1、用函數的觀點看方程與不等式教學設計觀美中學張少青函數和方程，函數與不等式，它們是幾個不同的概念，但它們之間有著密切的聯系，一個函數若有解析表達式，那么這個表達式就可看成是一個方程；一個二元方程，兩個變量存在著對應關系，如果這個對應關系是函數，那么這個方程可以看成是一個函數。許多有關方程、不等式的問題可以用函數的方法解決；反之，許多有關函數的問題也可以用方程和不等式的方法解決，用函數的觀點看方程與不等式，是學生應該學會的一種思想方法。【教學目標】1、理解一次函數與一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組的關系，會根據一次函數的圖象解決方程與不等式的求解問題。2、學習用函數的觀點看待方程與不等

2、式的方法，初步感受用全面的觀點處理局部問題的思想。3、經歷方程和不等式與函數關系問題的探究過程，學習用聯系的觀點看待數學問題的辨證思想。【教學重點】一次函數與一元一次方程、一元一次不等式、方程組的關系的理解。【教學難點】對應關系的理解及實際問題的探究建模。【教學過程】一、創設情境同學們，你們熟悉龜兔賽跑的故事嗎？（請一學生簡述）請看屏幕，從圖象上看出這是幾百米賽跑？表示兔子的圖象是哪一條？兔子什么時候開始睡覺？什么時候烏龜追上了兔子？由兩條直線的交點坐標來確定相應的兩個解析式組成的方程組的解，實際上，一次函數是兩個變量之間符合一定關系的一種互相對應，互相依存。它與我們以前學過的一元一次方程，一

3、元一次不等式，二元一次方程組有著必然的聯系。今天我們將研究用函數的觀點看方程與不等式。（設計意圖；一、以學生熟悉的龜兔賽跑故事引入，然后用函數圖象形象說明了它們賽跑的過程，把一次函數與學生之間的距離拉近了。二、點明學習本節內容的必要性：（1）函數與方程、方程組、不等式有著必然的聯系；（2）用函數的觀點看待方程、方程組、不等式是我們學數學應該掌握的思想方法。）二、探討1、我們先來看下面的兩個問題有什么關系：（1）解方程2x+20=0.（2）當自變量為何值時，函數y=2x+20的值為零？問：對于2x+20=0和y=2x+20，從形式上看，有什么相同和不同的地方？從問題的本質上看，（1）和（2）有什

4、么關系？作出直線y=2x+20，看看（1）與（2）是怎樣的一種關系？（設計意圖：用具體的問題作對比，幫助學生理解；讓學生在探究過程中理解兩個問題的同一性。）揭示歸納：（1）和（2）實際上是同一個問題。由于任何一元一次方程都可以轉化為ax+b=0（a、b為常數，a*0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值，從圖象上看，這相當于已知直線y=ax+b,確定它與x軸交點的橫坐標的值。2、以下兩個問題是不是同一個問題？（1）解不等式：2x-4>0（2）當x為何值時，函數y=2x-4的值大于0?問題：你如何利用圖象來說明（2）？（3） “解不等式2x-4

5、<0”可以與怎樣的一次函數問題是同一的？怎樣在圖象上加以說明？（設計意圖：當y取值從等于0變成了大于0，響應的x值也由一個值變成了一個范圍；如何從圖象上看，對學生來說需要思維的跳躍，這里安排（3）是及時的，使學生對y<0時x值的確定有進一步的理解。）歸納：由于任何一元一次不等式都可以轉化為ax+b>0或ax+b<0（a、b為常數，aw0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大(小)于0時，求自變量相應的取值范圍。三、試試1、以下的兩個問題是同一個問題廳P方程或不等式問題一次函數問題1解方程7x+5=02當x為何值時，函數y=3x-6的值大(小)于0?32、

6、作出函數的y=-2x-5的圖象，觀察圖象回答下列問題:(1) x取何值時，-2x-5=0?(2) x取何值時，-2x-5>0?(3) x取何值時，-2x-5<0?(4) x取何值時，2x5<3?四、應用1、用畫函數的方法解不等式5x+4<2x+10解法1:原不等式化為3x-6<0,畫出直線y=3x-6,可以看出，當x<2時這條直線上的點在x軸的下方，即這時y=3x-6<0,所以不等式的解集為x<2.解法2:將原不等式的兩邊分別看作兩個一次函數，畫出直線y=5x+4與直線y=2x+10,可以看出，它們交點的橫坐標為2,當x<2時，對于同一個x

7、,直線y=5x+4的點在直線y=2x+10上相應點的下方，這是5x+4<2x+10,所以不等式的解集為x<2.強調：雖然像上面用一次函數圖象來解方程或不等式未必簡單，但是從函數角度看問題，能發現一次函數、一元一次方程與一元一次不等式之間的聯系，能直觀地看到怎樣用圖形來表示方程的解與不等式的解，這種用函數觀點認識問題的方法，對于繼續學習數學很重要。2、一家電信公司給顧客提供兩種上網收費方式：方式A以每分0.1元的價格按上網時間計費；方式B除收月基費20元外再以每分0.05元的價格按上網時問計費。如何選擇收費方式能使上網者更合算？分析：計費與上網時間有關，所以可設上網時間為x分，分別寫

8、出兩種計費方式的函數模型，然后再做比較。你能用兩種方法解決嗎？（設計說明：本例不僅僅是一次函數與二元一次方程組的關系的應用，而且，涉及到數學建模及一次函數與方程不等式之間的關系等問題，是本節內容的集中體現，是對一次函數與方程不等式關系的綜合應用。）3、新龜兔賽跑：兔子失敗后吸取了教訓，分析了失敗的原因是因為自己太輕敵，太驕傲了，準備爭口氣回來。這次舉行的是100米賽跑，兔子讓烏龜先跑30米，然后自己才開始跑，已知烏龜每分鐘跑10米，兔子每分鐘跑15米，（列出函數關系式，作出函數圖象，觀察函數圖象）回答下列問題：（1）何時烏龜跑在兔子前面？（2）何時兔子跑在烏龜前面？（3）兔子是否能追上烏龜？什么時候？（4）誰先跑過