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文檔簡介

1、2022-3-714.3 正交矩陣及其性質正交矩陣及其性質2022-3-72111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa按列分塊為按列分塊為a a1,a a2,.,a an,2022-3-731112112212221212,TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnA Aa aa aa aaaa aa aa aa aaaa aa aa a.,., 2 , 1, 0),(;, 2 , 1, 1),(21的一組標準正交基為的向量組即且nnjijTiiiiTiRAnjiijniaaaaaaaaaaa因此因此ATA=I的充分必要條件是的充分必要條件是此定理可作為判定正交矩陣的一種方法此定

2、理可作為判定正交矩陣的一種方法2022-3-742022-3-75定理定理方陣A為正交矩陣的充分必要條件是A的列向量構成標準正交組。推論1方陣A為正交矩陣的充分必要條件是A的行向量構成標準正交組。A是正交矩陣方陣A的列向量構成標準正交組方陣A的行向量構成標準正交組是正交矩陣TA1TAA2022-3-76現有標準正交組11 2 2( , )3 3 3a211(0,)22a求三維向量a 使得矩陣12(, )a a a為正交矩陣解解( , , )Tx y za12,a a a是標準正交組10a a20a a1a2221(22 )031()021xyzyzxyz418x 118yz 411(,)181818Ta 2022-3-77YAX111 111 1nnmmmnnya xa xya xax或1niijjjya x1,.im定義定義 若A為正交矩陣，則線性變換 稱為正交變換正交變換。 定理定理 正交變換不改變向量的內積，從而不改變向量的模、夾角和距離。2022-3-78(,)(, )cos,cos,|AX AYX YAX AYX YAXAYXY 所以所以AX與與AY夾角與夾角與X,Y的夾

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