1、第一章習(xí)題詳解1 求下列復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，共軛復(fù)數(shù)、模與輻角：1)解：實(shí)部：虛部：共軛復(fù)數(shù)：模：輻角：2)解：實(shí)部：虛部：共軛復(fù)數(shù)：模：輻角：3)解：實(shí)部：虛部：共軛復(fù)數(shù)：模：輻角：4)解：實(shí)部：虛部：共軛復(fù)數(shù)：模：輻角：2 當(dāng)、等于什么實(shí)數(shù)時(shí)，等式成立？解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等，即兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等。有： 即、時(shí)，等式成立。3 證明虛數(shù)單位有這樣的性質(zhì)：證明： 4 證明1)證明：設(shè)，則2)證明：設(shè)，則有：3)證明：設(shè)，則有： 4)證明：設(shè)，則有： 5)證明：設(shè)，則有6)證明：設(shè)，則 5 對任何是否成立？如果是，就給出證明。如果不是，對哪些值才成立？解：設(shè)，則有： 故當(dāng)，即是實(shí)數(shù)時(shí)，成立。6

2、 當(dāng)時(shí)，求的最大值，其中為正整數(shù)，為復(fù)數(shù)。解： 即 的最大值是7 判定下列命題的真假：1) 若為實(shí)常數(shù)，則；解：真命題。因?yàn)閷?shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)就是它本身。2) 若為純虛數(shù)，則；解：真命題。設(shè)，則，顯然。3) ；解：假命題。兩個(gè)不全為實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小。4) 零的幅角是零解：假命題。復(fù)數(shù)的幅角是任意的，也是無意義的。5) 僅存在一個(gè)數(shù)，使得；解：假命題。有兩個(gè)數(shù)，使成立。6) ；解：假命題。設(shè)有兩個(gè)數(shù)，使不成立。7)解：真命題。8 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式和指數(shù)表示式：1)解：， 2)解：， 3)解：， 4)解： 另： 另： 5)解：， 6)解： 9 將下列坐標(biāo)公式寫成復(fù)數(shù)的形式：1) 平移公式

3、：解：將方程組中的第二個(gè)方程乘以虛數(shù)單位加到第一個(gè)方程，得：即：2) 旋轉(zhuǎn)公式：解：將方程組中的第二個(gè)方程乘以虛數(shù)單位加到第一個(gè)方程，得：10 一個(gè)復(fù)數(shù)乘以，它的模與輻角有何改變？解：設(shè) 即：一個(gè)復(fù)數(shù)乘以，它的模不變，輻角減小。11 證明：，并說明其幾何意義。證明： 幾何意義：平行四邊形的兩條對角線的平方和等于它的相鄰兩邊平方和的2倍。12 證明下列各題：1) 任何有理分式函數(shù)可以化為的形式，其中與為具有實(shí)系數(shù)的與的有理分式函數(shù)；證明：設(shè)，則： ， 其中，皆為關(guān)于的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。 其中：， 為具有實(shí)系數(shù)的關(guān)于的有理分式函數(shù)。2) 如果為1)中的有理分式函數(shù)，但具有實(shí)系數(shù)，那么；證明：因?yàn)闉榫哂?/p>

4、實(shí)系數(shù)的有理分式函數(shù)，所以 其中：，3) 如果復(fù)數(shù)是實(shí)系數(shù)方程的根，那么也是它的根。證明：令 因?yàn)槭欠匠痰母?又因?yàn)榈南禂?shù)為實(shí)數(shù)， 因此。即也是方程的根。即實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)根必共軛成對出現(xiàn)。13 如果，證明：1)證明： 2)證明：14 求下列各式的值：1)解：2)解：3)解： 即：，4)解： 即：， 15 若,試求的值。解： 161) 求方程的所有根；解： 即：，2) 求微分方程的一般解。解：微分方程的特征方程為：。由前題得：， 微分方程有三個(gè)線性無關(guān)的特解：，微分方程有三個(gè)線性實(shí)數(shù)特解：， 一般解為：17 在平面上任意選一點(diǎn)，然后在復(fù)平面上畫出下列各點(diǎn)的位置：解：18 已知兩點(diǎn)與（或已知三

5、點(diǎn)），問下列各點(diǎn)位于何處？1) ；解：位于與連線的中點(diǎn)。2) ，其中為實(shí)數(shù)；解：位于與連線上，其中。3) 。解：位于以,為頂點(diǎn)的三角形的重心上。19 設(shè)三點(diǎn)適合條件，。證明：是內(nèi)接于單位圓的一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)。證明：（方法一） ,位于以原點(diǎn)為圓心的單位圓上。 令， 其中。 ， 或 同理可得：或 分析：如果，則；如果，則與矛盾。 同理。 是內(nèi)接于單位圓的一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)。（方法二） ,位于以原點(diǎn)為圓心的單位圓上。 同理：，。于是 是內(nèi)接于單位圓的一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)。（方法三） ,位于以原點(diǎn)為圓心的單位圓上。 是內(nèi)接于單位圓的一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)。（方法四） ,位于以原點(diǎn)為圓心的單位圓上。設(shè) 而

6、同理，即 同理 ， 是內(nèi)接于單位圓的一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)。（方法五）設(shè)，則是該方程的三個(gè)根。而，所以是的三個(gè)根，即分別是復(fù)數(shù)的三次方根。又因?yàn)椋跃鶆虻胤植荚趩挝粓A上，即是內(nèi)接于單位圓的一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)。（方法六）如右圖所示：所以為等邊三角形。同理可知為等邊三角形，于是有：同理 ，所以均勻地分布在單位圓上。命題得證。20 如果復(fù)數(shù)滿足等式，證明，并說明這些等式的幾何意義。證明： 且 是等邊三角形的充分必要條件是因此，滿足的點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，必有21 指出下列各題中點(diǎn)的軌跡或所在范圍，并作圖：1) ；解：設(shè)，則 即是以為圓心，半徑為6的圓周。2) ；解：設(shè)，則 即是以為圓心，半徑

7、為1的圓周及其外部。3) ；解：設(shè)，則 即是平行于y軸的通過的直線。4) ；解：設(shè)，則 即是平行于x軸的通過的直線。5) ；解：設(shè)，則 即是平行于x軸。6) ；解：設(shè)，則 即是以，為焦點(diǎn)，長的半軸為2，短半軸為的橢圓。7) ；解：設(shè)，則 即是過的平行于x軸的直線及其下半平面。8) ；解：設(shè)，則 即是去掉過的半平面。9) ；解：滿足的圖形是不包含實(shí)軸的上半平面。10) 。解：設(shè)，則 即是以為端點(diǎn)的射線，。22 描出下列不等式所確定的區(qū)域或閉區(qū)域，并指明它是有界的還是無界的，單連通的還是多連通的：1) ；解：設(shè)，則，表示不包含實(shí)軸的上半平面，是無界的單連通域。2) ；解：設(shè)，由得，表示以為圓心半徑

8、為的圓（不含圓周）的外部，是無界的多單連通域。3) ；解：設(shè)，則，表示介于直線和之間的帶形區(qū)域（不含兩直線），是無界的單連通域。4) ；解：表示介于圓與之間的圓環(huán)域（含兩圓周），是有界的多連通域。5) ；解：設(shè)，由，表示直線右邊的半平面區(qū)域（不含直線），是無界的單連通域。6) ；解：表示由射線與所圍成的角形區(qū)域（不含兩射線），是無界的單連通域。7) ；解：設(shè)，由，表示以為圓心半徑為的圓的外部（不含圓周），是無界的多連通域。8) ；解：表示以與為焦點(diǎn)長半軸短半軸的橢圓及其內(nèi)部，是有界的單連通閉域。9) ；解：表示以與為焦點(diǎn)實(shí)半軸虛半軸的雙曲線左邊一支的左側(cè)，是無界的單連通域。10) 。解：設(shè)，由

9、，表示以點(diǎn)為圓心半徑為的圓及其內(nèi)部，是有界的單連通閉域。23 證明復(fù)平面上的直線方程可寫成：，（為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)）。證明：設(shè)點(diǎn)在直線上，則直線方程可寫成： 又，整理得：令，則。因?yàn)椴蝗珵榱悖浴?是復(fù)平面上的直線方程（為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)）。24 證明復(fù)平面上的圓周方程可寫成：（其中為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)）。證明：設(shè)點(diǎn)在圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，半徑為，則圓的方程為：，。代入上式，得：。整理得：令， 是復(fù)平面上的圓的方程（為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)）。25 將下列方程（為實(shí)參數(shù)）給出的曲線用一個(gè)實(shí)直角坐標(biāo)方程表出：1) ；解：設(shè)，則 2) ，（為實(shí)常數(shù)）；解： 設(shè)，則 3) ；解：設(shè)，則 4) ；解：設(shè)，

10、則 5) ，（為實(shí)常數(shù)）；解：設(shè)，則 6) ；解：設(shè)，則 7) ，（為復(fù)數(shù)）。解：設(shè)，則 26 函數(shù)把下列平面上的曲線映射成平面上怎樣的曲線？1) ；解：設(shè)，則 是w平面上的圓。2) ；解：設(shè)，則 且是w平面上的直線。3) ；解：設(shè)，則 是w平面上的圓。4) 。解：設(shè)，則 是w平面上的直線。27 已知映射，求：1) 點(diǎn)，在平面上的象；解： 2) 區(qū)域在平面上的象。解： 28 證明§6定理二與定理三。定理二 如果，那么1) ；2) ；3)證明：1) ，則 ，使時(shí)，有 ，使時(shí)，有 取，則當(dāng)時(shí)，必有 成立。 故。2) ，則及，使時(shí)， ，使時(shí)，有； 又，故存在，使時(shí)，有 取，則當(dāng)時(shí)，必有故。3) ，則及，使時(shí)， ，使時(shí)，有 ，使時(shí)，有 取，則當(dāng)時(shí)，必有 故。定理三 函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是：和在點(diǎn)處連續(xù)。證明：在處連續(xù)，即 ， 即和在點(diǎn)處連續(xù)。29 設(shè)函數(shù)在連續(xù)且，那么可找到的小鄰域，在這鄰域內(nèi)。證明： 函數(shù)在連續(xù)，即 可取，存在，使得當(dāng)時(shí)，有 又 即存在的鄰域，在這鄰域內(nèi)。30 設(shè)，證明在的某一去心鄰域內(nèi)是有界的，即存在一個(gè)實(shí)常數(shù)，使在的某一去心鄰域內(nèi)有。證明：，即，當(dāng)時(shí)，有，取，則有。31 設(shè)。試證當(dāng)時(shí)的極限不