1、- 13 -第一章 原子的基本狀況1.1 若盧瑟福散射用的粒子是放射性物質鐳放射的，其動能為電子伏特。散射物質是原子序數的金箔。試問散射角所對應的瞄準距離多大？解：根據盧瑟福散射公式：得到：米式中是粒子的功能。1.2已知散射角為的粒子與散射核的最短距 ，試問上題粒子與散射的金原子核之間的最短距離多大？ 解：將1.1題中各量代入的表達式，得：米若用動能為1兆電子伏特的質子射向金箔。問質子與金箔。問質子與金箔原子核可能達到的最小距離多大？又問如果用同樣能量的氘核（氘核帶一個電荷而質量是質子的兩倍，是氫的一種同位素的原子核）代替質子，其與金箔原子核的最小距離多大？解：當入射粒子與靶核對心碰撞時，散射

2、角為。當入射粒子的動能全部轉化為兩粒子間的勢能時，兩粒子間的作用距離最小。根據上面的分析可得：，故有：米由上式看出：與入射粒子的質量無關，所以當用相同能量質量和相同電量得到核代替質子時，其與靶核的作用的最小距離仍為米。1.4 釙放射的一種粒子的速度為米/秒，正面垂直入射于厚度為米、密度為的金箔。試求所有散射在的粒子占全部入射粒子數的百分比。已知金的原子量為。解：散射角在之間的粒子數與入射到箔上的總粒子數n的比是：其中單位體積中的金原子數：而散射角大于的粒子數為： 所以有：等式右邊的積分 故即速度為的粒子在金箔上散射，散射角大于以上的粒子數大約是。1.5 粒子散射實驗的數據在散射角很小時與理論值

3、差得較遠，時什么原因？答：粒子散射的理論值是在“一次散射“的假定下得出的。而粒子通過金屬箔，經過好多原子核的附近，實際上經過多次散射。至于實際觀察到較小的角，那是多次小角散射合成的結果。既然都是小角散射，哪一個也不能忽略，一次散射的理論就不適用。所以，粒子散射的實驗數據在散射角很小時與理論值差得較遠。1.6 已知粒子質量比電子質量大7300倍。試利用中性粒子碰撞來證明：粒子散射“受電子的影響是微不足道的”。證明：設碰撞前、后粒子與電子的速度分別為：。根據動量守恒定律，得： 由此得： (1)又根據能量守恒定律，得： （2）將（1）式代入（2）式，得：整理，得： 即粒子散射“受電子的影響是微不足道

4、的”。第二章 原子的能級和輻射2.1 試計算氫原子的第一玻爾軌道上電子繞核轉動的頻率、線速度和加速度。解：電子在第一玻爾軌道上即年n=1。根據量子化條件， 可得：頻率速度：米/秒加速度：2.2 試由氫原子的里德伯常數計算基態氫原子的電離電勢和第一激發電勢。解：電離能為，把氫原子的能級公式代入，得：=13.60電子伏特。 電離電勢：伏特第一激發能：電子伏特第一激發電勢：伏特2.3 用能量為12.5電子伏特的電子去激發基態氫原子，問受激發的氫原子向低能基躍遷時，會出現那些波長的光譜線？解：把氫原子有基態激發到你n=2,3,4等能級上去所需要的能量是： 其中電子伏特 電子伏特電子伏特 電子伏特其中小

5、于12.5電子伏特，大于12.5電子伏特。可見，具有12.5電子伏特能量的電子不足以把基態氫原子激發到的能級上去，所以只能出現的能級間的躍遷。躍遷時可能發出的光譜線的波長為：2.4 試估算一次電離的氦離子、二次電離的鋰離子的第一玻爾軌道半徑、電離電勢、第一激發電勢和賴曼系第一條譜線波長分別與氫原子的上述物理量之比值。解：在估算時，不考慮原子核的運動所產生的影響，即把原子核視為不動，這樣簡單些。a) 氫原子和類氫離子的軌道半徑：b) 氫和類氫離子的能量公式：其中電離能之比： 第一激發能之比：氫原子和類氫離子的廣義巴耳末公式：，其中是里德伯常數。氫原子賴曼系第一條譜線的波數為：相應地，對類氫離子有

6、：因此，2.5 試問二次電離的鋰離子從其第一激發態向基態躍遷時發出的光子，是否有可能使處于基態的一次電離的氦粒子的電子電離掉？解：由第一激發態向基態躍遷時發出的光子的能量為：的電離能量為：由于，從而有，所以能將的電子電離掉。第四章 堿金屬原子4.1 已知原子光譜主線系最長波長，輔線系系限波長。求鋰原子第一激發電勢和電離電勢。解：主線系最長波長是電子從第一激發態向基態躍遷產生的。輔線系系限波長是電子從無窮處向第一激發態躍遷產生的。設第一激發電勢為，電離電勢為，則有：4.2 原子的基態3S。已知其共振線波長為5893，漫線系第一條的波長為8193，基線系第一條的波長為18459，主線系的系限波長為

7、2413。試求3S、3P、3D、4F各譜項的項值。解：將上述波長依次記為容易看出：4.3 K原子共振線波長7665，主線系的系限波長為2858。已知K原子的基態4S。試求4S、4P譜項的量子數修正項值各為多少？解：由題意知：由，得： 設,則有與上類似4.4 原子的基態項2S。當把原子激發到3P態后，問當3P激發態向低能級躍遷時可能產生哪些譜線（不考慮精細結構）？答：由于原子實的極化和軌道貫穿的影響，使堿金屬原子中n相同而l不同的能級有很大差別，即堿金屬原子價電子的能量不僅與主量子數n有關，而且與角量子數l有關，可以記為。理論計算和實驗結果都表明l越小，能量越低于相應的氫原子的能量。當從3P激發

8、態向低能級躍遷時，考慮到選擇定則：，可能產生四條光譜，分別由以下能級躍遷產生：4.5 為什么譜項S項的精細結構總是單層結構？試直接從堿金屬光譜雙線的規律和從電子自旋與軌道相互作用的物理概念兩方面分別說明之。答：堿金屬光譜線三個線系頭四條譜線精細結構的規律性。第二輔線系每一條譜線的二成分的間隔相等，這必然是由于同一原因。第二輔線系是諸S能級到最低P能級的躍遷產生的。最低P能級是這線系中諸線共同有關的，所以如果我們認為P能級是雙層的，而S能級是單層的，就可以得到第二輔線系的每一條譜線都是雙線，且波數差是相等的情況。主線系的每條譜線中二成分的波數差隨著波數的增加逐漸減少，足見不是同一個來源。主線系是

9、諸P能級躍遷到最低S能級所產生的。我們同樣認定S能級是單層的，而推廣所有P能級是雙層的，且這雙層結構的間隔隨主量子數n的增加而逐漸減小。這樣的推論完全符合堿金屬原子光譜雙線的規律性。因此，肯定S項是單層結構，與實驗結果相符合。堿金屬能級的精細結構是由于堿金屬原子中電子的軌道磁矩與自旋磁矩相互作用產生附加能量的結果。S能級的軌道磁矩等于0，不產生附加能量，只有一個能量值，因而S能級是單層的。4.6 計算氫原子賴曼系第一條的精細結構分裂的波長差。解：賴曼系的第一條譜線是n=2的能級躍遷到n=1的能級產生的。根據選擇定則，躍遷只能發生在之間。而S能級是單層的，所以，賴曼系的第一條譜線之精細結構是由P

10、能級分裂產生的。氫原子能級的能量值由下式決定： 其中因此，有：將以上三個能量值代入的表達式，得：第五章 多電子原子5.1 原子的兩個電子處在2p3d電子組態。問可能組成哪幾種原子態?用原子態的符號表示之。已知電子間是LS耦合。解：因為，所以可以有如下12個組態：5.2 已知原子的兩個電子被分別激發到2p和3d軌道，器所構成的原子態為，問這兩電子的軌道角動量之間的夾角，自旋角動量之間的夾角分別為多少？解：（1）已知原子態為，電子組態為2p3d 因此，（2） 而5.3 鋅原子（Z=30）的最外層電子有兩個，基態時的組態是4s4s。當其中有一個被激發，考慮兩種情況：（1）那電子被激發到5s態；（2）

11、它被激發到4p態。試求出LS耦合情況下這兩種電子組態分別組成的原子狀態。畫出相應的能級圖。從（1）和（2）情況形成的激發態向低能級躍遷分別發生幾種光譜躍遷？解：（1）組態為4s5s時 ，根據洪特定則可畫出相應的能級圖，有選擇定則能夠判斷出能級間可以發生的5種躍遷：所以有5條光譜線。（2）外層兩個電子組態為4s4p時：，根據洪特定則可以畫出能級圖，根據選擇定則可以看出，只能產生一種躍遷，因此只有一條光譜線。5.4 試以兩個價電子為例說明,不論是LS耦合還是jj耦合都給出同樣數目的可能狀態.證明:(1)LS耦合 5個 L值分別得出5個J值,即5個單重態代入一個L值便有一個三重態個L值共有乘等于個原

12、子態：因此，LS耦合時共有個可能的狀態（）jj耦合：將每個合成J得：共個狀態：所以，對于相同的組態無論是LS耦合還是jj耦合，都會給出同樣數目的可能狀態5.5利用LS耦合、泡利原理和洪特定責來確定碳Z=6、氮Z=7的原子基態。解:碳原子的兩個價電子的組態2p2p,屬于同科電子.這兩個電子可能有的值是1,0,-1;可能有,兩個電子的主量子數和角量子數相同,根據泡利原理,它們的其余兩個量子數至少要有一個不相同.它們的的可能配合如下表所示.為了決定合成的光譜項,最好從的最高數值開始，因為這就等于L出現的最高數值。現在，得最高數值是2，因此可以得出一個D項。又因為這個只與相伴發生，因此這光譜項是項。除

13、了以外，也屬于這一光譜項，它們都是。這些譜項在表中以的數字右上角的記號“。”表示。共有兩項是；有三項是。在尋找光譜項的過程中，把它們的哪一項選作項的分項并不特別重要。類似地可以看出有九個組態屬于項，在表中以的數字右上角的記號“*”表示。剩下一個組態，它們只能給出一個項。因此，碳原子的光譜項是、和，而沒有其它的項。因為在碳原子中項的S為最大，根據同科電子的洪特定則可知，碳原子的項應最低。碳原子兩個價電子皆在p次殼層，p次殼層的滿額電子數是6，因此碳原子的能級是正常次序，是它的基態譜項。氮原子的三個價電子的組態是，亦屬同科電子。它們之間滿足泡利原理的可能配合如下表所示。表中刪節號表示還有其它一些配

14、合，相當于此表下半部給出的間以及間發生交換。由于電子的全同性，那些配合并不改變原子的狀態，即不產生新的項。由表容易判斷，氮原子只有、和。根據同科電子的洪特定則，斷定氮原子的基態譜項應為。5.6 已知氦原子的一個電子被激發到2p軌道，而另一個電子還在1s軌道。試作出能級躍遷圖來說明可能出現哪些光譜線躍遷？解：對于，單態1P1對于，三重態3P2，1，0根據選擇定則，可能出現5條譜線，它們分別由下列躍遷產生：21P111S0；21P121S03S13P03P13P21S03S11S023P023S1；23P123S1；23P223S1 1s2p 1s2s 1s1s第六章 磁場中的原子6.1 已知釩原

15、子的基態是。（1）問釩原子束在不均勻橫向磁場中將分裂為幾束？（2）求基態釩原子的有效磁矩。解：（1）原子在不均勻的磁場中將受到力的作用，力的大小與原子磁矩（因而于角動量）在磁場方向的分量成正比。釩原子基態之角動量量子數，角動量在磁場方向的分量的個數為，因此，基態釩原子束在不均勻橫向磁場中將分裂為4束。（2）-按LS耦合：6.2 已知原子躍遷的光譜線在磁場中分裂為三條光譜線，其間距，試計算所用磁場的感應強度。解：裂開后的譜線同原譜線的波數之差為：氦原子的兩個價電子之間是LS型耦合。對應原子態，；，對應原子態，。 又因譜線間距相等：。 6.3 漫線系的一條譜線在弱磁場中將分裂成多少條譜線？試作出相

16、應的能級躍遷圖。 解：在弱磁場中，不考慮核磁矩。 能級：能級： 所以：在弱磁場中由躍遷產生的光譜線分裂成六條，譜線之間間隔不等。2D3/22P1/2無磁場有磁場-3/2 -1/2M3/2 106/31/2 1/2 -1/2 s s p ps s 6.4 在平行于磁場方向觀察到某光譜線的正常塞曼效應分裂的兩譜線間波長差是。所用的磁場的B是2.5特斯拉，試計算該譜線原來的波長。解：對單重項（自旋等于零）之間的躍遷所產生的譜線可觀察到正常塞曼效應。它使原來的一條譜線分裂為三條，兩個成分，一個成分。成分仍在原來位置，兩個成分在成分兩側，且與成分間的波數間隔都是一個洛侖茲單位L。又符號表示波長增加波數減

17、少。根據題設，把近似地看作成分與成分間的波長差，則有： 其中 因此，6.5氦原子光譜中波長為及的兩條譜線，在磁場中發生塞曼效應時應分裂成幾條？分別作出能級躍遷圖。問哪一個是正常塞曼效應？哪個不是？為什么？b 解：（1）。可以發生九種躍遷，但只有三個波長，所以的光譜線分裂成三條光譜線，且裂開的兩譜線與原譜線的波數差均為L，是正常塞曼效應。（2）對，所以的光譜線分裂成三條，裂開的兩譜線與原譜線的波數差均為2L，所以不是正常塞曼效應。6.6 躍遷的光譜線波長為，在B=2.5特斯拉的磁場中發生塞曼分裂。問從垂直于磁場方向觀察，其分裂為多少條光譜線？其中波長最長和最短的兩條光譜線的波長各為多少？解：對于

18、對于，所以從垂直于磁場方向觀察，此譜線分裂為四條。根據塞曼效應中裂開后的譜線同原譜線波數之差的表達式：， 因此，波長改變為： 所以，最長的波長為：最短的波長為： 6.7 躍遷的精細結構為兩條，波長分別為5895.93埃和5889.96埃。試求出原能級在磁場中分裂后的最低能級與分裂后的最高能級相并合時所需要的磁感應強度。解：對磁場引起的附加能量為：設對應的能量分別為，躍遷產生的譜線波長分別為；那么，。能級在磁場中發生分裂，的附加磁能分別記為；現在尋求時的B。由此得： 即：因此，有： 其中，將它們及各量代入上式得：B=15.8特斯拉。第七章 原子的殼層結構7.1 有兩種原子，在基態時其電子殼層是這樣添充的：（1）n=1殼層、n=2殼層和3s次殼層都填滿，3p次殼層填了一半。（2）n=1殼層、n=2殼層、n=3殼層及4s、