1、第二章第二章結構相似理論結構相似理論教學課程實驗應力分析哈爾濱工業大學土木工程學院2012年11月16日2.1 概述力學分析理論計算實驗研究原型試驗模型試驗模型試驗是將發生在原型中的力學過程,在物理相似條件下，經縮小(或放大)后在模型上重演。對模型中的力學參數進行測量、記錄、分析，并根據相似關系換算到原型中去，達到研究原型力學過程的目的。模型試驗模型試驗Akashi Kaikyo Bridge, Japan明石頭海峽大橋，日本模型試驗模型試驗模型試驗模型試驗航空航天領域UCSD-NEES 室外振動臺實驗原型試驗原型試驗日本，E-Defense振動系統，“足尺三維振動破壞實驗設施”模型試驗的優點

2、：經濟性好模型尺寸小針對性強突出主要因素，略去次要因素數據準確室內試驗模型試驗的應用：代替大型結構試驗或作為大型結構試驗的輔助試驗。作為結構分析計算的輔助手段。驗證和發展結構計算理論。模型試驗的理論基礎結構相似理論2.2 模型的相似物理量和物理現象的相似2. 物理現象相似是指除了幾何相似之外，在進行物理過程的系統中，在相應的地點（位置）和對應的時刻，模型與原型的各相應物理量之間的比例應保持常數。1. 物理量相似 各種物理量，如幾何，質量，力等。在兩個系統中，所有向量在對應點和對應時刻方向相同、大小成比例，所有標量也在對應點和對應時刻成比例2.2.1基本概念2.2.2 物理量的相似1.幾何相似要

3、求模型與原型結構之間所對應部分的尺寸成比例。幾何尺寸之比稱為幾何相似常數。mmmlppplbhSlbhlSlbhmp幾何相似常數、 、結構的長、寬、高三個方向的線性尺寸、分別代表模型和原型2mmmAlpppAhbSSAhb對一矩形截面，模型和原型結構的面積相似常數、截面抵抗矩相似常數和慣性矩相似常數分別為2321616mpmmpWplbhWWbShS343112112mpIlmmppbhIIbShS 面積相似常數截面抵抗矩相似常數慣性矩相似常數相似常數2.質量相似要求模型與原型結構對應部分質量成比例。質量之比稱為質量相似常數。pmmmmS對于具有分布質量部分，用質量密度表示。pmS3lSSSS

4、SmVm質量密度相似常數3.荷載相似要求模型與原型在各對應點所受的荷載方向一致，大小成比例。集中荷載相似常數線荷載相似常數面荷載相似常數彎矩或扭矩相似常數2lSSAAPPSPPmmpmplSSS3lMSSSqSS4.物理相似 要求模型與原型的各相應點的應力和應變、剛度和變形間的關系相似。數。應變和泊松比的相似常剪應力、剪切模量、剪應變、正應力、彈性模量、正SSSSSSSGE,mmmGpPPGSSSGmpSmmmEpPPESSSE5.時間相似 pmtttS 時間相似常數對于結構的動力問題，在隨時間變化的過程中，要求模型與原型在對應時刻進行比較，要求相對應的時間成比例。6.邊界條件相似 要求模型與

5、原型在與外界接觸的區域內的各種條件（支承條件、約束條件和邊界上的受力情況等）保持相似。7.初始條件相似動力問題 要求模型與原型在初始時刻的運動參數相似。 初始幾何位置、質點的位移、速度和加速度。模型上的速度、加速度和原型的速度和加速度在對應的位置和對應的時刻保持一定的比例，并且運動方向一致。與原型結構構造相同的條件2.3.結構相似定理FmpFS F以牛頓第二定律為例來說明第一相似定理性質對于原型： (1)力相似常數如果模型與原型相似，則各對應物理量成比例： 對于模型 (2)pppaMF mmmaMFmmpmS mmapaS a質量相似常數加速度相似常數 (3)2.3.1.第一相似定理pppam

6、FamFSSSpmppmmFFidemm am a將(3)代入(2)，與(1)相比有：稱這一無量綱量為相似準數，也稱相似判決，相似系統相似準數相同emFmaid1FmaSS S無量綱值相似指標(4)將(3)代入(4)（4）式為判別模型與原型是否相似的條件，稱為相似指標，若兩個物理系統現象相似，則它們的相似指標為1。去掉角標，寫成一般形式:已知系統相似確定相似條件第一相似定理:彼此相似的現象，以相似常數組成的受現象制約的相似指標等于1或相同文字組成的相似準數為一不變量。相似常數:在兩相似現象中，兩個對應的物理量之比為常數。相似指標:由彼此相似現象中各相似常數組成的無量綱量,彼此相似的現象都滿足相

7、似指標等于1的條件。相似準數:在所有相似的現象中是一個不變量，無量綱量,所有相似的系統相似準數應相等。幾個重要概念小結2.3.2 方程分析法 利用描述現象的基本微分方程組導出相似準數（判據）。具體步驟：第一步：將方程對于原型寫出，加角標 p；第二步：將方程對于模型寫出，加角標 m；第三步：定義模型和原型同名物理量間的相似常數；第四步：將模型方程中各物理量以相似常數和原型中對應物理量表示。第五步：比較原型與模型方程，消去原型方程中的各物理量，即得到無量綱形式的相似指標和相應的相似準數（判據）。例1：單自由度系統有阻尼受迫振動相似準數的導出。振動微分方程如下： 22d ydymckypdtdt解：

8、對于原型系統振動微分方程22pppppppppd ydymck ypdtdt22mmmmmmmmmd ydymck ypdtdt對于模型系統振動微分方程,mmmmmmmckytpppppppmckytpSSSSSSmckytp 各物理量的相似常數為,mmpmcpmkpmppmt pmppmS mcS ckS kyS ytS tpS p模型系統各物理量為將上式代入模型系統，得：222ypypmpcpkypppptptpSd ySdySmScS Sk ySpSdtSdt2yymckypttSSSSS SSSS222ypypmpcpkypppptptpSd ySdySmScS Sk ySpSdtSd

9、t與原型系統相比較，得：由上式得222mycyttmykytmyptS SS SSSS SS SSS SSS122222311, 1,ctmktmptmyS SSS SSS SSctSmktmptmy22pppppppppd ydymck ypdtdtPLa()()pppppppppppMP LaMPLaWW例2：一懸臂梁結構，在梁端作用一集中荷載 P，截面高 h，寬 b，求相似準數。解：對于原型結構，在任意截面 a處彎矩、正應力和撓度為：2(3)6pppppppP afLaE I()()mmmmmmmmmmmMP LaMPLaWW2(3)6mmmmmmmP afLaE I模型方程,mmmmm

10、EpMfpppppEPMfSSSSSEPMf22()()(3)6mmmmmmmMPllpfmmmmElpmmmmmSS SS SSS S SMP LaPLaWP afLaESI將以上各式代入原型系統方程，則相似系統的結構相似常數為34,mmllmmmmlwIpppppplahbSSSlahWISSIbW將上式并與模型系統相比較，得相似準數如下2111MPllpfElpSS SS SSS S SS1223MPLLPfELP2mmpMplmlpmpmElpmfpMMMSS SSSSfS SffSS由相似條件得到原型受力分布323(2)24()2()2q xyLLxxEIq xMLxq xLxW例3

11、：受均布載荷 q 作用的簡支梁在截面 x 處的撓度、彎矩和正應力如下，求相似準數。解：原型系統方程323(2)24()2()2pppppppppppppppppppq xyLL xxE Iq xMLxq xLxW相似系統的對應各物理量的相似常數為：43,mmmmmyMqlpppppmmmmlEIlWlppppyMqxSSSSSyMqxLEIWSSSSSSLEIW模型系統方程323(2)24()2()2mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmq xyLL xxE Iq xMLxq xLxW將模型系統各物理量代入上式43234223(2)24()2()2qlElqlqllppypppppppppM

12、PPPppppppS S q xS yLL xxS S E IS S q xS MLxS S q xSLxSW43,mypmMpmpmpmlpqmlpmEpmlpmlpyS yMS MSqS qxS xLS LES EIS IWS W模型系統各物理量為1223EyqMq llq整理得2111EyqMlqlqS SSSS SS SS3223(2)24()2()2EqqlqyMlpppppppppppPPPppppppS SSSS Sq xyLL xxE Iq xMLxq xS SSLxW則相似條件為2.4.1.基本概念量綱：物理量的種類量綱表示：麥克斯韋爾符號，比如L,M,T，表示長度，質量和時

13、間的量綱。2.4 量綱分析法量綱只區分物理量得種類，而不區分同一物理量得不同量度單位，如：5m，500cm。同名物理量具有相同的量綱。質量系統：長度L、時間T、質量M絕對系統：長度L、時間T、力F無量綱量：物理量無量綱，用1表示。基本量綱:具有獨立性的量綱，任何一個量綱不可能由其他量綱組成。導出量綱:所研究物理過程中全部有關物理量都可由這組基本量綱表示，任何物理量B的量綱可寫成B=FLT速度=長度/時間 V=LT-1力=質量加速度=質量長度/時間 F=MLT-2常用物理量的量綱2.4.2.2.4.2.第二相似定理（第二相似定理（ 定理）定理）物理方程量綱均勻性：物理方程是反映客觀物理現象規律的

14、各物理量的關系式，方程中各項的量綱必須相相等，并應使用同一度量單位。只有相同的量綱才能相加減，并用算術符號連接起來。（量綱和諧原理）物理方程量綱的齊次性：當量度單位發生改變時，方程的結構形式不變的性質稱為物理方程量綱的其次那性。u 量綱的均勻性，齊次性若在一個物理方程中共有n個物理參數x1, x2, , xn和k個基本量綱，則可組成(n-k)個獨立的無量綱組合。無量綱參數組合簡稱“ 數”，則此方程可改寫為(n-k)個數的方程，即：0),(21nxxxf12(,.,)0n kF 把表示物理過程的方程轉換成由相似準數表示的方程。u 第二相似定理 假設一物理現象的關系方程為：f(x1,x2,xn)=

15、0,式中x1, x2, xn為n個物理量，其中k個為基本量綱，(n-k)個為導出量綱。k個基本量綱為：100112.kxx xx00112.kkxx xx010212.kxx xx11111212.nknknkkknkxxxxxxxxn-k 個導出量的量綱可用基本量綱表示：若把物理量 x1, x2, xk 的度量單位各縮小1/a1, 1/a2, , 1/ak，并取 a1, a2, ak 為任意數值，則在新的單位系統中各物理量的數值變為： 11111121 1211n kn kn kkkkkknknkxa xxa xxxa aaaxaax將它們代入到物理方程中，則有：0).,.,.,.,(111

16、11211212211nkkkkkxaaaxaaaxaxaxafkn111112.kkxx xx為減少自變量數目，取 a1=1/x1, a2=1/x2, , ak=1/xk12(,1,1,.,1.,)0n kf 111112112.n kn kn kknn kkkx xxxxxxx這樣基本量量綱之比、數值之比都等于1；導出量數值之比為1，量綱之比等于無量綱數 i 。12( , ,.,) 0n kF 12(1 ,1 ,.,1 , , ,.,) 0n kf 可寫成如果表示物理現象的方程中，包含 n 個物理量，其中k個具有或包含獨立量綱，于是 k 個可選為基本量，經過變換，該物理現象可由 n-k 個

17、物理量綜合數群關系式來表示，這就是 定理，又稱第二相似定理。例4：單自由度系統有阻尼受迫振動導出相似準數 ( , , , , , )0f m y t c k p 解1：設現象中各物理量的關系方程如下：1111cm y t取m，y，t為量綱獨立的物理量，有：2222kmy t3333pm y t各物理量的量綱： Mm 2 MLTp 2 MTk 1 MTc Tt Ly 由無量綱量 1、2 、3 得比較可得 111222333122MTMLTMTMLTMLTMLT 1112223331,0,11,0,21,1,2 22123,ctktptmmmy所以由于 數對于相似的物理現象具有不變的形式，故模型設

18、計時需模型物理量與原型物理量滿足下式，即：2222,p pm mmpp pm mmpp pm mmmppc tc tmmk tk tmmp tp tm ym y將各物理量的相似常數代入上式，即得相似條件221, 11,ctmktmptmyS SSS SSS SS S解2：設現象中各物理量的關系方程如下：( , , , , , )0f m y t c k p 物理量個數 n=6, 用絕對系統，基本量綱3個，則 函數為：123(,)0 所有物理量組成無量綱形式的 數的一般形式為：356124aaaaaam c ky tp1211 , , , , mFL TcFL TkFLyLtTpF查表得物理量的

19、量綱代入上式得35612412111 aaaaaaFL TFL TFLLTF根據量綱和諧要求，對量綱 F、L、T 有123123412560200aaaaaaaaaaa假若確定a1 , a4, a5,則：2153145642aaaaaaaaa 故無量綱 數可寫為：15141455415422aaaaaaaaaaaamkkytkcpcm cky tp，可得三個獨立 數：451511445,0,00,00,0,111aaaaaaaaa分別取22123,ctktptmmmy與方法1結果比較：根據第一相似定理，故模型設計時需模型物理量與原型物理量滿足下式，即：22,ppmmmpppmmmpp pm m

20、mpm km kcck yk yppk tk tcc將各物理量的相似常數代入上式，即得相似條件2, 1,11mkcmypktcS SSS SSS SS例5：對受集中載荷的簡支梁導出相似準數 ( , , ,)0PlfMW解：受豎向荷載作用的梁的正截面應力 是梁的跨徑 l，截面抗彎模量 W，梁上作用荷載 P 和彎矩 M 的函數，這些物理量的之間關系可寫成一般形式：物理量個數 n=5, 基本量綱 k=2個，則 函數為：123(,)0 所有物理量組成無量綱形式的 數的一般形式為：abc deP M l W23 , , FLMFLWLlLpF查表得各物理量的量綱則量綱矩陣 根據量綱和諧要求，對量綱 L、

21、F 有2300acdeabc確定a、b、d，則1133cabeabd a b c d e P M l WL -2 0 1 1 3F 1 1 1 0 0 故無量綱 數可寫為：11331313abdababbdadWPP Ml WWlMMW 可得三個獨立 數：1312313,WPWlMMW1,0,00,1,00,0,1abdabdabd分別取圖示為欄河水壩在動力作用下，考慮結構的自重及彈性力、慣性力、動水壓力影響后，結構的應力、振幅、頻率、加速度、幾何尺寸、材料密度、液體密度、重力加速度、材料彈性模量、泊松比的關系應滿足：例6：分析如圖示的動力模型實驗的相似準數 0),(EgLafuf解：取 , f, L 為量綱獨立的物理量，則十個物理量的量綱為：122332112 , , , , , , 1 , ML TuLaLTMLgfTMLTEMLTLLL，7776665554443332221117654321,fLfLEfLgfLfLafLufL解得