1、實驗三 用雙線性變換法設計IIR濾波器一、實驗目的 1、了解兩種工程上最常用的變換方法：脈沖響應不變法和雙線性變換法。 2、掌握雙線性變換法設計IIR濾波器的原理及具體設計方法，熟悉雙線性法設計低通、帶通和高通IIR濾波器的計算機程序。 3、觀察用雙線性變換法設計的濾波器的品與特性，并與脈沖響應不變法相比較，了解雙線性變換法的特點。 4、熟悉用雙線性變換法涉及數字Butterworth和Chebyshev濾波器的全過程。 5、了解多項式呈幾何多項式乘方運算的計算機變成方法。2、 實驗原理與方法從模擬濾波器設計IIR數字濾波器具有四種方法：微分差分變換法、脈沖響應不變法、雙線性變換法、匹配Z變換

2、法：在工程上常用的是其中兩種：脈沖響應不變法、雙線性變換法。脈沖響應不變法需要經歷如下步驟：由已知系統傳輸函數計算系統沖激響應：對進行等間隔取樣得到,由獲得數字濾波器的系統響應。這種方法非常直觀，其算法宗旨是保證所設計的IIR濾波器的脈沖響應和響應模擬濾波器的沖激響應在采樣個點上完全一致。而雙線性變換法的設計準則是使數字濾波器的頻率響應與參考模擬濾波器的頻率響應相似。脈沖響應不變法一個重要的特點是頻率坐標的變換式現行的，其缺點是有頻譜的周期延拓效應，存在頻譜混淆的現象。為了克服脈沖響應不變法可能產生的頻譜混淆，提出了雙線性變換法，它依靠雙線性變換式： 其中，建立起s平面和z平面的單值映射關系，

3、數字頻域和模擬頻域之間的關系： （31）由上面的關系式可知,當時，w中止在折疊頻率處，整個周單值的對應于單位圓的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖響應不變法，不存在頻譜混淆的問題。從式（31）還可以看出，兩者的頻率不是線性關系。這種非線性關系似的通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率的相對位置都發生了非線性畸變。這種頻率的畸變可以通過預畸來矯正。用雙線性變換法設計數字濾波器時，一般總是先將數字濾波器的各臨界頻率經過式（31）的頻率預畸，球的響應參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設計參考模擬濾波器的傳遞參數，最后通過雙線性變換式求得數字濾波器的傳遞函數。這樣通過雙線性變換，正好將這些頻率點映射到我們所需要的

4、位置上。參考模擬濾波器的設計，可以按照一般模擬濾波器的設計方法，利用已經成熟的一整套計算公式和大量的歸一化設計表格和曲線，這些公式、表格主要是用于歸一化低通原型的。通過原型變換，可以完成實際的低通、帶通和高通濾波器的設計。在用雙線性變換法設計濾波器的過程中，我們業可以通過原型變換，直接求得歸一化參考模擬濾波器原型參數，從而使得設計更加簡化。下表是IIR低通、帶通、高通濾波器設計雙線性原型變換公式的總結。變換模型變換關系式參考模擬原型頻率確定備注低通變換s=：模擬頻率T：采樣周期、：帶通的上下邊帶臨界頻率高通變換s=帶通變換s=在本實驗中，我們只涉及Butterworth和Chebyshev種濾

5、波器的設計，相應的這兩種參考濾波器的設計公式如下表類型巴特沃斯切比雪夫階數N=傳遞函數有關參數3db頻率波紋系數備注通帶臨界頻率及衰減，阻帶臨界頻率及衰減綜上所述，以巴特沃斯低通數字濾波器設計為例，可以將雙向法設計濾波器的步驟歸納如下：1、 確定數字濾波器的性能指標。這些指標包括：通帶、阻帶臨界頻率、；通帶內的最大衰減；阻帶內的最小衰減；采樣周期T。2、 確定相應的數字頻率，。3、 計算經過頻率預畸的相應參考模擬低通原型的頻率。4、 計算低通原型階數N，計算3db歸一化頻率，從而求得低通原型的傳遞函數。5、 用上表中所列變換公式，代入，求得數字濾波器傳遞函數=。6、 分析濾波器頻域特性，檢查其

6、指標是否滿足要求。三、實驗內容及步驟（一）編制實驗用主程序及子程序1、實驗前復習數字信號處理課程中濾波器設計有關內容的知識，認真閱讀本實驗的原理部分，讀懂濾波器相關算法。2、編制一個雙線性變換法設計IIR數字Butterworth和Chebyshev濾波器的通用程序。采樣周期、通帶和阻帶臨界頻率以及相應的衰減等參數在程序運行時輸入；根據這些輸入參數，計算階數N、傳遞函數；輸出分子分母系數；繪制幅頻特性曲線，繪制點數為50，（0）。（二）上機實驗內容1、采樣頻率為1HZ，設計一個Chebyshev高通數字濾波器其中通帶臨界頻率fp=0.3HZ,通帶內衰減小于0.8db(=0.8db),阻帶臨界頻

7、率fs=0.2HZ,阻帶內衰減大于20db(=20db)。求這個數字濾波器的傳遞函數H(z)，輸出它的幅頻特性，觀察其通帶衰減和阻帶衰減是否滿足要求。高通數字濾波器的設計>> f=1; fp=3/10; fs=2/10; Rp=0.8; Rs=20;>> n,Wn=cheb1ord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs);>> b,a=cheby1(n,Rp,Wn,'high');>> freqz(b,a,512,1)b =0.0262 -0.1047 0.1570 -0.1047 0.0262a =1.0000 1.5289

8、1.6537 0.9452 0.2796n =4 Wn =0.60002、采樣頻率為1HZ，設計一個數字低通濾波器，要求其通帶臨界頻率fp=0.2HZ，通帶內衰減小于1db(),阻帶臨界頻率fs=0.3HZ,阻帶內衰減25db()。求這個數字濾波器的傳遞函數H(z)，輸出它的幅頻特性曲線。低通數字濾波器的設計>> f=1; fp=2/10; fs=3/10; Rp=1; Rs=25;>> n,Wn=cheb1ord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs);>> b,a=cheby1(n,Rp,Wn);>> freqz(b,a,512,1) ;

9、b,a,n,Wn;b = 0.0243 0.0970 0.1456 0.0970 0.0243a = 1.0000 -1.5977 1.7459 -1.0200 0.3074n = 4Wn = 0.40003、設計butterworth帶通數字濾波器，其上下邊帶1db處的通帶臨界頻率分別為20kHz和30kHz(fp1=20kHz,fp2=30kHz,)，當頻率低于15kHz時，衰減要大于40db(fs=15kHz,),采樣周期為10，求這個數字濾波器的傳遞函數H(z)，輸出它的幅頻特性曲線，觀察其通帶衰減和阻帶衰減是否滿足要求。帶通數字濾波器的設計>> f=105; fs=150

10、00,35000; fp=20000,30000; Rs=40; Rp=1;>> n,Wn=buttord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs);>> b,a=butter(n,Wn);>> freqz(b,a,512,1);>> b,a,n,Wnb = 0.0002 0 -0.0014 0 0.0042 0 -0.0071 0 0.0071 0 -0.0042 0 0.0014 0 -0.0002a = 1.0000 -0.0000 3.7738 -0.0000 6.5614 0.0000 6.6518 0.0000 4.2030 0.0000 1.6437 0.0000 0.3666 0.0000 0.0359n = 7Wn = 0.3854 0.6146四思考題雙線性變換和脈沖響應不變法相比較。有哪些優點和缺點？為什么？答：雙線性變換：主要優點是s平面與z平面式單值的一一對應關系。整個j軸是單值的對應于單位圓一周，即=tg(。當時，終止于折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現象。但雙線性變換法的優點是靠頻譜的嚴重非線性關系而得到的，這種與的非線性關系使數字濾波器與模擬濾波器在響應與頻率的對應關系上發生畸變。例如，