1、第四章 光的電磁理論41計算由表示的平面波電矢量的振動方向、傳播方向、相位速度、振幅、頻率、波長。 解：由題意： 振動方向為： 由平面波電矢量的表達式： 傳播方向為： 平面電磁波的相位速度為光速： m/s 振幅： V/m 頻率： Hz 波長： m42 一列平面光波從A點傳到B點，今在AB之間插入一透明薄片，薄片的厚度，折射率n1.5。假定光波的波長為nm，試計算插入薄片前后B點光程和相位的變化。 解：設AB兩點間的距離為d，未插入薄片時光束經過的光程為： 插入薄片后光束經過的光程為： 光程差為： 則相位差為：43 試確定下列各組光波表示式所代表的偏振態： （1）， （2）， （3）， 解：（1

2、） 為右旋圓偏振光。 （2） 為右旋橢圓偏振光，橢圓長軸沿yx （3） 為線偏振光，振動方向沿yx44 光束以30角入射到空氣和火石玻璃（n21.7）界面，試求電矢量垂直于入射面和平行于入射面分量的反射系數和。 解：入射角，由折射定律： 45 一束振動方位角為45的線偏振光入射到兩種介質的界面上，第一介質和第二介質的折射率分別為n11和n21.5。當入射角為50時，試求反射光的振動方位角。解：，由折射定律： 反射光的振動方位角為：46 光波在折射率分別為n1和n2的二介質界面上反射和折射，當入射角為時（折射角為），s波和p波的反射系數分別為和，透射系數分別為和。若光波反過來從n2介質入射到n1

3、介質，且當入射角為時（折射角為），s波和p波的反射系數分別為和，透射系數分別為和。試利用菲涅耳公式證明：（1）；（2）；（3）；（4） 證明： （1） （2） （3） （4） 47 如圖，M1、M2是兩塊平行放置的玻璃片（n1.5），背面涂黑。一束自然光以布儒斯特角入射到M1上的A點，反射至M2上的B點，再出射。試確定M2以AB為軸旋轉一周時，出射光強的變化規律。 解：由于M1、M2是兩塊平行放置的玻璃片，因此兩鏡的入射角均為，且有： 由于兩鏡背面涂黑，所以不必考慮折射光的影響。 對于M1： 因為是自然光入射，p、s分量光強相等。設入射自然光光強為I0，沿AB的反射光強為I1，則M1的反射率為

4、： 對于M2，假設在繞AB旋轉的任一位置上，入射面與圖面的夾角為，則將沿AB的入射光分解為p分量和s分量，其振幅分別為： 入射角為 出射光的振幅為： 最后的出射光強為：48 望遠鏡之物鏡為一雙膠合透鏡，其單透鏡的折射率分別為1.52和1.68，采用折射率為1.60的樹脂膠合。問物鏡膠合前后的反射光能損失分別為多少？（假設光束通過各反射面時接近正入射） 解：系統包括4個反射面，由于假設光束通過各反射面時接近正入射，則未膠合時，各面的反射率為： 設入射到系統的光能為W，則通過該系統后的光能為： 光能損失為20 同理，膠合后各面的反射率為： 通過該系統后的光能為： 光能損失為10.549 如圖，光束

5、垂直入射到45直角棱鏡的一個側面，光束經斜面反射后從第二個側面透出。若入射光強為I0，問從棱鏡透出的光束的強度為多少？設棱鏡的折射率為1.52，并且不考慮棱鏡的吸收。 解：光束經過三個反射面，通過第一個反射面和第三個反射面時均為垂直入射，其反射率為： 在第二個反射面即棱鏡的斜面上，入射角為45。全反射的臨界角為： 在棱鏡斜面上發生全反射，反射光強等于入射光強。 從棱鏡透出的光束的強度為：410 如圖，玻璃塊周圍介質的折射率為1.4。若光束射向玻璃塊的入射角為60，問玻璃塊的折射率至少應為多大才能使透入光束發生全發射？ 解：設玻璃的折射率為n2，則發生全發射的臨界角為： 由圖中幾何關系，折射角

6、由折射定律： 411 產生圓偏振光的穆尼菱體如圖所示，若菱體的折射率為1.65，求頂角A。 解：光束經過兩次全反射，每次反射后s波和p波之間的位相差為： 其中是入射角，n為相對折射率： 出射后產生圓偏振光，則需要： 解得： 或 要發生兩次全反射，則： 由圖中幾何關系可知： 不合題意 頂角A為412 線偏振光在玻璃空氣界面上全反射，線偏振光電矢量的振動方向與入射面成一非零或/2的角度。設玻璃的折射率n1.5，問線偏振光以多大角度入射才能使反射光s波和p波的位相差等于40？ 解： 解得： 或 413 如圖所示是一根直圓柱形光纖，光纖芯的折射率為n1，光纖包層的折射率為n2，并且n1 n2。（1）證

7、明入射光的最大孔徑角滿足：；（2）若，最大孔徑角為多少？ 解：（1）如圖，為保證光線在光纖內的入射角大于臨界角，必須使入射到光纖端面的光線限制在最大孔徑角范圍內。由折射定律： （2）當，時： 最大孔徑角為：414 如圖所示是一根彎曲的圓柱形光纖，光纖芯和包層的折射率分別為和（），光纖芯的直徑為D，曲率半徑為R。（1）證明入射光的最大孔徑角滿足：；（2）若，則最大孔徑角為多少？ 解：在中，有： （2）當，時： 最大孔徑角為：415 已知冕牌玻璃對0.3988m波長光的折射率為n1.52546，m1，求光在該玻璃中的相速和群速。 解：相速度：m/s群速度：m/s416 試計算下面兩種色散規律的群速

8、度（表示式中v是相速度）： （1）電離層中的電磁波，其中c是真空中的光速，是介質中的電磁波波長，b是常數。 （2）充滿色散介質（，）的直波導管中的電磁波，其中c是真空中的光速，是與波導管截面有關的常數。 解：（1） （2） 417 設一平面光波的頻率為Hz，振幅為1，t0時，在xOy面上的相位分布如圖所示：等相位線與x軸垂直，的等相位線坐標為，隨x線性增加，x每增加5m，相位增加2。求此波場的空間相位因子。 解：x每增加5m，相位增加2 m1 沿y軸的相位不變化 在xOy面上，t0時的相位應為： 又處 m1該光波電場的空間相位因子為： 418 一個功率為40W的單色點光源發出的光波的波長為50

9、0nm，試寫出該光波的波動公式。 解：單色點光源發出的光波為球面波： 離開點光源單位距離處的光強為： W/m2 離開點光源單位距離處的振幅為：V/m m1 該光波的波動方程為：第五章 光的干涉51 波長為589.3nm的鈉光照射在一雙縫上，在距雙縫200cm的觀察屏上測量20個條紋共寬3cm，試計算雙縫之間的距離。 解：由題意，條紋間距為：雙縫間距為：52 在楊氏干涉實驗中，兩小孔的距離為1.5mm，觀察屏離小孔的垂直距離為1m，若所用光源發出波長650nm和532nm的兩種光波，試求兩光波分別形成的條紋間距以及兩組條紋的第8級亮紋之間的距離。 解：對于650nm的光波，條紋間距為：對于532

10、nm的光波，條紋間距為： 兩組條紋的第8級條紋之間的距離為： 53 一個長40mm的充以空氣的氣室置于楊氏裝置中的一個小孔前，在觀察屏上觀察到穩定的干涉條紋系，繼后抽去氣室中的空氣，注入某種氣體，發現條紋系移動了30個條紋。已知照射光波波長為656.28nm，空氣折射率為1.000276，試求注入氣體的折射率ng。 解：氣室充入空氣和充氣體前后，光程的變化為： 而這一光程變化對應于30個波長： 54 在菲涅耳雙面鏡干涉實驗中，光波長為600nm，光源和觀察屏到雙面鏡交線的距離分別為0.6m和1.8m，雙面鏡夾角為103rad，求：（1）觀察屏上的條紋間距；（2）屏上最多能看到多少亮條紋？ 解：

11、如圖所示，S1S2的距離為： 條紋間距為： 角很小 屏上能產生條紋的范圍，如圖陰影所示 最多能看到的亮條紋數為：55 在如圖所示的洛埃鏡實驗中，光源S1到觀察屏的距離為2m，光源到洛埃鏡面的垂直距離為2.5mm。洛埃鏡長40cm，置于光源和屏的中央。若光波波長為500nm，條紋間距為多少？在屏上可看見幾條條紋？ 解：在洛埃鏡實驗中，S1和S1在平面鏡中的像S2可看作是產生干涉的兩個光源。條紋間距為： 由圖可知，屏上發生干涉的區域在P1P2范圍內 由于經平面鏡反射的光波有的相位差，所以S1和S2可看作位相相反的相干光源。若P0點在干涉區內，它應該有一條暗條紋通過，并且P1 P0內包含的暗條紋數目

12、：P2 P0內包含的暗條紋數目為： P1 P2區域內可看見10個暗條紋，9個亮條紋56 用0.5nm的綠光照射肥皂泡膜，若沿著與肥皂泡膜平面成30角的方向觀察，看到膜最亮。假設此時干涉級次最低，并已知肥皂水的折射率為1.33，求此時膜的厚度。當垂直觀察時，應改用多大波長的光照射才能看到膜最亮？ 解：在觀察膜最亮時，應滿足干涉加強的條件： 0，1，2，3，按題意，1， 肥皂膜厚度： 若垂直觀察時看到膜最亮，設1，應有：57 在如圖所示的干涉裝置中，若照明光波的波長640nm，平板厚度h2mm，折射率n1.6，其下表面涂上某種高折射率介質（），問（1）反射光方向觀察到的干涉圓環的中心是亮斑還是暗斑

13、？（2）由中心向外計算，第10個亮斑的半徑是多少？（3）第10個亮環處的條紋間距是多少？設望遠鏡物鏡的焦距為25cm。解：（1）平板的折射率介于上下介質的折射率之間，故環中心（）對應的光程差為： 干涉級次為：環中心是一亮斑。 （2）當中心是亮斑時，由中心向外計算，第10個亮環的角半徑是： 半徑為： （3）第十個亮環處條紋的角間距為： 間距為：58 如圖，單色光源S照射平行平板G，經反射后通過透鏡L在其焦平面E上產生等傾干涉條紋，光源不直接照射透鏡，光波長600nm，板厚d2mm，折射率n1.5，為了在給定系統下看到干涉環，照射在板上的譜線最大允許寬度是多少？ 解：設干涉環中心的干涉級次為，則：

14、將m改寫成：，則是最靠近中心的亮條紋的干涉級次，為了能看到干涉環，最大允許譜線寬度應滿足： 最大允許的譜線寬度為：59 如圖，G1是待檢物體，G2是一標定長度的標準物，T是放在兩物體上的透明玻璃板。假設在波長550nm的單色光垂直照射下，玻璃板和物體之間的鍥形空氣層產生間距為1.8mm的條紋，兩物體之間的距離為80mm，問兩物體的長度之差為多少？ 解：當垂直入射時，條紋間隔為： 在該題中是空氣層的楔角，且角很小 兩物體的長度之差為：510 如圖所示的尖劈形薄膜，右端厚度d為0.0417mm，折射率n1.5，波長為0.589m的光以30角入射到表面上，求在這個面上產生的條紋數。若以兩塊玻璃片形成

15、的空氣劈尖代替，產生多少條紋？ 解：經劈尖上下兩表面反射的光發生干涉，其光程差近似為： 其中是在上表面的折射角，h表示平均厚度。由折射定理： 計算得：在上表面產生的條紋數，即在劈尖最右端的暗紋或亮紋級數。此時hd0.0417mm產生暗紋條件： 0，1，2，3，劈尖棱線處是暗條紋，因此表面上有201條暗條紋，200條亮條紋 當用兩塊玻璃片形成的空氣劈尖代替時， 在劈尖最右端的暗紋級數為： 因此表面上有123條暗條紋，122條亮條紋玻璃襯底511 集成光學中的楔形薄膜耦合器如圖所示。楔形端從A到B厚度逐漸減小到零。為測定薄膜的厚度，用波長632.8nm的HeNe激光垂直照明，觀察到楔形端共出現11

16、條暗紋，且A處對應一條暗紋。已知薄膜對632.8nm激光的折射率為2.21，求薄膜的厚度。解：薄膜的折射率大于玻璃，因此入射光在楔形薄膜上表面反射有相位突變。產生暗條紋滿足條件： 0，1，2，3， 在薄膜B處，h0，所以B處對應一暗紋。第11條暗紋在薄膜A處A處薄膜的厚度為：512 如圖，在一塊平面玻璃板上，放置一曲率半徑R很大的平凸鏡，以觀察牛頓環條紋。（1）證明條紋間隔e滿足：，式中N是由中心向外計算的條紋數；（2）若分別測得相距k個條紋的兩個環的半徑為和，證明： 證明：（1）透鏡凸表面和玻璃板平面間的空氣層中心O的厚度為零，可知牛頓環中心為一暗斑。設由中心向外計算，第N個暗環的半徑為，則

17、由圖中幾何關系可知： 又N個條紋對應的空氣層厚度差為： 對上式微分，得： 當時， 條紋間距為：（2）由上面推得得結果： 513 在觀察牛頓環時，用580nm的第五個亮環與用的第七個亮環重合，求波長為多少？ 解：設由中心向外計算，第N個亮環的半徑為，則： 亮環滿足的光程差條件為： 由題意，用580nm的第五個亮環與用的第七個亮環重合 514 曲率半徑為R1的凸透鏡和曲率半徑為R2的凹透鏡相接觸如圖所示。在鈉黃光589.3nm垂直照射下，觀察到兩透鏡之間的空氣層形成10個暗環。已知凸透鏡的直徑D30mm，曲率半徑R1500mm，試求凹透鏡的曲率半徑。 解：515 假設照射邁克爾遜干涉儀的光源發出兩

18、種波長的單色光（設）。因此當平面鏡M1移動時，條紋將周期性的消失和再現。設表示條紋相繼兩次消失M1移動的距離，試證明： 證明：當兩波長形成的亮條紋重合時，可見度最好，而當的亮條紋與的暗條紋重合時，條紋消失，則當條紋消失時光程差滿足： 式中表示光束在半反射面上反射時的附加光程差，未鍍膜時為 則由上式得： 當h增加時，條紋再次消失，這時干涉級之差增加1，即： 兩式相減，得：516 在光學玻璃基片（）上鍍制硫化鋅膜層（n2.35），入射光波長，求正入射時最大反射率和最小反射率的膜厚和相應的反射率數值。解： 反射率有最大值的膜厚是： 相應的反射率為： 反射率有最小值的膜厚是： 相應的反射率為：517

19、在玻璃片上（）上鍍單層增透膜，膜層材料是氟化鎂（n1.38），控制膜厚使其在正入射下對于波長0.5m的光給出最小反射率，試求這個單層膜在下列條件下的反射率： （1）波長，入射角 （2）波長，入射角 解：（1）由題意，在正入射下對于波長0.5m的光給出最小反射率，因此膜層的光學厚度為： 當時，相位差為： （2），由折射定律：光束在基片內的折射角： 對于s分量的有效折射率為： 對于p分量的有效折射率為： 在斜入射下，相位差為： 因為入射光是自然光，故反射率為：518 在照相物鏡上鍍一層光學厚度為（0.5m）的低折射率膜，試求在可見光區內反射率最大的波長為多少？ 解：鍍低折射率膜，因此要使反射率最大

20、，則： 0，1，2，3， 由題意， 取m2，3得可見光區內反射率最大的波長為，519 比較下面三個膜系的反射率： （1）7層膜， （2）7層膜， （3）9層膜，說明膜系折射率和層數對膜系反射率的影響 解： （1） （2） （3） 可見，膜系高折射率和低折射率層的折射率相差越大，且膜系層數越多，膜系的反射率就越高。520 有一干涉濾光片間隔層厚度為1.8104mm，折射率n1.5，試求：（1） 正入射時濾光片在可見光區內的中心波長；（2） 透射帶的波長半寬度，設高反射膜的反射率R0.91（3） 傾斜入射時，入射角分別為15和40時的透射光波長。 解：（1）中心波長為： 0，1，2，3， 取m1，

21、得在可見光區內的中心波長為： （2） 波長半寬度：（3）傾斜入射時，透射光產生極大的條件是：當時，當時，521 一塊FP干涉濾光片，其中心波長0.6328m，波長半寬度，求它在反射光損失為10時的最大透過率。 解：中心波長波長半寬度： 求解得： 最大透過率：522 觀察邁克爾遜干涉儀，看到一個由同心明、暗環所包圍的圓形中心暗斑。該干涉儀的一個臂比另一個臂長2.5cm，且500nm，試求中心暗斑的級數，以及第六個暗環的級數。 解：對于虛平板產生的等傾干涉條紋，最小值滿足：中心為暗斑，則： 干涉級數為： 第6個暗環的干涉級次為：523 利用如圖所示的干涉系統可測量大球面反射鏡的曲率半徑。圖中球面反

22、射鏡的球心位于OP2的延長線上，由O到P1和到P2的光程相等。假設半反射面A的鍍膜恰使光束1、2的附加程差為零。在準直的單色光照射下，系統產生一些同心圓環條紋。若第十個暗環的半徑為6mm，單色光波長為580nm，問球面反射鏡的曲率半徑是多少？ 解：作出球面反射鏡M2在半反射面A中的虛像，系統產生的條紋亦可視為由虛空氣薄層所產生，條紋即是牛頓環。 由題意，O到P1和到P2的光程相等，且附加程差為零，所以圓環中心為一亮點，干涉級數為0。由圓心向外，第10個暗環的干涉級數為（10），故對應的空氣層厚度為： 524 FP干涉儀中鍍金屬膜的兩玻璃板內表面的反射系數為r0.8944，試求銳度系數、條紋半寬

23、度、條紋銳度。 解：反射率為： 銳度系數為： 條紋半寬度： rad 條紋銳度： 525 FP干涉儀常用來測量波長相差較小的兩條譜線的波長差。設干涉儀兩板的間距為0.5mm，它產生的譜線的干涉環系中第二環和第五環的半徑分別為3mm和5mm，譜線的干涉環系中第二環和第五環的半徑分別為3.2mm和5.1mm，兩譜線的平均波長為550nm，試決定兩譜線的波長差。 解：設對譜線的干涉環系中心的干涉級數為，則有： （1） 其中表示光束在板面金屬膜上反射時的附加光程差：，為在金屬膜上反射的相變。若非整數，則寫為：表示靠中心第一個亮環的干涉級數，由中心向外，第N個亮環的干涉級數為，而它的角半徑由下式求出： 與

24、（1）式相減，得： 一般很小，故有： 第五環和第二環的半徑平方之比為： 同理，譜線干涉環系中心的干涉級數的小數部分： 由（1）式，526 已知汞綠線的超精細結構為546.0753nm，546.0745nm，546.0734nm，546.0728nm。問用FP標準具分析這一結構時應如何選取標準具的間距？（設標準具面的反射率R0.9） 解：用FP標準具分析這一結構時，應選取標準具的間距使標準具的自由光譜范圍大于超精細結構的最大波長差，并且使標準具的分辨極限小于超精細結構的最小波長差。 由題意： 超精細結構的最大波長差為： 要使標準具的自由光譜范圍大于超精細結構的最大波長差，則： 標準具的分辨本領為

25、： 標準具的分辨極限： 超精細結構的最小波長差為：要使，則： 標準具的間距應滿足：527 激光器的諧振腔可看作是一FP標準具，若激光器腔長0.6m，兩反射鏡的反射率R0.99，氣體折射率為1，輸出譜線的中心波長為633nm，試求輸出激光的頻率間隔和譜線寬度。 解：輸出激光的頻率間隔為：MHz 譜線633nm的寬度是： 528 在楊氏干涉實驗中，準單色光的波長寬度為0.06nm，平均波長為540nm，。問在小孔S1處貼上多厚的玻璃片可使干涉中心P0點附近的條紋消失？設玻璃的折射率為1.5。 解：在小孔S1處貼上厚度為h的玻璃片后，P0點對應的光程差為： 若這一光程差大于準單色光的相干長度，則P0

26、點處觀察不到條紋。相干長度為： 529 在楊氏干涉實驗中，照射兩小孔的光源是一個直徑為3mm的圓形光源。光源發射光的波長為0.5m，它到小孔的距離為2m。問小孔能夠發生干涉的最大距離是多少？ 解：擴展光源對兩小孔S1S2中點的張角為： 圓形光源的橫向相干寬度為： 小孔能夠發生干涉的最大距離是 530 太陽直徑對地球表面的張角約為32。在暗室中若直接用太陽光作光源進行雙縫干涉實驗（不用限制光源尺寸的單縫），則雙縫間距不能超過多大？（設太陽光的平均波長為，日盤上各點的亮度差可以忽略。） 解： 因為將入射的太陽光看作不用限制光源尺寸的單縫，因此其橫向相干寬度為： 雙縫間距不能超過第六章 光的衍射61

27、 求矩形夫瑯和費衍射圖樣中，沿圖樣對角線方向第一個次極大和第二個次極大相對于圖樣中心的強度。 解：對角線上第一個次極大對應于，其相對強度為： 對角線上第二個次極大對應于，其相對強度為： 62 由氬離子激光器發出波長nm的藍色平面光，垂直照射在一不透明屏的水平矩形孔上，此矩形孔尺寸為0.75mm0.25mm。在位于矩形孔附近正透鏡（m）焦平面處的屏上觀察衍射圖樣，試求中央亮斑的尺寸。 解：中央亮斑邊緣的坐標為： mm mm mm mm中央亮斑是尺寸為3.26mm9.76mm的豎直矩形63 一天文望遠鏡的物鏡直徑D100mm，人眼瞳孔的直徑d2mm，求對于發射波長為m光的物體的角分辨極限。為充分利

28、用物鏡的分辨本領，該望遠鏡的放大率應選多大？ 解：當望遠鏡的角分辨率為： rad人眼的最小分辨角為： rad望遠鏡的放大率應為：64 一個使用汞綠光（nm）的微縮制版照相物鏡的相對孔徑（）為1:4，問用分辨率為每毫米380條線的底片來記錄物鏡的像是否合適？ 解：照相物鏡的最大分辨本領為： /mm380375可以選用每毫米380條線的底片。 65 若要使照相機感光膠片能分辨2 mm的線距，問（1） 光膠片的分辨本領至少是每毫米多少線？（2） 照相機鏡頭的相對孔徑D/f至少有多大？ 解：（1）由于相機感光膠片能分辨2 mm的線距，則分辨本領至少為： 線/毫米（2）可見光一般取中心波長nm計算，則相

29、機的相對孔徑至少為：66 借助于直徑為2m的反射式望遠鏡，將地球上的一束激光（nm）聚焦在月球上某處。如果月球距地球4105km。忽略地球大氣層的影響，試計算激光在月球上的光斑直徑。 解：由于衍射效應，反射式望遠鏡對激光成像的愛里斑角半徑為： rad由于角度很小，因此激光在月球上的光斑直徑為：m67 直徑為2mm的激光束（）射向1km遠的接收器時，它的光斑直徑有多大？如果離激光器150km遠有一長100m的火箭，激光束能否把它全長照亮？解：激光束的衍射角為： rad離激光束1km遠處的光斑直徑為： m離激光束150km遠處的光斑直徑為： m 大于火箭的長度，因此激光束能把它全長照亮。68 一透

30、鏡的直徑D2cm，焦距f50cm，受波長nm的平行光照射，試計算在該透鏡焦平面上衍射圖象的愛里斑大小。 解：愛里斑直徑為：cm69 波長為550nm的平行光垂直照射在寬度為0.025mm的單縫上，以焦距為60cm的會聚透鏡將衍射光聚焦于焦平面上進行觀察。求單縫衍射中央亮紋的半寬度。 解：單縫衍射中心亮紋的角半寬度為：條紋的半寬度為：cm610 用波長nm的激光粗測一單縫縫寬。若觀察屏上衍射條紋左右兩個五級極小的距離是6.3cm，屏和縫的距離是5m，求縫寬。 解：衍射條紋第五個極小對應于： rad則左右兩個五級極小的距離為： 縫寬為：mm611 波長nm的平行光垂直照射在寬度為0.025mm的單

31、縫上，以焦距為50cm的會聚透鏡將衍射光聚焦于焦面上進行觀察，求：（1）衍射圖樣中央亮紋的半寬度；（2）第一亮紋和第二亮紋到中央亮紋的距離；（3）第一亮紋和第二亮紋相對于中央亮紋的強度。 解：（1）中央亮紋的半角寬度為： rad 中央亮紋的半寬度為：cm（2）第一亮紋的位置對應于，即： rad第一亮紋到中央亮紋的距離為： cm 第二亮紋對應于rad第二亮紋到中央亮紋的距離為： cm （3）設中央亮紋的光強為，則第一亮紋的強度為： 第二亮紋的強度為： 612 在不透明細絲的夫瑯和費衍射圖樣中，測得暗條紋的間距為1.5mm，所用透鏡的焦距為300mm，光波波長為632.8nm，問細絲直徑為多少？

32、解：設細絲的直徑為D，則由題意：mm613 在雙縫的夫瑯和費衍射實驗中所用的光波的波長nm，透鏡焦距cm，觀察到兩相鄰亮條紋之間的距離mm，并且第四級亮紋缺級，試求雙縫的縫距和縫寬。 解：雙縫衍射兩相鄰亮條紋的距離為： 縫距為：mm第四級缺級縫寬為：mm614 考察縫寬cm，雙縫間隔cm，波長為0.6328m時的雙縫衍射，在中央極大值兩側的衍射極小值間，將出現多少個干涉極小值？若屏離開雙縫457.2cm，計算條紋寬度。 解：中央極大值兩側的衍射極小值滿足： 在中央極大值兩側的衍射極小值間的衍射角將滿足：干涉極小滿足： 0，1，2 在中央極大值兩側的衍射極小值間，干涉極小滿足： 的取值可為0，1

33、，27，8出現的干涉極小值個數為16個 條紋寬度為：mm615 計算縫距是縫寬3倍的雙縫的夫瑯和費衍射第1，2，3，4級亮紋的相對強度。解：由題意，因此第三級缺級第三級亮紋的相對強度為0第1，2，4級亮紋分別對應于：， 既是：，此時，第1，2，4級亮紋的相對強度分別為： 616 波長為500nm的平行光垂直入射到一塊衍射光柵上，有兩個相鄰的主極大分別出現在和的方向上，且第四級缺級，試求光柵的柵距和縫寬。 解：兩個相鄰的主極大分別出現在和的方向上，則： 兩式相減得：m第四級缺級縫寬為：m617 用波長為624nm的單色光照射一光柵，已知該光柵的縫寬mm，不透明部分寬度mm，縫數N1000條，試求

34、：（1）中央極大值兩側的衍射極小值間，將出現多少個干涉主極大；（2）譜線的半角寬度。 解：（1）中央峰兩側的衍射極小值滿足：中央峰內的衍射角滿足干涉主極大滿足： 0，1，2 在中央峰內的干涉主極大滿足： 的取值可為0，1，2，3出現的干涉極小值個數為7個 （2）譜線的角寬度為：rad618 一塊光柵的寬度為10cm，每毫米內有500條縫，光柵后面放置的透鏡焦距為500mm，問：（1）它產生的波長nm的單色光一級和二級譜線的半寬度是多少？（2）若入射光是波長為632.8nm和波長與之相差0.5nm的兩種單色光，它們的一級和二級譜線之間的距離是多少？ 解：（1）一級譜線和二級譜線的位置分別為： 一

35、級譜線和二級譜線的半寬度為： mm mm （2）一級譜線和二級譜線的線色散分別為： 波長差的兩種單色光的一級譜線之間和二級譜線之間的距離分別為： mm mm619 鈉黃光垂直照射一光柵，它的第一級光譜恰好分辨開鈉雙線（nm，nm），并測得589nm的第一級光譜線所對應的衍射角為2，第四級缺級，試求光柵的總縫數，光柵常數和縫寬。 解：光柵的分辨本領為： 其中nm光柵的總縫數為：第一級光譜滿足：光柵常數為：mm第四級缺級縫寬為：mm620 為在一塊每毫米1200條刻線的光柵的一級光譜中分辨波長為632.8nm的一束HeNe激光的模結構（兩個模之間的頻率差為450MHz），光柵需有多長？ 解：nm光

36、柵所需要的縫數至少為：光柵的總長度為：mm621 對于500條/mm的光柵，求可見光（0.40.76m）一級光譜散開的角度，一級紅光（0.76m）的角色散率，以及對于m物鏡的線色散率。 解：光柵方程：對于紫光m的一級光譜有： 對于紅光m的一級光譜有： 一級光譜散開的角度是一級紅光的角色散率為：rad/nm相應的線色散為： m/nm622 波長范圍從390nm到780nm的可見光垂直照射柵距mm的光柵，為了在透鏡焦面上得到可見光一級光譜的長度為50mm，透鏡的焦距應為多少？ 解：光柵方程：對于紫光nm的一級光譜有： 對于紅光nm的一級光譜有： 在透鏡焦面上得到可見光一級光譜的長度為： 透鏡焦距為

37、：mm623 設計一塊光柵，要求（1）使波長nm的第二級譜線的衍射角；（2）色散盡可能大；（3）第三級譜線缺級；（4）在波長nm的第二級譜線能分辨0.02nm的波長差。在選定光柵參數后，問在透鏡的焦平面上只可能看到波長600nm的幾條譜線？ 解：為使波長nm的第二級譜線的衍射角，光柵常數需滿足：mm 要滿足條件（2），則d應盡可能小，因此光柵常數為： mm第三級缺級縫寬為：mm 由條件（4），光柵的縫數至少為： 光柵形成的譜線應在的范圍內。當時， 即第四級譜線對應于衍射角，實際上看不見，此外第三級缺級，所以只能看見0，1，2級共5條譜線。624 已知一光柵的光柵常數m，縫數為N20000條，求

38、此光柵的一、二、三級光譜的分辨本領，并求波長m紅光的二級光譜位置，以及光譜對此波長的最大干涉級次。 解：光柵的分辨本領為：對于一級光譜： 對于二級光譜： 對于三級光譜： 波長m紅光的二級光譜位置為： 光柵形成的譜線應在的范圍內。當時，最大干涉級次為3625 一塊每毫米50條線的光柵，如要求它產生的紅光（nm）的一級譜線和零級譜線之間的角距離為5，紅光需用多大的角度入射光柵？ 解：光柵方程為：對于紅光的零級譜線： 對于紅光的一級譜線： 由微分定理： rad 入射角為：626 一塊每毫米1200個刻槽的反射閃耀光柵，以平行光垂直于槽面入射，一級閃耀波長為480nm。若不考慮缺級，有可能看見480n

39、m的幾級光譜？ 解：一級閃耀波長為480nm，則：閃耀角為：槽面之間干涉產生主極大的條件為： 0，1，2 光柵形成的譜線應在的范圍內。當時， 當時， 能看見480nm的譜線級數為：2，1，0627 一閃耀光柵刻線數為100條/mm，用nm的單色平行光垂直入射到光柵平面，若第二級光譜閃耀，閃耀角應為多大？ 解：由于第二級光譜閃耀，則：閃耀角為：628 在進行菲涅耳衍射實驗中，圓孔半徑，光源離圓孔0.3m，nm，當接收屏由很遠的地方向圓孔靠近時，求前兩次出現光強最大和最小的位置。 解：該圓孔的菲涅耳數為： 說明當接收屏從遠處向圓孔靠近時，半波帶最少是9個。因為為奇數，對應于第一個光強最大值，這時離

40、圓孔的距離為： m 對應于第二個光強最大值的半波帶數11，出現在： m 對應于第一個光強最小值的半波帶數10，出現在： m 對應于第二個光強最小值的半波帶數12，出現在： m629 波長nm的平行光射向直徑D2.6mm的圓孔，與孔相距1m處放一屏幕。問軸線與屏的交點是亮點還是暗點？至少把屏幕向前或向后移動多少距離時，該點的光強發生相反的變化？ 解：波帶數與圓孔半徑的關系為：當平行光入射時，波帶數為：軸線與屏的交點是亮點當把屏幕向前移近圓孔，相應的波帶數增加，增大到4時，軸線與屏的交點是暗點，此時屏幕到圓孔的距離為： m屏幕移動的距離為： m 當把屏幕向后移遠圓孔，相應的波帶數減小，減小到2時，

41、軸線與屏的交點是暗點，此時屏幕到圓孔的距離為： m屏幕移動的距離為： m630 一波帶片離點光源2m，點光源發光的波長為546nm，波帶片成點光源的像位于2.5m遠的地方，問波帶片第一個波帶和第二個波帶的半徑是多少？ 解：由波帶片的成像公式：求得波帶片的主焦距為：m則波帶片第一個波帶和第二個波帶的半徑分別為： m m631 一個波帶片的第八個帶的直徑為5mm，試求此波帶片的焦距以及相鄰次焦點到波帶片的距離。設照明光波波長為500nm。 解：波帶片的焦距為： m 相鄰次焦點到波帶片的距離為：m632 波長632.8nm的單色平行光垂直入射到一圓孔屏上，在孔后中心軸上距圓孔m處的P點出現一個亮點，

42、假定這時小圓孔對P點恰好露出第一個半波帶，試求小圓孔的半徑。當P點沿中心軸從遠處向小圓孔移動時，第一個暗點至圓孔的距離。 解：波帶數與圓孔半徑的關系為：當平行光入射時，波帶數為：m當P點沿中心軸從遠處向小圓孔移動時，第一個暗點對應于2，此時，該暗點至圓孔的距離為：m633 單色點光源（）安放在離光闌1m遠的地方，光闌上有一個內外半徑分別為0.5mm和1mm的通光圓環，接收點離光闌1m遠，問在接收點的光強和沒有光闌時的光強之比是多少？ 解：半徑為1mm的圓孔包含的波帶數為： 半徑為0.5mm的圓孔擋住的波帶數為： 通光圓環通過的波帶數為3，因此通光圓環在接收點產生的振幅等于一個波帶在接收點產生的

43、振幅，且近似地等于第一個波帶產生的振幅，即： 沒有光闌時，接收點的振幅為： 光強之比為：634 波長為0.45m的單色平面波入射到不透明的屏A上，屏上有半徑mm的小孔和一與小孔同心的環形縫，其內外半徑為mm和mm，求距離A為80cm的屏B上出現的衍射圖樣中央亮點的強度，比無屏A時的光強大多少倍？ 解：若屏上只有一個半徑mm小孔，相對于衍射圖中心亮點，波面上露出的半波帶數為： 如果屏上小孔半徑為mm，則波面上露出的半波帶數為： 如果屏上小孔半徑為mm，則波面上露出的半波帶數為： 由于同心環縫的存在，第二個半波帶被擋住。此時照射到屏B上衍射圖樣中央亮點的振幅為： 如果屏A不存在，則 屏B上衍射圖樣

44、中央亮點的強度與比無屏A時的光強之比為：635 有一波帶片對波長的焦距為1m，波帶片有10個奇數開帶，試求波帶片的直徑是多少？ 解：由于波帶片有10個奇數開帶，則波帶片包含的波帶總數為：波帶片的直徑為：m636 一波帶片主焦點的強度約為入射光強的103倍，在400nm的紫光照明下的主焦距為80cm。問波帶片應有幾個開帶，以及波帶片的半徑。 解：設波帶片n個開帶,則主焦點相對光強為：若奇數開帶，則波帶片包含的波帶總數為：此時波帶片的半徑為：mm若偶數開帶，則波帶片包含的波帶總數為：此時波帶片的半徑為：mm第七章 光在各向異性介質中的傳播71 KDP對于波長546nm的光波的主折射率分別為，試求光

45、波在晶體內沿著與光軸成45角的方向傳播時兩個許可的折射率。 解：尋常光的折射率不變，非尋常光的折射率由公式求得，其中： 72 一束鈉黃光以60角方向入射到方解石晶體上，設光軸與晶體表面平行，并垂直與入射面，問在晶體中o光和e光夾角為多少？（對于鈉黃光，方解石的主折射率，1.4864）。 解：根據題意和光在晶體表面折射的性質，在晶體內折射的o光和e光波矢面與入射面截線為同心圓，o光和e光均服從折射定律。 1.4864根據折射定律： 由于光軸垂直于入射面，因此o光和e光的光線與波法線方向不分離，所以兩折射光線的夾角73 證明單軸晶體中e光線與光軸的夾角和e光波陣面法線與光軸的夾角有如下關系： 證明

46、：單軸晶體中e光的各矢量如圖所示，表示e光線方向，表示e光波陣面法線方向，z軸為光軸方向。則： 由圖中幾何關系可知： 74 證明在單軸晶體中，當時（表示e光波陣面法線與光軸的夾角），e光離散角有最大值，并求出最大值的表達式。 證明：設e光線與光軸的夾角為，則對微分，得： 當取最大值時，有 由上式可得： 此時， 最大離散角為：75 波長632.8nm的氦氖激光器垂直入射到方解石晶片（此時，方解石的主折射率，1.4864），晶片厚度d0.02mm，晶片表面與光軸成50角，試求晶片內o光和e光的夾角及其各自的振動方向，o光和e光通過晶片后的位相差是多少？ 解：由于入射光垂直入射，因此o光將不偏折地通

47、過晶片，e光的波法線方向也遵守折射定律，垂直于晶片表面。光軸與e光波法線（也是o光方向）的夾角：905040 由公式，得e光線與光軸的夾角： o光和e光的夾角： e光和o光的振動方向如右圖所示，其中黑點表示振動方向垂直于紙面，線條表示振動方向在圖面內。 o光和e光的位相差：76 一細光束掠入射單軸晶體，晶體的光軸與入射面垂直，晶體的另一面與折射表面平行。已知o、e光在第二個面上分開的距離是3mm，若no1.525，ne1.479，計算晶體的厚度。 解：如圖所示，入射角i90。根據題意，o光和e光均滿足折射定律，且晶體中的o光和e光折射率大小等于其主折射率，其折射角： 由于光軸垂直于入射面，因此o光和e光的光線與波法線方向不分離，所以兩折射光線的夾角 根據圖中幾何關系： 其中，AB3mm OA 晶體厚度77 一塊晶片的光軸與表面平行，且平行于入射面，試證明晶片內o光線和e光線的折射角之間有如下關系： 證明：如圖，以負單軸晶體為例，設入射角為，晶片內的o光的折射角為，o光遵守各向同性介質中的折射定理： 對于e光，設波法線與光軸的夾角為，則e光的折射率為： 由折射定理： e光與光軸的夾角：由圖可知， e光折射角為： 78 一塊負單軸晶體制成的棱鏡如圖所示，自然光從左方正入射到棱鏡。試證明e光線在棱鏡斜面上反射后與光軸夾角由下式決定：，并畫出o光和