1、精選文檔 穩態導習題 1 固體內的一維導熱問題例1 具有均勻內熱源強度qv的無限大平壁處于穩態導熱，其厚度為2，導熱系數為常數，兩側壁溫各自均布，分別為 tw1和tw2，試求該平壁內的溫度分布表達式。解: 根據題意，x坐標的原點取平壁的中心線，描述該平壁內穩態導熱現象的微分方程式為： （1）邊界條件： x= -: t=tw1x= : t=tw2 （2）移項后積分該微分方程式兩次可得其通解 （3）代入邊界條件 （4） （5）式（4）+式（5） （6）式（4）式（5） （7）C1和C2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁內的溫度表達式 （8） 例2具有均勻內熱源qv的無限大平壁處于穩態導熱，其厚度

2、為2，導熱系數為常數，兩側壁溫各自均布且相同，均為tw，試求該平壁內的溫度分布表達式。解: 根據題意，導熱微分方程式同上題。由于兩側壁溫相同，是一種對稱情況，因此只需求解一半的求解域即可，x坐標的原點取平壁的中心線。描述該平壁內穩態溫度場的微分方程式為： （1）邊界條件：x=0: x=: （2）該微分方程式的通解為 （3）代入邊界條件 （4） （5）由式（4） (6)常數C1代入式（5） (7)常數C1和C2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁內的溫度表達式 (8)例3一錐臺如附圖所示，頂面和底面溫度各為均勻的tw1和tw2，側面覆有保溫材料。錐臺的導熱系數為常數.該錐臺橫截面的直徑隨坐標x的

3、變化規律為d=cx(c為常數)。設錐臺內的導熱為沿x方向的一維穩態導熱。試求：a. 通過錐臺的熱流量 b. 任意x處的熱流密度解: 錐臺頂面和底面的溫度已知，錐臺內無內熱源，側面絕熱，因此錐臺內沿x方向的熱流量為常數，導熱系數為常數,可用傅里葉定律直接積分求得。 根據傅里葉定律 （1）式（1）兩側分離變量并積分 （2）由于熱流量和導熱系數均為常數 （3） （4） （5）因此 （6）任意x處的熱流密度 （7）例4一無限大平壁處于穩態導熱，其厚度為，導熱系數可用線性函數關系式=o(1+ct)近似,其中o和c均為常數，兩側壁溫各自均布，分別為tw1和tw2，試求通過該平壁的熱流密度q。解:無限大平壁

4、兩側的溫度已知，平壁內無內熱源，因此沿與平壁垂直的x方向的熱流量或熱流密度q為常數，可用傅里葉定律直接積分求得。 根據傅里葉定律 （1）式（1）兩側分離變量并積分 （2） (3)因此 （4）例5一導熱系數為1=1.3 W/(m·K)，厚2 cm的無限大平壁，外覆蓋一層導熱系數2=0.35 W/(m·K)的保溫材料以減少熱損失。當組合壁的內、外表面溫度分別為1300 與30 時，欲使穩態導熱時熱損失不超過1830 W/m2，保溫材料的厚度應為多少？解：根據題意，各層壁內無內熱源，因此沿壁厚方向的熱流密度為常數。因此， m例6已知一半徑為r0的無限長圓柱體處于穩態導熱，它的導熱

5、系數為常數，內熱源強度qv為常數。圓柱體表面溫度均布為tw，試求圓柱體內的溫度分布。解:由于這是一種對于圓柱體中心線的對稱情況，因此只需求解一半的求解域即可，r坐標的原點取圓柱體的中心線。當導熱系數為常數時，描述該圓柱體內穩態溫度場的微分方程式為 （1）邊界條件：r=0: r=r0: （2）移項式（1） （3）式（3）兩側積分一次 （4）式（4）兩側除以r后再積分一次，可得該微分方程式的通解 （5）代入邊界條件 當r 0時，lnr，而圓柱體內的實際溫度是有限的，因此取C1=0時，該方程的解才符合實際情況。 （6） (7)常數C1和C2代入微分方程式的通解式（5）得到圓柱體內的溫度表達式 (8)

6、例7已知一直徑為r0的無限長圓柱體處于穩態導熱，它的導熱系數為常數，內熱源強度qv為常數。圓柱體表面浸在流體中。流體的溫度為tf ，液體和圓柱體間的對流換熱系數為h。試求圓柱體內溫度分布的表達式。解:根據題意，幾何條件，物理條件都同上題，可以從上題的公式（5）開始。 （5） 和上題，取C1=0并代入圓柱體表面的邊界條件。 （6）上題中式（2）可寫成 (7)因此 （8）常數C1和C2代入微分方程式的通解式（5）得到圓柱體內的溫度表達式 (9)討論：例題2.6和2.7的幾何條件和物理條件相同，但因邊界條件不同，因此解的形式完全不同。例8直徑為3mm的金屬絲的單位長度電阻為0.1/m，導熱系數=19

7、 W/(m·K)，浸在溫度為30 的液體中，液體和金屬絲間的對流換熱系數h=5.5 kW/（m2·K）。當100 A的電流通過該金屬絲時，試求金屬絲的中心溫度。解：根據能量守恒，電流通過金屬絲產生的熱量應等于金屬絲表面和液體之間的對流換熱量，因此可列出能量守恒方程I2R=hA(tw - tf) （1）式（1）中代入具體數值1002×0.1=5500××0.003×1×(tw -30) （2）因此可算得金屬絲表面溫度為 tw=49.3 （3）內熱源強度 MW/m3 （4）由解析習題2.6中式（8）計算出金屬絲中心(r=0)溫度

8、為 （5）例9蒸汽管道的外直徑為6 cm,管外覆蓋兩層保溫材料：第一層的厚度為1 cm，導熱系數1=0.14 W/(m·K)；第二層的厚度為2 cm，導熱系數2=0.042 W/(m·K)。蒸汽管道的外表面溫度tw1=300 , 保溫層外表面溫度為tw3=40 。試求穩態導熱時兩層保溫材料交界面的溫度tw2。解:多層壁的問題，采用熱阻計算。根據題意，各層壁內無內熱源，因此沿半徑方向的熱流量為常數。 （1）式（1）中消去 2l，并代入具體數值， （2）因此可求得兩層保溫材料交界面的溫度 tw2 =240.3 （3）例10已知一內外徑分別為r1和r2的圓球壁，它的密度和比熱容c

9、均為常數，無內熱源。兩側壁溫各自均布，分別為tw1和tw2。試求圓球壁穩態導熱時壁內溫度分布的表達式。解：根據題意，這是一種對于圓心的對稱情況， r坐標的原點取圓心。當導熱系數為常數時，描述該圓球壁內穩態溫度場的微分方程式為 （1）邊界條件： r=r1: t=tw1 r=r2: t=tw2 (2)式（1）兩側積分一次 （3）式（3）兩側再積分一次，可得該微分方程式的通解 （4）代入邊界條件 (5) (6)式（5）式（6） （7）式（7）代入式（5） （8）常數C1和C2代入微分方程式的通解式（4）得到壁內的溫度表達式 （9） 例11玻璃液柱式溫度計插入一焊在氣體管道的鋼制細長套管內測定管道內的

10、氣體溫度。為了增強溫度計和套管間的傳熱，減少測溫誤差，套管內灌入機油。溫度計的指示溫度為200 ，氣體管道壁溫為80 。鋼制套管長8 cm,直徑為1.5 cm,壁厚為1 mm，導熱系數約為40W/(m2·K)。氣體與套管外表面間的對流換熱系數為100 W/(m2·K)。試求氣體的實際溫度。解：若忽略溫度計和套管底面間的熱阻，溫度計的指示溫度可視為為套管底面的溫度。忽略溫度計玻璃柱和機油的導熱，套管可視為空心等截面直肋。求解時按絕熱肋端邊界條件加上長度修正，可簡化計算過程。 m2 (1) m (2)因此 m-1 (3)mlc=51.73×(0.08+0.015/4)

11、=4.332 (4)查得 ch(mlc)=ch(4.332)=38.05 (5) (6) (7) (8)討論：由肋片的傳熱分析可知，套管底面的溫度和流體之間會有溫差，即由于套管的導熱而引起的溫度測量誤差，增加套管的長度和適當改變m中的幾個參數可以降低這一誤差。 例12 某空氣壓縮機的氣缸套有環狀的鑄鋁肋片以加強散熱。該肋片厚6 mm，內外徑分別為r0 =50 mm和rl =90 mm。肋片根部的溫度為70 ，鑄鋁的導熱系數=150 W/(m·K)，周圍空氣溫度為20 。由于風扇的冷卻，空氣和肋片間的對流換熱系數h=60 W/（m2·K）。試求每片肋片的散熱量。解：根據該肋片

12、的幾何形狀，需要通過查圖計算出肋片效率f后才能計算出散熱量。按照相應的圖上的公式計算如下：lc=l+/2=0.023 m (1)rlc= rl+/2= r0+lc =0.048 m (2) rlc/ro =1.92 (3) Am =lc=1.38×10-4 m2 (4) (5)查圖可得肋片效率 f =0.95 (6)由于每片肋片有上下兩個表面 =60×2×（0.0482-0.0252）×（7020）=31.65 W (7)因此 =fo=0.95×31.65=30.1 W (8) 例13兩根很長的直徑為5 mm的鋁條焊在一起。焊接時周圍空氣溫度為10 ，鋁條與空氣之間的對流換熱系數h=15 W/(m2·K)。若焊點處的溫度為250 ，確定焊點處的加熱量。解: 鋁條的導熱系數取=203.5 W/