2,.,20kUk 2 01kkUU105P U 1基本概念1.1總體與樣本總體：研究對象的全體，記為X或 ，是指一個隨機變量。個體：組成總體的每個單元。樣本：就是n個相互獨立且與總體有相同概率分布的隨機變量 ，i=1，2，n，所組成的n維隨機變量樣本值：每一次具體的抽樣所得的數據就是n個隨機變量的值（樣本值）用小寫字母 表示。注注：樣本具有雙重性，即它本

5、身是隨機變量，但一經抽取便是一組確定的具體值。定義：若隨機變量 相互獨立且每個 ，i=1，2，n，與總體 有相同的概率分布，則稱隨機變量 為來自總體 的容量為n的簡單隨機樣本，稱 ，i=1，2，n為樣本的第i個分量。若 有分布密度 （或分布函數 ）則 稱 是來自總體 （或 ）的樣本.i12,.,n 12,.,nx xxiif x F x12,.,n f x F xn,21n,211.2統計量定義：設 為總體 的一個樣本， 為一個實值函數，如果T中 不包含任何未知參數，則稱 為一個統計量。統計量的分布稱為抽樣分布。例如：總體 ，a已知， 未知， 為 的一個樣本，則 是統計量，但 不是統計量。 1

6、.3順序統計量及經驗分布 1.3.1順序統計量 設 為總體， 的一個樣本，將其諸分量 ，i=1，2，n，按由小到大的次序重新排列為 ，即 ，稱 為總體的第k個順序統計量（次序統計量），特別 稱為最小項統計量， 為最大項統計量。12,.,n 12,.,nT x xx12( ,.,)nT 2,N a212,.,n 21niia11niii(1)(2)( )(,.,)n ,1,2,.,kkn(1)( )n12,.,n (1)(2)( ).n例1.5：設有一個總體，它以等概率取0，1，2三個值，現從此總體中取容量為2的一個樣本 ， 列出樣本 所有可能取值情況和相應的次序統計量 的情況。12,XX12,

7、XX),()2()1(XX1.3.2經驗分布由給定的樣本 定義一個函數，此函數的性質：（1）當樣本固定時，作為x的函數是一個階梯形的分布函數， 恰為樣本分量不大于x的頻率。（2）當x固定時，它是一個統計量，其分布由總體的分布所確定。 即 （二項分布） 稱 為總體對應于樣本 的經驗分布函數。)(),1()()1(, 1) 1,.,2 , 1(, 0)(nkknxnkxnkxxF12( ,.,)n *12,.,nnnFb n Fx 12( ,.,)n )(xFn)(xFn1.4常用的一些統計量1.4.1樣本的分位數 設 為總體， 為樣本， 為順序統計量，定義 稱 為樣本的 分位數。當 =1/2時，

8、稱 為樣本的中位數。（也用 表示） 例1.6：若 （1.5，2.0，4.0，0，8，3.5，9）， 則 ？ 1.4.2.樣本的極差 稱為樣本的極差 Fx12( ,.,)n (1)(2)( )(,.,)n *11111,1nnnnnnnnn *1/2em),.,(721),.,()7()2()1( 1nDn1.4.3樣本分量的秩若 ，則稱 的秩為j，記作 ，它表示樣本第 個分量 ，處于順序統計量中的位次。 1.4.4.樣本矩設 為總體 取出的容量為n的樣本，統計量 叫樣本均值；統計量 叫樣本方差（而稱 叫修正的樣本方差）；統計量 ，（r =1，2，）叫樣本的r階原點矩；統計量 ，（r =1，2，

9、）叫作樣本的r階中心矩。 kjkkrjkk12,.,n 11niin2211nniiSn22111niiSnnirirnB1)(1nirirnA1)(11.4.5二元總體的樣本矩設 為二元隨機變量， ， ， 為其樣本，稱 為 的邊際樣本方差； 為 的邊際樣本方差； 為樣本的協方差； 為樣本的相關系數。, 11, 22, ,nn 22111niiSn22211niiSn21211niiiSn1212SRS S2.常用統計量的抽樣分布2.1順序統計量的分布（次序統計量）2.1.1定義 設（ ）是來自總體 的一個樣本，（ ）是該樣本的一組觀察值，將它按由小到大的次序排列成 ，如果規定 的取值為 ，

10、k=1，2，n，則稱 為（ ）的一組次序統計量，而稱 為第k個次序統計量。（見 1.3.1） 2.1.2連續型總體次序統計量的分布（僅給出結論）定理定理2.1設總體 ， ， 為 的一個樣本，則第k個次序統計量 的概率密度函數為： 分布函數為： X12,.,nXXX(1)(2)().nxxx kx12,.,nx xx kX12,.,nXXX kX),()(,),2()1(nXXXX kX XF x f x 1!11 !kn kknfyF yF yfyknk 10!11 !F yn kkknFyuuduknk12,.,nXXX特別： 當k=1時，得樣本極小值 的分布密度與分布函數為： 當k=n時，

11、得樣本極大值 的分布密度與分布函數為：(1)X 111nfynFyfy 111nFyF y ( )nX 1nnfyn F yf y nnFyF y定理定理2.2 設總體X的分布函數為 ，概率密度函數為 ， 為X的一個樣本，則第k個次序統計量與 第r個次序統計量的聯合概率密度函數為（k45時，本書附表 中查不到，但可以利用注3求其近似值，即 由于 , 則： 例如：求 ， ， 所以 2n 2P Xn 222nnXnPnn2Xnn0,1N 22nnnU 22nnnU20.051200.050.05,1.645UU20.051201202 120 1.645145.53.2.2 t-分布定義：稱隨機變

12、量 有t-分布，自由度為n，如果它有密度函數定理定理3.4 設X ，Y ，且X與Y相互獨立， 則T= .定義： 的上側 分位數 ，即 注：注：當自由度 時， 的極限分布為標準正態分布 當n45時， 122121,2nnxf xxnnn 0,1N 2n /Xt nY n t n tnn t n tnU)()(ntdxxf3.2.3 F-分布定義：稱隨機變量 有F-分布，自由度為 ，如果它有密度定理定理3.5 設X ，Y 且X與Y相互獨立，則注：注：若X ，則1/X定義： 的上側 分位數 ，即 ，注：注： =1/,m n 22122,0,2 20,0mnmm nm nxnmxxm nf xBx 2

13、n 2m,F n m,F m n,F m n,Fm n ,Fm nfx dx1,Fm n,Fn m),(/),(/nmFnXmYmnFmYnX3.2.4 查表1. 標準正態分布表：2. 分布表：3. 分布表：4. 分布表：0.0250.050.11.96,1.645,1.28UUU t n0.0250.05152.1315,101.8125tt 2n220.0250.051527.488,1018.307,F m n0.10.050.0110,92.42,10,93.14,10,95.26FFF0.90.9990.10.001111128,20.4,10,100.1142,282.510,10

14、8.75FFFF3.3抽樣分布定理定理定理4.6（Fisher定理）定理）設總體 服從 ，為其子樣，子樣的平均值與方差，修正的樣本方差分別記為 與 及 ，則（1） ， （2） （3） 與 （或 ）獨立推論：推論：設總體 服從 ， 為其子樣，則2,N a12,.,n 2nS2S2,N an22222221111nniinSnSn2nS2S2,N a12,.,n 11naaTnnt nSS定理定理3.7 設 與 分別為取自 ， 的兩個樣本，且這兩個樣本獨立，則1. 2. 若 ，則其中，112,.,nXXX21,.,nYY211,N 222,N 1212121212221211222211XYn n

15、nnt nnnnnSnS12222212111211,11nniiiiSXXSYYnn) 1, 1(2121222221nnFSS定理定理3.8 （柯赫倫（柯赫倫cochran定理）（定理）（ 變量分解定理）變量分解定理）設總體 ， 為其子樣， 且 為秩為 的關于 的二次型， 則 ，l=1，k相互獨立，且 ，l=1，2，k例3.1：設總體 ， 為其子樣，試證： 與 相互獨立,且分別服從 ，20,1N12,.,n 211,1nkililQQknlQln12,.,n lQ 2ln1kllnn0,1N12,.,n 222112312231 323Q 22221231223131233Q 22 21l

16、Q4.總體分布的近似描述總體分布的近似描述 4.1格列汶科定理格列汶科定理 對任意實數x，當 時， 格里汶科定理表明：在幾乎處處的意義下，當n 充分大時，對x一致地有 F（x）非常接近。由此可見當n較大時，用經驗分布函數估計總體分布函數是合理有效的。n 10| )()(|suplimxFxFPnxn與)(xFn4.2 直方圖 對于連續型隨機變量，其分布函數或密度函數能完整地描述它的取值規律性，給出分布函數或密度函數是等價的。 直方圖能反映總體密度曲線的大致形狀。 設X的分布函數和密度函數分別用F(X),f(x)表示：當 很小時，有 表明：密度函數在x處的值f(x)近似等于隨機變量X落入含有x的

17、小區間的概率除以小區間的長度。 概率可以用頻率近似。 ,)()()()( )(limlim00 xxxXxPxxFxxFxFxfxx|x,)()(lim0 xxxXxPxfx 設來自X的樣本觀測值為 ， 考察其中每個值是否屬于 看作一次試驗，則 即f(x)與單位長度的頻率近似相等，稱單位長度的頻率為頻率密度。nxxx,.,21,(xxxxxxx,)(,.,21的頻率這組值中屬于區間（nxxxxf編制頻數分布表的一般步驟：1.計算極差：2.計算組距：組距=組上限-組下限3.確定組限：選a（略小于或等于 ， )1()(xxRn)1(x.,.,2 , 1),) 1(kiidadia例4.1 某廠生產

18、一種25瓦的白熾燈泡，其光通量（單位：流明）用X表示，從這批燈泡中抽取容量為60的樣本，進行觀察得光通量數據如下： 216 203 197 208 206 209 206 208 202 221 206 213 218 207 203 202 194 203 202 193 203 213 211 198 213 208 204 206 204 206 208 209 213 203 206 207 196 201 208 207 213 208 210 208 211 214 220 211 203 216 224 211 209 218 214 219 211 221 211 218試編制

19、頻數分布表，并繪制頻率密度直方圖。解. 1.極差：R=224-193=31 2.計算組距：d=31/7=4.43 3.確定組范圍： 190，195), 195，200), 200，205), 205，210), 210，215), 215，220), 220，225.5按光通量分組頻數分布表按光通量分組頻數頻率密度(%)190, 195)20.67195，200)31200，205)124205，210)196.3210，215)144.7215，220) 62220，22541.3合計60頻率密度直方圖 (P.18) 圖1.6頻率密度分布曲線圖 (P.19) 圖1.75.雜例例5.1：在總體 中隨機抽一容量為36的樣本，求樣本均值 落在50.8到53.8之間的概率。 例5.2：在總體 中取容量為5的樣本 ，（1）求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于1 的概率（2）求（3）求例5.3：求總體 的容量分別為10，15的兩個獨立樣本均值差的絕對值大于0.3的概率。 X12, 4N15,.,XX515PX 110PX20,3N)3 .