1、（1）如圖1所示，一個小環同時套在兩根細棒上，求其速度。解：根據伽利略變換，有：于是：下略。（2）如圖2所示，一個質量為m的物體通過一根質量可以不計的繩子繞水平棒1.25周后于另一端加一水平力F。若繩子和棒間的靜摩擦系數為，要使物體保持靜止，F應多大？解：對一小段繩元做受力分析，臨界情況下有：其中“”“”取決于繩子的運動趨勢。下略。（3）某人觀察到一個空間站始終停留在地球同一點的垂直上空。問此空間站的軌道如何？地球半徑是6371km。解：空間站的一般軌道是以地球為一個焦點的橢圓。現在它始終停留在地球同一點的垂直上空，意味著其軌道只能是地球赤道上空的圓，且其角速度與地球自轉速度相等。下略。（4）

2、一個質點從靜止開始在如圖3軌道滑下，在某處開始脫離軌道。說明脫離軌道的位置，并計算發生這種情況的h的最小值。解：脫離軌道意味著軌道提供的支持力為零。顯然從出發點一直到A點都不可能。如果A點處也未脫離軌道，則從A到B，質點速率減小，但重力沿軌道徑向的分量增大，故質點不會脫離軌道；至于B點的右半圓弧段，質點的運動情形完全與AB段對稱，故質點也不會脫離軌道。因此，就已知軌道而言，唯一可脫離處即A點。于是：（5）水從5m高處以每分鐘60kg的速率注入靜放在地上的桶中，桶的質量為12kg。求水注入1分鐘時桶受到地面的作用力。解：地面對桶的作用力的大小等于桶對地面的壓力，為桶中水的重量與剛落下的水的沖力之

3、和。其中后者大小等于桶中水對剛落下的水的沖力。根據動量定理：下略。（6）如圖4所示，一個人想用把桿子打在巖石上的方法折斷桿子。他握住一端，讓桿子繞腕轉動打在巖石上。如何盡量減少對手的沖擊？重力可忽略。解：為減少對手的沖擊，桿子應當停止運動并折斷。希望手的平均受力為零。故若設擊打點距手，則根據動量定理和角動量定理：（7）如圖5所示，物體以一根不可伸長的繩子繞在均質滑輪上，繩子另一端固定在輪上。求物體在下落時繩中的張力。解：注：此類問題也可以將視為整體，有：（9）一均質球m以初速v沿水平窄道拋出，開始時為純滑動，與地板的摩擦系數為。求球開始作純滾動時的速度。解：方法一：球在運動過程中對球與窄道的接

4、觸點角動量守恒：純滾動條件：解得：方法二：根據質心運動定理和角動量定理：下略。（10）如圖6所示，一質量為m的質點以垂直于原靜止的均質細桿的速度v在桿端與桿做彈性碰撞后靜止。求細桿的質量。解：以為系統，根據動量守恒，有：根據動能守恒、柯尼希定理（P186），有：還有角動量守恒。考慮到桿的對稱性，選取質心計算比較方便：下略。（11）一個速度為v的航天旅行者和地球上的朋友在出發時均將鐘調為0。地球上的朋友同時觀察兩個鐘。問當旅行者的鐘讀數為1小時時，本地鐘的讀數是多少？解：建議采用洛倫茲變換。方法一：當旅行者的鐘指向1小時時，其時空坐標為：由洛倫茲變換，得：地球上的朋友要看到指針，需要其光傳到地球

5、：此時地球上的鐘的讀數為：方法二：旅行者的鐘固定在運動的參照系，為固有時間。根據動鐘變慢，得此時地球上的鐘指向：在此時間內，旅行者認為地球運動的距離為：下面從兩個角度討論：（1）這一距離是在旅行者參照系時鐘指向1小時的同一時刻確定下來的。根據動尺收縮，知其固有長度為：該固有長度即地球上的人認為此時旅行者距地球的距離。光信號飛越此距離所需時間為：下略。（2）旅行者認為其時鐘指針發出的光到達地球需時：他判斷這兩個事件（指針發光和到達地球）的時間間隔，始終是觀察固定在身邊的鐘，即此時間為固有時。根據動鐘變緩，此時地球上的鐘又走了：下略。（12）靜長L的車廂以v運動，從車廂后端A發出光，經前端B的平面鏡反射回A。問車廂上的人和地面上的人看來，兩過程各耗時多少？解：建議采用洛倫茲變換。方法一：從A到B，車廂參照系時空坐標變化為：根據洛倫茲逆變換，地球參照系時空坐標變化為：注：也可由光速不變原理，得從B到A，車廂參照系時空坐標變化為：根據洛倫茲逆變換，地球參照系時空坐標變化為：從A到B再返回A，車廂參照系認為需時：該時間