1、第二章 變分原理變分原理是力學分析中重要數學工具之一，能量法、有限元法、加權殘值法等力學方法都是以變分原理為數學工具的。變分法的早期思想是Johann Bernoulli在1696年以公開信的方式提出最速降線命題，并在1697年進行了解決。關于變分法的一般理論是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，我們稱之為Euler-Lagrange變分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利學者Castigor提出了最小功原理。德國學者Hellinger于1914年發表了有關不完全廣義變分原理，后來美國學者Reissner發表了與Hellinger相類似的工

2、作，此工作被稱之為Hellinger-Reissner變分原理。我國學者錢令希于1950年發表“余能原理”論文。我國學者胡海昌于1954年發表了有關廣義變分原理的論文，日本學者鷲津久一郎(Washizu)于1955年發表了與有胡海昌相類似的工作，此工作被稱之為胡-鷲變分原理。1956年Biot建立了熱彈性力學變分原理。1964年錢偉長提出用Lagranger乘子構造廣義 分原理的方法。1964年Gurtin提出了線彈性動力學變分原理。1967年意大利學者Tonti提出了四類變量的廣義變分原理，在這類變分原理中，位移、應變、應力及Beltrami應力函數都是變分變量。§ 2.1 歷史上

3、著名的變分法命題歷史上有三個著名的變分法命題，即最速降線問題、短程線線問題和等周問題。這三個命題的提出和解決推動了變分法的發展。1、最速降線命題1695年，Bernoulli以公開信方式提出了最速降線命題。如圖2-1所示，設有不在同一垂線上的A、B兩點，在此兩點間連一曲線，有一重物沿此曲線下滑，忽略各種阻力的理想情況，什么曲線能使重物沿曲線AB光滑下滑的時間最短。設A點與坐標原點O重合，B點的坐標為(x1,y1)，滑體質量為m，從O點下滑至P點時的速度為v，根據能量恒原理，有： (2-1)用s表示弧長，則沿弧切向方向的速度為： 圖2-1 最速降線圖 (2-2)曲線弧長為： (2-3)于是，時間

4、為： (2-4)下降時間為： (2-5)經過求解，最速降線為圓滾線，其參數方程為： (2-6)2、短程線命題設是如圖2-2所示的曲面，在此曲面上有A、B兩點，試問如何連接可使此曲面上A、B兩點間的距離最短。設A點的坐標為、B點的坐標為，在曲面上A、B兩點的曲線長度為： (2-7)其中，是滿足曲面的約束條件。 3、等周命題等周命題為在長度一定的閉合曲線中，什么曲線圍成的面積最大。 圖2-2 短程線設所給曲線的參數方程為，因這條曲線是封閉的，在這條曲線的始端和末端，有。該曲線周長為： (2-8)由于該曲線封，根據格林公式： (2-9)該曲線所圍成的面積為： (2-10)于是等周問題可以歸納為在滿足

5、和式(2-8)條件下，從所有可能函數中選擇一對函數使面積最大。§ 2.2 泛函的概念 在函數論中，自變量對應著另一變量，則變量稱為自變量的函數。假如自變函數對應著另一個函數，則稱為泛函。函數是變量與變量之間的關系，泛函是變量與函數之間的關系。泛函是函數的函數，是函數的廣義函數。通過微分學和變分學對比，可理解變分特性。2.2.1 微分和變分函數的自變量的增量是=-，當是獨立變量時，的微分等于的增量，即；泛函的自變函數c的增量在它很小時稱為變分，用或簡單地用表示。變分等于與跟它相接近、并通過邊界的另一個函數之差，即=-。特別指出的是，變分不是常值，而是通過邊界條件的函數。兩個自變函數相接

6、近的意義可有不同的理解，最簡單的理解是在任意值上和之差很小，即：- (2-11)這種接近稱零階接近度，如圖2-3所示。很明顯，這時之差不一定是微量。如果滿足零階接近，同時滿足自變函數的斜率也很接近，即： (2-12)這種接近稱一階接近度，如圖2-4所示。圖 2-3 零階接近度 圖2-4 一階接近度依次類推，階接近度要求零階至階導數之差都很小。 (2-14)接近度越高，兩條曲線亦越接近。2.2.2 函數的微分和泛函的變分 函數的微分有兩個定義。一個是通常的定義，即函數的增量定義為： (2-15)可展開為的線性項和非線性項之和，即 (2-16)其中線性項和無關，與有關，是高次項，當時，此時可稱是可

7、微，相應有： (2-17)也可以說，對于可微函數，函數的微分是函數增量的主部分，即線性項。函數的第二定義是設是為一小參數，將對求導數，即 (2-18)當趨近于零時 (2-19)這就說明，在=0處對的導數等于在處的微分。稱為拉格朗日乘子，此法稱為拉格朗日乘子法。泛函的變分也有類似的兩個定義。第一個定義：自變函數的變分所引起的泛函的增量，即： (2-20)類似地，其可展開為線性項和非線性項 (2-21)其中L是對的線性泛函項，而是非線性泛函項，是的同階或高階微量，當時，同時也趨近于零，這時泛函的增量等于的線性部分，叫做泛函的變分，用來表示。 (2-22)所以泛函的變分是泛函增量的主部，而且這個主部

8、對于函數變分來說是線性的。第二個定義：泛函變分是對在處的示導值。泛函的增量用微小參數表示為： (2-23)因為泛函導數是對的導數在=0時的值，于是有 (2-24)因為線性項對是線性的，故 (2-25)并且當時，得 (2-26)由此得拉格朗日的泛函變分定義為 (2-27)2.2.2 變分運算規則 自變函數的變分是的函數，于是可以用求導數 (2-28)即 (2-29)因此，變分和導數的運算可換，變分的導數等于導數的變分。同理有： (2-30)其它運算規則如下： (2-31)2.2.3 極大極小極值問題與函數的極大、極小問題相類似，泛函也有極大、極小問題。如果任何一條接近的曲線的泛函值不大（或不小）

9、于的泛函，即，則泛函在曲線上達到極大（或極小）值，而且在上泛函的一階變分等于零 =0 (2-32)因為函數接近度有零階和高階之分，所以變分分為強變分和弱變分。對于的零階接近度的變分稱為強變分，這樣得到的極值叫強極值。如果是一階接近度，即 (2-33)則把這類變分稱弱變分，所得到極值稱為弱極值。和微分的極值條件一樣，一階變分等于零的條件=0只是存在極值（或駐值）的必要條件，而不是充分條件，只有兩階變分才能確定極大或極小。§2.3 泛函極值問題的歐拉方程變分的早期工作是把泛函極值問題化為微分方程問題，即歐拉-拉格朗日方程。求泛函 (2-34)在邊界條件下的極值。設正確解為，為接近的任意函

10、數，則 (2-35)其中為滿足邊界條件式的接近于的變分，顯然在邊界上等于零，即 (2-36)泛函增量為 (2-38)根據泰勒級數展開，有 (2-38)令 (2-39) ： ： ：這時式（1.3.6）可以寫成 (2-40)其中，稱為一階變分，二階變分等。根據式(2-34)的泛函極值條件，=0，即 =0 (2-41)關于泛函的一階變分式(2-39)或式(2-41)可由導數的概念獲得。令F(x,y,z)是自變量x,y,z的函數,則其全導數為 (2-42)令泛函 是函數的函數。假如F不僅與有關，同時與其導數有關，這時泛函一階變分自變函數可視為和其導數的函數。因此可以把微分符號d用變分符號來代替，而，因

11、泛函的變分只與和的變分有關，故泛函變分為 (2-43)假如泛函含有，則 (2-44)對式（2-42）的第二項進行分部積分，得 (2-45)把上式代入式(2-42)中，得 (2-46)上式第二項是邊界條件式，當給定邊界條件情況下在和處，（式（1.3.5），即第二項等于零，這個邊界條件稱為基本邊界條件。當沒有給定基本邊界條件時在和處處可能不等于零，則=0的條件必須要求在邊界處，這一邊界條件稱為自然邊界條件。今后將看到彈性力學問題的基本邊界條件為位移（包括轉角），自然邊界條件為力（包括彎矩）。式(2-46)的第一項中是的函數，它不能等于零，故=0的條件是 (2-47)這個方程稱為歐拉方程，就是說，泛

12、函極值的積分方程轉換成歐拉方程微分方程。這是1744年歐拉提出的著名方程，后來拉格朗日用拉格朗日法簡捷地得到相同結果（1755年），所以這個方程又稱為歐拉-拉格朗日方程。應當指出，假如原來的泛函的積分方程含有一階導數，則歐拉方程將含有更高一階導數。歐拉方程式(2-47)是泛函極值的條件式。為判定所得解為極大還是極小，需要考慮二階變分的符號。因所得的解已滿足=0，由式（1.3.9） (2-48)因此，若對于任意有>0，則解使為極小，反之極大。假如泛函還含有兩階導數，則其泛函數為 (2-49)端點上的邊界條件為 (2-50)根據式(2-46)，一階變分 (2-51)和前面推導一樣，上式的第二

13、項進行一次分部積分，第三項進行兩次分部積分，并考慮邊界條件，得歐拉方程 (2-52)這一歐拉方程與式(2-47)比校，上式多一個全微分項，它是(2-51)的第三項進行兩次分部積分時得到的。同理含n階導數的泛函極值的歐拉方程為 (2-53)這是函數的2n階微分方程，稱為歐拉-柏桑方程，未知常數是2n個，由2n個邊界條件確定。例1 連接兩點的最短曲線長度 根據數學理論，兩點間曲線長度用積分表示為： 泛函只含有，其歐拉方程為 其通解為 其中是由邊界條件的兩點、確定，最后得 顯然，其解是連接兩點的直線。由式（1.3.8b）知 因此，泛函是最小值。例2 Winkler基礎上初等梁的微分方程Winkler

14、基礎上初等梁的總勢能為：根據歐拉方程，知Winkler基礎上初等梁的控制方程為： （1.3.19）例3 雙參數地基上初等梁的微分方程雙參數地基上初等梁的總勢能為：例4 雙參數地基上Timoshenko梁的微分方程 §2.3 多維問題泛函及其極值問題2.3.1含有一階導數的二維、三維泛函 (2-54)自變函數是，的函數，它在邊界c上已知。為簡便，引進符號 (2-55)顯然，式（1.4.1）的一階變分可寫為 (2-56)上式右第二式用附錄A公式（A.4）格林公式進行分部積分，得 (2-57)同理，第三式也用格林公式，代入式（1.4.3）中，并考慮到在邊界上=0，得 (2-58)由此得歐拉

15、方程為 (2-59)上式稱為奧斯特羅格拉斯基公式同理，三維問題泛函式 (2-60)的歐拉方程為 (2-61)和一維問題歐拉方程式（1.3.15）相比校，二維和三維問題歐拉方程式（1.4.4）和（1.4.5）各自增加了第三項和第四項，它們的公式結構與一維問題完全相同。應當特別注意的是，多維積分的分部積分過程中采用附錄A的格林公式，它對計算力學發展起了重要作用，它的貢獻在于使高維變低維，高階變分變為一階變分，在以后的有關章節詳述。2.3.2含有兩階導數的二維、三維泛函 (2-62)的一階變分為 (2-63)其歐拉方程為 (2-64)上式中函數和它的導數是，的函數。同理，三維情況的泛函 (2-65)

16、其歐拉方程為 (2-66)上式中自變函數和它的導數是，z的函數。2.3.3與時間和空間有關的泛函 (2-67)其歐拉方程為 (2-68)上式中，自變函數和它的導數是，t的函數。以上都是含有一個自變函數的情況。2.3.4 含有n個自變函數的泛函現有n個自變函數，其泛函式為 (2-69)其一階變分為 (2-70)歐拉方程為 (2-71)上式與式（1.3.5）的歐拉方程完全一致，只是 代替，并且式(1.4.9)是n個聯立方程。含有高階導數的多維問題n個自變函數的表達式與式（1.4.4）（1.4.7）完全一致，但是它是聯立方程。例1求下列泛函的歐拉方程 上式含有和，故由(2-61),得 或 顯然，這是

17、在流體、電磁場及熱場中常用到的拉普拉斯方程。例2 求下列泛函的歐拉方程 上式含有和的泛函，由式（2-61）得歐拉方程 這是薄板彎曲微分方程式。例3 多質點系的拉格朗日方程 理論力學中的拉格朗日方程，可以由式（2-71）得到。自變量用時間t代替，自變函數用廣義坐標代替，用時間的導數代替，則 根據式（2-71）泛函極值的歐拉方程為 這就是著名的拉格朗日方程，這里L稱為拉格朗日函數，它由動能T和位能U組成 L=T-U (1.4.11)泛函式的極值條件又可以寫成 （1.4.12）這就是哈密頓原理。具有n個質點的質量為的力系，各質點上作用的力為（又稱力函數），是位能U的函數，它們之間的關系為 （1.4.

18、13）這個力系的動能T為 于是泛函式為 根據式（1.4.10），并利用式（1.4.13），得 拉式方程為 同理 i=1,2,n例4 薄板彎曲振動微分方程 薄板彎曲的彎矩及扭矩為 薄板變曲應變能為 動能為 能量泛函式為 這一泛函是只含有時間t的一階導數和x，y的兩階導數的函數，其歐拉方程直接由式（1.4.8）得這就是薄板彎曲的振動微分方程式。§2.5 條件極值問題 上幾節討論的泛函極值問題，習慣上稱為無條件極值問題。所謂無條件，并不是說在自變函數選取中不考慮任何條件。自變函數必須使給定泛函在某一范圍內有意義，并滿足邊界條件，因為這些條件容易被滿足，所以稱為無條件極值問題。在工程實際中，

19、有些約束條件不易得到滿足，這種在給定約束條件下來求泛函極值，稱為條件極值問題。2.5.1函數條件極值問題求函數 (2-72)在約束條件下的極值問題。上述極限問題有兩種方法，第一種方法是由約束條件式消去y，代入（2-72）式，得 函數取得極值的條件是，得x=-3/2, y=-3/2, F(-3/2, 3/2)=11/4 .第二種方法是利用拉格朗日乘子法進行求解。選擇拉格朗日乘子，把乘以條件式，與式（2-72）相加，形成新的泛函 (2-73)這時新的泛函不僅是，的函數，同時也是的函數，的極值條件為 上面第三式正是約束條件式。由此可解出=-3/2, =3/2, =-3.把它代入式（2-73），得（-

20、3/2, 3/2, -3）=11/4，其結果與第一方法完全相同。拉格朗日乘子法是通過拉格朗日乘子，將有條件極值問題的舊函數改造成為無條件極值問題的新函數。有時把拉格朗日乘子又稱為權數或權函數，這是行之有效的一種方法，加權殘值法、廣義變分原理也是基于拉格朗日乘子法得來的。2.5.2泛函條件極值問題約束條件式為的函數 (2-74)滿足式（2-74）的約束條件下，求泛函 (2-75)的條件極值問題。與前述一致，此問題也有兩種方法，第一方法是通過式(2-74)的k個自變函數來表示泛函式(2-75)中的n-k個未知自變函數。把n個未知自變函數泛函式(2-75)的有條件極值問題轉化為n-k個未知自變函數的

21、泛函極值問題。第二種方法是拉格朗日乘子法，選擇拉格朗日乘子函數，乘以式（2-74），相加式（2-75）的函數中，得到新的泛函 (2-76)顯然，泛函是自變函數的函數，同時又是的函數，因此泛函是n+k個未知自變函數的極值問題。首先對式(2-76)用求極值，即有變分時極值條件為 (2-77)因為是任意值，不等于零，上式可導出 (2-78)這就是約束條件式(2-74)下求泛函式(2-75)的極值問題。不難證明，式(2-76)的歐拉方程為 (2-79)為了能求出待定拉氏乘子，需要諸乘子的系數滿足下列行列式不為零的要求，即： (2-80)同理，約束條件含一階導數的情況，即 (2-81)求泛函 (2-82

22、)的極值問題歐拉方程為 (2-83)在式(2-81)的約束條件下求泛函 (2-84)的極值問題的歐拉方程為 (2-85)例1 如圖（1.5.1）所示梁在處，為給定端點撓度，建立歐拉方程及邊界條件式。這例題相當于求泛函 (a)在處約束條件為時的 圖 1.5.1極值條件。用拉格朗日乘子，建立新的泛函 (b)其變分式為 (c)對上式右第一項進行兩次分部積分，得 (d)把上式代入式(c)，并整理后，其極值條件為 (e)上式成立的條件為 （1） 在=0域內 （2） 在=處 （3） 在=處 (f) （4） 在=0處 (5) 在=0處和在=處上式中第一式是梁彎曲微分方程式，即歐拉方程；第二式是確定拉格朗日乘

23、子的方程，很明顯，拉格朗日乘子的物理意義是在=處的剪力；第三式就是給定約束條件；第4和第5式是剩余的邊界條件，其中包括基本邊界條件以及自然邊界條件，即彎矩、剪力的邊界條件，如圖1.5.1的情況，在=0處，在=處。由式(f)的第二式，把代入式(b)得新的泛函式 (g)由此可知，泛函極值方程(e)給出歐拉方程式和所有邊界條件式，所以變分問題式(c)等價于式(f)的微分方程的解。例2證明如圖1.5.2的無條件泛函式為 圖 1.5.22.6 加 權 殘 值 法大量的應用科學和工程學問題往往可以歸結為根據一定的邊界條件，初始條件等，來求解問題的控制微分方程式或微分方程組或關鍵的積分方程。微分方程式（組）

24、可以是常微分方程，偏微分方程，線性的或非線性的。加權殘值法是一種數學方法，可以直接從微分方程式（組）中得出近似解。該方法用于解算力學問題具有原理的統一性和方法的一致收斂性，應用的廣泛性，且簡便，準確，工作量少，程序簡短，亦可用于解復雜問題等優點。2.6.1 加權殘值法的基本方法按權函數進行分類，加權殘值法共有五類，可稱為加權殘值法的基本方法。1、最小二乘法解某一問題時，在物體域內的殘值R平方積分式為： (2-86)為使為最小，應用求函數的極值條件： (2-87)可得消除殘值方程式為： （j=1,2,n） (2-88)由此可知，最小二乘法中的權函數為，進行運算后(2-88)式即可化為n個代數方程

25、式，足以求出n個待定系數（j=1,2,n）。如果求解的問題系屬二維的，則有最小二乘法消除殘值方程組為： （j,k=1,2,n） (2-89)同樣，三維問題的最小二乘法消除殘值方程組為： (j,k,l=1,2,n) (2-90)2、配置法最初發展的配置法僅是配點法，今年來在我國發展了配線法，配面法及配域法等，這里將詳述配點法。這是一種使用極為廣泛又很方便的加權殘值法。如果以笛拉克函數作為權函數： (2-91)就得到了配點法。笛拉克函數又稱為單位脈沖函數。一維的單位脈沖函數其主要的性質如下：a. (2-92)b. (2-93)c. (2-94)d. (2-95)二維的單位脈沖函數的主要性質如下：a

26、. (2-96)b. (2-97)c. (2-98) （1）配點在積分域內，（2）配點不在積分域內）于是，按(2-95)即有一維問題的配點法，即： （j=1,2,n） (2-99)按(2-98)即有二維的配點法，為： (2-100)上面兩個方程的意義就是殘值應在n個配點（一維），（二維）處為零。亦即在殘值方程中代入配點坐標，置方程為零即可。于是解代數方程組（1-3-13）或（1-3-14）即能解出待定系數。3、子域法將物體的域分為n個子域（j=1,2,n），權函數如下確定： (2-101)列出消除殘值方程組為： （j=1,2,n） (2-102)運算后解n個代數方程式即可求得。4、伽遼金法若按

27、加權殘值法的觀點去理解伽遼金法，伽遼金法實際上就是將試函數項當作為權函數的加權殘值法。以薄板彎曲問題為例，薄板彎曲的控制微分方程為： (2-103)式中，為抗彎剛度，E為彈性模量，h為板的厚度，為材料泊松比，算子為，w為板的撓度，為作用于板上分布荷載的集度。若假設薄板撓度的試函數已滿足了所有的邊界條件為： (2-104)則這塊薄板彎曲問題的伽遼金法方程為： （j=1,2,n） (2-105)或即為 （j=1,2,n） (2-106)式中 ， (2-107)所以，在伽遼金法中權函數就是試函數。對(2-106)式進行運算可得到一組代數方程組，從其中可解出待定系數。5、矩量法在一維問題中，矩量法的權

28、函數為。消除殘值方程式為： (2-108)這里有n個代數方程式，可求出試函數中n個二維問題矩量法的消除殘值方程式為： (2-109)運算后得代數方程組可以解出試函數中的。2.6.2 加權殘值法的試函數在加權殘值法計算力學中，如何選用或確定待求函數的試函數十分重要。我國國內加權殘值法計算力學研究工作者在實踐中曾采用有下列試函數并取得良好的效果。按其使用頻繁的程度次序列出如下：1、單B樣條函數形式如： (2-110)其中為從3次到9次的B樣條函數，為正交函數，或為正弦或余弦的三角函數如等，或為傅里葉級數等。2、多三角級數形式如： (2-111)及單三角級數如： 3、多項式雙冪級數形式如： (2-1

29、12)4、單多項式級數形式如： (2-113)5、雙B樣條函數形式如： (2-114)及都是B樣條函數，從3次到9次。 6、多項式與三角函數積并與多項式之和 形式如： (2-115)7、雙調和函數如由組成，或為： (2-116)8、梁振動函數 (2-117)9、對數函數如： (2-118)用于分析開孔物體中。10、指數函數如：11、貝塞耳函數如：12、“完備系”試函數如：13、柱穩定函數如：試函數是選擇在低級近似計算中十分重要。因為，這會影響計算結果。在高級近似計算中則不太重要，因為，計算中依靠了解的收斂性。試函數選擇得當與否只會影響解的收斂速度。試函數必須是完備的并且各試函數項之間是線性無關

30、。屬于連續的函數大多可以用多項式展開。試函數的完備性能夠保證在取足夠多的試函數項時可以逼近精確解，所以比較重要。擬解決問題的對稱性和邊界條件可以幫助確定試函數的形式。對稱問題，試函數也應該是對稱的。如果已知一個問題中的邊界條件為g(x,y)，則這問題中的試函數可假設為： (2-119)當然，式中試函數項在邊界條件上應為零。多種正交多項式都是有用的試函數。它們可以滿足若干邊界條件，再附加一定的多項式以滿足其他的邊界條件。這種設立試函數的方法可以滿足一些難以全部滿足邊界條件的邊值問題，如大撓度板殼及厚板厚殼問題。正交多項式的正交性可以使得計算正確方便。超越函數可以作為試函數，但大多用作初次近似的試

31、函數，在高次近似計算中，則有計算累贅不堪的缺點。這類函數可以作為特征值問題的試函數。有限元法單元中，位移模式所用的試函數也可以作為加權殘值法的試函數。各類樣條函數都可以作為加權殘值法的試函數。 §2.7 Ritz法和Galerkin法2.7.1基于位移變分原理的Ritz法使用位移變分原理求解，首先需要列出所有變形可能的位移，然后從中找出使總勢能取駐值的那組位移，這就是真實位移。對于穩定平衡狀態，相應于位移變分原理的最小勢能原理成立，因此使總勢能取最小值的那組位移，就是真實位移。但問題在于要列出所有變形可能的位移非常困難，也不現實。因此，在求解實際工程問題時，只能根據受力特點和邊界條件

32、，憑經驗假設一組位移的實驗函數，其中包括有限個待定常數，這種處理縮小了尋找位移解的范圍。若從中找出一組使總勢能取最小值的位移，一般來說，這組位移不是真正的位移，但它在縮小的范圍內是與真實位移最接近，從而可以作為問題的近似解。設位移實驗函數為： (2-120)式中、和、是預先設定的空間坐標的函數，、稱為基函數或形狀函數（它表示變形形狀），應當滿足函數連續性、可微性、線性獨立性及基本邊界條件（又稱固定邊界條件，但自然邊界條件不一定必須滿足），基函數是選擇函數，一般采用指數函數或三角函數，此時函數的連續性、可微性及獨立性易被滿足，所以選擇基函數時特別注意滿足邊界條件。而、是待定系數又稱廣義參數，由泛

33、函極值條件確定。位移的變分是通過待定系數、取變分來實現的，而與函數、無關，于是： (2-121)位移實驗函數必須滿足位移邊界條件，且在位移邊界條件上的變分為零，為滿足這兩個條件就要求：在位移邊界上，、等于已知位移，而、（k=1,2,n）均等于零。將式（1-4-1）代入下列總勢能表達式 (2-122)將總勢能表示成待定系數的、的函數： (2-123)變分原理要求： (2-124)由于、是相互獨立的，也是任意的，它們的系數應分別為零，于是： (2-125)對于線彈性力學問題，將導致下面3n個線性方程組： (2-126)解上述3n個線性方程組，可得出待定系數、。這就是所謂的Ritz方法。在獲得位移的

34、近似解后，代入幾何方程，求得應變的近似解，再代入本構方程，得到應力的近似解。應當指出：由于位移變分原理等價于平衡微分方程和力邊界條件，因此現在所得的近似解對于平衡微分方程和力邊界條件來說是近似滿足的，而其他方程和條件均嚴格滿足。2.7.2 基于應力變分原理的Ritz方法如果我們主要關心物體內的應力分布，使用應力變分原理求解會更合適一些。對于穩定平衡狀態，該方法的實質就是從所有靜力可能的應力場中，找到使總余勢能取最小值的那組應力，這就是真實應力。求解時，首先要選取應力的實驗函數，它必須是靜力可能的應力場，即滿足平衡方程和力邊界條件： (2-127)式中、和、是預先設定的空間坐標的函數，、滿足給定

35、體積力的平衡方程和給定面力的力邊界條件，而、滿足體積力為零的平衡方程和表面力為零的力邊界條件；、是相互獨立的待定常數，應力的變分將通過這些待定常數來實現。代入總余能表達式并求極值，則有： (2-128)它們為待定系數的線性方程組，解出這些待定系數則得問題的解。選擇的應力場要求滿足平衡方程和力邊界條件，往往是不易做到的，但是，對于某些問題，應力分量可用應力函數表示，而應力函數表示的應力分量總是能滿足平衡微分方程的。這樣，我們在選取應力函數的表達式時，只需要使其給出的應力分量滿足力邊界條件即可，從而減小了難度。應當指出：由于應力變分原理等價于幾何方程和位移邊界條件，因此現在所得的近似解對于幾何方程

36、和位移邊界條件來說是近似滿足的，而其他方程和條件均嚴格滿足。例1 簡支梁的彎曲問題如圖1.6.1所示梁的梁端簡支，梁的泛函式為 (a) 選如下的基函數 (b)這一函數滿足的基本邊界條件， 但不一定要求滿足自然邊界條件， 圖 1.6.1而自然邊界條件由變分本身得到滿足。把式（1.6.5）代入式（1.6.4），得 (c)由上式對和求導數，使它等于零，得兩個聯立方程 (d)得如下表達式 (e)聯立求解得，把它代入式（1.6.5），得 (f)由上述的Ritz法求得梁中點撓度為，其理論精確解為 ，其誤差為12%，其中L=2。假如坐標原點取在左端，并作為近似函數選為正弦函數 (g)用同樣方法，得跨中撓度為

37、（僅取第一項），與精確值相比，誤差僅有0.3%。基函數的選擇直接影響精度。另一方面，對不同問題、不同邊界條件及載荷條件，相應的基函數也在變化，同時基函數是適應整個計算域內，對高階導數泛函問題，適應性更小，所以實用上受到限制。但這一方法對彈性力學的近似計算方法的發展，發揮了重要作用。隨著電子計算機的發展而活躍起來的有限元方法，接受了李茲法的思想，但克服了其缺點，基函數選擇在微小塊單位內，使基函數的選擇成為規格化，擴大了應用范圍。2.7.3 Galerkin法從虛位移原理導出下式： (2-129)改式與虛位移原理完全等價。若選取的位移實驗函數（1-4-1）除滿足位移邊界條件外，還滿足力邊界條件，直

38、接使用式(2-129)而不是變分方程式進行近似求解會比較方便。這時，式(2-129)退化為： (2-130)將式（1-4-1）代入式(2-130)并展開，得到三組線性方程，即： (2-131)通過求解這些線性方程組，確定待定常數、，從而得到問題的近似解。利用式(2-131)進行近似求解的方法稱之為Galerkin方法。它屬于加權殘值法的一種特殊形式。對于薄板彎曲問題，若所設的撓度實驗函數除滿足所有位移邊界條件外，還滿足所有力邊界條件，由位移變分原理可導出相應的變分方程為： (2-132)上式就是Galerkin方法計算薄板彎曲問題的控制方程。 §2.8 能量原理 勢能駐值原理是虛位移

39、原理的能量形式。這兩個原理是位移法和位移型有限元的理論基礎。如果把問題限定為彈性力學線性問題，則勢能的駐值實際上又是極小值，此時又稱為最小勢能原理。2.8.1彈性系統的勢能彈性系統的勢能用基本未知函數位移u表示的能量，由彈性體的應變能U和荷載的勢能兩部分組成： (2-133)應變能U為： (2-134)其中應變是由位移u導出的，即。荷載勢能為： (2-135)上式右邊第一項是體積力的勢能，第二項是邊界上邊界荷載的勢能。由于勢能是位移函數的函數，因此是一個泛函。2.8.2 勢能駐值原理的表述勢能駐值原理可表述為在位移滿足幾何條件的前提下，如果位移相應的應力還滿足靜力條件，則該位移必使勢能為駐值；反之，在位移滿足幾何條件的前提下，如果位移還使勢能為駐值，則該位移相應的應力必滿足靜力條件。或者說，在位移為可能的前提下，勢能駐值條件 （2-136）與靜力條件彼此等價。如果彈性體的位移既滿足幾