1、中學(xué)生物理競賽模考訓(xùn)練05答案及評分標準滿分160分 命題人 蔡子星第一題（20分）（1）如圖4根輕桿之間鉸接，左端鉸接在墻上，端掛有重物。求出端和墻之間的作用力。（2）如圖將上述結(jié)構(gòu)復(fù)制n份，鉸接起來，分別掛有重物，。求出當n足夠大的時候，墻上兩個端點與墻之間的相互作用力。【解】：(1) 因為是輕桿，力必水平。對和點做力矢量和為零得到對墻拉力為，點對象水平壓力為，豎直壓力為 （6分）(2) 將右方所有支架加重物視為一個整體。以為支點，寫力矩平衡方程，令對墻的拉力為有： （乘以2之后錯位相減）對整理合外力等于零得到：對墻水平壓力位，豎直方向壓力為注：用遞推做則寫出遞推式得6分，三個結(jié)果分別2，

2、3,3分第二題（20分）空間中有兩層很薄的電荷，電荷密度為，間距為，很小，叫做電偶極層。一個電量為，質(zhì)量為的點電荷，只能和電偶極層間發(fā)生靜電相互作用（而不會碰撞）。（1）粒子以速度，角度，入射電偶極層，出射方向。求出和之間的關(guān)系。（2）將電偶極層彎成離心率為的雙曲面形狀，左邊為正電荷，兩個焦點沿著軸方向，要求所有平行于與軸方向入射的粒子都能匯交與焦點，則粒子速度，電偶極層厚度，電荷密度之間應(yīng)當滿足什么關(guān)系？【解】：數(shù)學(xué)附錄：雙曲線方程，雙曲線上一點到焦點的距離與到準線的距離之比為，雙曲線的漸近線為。（1）由高斯定理電場，電勢差由能量守恒，末態(tài)初速度滿足：解得：由沿面的切線方向動量守恒： （10

3、分）（2）經(jīng)過定性分析，只能是經(jīng)過減速度后匯交于另一支的焦點。由于本題已知雙曲線能將粒子匯聚于焦點，則只需要通過特殊值驗算參數(shù)間關(guān)系即可。最簡單的驗算位置在距離軸很遠的地方，即在漸近線上。此時入射角為，出射角為（很遠，所以到焦點和原點幾乎是一條線）帶入第一問方程得到（注意為減速）： （10分） 解畢（以下不是考題：證明第二問的雙曲線能將粒子匯聚到焦點）（3）以下不是考題部分：令曲線方程為考慮兩個相鄰的入射軌跡和，作于；于由雙曲線第二定義（準線定義）得：作于，有 （雙曲線線上點到兩焦點距離之差不變）由雙曲線性質(zhì)與中第三題（20分）空間中有沿著方向的磁場，磁場大小隨著時間和空間變化，滿足。一個桌面

4、在平面上，平面上有一個沿著x-y方向正放的線框，線框邊長為，總電阻為。（1）假設(shè)線框相對于桌面靜止，線圈的左端位于的位置，求出線框中電動勢隨著時間的變化關(guān)系。（2）若線框質(zhì)量為，摩擦系數(shù)為，線框是否可能相對于桌面沿著x方向做勻速直線運動？如果可能求出參數(shù)之間應(yīng)當滿足的條件，如果不可以，寫明理由。（以下不是考題：找到三個這樣的線框，沿著x軸發(fā)成一排，相鄰兩個之間用長度為的絕緣木棒連接，問這三個線框是否可能一起做勻速直線運動，如果可以求出各參數(shù)應(yīng)當滿足條件，如果不可以寫明理由。）【解】：（1）變到以速度的參照系中對于線圈回路的總電動勢不隨參照系變化而變化（雖然動生和感生電動勢分別可能發(fā)生變化）此系

5、中左桿，右桿左桿向上右桿向上逆時針為正，回路電動勢 其中 （7分）在原系中積分計算磁通量再對時間求導(dǎo)數(shù)方法也給全分。（2）設(shè)直線運動速為同第一問有：又電流安培力顯然與無關(guān)只有，然后這會導(dǎo)致不可能（13分）（不是考題部分），類似三相交流電。第四題（20分）一個金屬球殼，半徑為，質(zhì)量為，帶電量為，初始時刻自由的靜止在空間中。球殼的一端有一個小洞。球心與小洞的連線方向視為軸線方向。在軸線上很遠的地方有一個半徑為的金屬球，質(zhì)量為，帶電量為，以初速度向著球心飛去。（假設(shè)飛行速度很慢，電荷產(chǎn)生電場可以拿靜電力公式計算，金屬球殼外表面導(dǎo)電性能良好，不考慮電磁輻射）（1）求出當金屬球進入球殼后達到球心時，金屬

6、球的速度為多少？（2）金屬球與球殼發(fā)生完全非彈性碰撞后連為一體，求整個過程中的發(fā)熱。（以下不是試題：求出能夠讓金屬球打入球殼所需的最小速度。仔細想哦。答案得到的同學(xué)回去面壁）【解】：（1）初態(tài)電勢能為末態(tài)電勢為，電勢為末態(tài)能量動能減少為設(shè)末態(tài)速度為，末態(tài)速度為由動量守恒，由能量守恒，解得： （8分）（正根、負根舍去一個，或者不舍去均給分）（2）電荷全部到達外表面后：電勢能改變：由能量守恒得到：（12分）第五題（20分）如圖所示，一個信號源以恒定的速度向x正方向運動。信號在空中傳播的速度為u。信號源本身的頻率為。在地面上的靜止的觀察者所接受到的信號頻率為。在信號源的飛行軌跡上，點位最靠近P的點。

7、以原點建立坐標系。（改編自臺灣物理競賽試題）（1）證明在信號源距離觀察者足夠遠的時候，有人類的第一顆人造衛(wèi)星繞地飛行的時候，地面上的觀察者測量衛(wèi)星發(fā)出的光信號頻率。縱軸為信號頻率，單位為赫茲；橫軸為測量時間，單位為分鐘。光速為。（2）請由此圖估算衛(wèi)星相對于觀察者的速度。（3）請由此圖估算衛(wèi)星距離觀察者的最近距離。【解】：（1） 如圖，初態(tài)距離為，發(fā)出信號，到達點過后，距離為，信號到達時刻為接收時間間隔所以頻率為（2）初態(tài)很遠到末態(tài)很遠處頻率差為做小量近似有，則有（3）讀出圖中中間段的的斜率 當衛(wèi)星飛過頭頂時，經(jīng)過后，角度變化為，為高度頻率變化解得：正負均視為正確，用曲線回歸或者取多個點求平均的

8、方法均視為正確。第六題（18分）一個質(zhì)量為的星體和質(zhì)量為的星體，繞著它們的質(zhì)心分別做圓周運動。在質(zhì)心系中觀察發(fā)現(xiàn)體系總角動量為（1）求體系的總能量（2）發(fā)生爆炸成為兩個質(zhì)量為的星體，爆炸瞬間體系總機械能增加了，之后經(jīng)歷復(fù)雜的三體運動（以下省略劉慈欣寫的三體）最后和相互環(huán)繞著飛行，與二者遠離。已知這時候以為參照系的角動量為以和的質(zhì)心為參照系，和構(gòu)成的系統(tǒng)的能量最小值為多少？這會對有什么限制？【解】：（1） 考慮兩體問題折合質(zhì)量做法，與的折合質(zhì)量為相對速度為，相對距離為，兩體問題角動量等于原體系質(zhì)心系角動量由牛頓第二定律解得兩體問題能量等于 由于兩體問題動能等于原題體系質(zhì)心動能，兩體問題勢能等于原

9、體系勢能所以 （10分）（2） 對于和構(gòu)成體系，當相對質(zhì)心動能為，相對質(zhì)心角動量為，這也等于兩體問題的動能和角動量。可以證明當角動量一定時，圓軌道能量最低。（4分）利用第一問結(jié)論注意應(yīng)當帶入的是質(zhì)心角動量，而不是相對角動量，差兩倍！，能量其他方法均給分（4分）由此可得（2分）第七題（20分）如圖是兩沖程柴油機的工作原理圖。為了計算方便我們把工作流程化簡如下：假設(shè)氣缸絕熱光滑，活塞自身質(zhì)量可以忽略。第一階段，氣缸體積達到最大為，將空氣鼓入氣缸，把部分廢氣趕出氣缸，同時將霧化的燃料（視為）噴入氣缸中，此時缸內(nèi)氣壓為，溫度為，新注入的空氣占體積比為80%。第二階段，氣缸進行絕熱壓縮至最小體積，此時混

10、合氣體發(fā)生爆炸，恰好完全反應(yīng)，已知這個溫度和壓強下，燃燒的焓變?yōu)椋丛谶@個溫度和壓強下，如果保持溫度和壓強不變，則單位質(zhì)量燃料燃燒放熱為。假設(shè)燃燒速度很快，燃燒結(jié)束的時候氣缸體積幾乎沒有改變。第三階段，氣缸絕熱膨脹對外做功到最大體積，回到第一階段。為了簡化計算，空氣的成分視為79%的，21%的（體積分數(shù)），各種氣體的參數(shù)如下:摩爾質(zhì)量 (g/mol)28321844定容摩爾熱容量 (R)2.52.53.02.5假設(shè)滿足理想氣體狀態(tài)方程，氣體做絕熱變化的時候滿足，其中，是定容摩耳熱容量。（1）為了使得恰好完全反應(yīng)，每次應(yīng)當噴入多少質(zhì)量的燃料？（2）求出壓縮到最小體積，點燃前的溫度，以及排出廢氣的

11、溫度。（以下不是考題：計算這個內(nèi)燃機的最大工作效率）【解】：（1） 長時間運行到達穩(wěn)定，新入空氣摩爾數(shù)摩爾數(shù)反應(yīng)方程式燃料：，（6分）（2） 廢氣中摩爾比例由此算得壓縮前等效的燃燒后等效的，等效的（4分）壓縮至后，（4分）燃燒后若等壓燃燒每mol放熱按熱力學(xué)第一定律：燃燒后（二氧化碳+水）的內(nèi)能-原料（燃料+氧氣）（4分）變成定題絕熱燃燒后，由于吸熱、做功等于0，由此得到，膨脹帶入絕熱方程得答案（2分）（3） 不是考題部分第八題（22分）在SLAC中，一種產(chǎn)生高能射線（高能光子）的方式是拿高能電子與可見光（低能光子）對撞。高能電子的總能量為，可見光的波長為， 可見光與電子動量方向相反。電子的靜質(zhì)量為。電子與光子發(fā)生彈性碰撞，出射粒子仍然是一個電子一個光子。普朗克常數(shù)，電子電量，光速（1） 若光子在沿著原電子方向出射，則出射光子波長為多少？碰撞后電子能量變?yōu)槎嗌伲浚?） 若出射的光子方向與原電子方向有小角度偏差，則出射光子的頻率和第一問中頻率的比值為多少？【解】：（1）， （10分）（2）（10分）過程：解法一：（1） 令入射電子能量為，電子靜能量為，入射光子能量為，出射光子能量為由能量守恒和