1、水力學輔導材料2一、第3章 水動力學基礎【教學基本要求】1、了解描述液體運動的拉格朗日法和歐拉法的內容和特點。2、理解液體運動的基本概念，包括流線和跡線，元流和總流，過水斷面、流量和斷面平均流速，一元流、二元流和三元流等。3、掌握液體運動的分類和特征，即恒定流和非恒定流，均勻流和非均勻流，漸變流和急變流。4、掌握并能應用恒定總流連續性方程。5、掌握恒定總流的能量方程，理解恒定總流的能量方程和動能修正系數的物理意義，了解能量方程的應用條件和注意事項，能熟練應用恒定總流能量方程進行計算。6、理解測壓管水頭線、總水頭線、水力坡度與測壓管水頭、流速水頭、總水頭和水頭損失的關系。【學習重點】1、液體運動

2、的分類和基本概念。2、恒定總流的連續性方程、能量方程和動量方程及其應用是本章的重點，也是本課程討論工程水力學問題的基礎。3、恒定總流的連續性方程的形式及應用條件。4、恒定總流能量方程的應用條件和注意事項，并會用能量方程進行水力計算。5、能應用恒定總流的連續方程和能量方程聯解進行水力計算。【內容提要和學習指導】3.1 概述本章討論液體運動的基本規律，建立恒定總流的基本方程連續性方程、能量方程和動量方程，作為解決工程實際問題的基礎。由于實際液體流動時質點間存在著相對運動，因而必須考慮液體的粘滯性，而液體運動要克服粘滯性，必然導致液體能量的損耗，這就是液體運動的水頭損失。關于水頭損失放在第4章專門進

3、行討論。由于本章內容較多而且很重要，網上輔導分兩次進行。第一次主要討論描述液體運動的方法、液體運動的基本概念、運動的分類和特征、恒定總流連續性方程和能量方程及其應用。3.2描述液體運動的拉格朗日方法和歐拉方法（1）拉格朗日方法也稱為質點系法，它是跟蹤并研究每一個液體質點的運動情況，把它們綜合起來就能掌握整個液體運動的規律。這種方法形象直觀，物理概念清晰，但是對于易流動（易變形）的液體，需要無窮多個方程才能描述由無窮多個質點組成的液體的運動狀態，這在數學上難以做到，而且也沒有必要。對于固體運動，特別是簡化為剛體運動，雖然剛體由無窮多個質點構成，但質點之間具有固定的位置和距離，這時只需要研究剛體上

4、兩個質點的運動就可以反映剛體的運動狀態，所以拉格朗日法在固體力學中較多應用。（2）歐拉法：液體流動所占據的空間稱為流場。在水力學中，我們只關心不同的液體質點在通過流場中固定位置時的運動狀態。例如河道某斷面處，不同時間的水位、流量和流速；管道中某處的流速和壓強等。我們并不關心這個液體質點是怎么來的，下一步又流到哪里去。把某瞬時通過流場各個固定點的液體質點運動狀態綜合起來，就能反映液體在某個時刻流場內的運動狀況。這種描述液體運動的方法稱為歐拉法，也稱為流場法，這是水力學中常用的方法。這種方法物理意義不如拉格朗日法直觀，因為歐拉法研究的對象是隨時間而變的，但是對我們研究流場的運動狀況較為方便。3.3

5、液體運動分類和基本概念（1）恒定流和非恒定流流場中液體質點通過空間點時所有的運動要素都不隨時間而變化的流動稱為恒定流；反之，只要有一個運動要素隨時間而變化，就是非恒定流。非恒定流的流速、壓強等運動要素是時間的函數，由于描述液體運動的變量增加，使得水流運動分析更加復雜和困難。雖然自然界的水流絕大部分是非恒定流，但在一定條件下，常將非恒定流簡化為恒定流進行討論。本課程主要討論恒定流運動。（2）跡線和流線跡線是液體質點運動的軌跡，它是某一個質點不同時刻在空間位置的連線，跡線必定與時間有關。跡線是拉格朗日法描述液體運動的圖線。流線是某一瞬間在流場中畫出的一條曲線，這個時刻位于曲線上各點的質點的流速方向

6、與該曲線相切。流線是從歐拉法引出的，也是我們要重點理解的概念。對于恒定流，流線的形狀不隨時間而變化，這時流線與跡線互相重合；對于非恒定流，流線形狀隨時間而改變，這時流線與跡線一般不重合。流線有兩個重要的性質，即流線不能相交，也不能轉折，否則交點（或轉折）處的質點就有兩個流速方向，這與流線的定義相矛盾。也可以說某瞬時通過流場中的任一點只能畫一條流線。流線的形狀和疏密反映了某瞬時流場內液體的流速大小和方向，流線密的地方表示流速大，流線疏處表示流速小。（3）元流、總流和過水斷面元流是橫斷面積無限小的流束，它的表面是由流線組成的流管。由無數個元流組成的宏觀水流稱為總流。與元流或總流的所有流線正交的橫斷

7、面稱為過水斷面。過水斷面的形狀可以是平面（當流線是平行的直線時）或曲面（流線為其它形狀）。單位時間內流過某一過水斷面的液體體積稱為流量，流量用Q表示，單位為（m3/s）。引入元流概念的目的有兩個：1）、元流的橫斷面積dA無限小，因此dA面積上各點的運動要素（點流速u和壓強p）都可以當作常數；2）、元流作為基本無限小單位，通過積分運算可求得總流的運動要素。元流的流量為dQ=udA，則通過總流過水斷面的流量Q為 Q=dQ=AudA （31）（4）斷面平均流速一般情況下組成總流的各個元流過水斷面上的點流速是不相等的，而且有時流速分布很復雜。為了簡化問題的討論，我們引入了斷面平均流速v的概念。這是恒定

8、總流分析方法的基礎，也稱為一元流動分析法，即認為液體的運動要素只是一個空間坐標（流程坐標）的函數。斷面平均流速v等于通過總流過水斷面的流量Q除以過水斷面的面積A，即VQ/A。（5）均勻流與非均勻流流線是相互平行的直線的流動稱為均勻流。這里要滿足兩個條件，即流線既要相互平行，又必須是直線，其中有一個條件不能滿足，這個流動就是非均勻流。均勻流的概念也可以表述為液體的流速大小和方向沿空間流程不變。流動的恒定、非恒定是相對時間而言，均勻、非均勻是相對空間而言；恒定流可是均勻流，也可以是非均勻流，非恒定流也是如此，但是明渠非恒定均勻流是不可能存在的，請注意區分。均勻流具有下列特征：1）過水斷面為平面，且

9、形狀和大小沿程不變；2）同一條流線上各點的流速相同，因此各過水斷面上平均流速v相等；3）同一過水斷面上各點的測壓管水頭為常數（即動水壓強分布與靜水壓強分布規律相同，具有z+ = c的關系）。（6）一維流、二維流與三維流根據水流運動要素與空間坐標有關的個數，我們把水流運動分為一維流、二維流與三維流。嚴格地說自然界的實際水流都是三維流，但是為了簡化分析過程，引入斷面平均流速后，把許多問題轉化為一維流動來討論，這是重要的處理方法。（7）漸變流與急變流根據流線的不平行和彎曲程度，我們把非均勻流又分為兩類：流線不平行但流線間夾角較小，或者流線彎曲但彎曲程度較小（即曲率半徑較大），這種流動稱為非均勻漸變流

10、，簡稱漸變流；反之則稱為急變流。我們可以證明漸變流同一個過水斷面上的測壓管水頭（z+p/r）近似當作常數，這一點在討論恒定總流能量方程時要應用到。對于急變流，同一過水斷面上各點的z+p/rc。自然界的實際水流絕大多數是非均勻流，把非均勻流區分為漸變流和急變流是為了簡化對非均勻流漸變流的討論。 3.4恒定總流的連續性方程根據質量守恒定律可以導出沒有分叉的不可壓縮液體一維恒定總流任意兩個過水斷面的連續性方程有下列形式。 Q1=Q2 或 v 1A1= v 2A2 （32） （33） 上式說明：任意兩個過水斷面的平均流速與過水斷面的面積成反比。對于有分叉的恒定總流，連續性方程可以表示為： Q流入=Q流

11、出 （34）連續性方程是一個運動學方程，它沒有涉及作用力的關系，通常應用連續方程來計算某一已知過水斷面的面積和斷面平均流速或者已知流速求流量，它是水力學中三個最基本的方程之一。3.5恒定總流的能量方程（1）恒定元流的能量方程：根據物理學動能定理或牛頓第二定律，可以導出恒定元流的兩個過水斷面之間的能量關系式為 （35）式中：z是相對某個基準面單位重量液體具有的位能，稱為位置水頭； 是單位重量液體具有的壓能，稱為壓強水頭；（ ）是單位重量液體具有的位能和壓能之和，稱為總勢能或測壓管水頭； 表示單位重量液體具有的動能，稱為流速水頭；hw表示單位重量液體從1斷面流到2斷面克服由液體粘滯性引起的阻力而損

12、失的能量，稱為水頭損失。式（35）表示水流在流動過程中，單位重量液體具有的位能、壓能和動能的相互轉換和守恒關系。理想液體不存在粘滯性，所以理想液體流動中水頭損失hw=0，表示液體機械能的守恒。但實際水流都有粘滯性，因此hw0，說明水流沿流動方向機械能總是在減少的。應用畢托管測某點的流速，其理論依據就是恒定元流的能量方程，可以參見教材第73頁的分析。（2）恒定總流的能量方程將恒定元流能量方程沿總流的2個過水斷面進行積分，并且引入過水斷面處水流是均勻流或者漸變流的條件，就可得到恒定總流的能量方程（稱為伯努利方程） （36）請注意：積分過程中用到均勻流和漸變流條件，表明同一過流斷面上各點的測壓管水頭

13、具有（ ）= c的性質；用斷面平均流速v替代過水斷面上的實際流速，計算單位重量液體具有的動能并不相等，因此就必須引進動能修正系數，使得 或表示為 （37）在式（36）中， 表示過水斷面上單位重量液體具有的平均動能，同樣hw表示單位重量液體從1斷面流到2斷面平均的水頭損失。恒定總流能量方程是水力學的三個基本方程之一，是最重要最常用的基本方程，它與連續方程聯合求解可以計算斷面上的平均流速或平均壓強，它們與后面討論的恒定總流動量方程聯解，可以計算水流對邊界的作用力，在確定建筑物荷載和水力機械功能轉換中十分有用。（3）恒定總流能量方程的圖示，水頭線和水力坡度恒定總流能量方程各項的量綱都是長度量，因此可

14、以用比例線段表示位置水頭、壓強水頭、流速水頭的大小。各斷面的位置水頭、測壓管水頭和總水頭端點的連線分別稱為位置水頭線、測壓管水頭線和總水頭線（見教材第78和79頁圖327、28）。位置水頭線與測壓管水頭線、測壓管水頭線與總水頭線之間的距離分別表示該過水斷面上各點的平均壓強水頭和平均流速水頭。所以畫出水流的水頭線可以清楚地反映沿流程各個斷面上位能、壓能和動能的變化關系，它在分析有壓管道各個斷面的壓強變化十分重要。假如水流從1斷面流到2斷面的平均水頭損失為hw，流程長度為l，則將單位長度上的水頭損失定義為水力坡度J，它也表示總水頭線的斜率： （38）J是沒有單位的純數，也稱為無量綱數。根據水頭線表

15、示的能量轉換關系，恒定總流能量方程的幾何意義可以這樣來描述：對于理想液體（hw=0），總水頭線是一條水平線；對于實際液體（hw0），總水頭線總是一條下降的曲線或直線，它下降的數值等于兩個過水斷面之間水流的水頭損失。請注意：測壓管水頭線不一定是下降的曲線，需要由位能與壓能的相互轉換情況來確定其形狀。對于均勻流，流速水頭沿程不變，總水頭線與測壓管水頭是相互平行的直線。（4）應用恒定總流能量方程的條件和注意事項在推導恒定總流能量方程的過程中曾經引入過一些條件，這些條件限制了恒定總流能量方程的使用范圍，同時在應用能量方程解決工程實際問題時還必須處理好一些具體事項，現歸納說明如下。1）恒定總流能量方程的

16、應用條件 a）液體流動必須是恒定流，而且是不可壓縮液體（=常數）； b）作用在液體上的質量力只有重力； c）建立能量方程的兩個過水斷面都必須位于均勻流或漸變流段，但該兩個斷面之間的某些流動可以是急變流。 d）在推導能量方程的過程中，兩個計算斷面之間沒有流量的匯入或流出。如果有流量的匯入或分流，也可以建立相應的能量方程式，參見書上第80頁。這時必須強調能量方程的兩側都是單位重量液體具有的能量，但確定相應的水頭損失非常困難。2）應用恒定總流能量方程需要注意的具體問題 a）為了計算能量方程中的位置水頭，必須確定基準面。基準面可以任意選擇，但盡可能使所選的基準面能簡化能量方程，便于求解。例如所選基準面

17、使z = 0，這樣能量方程項數減少。還必須強調，同一個能量方程只能選擇同一個基準，否則能量方程就不能成立。 b）計算壓強水頭 ，既可選擇絕對壓強也可選用相對壓強，但兩個斷面必須選用一致。實際工程計算中一般采用相對壓強更為方便。 c）因為漸變流過水斷面上各點的（ ）值相等，在過水斷面上要選好計算點，便于計算測壓管水頭（ ）。對于管流，計算點通常取在管軸線上；對明渠水流，計算點取在自由表面上，這里的相對壓強為零，所以（ ）= z 。 d）選取過水斷面除了滿足漸變流條件外，還應使所選斷面上未知量僅可能少，這樣可以簡化能量方程的求解過程。 e）求解能量方程必須確定動能修正系數。值與斷面流速分布有關，流

18、速分布越均勻，值趨向于1，斷面流速分布不同，值也不同。嚴格地講兩個斷面上的1與2是不相等的，但是實際工程中的動能修正系數大多在1.051.10之間，一般可以取1=2=1計算。對于流速分布相當不均勻的水流（例如層流運動），動能修正系數遠大于1，這將在第4章討論。 f）能量方程中水頭損失hw是十分重要又非常復雜的一項，不能正確地計算液體流動的hw，能量方程難以解決實際問題。關于hw的討論和計算也將在第四章專門討論。 g)當一個問題中有23個未知數的時候，能量方程需要和連續方程、動量方程組成方程組聯合求解。【思 考 題】31描述液體運動有哪兩種方法？兩種方法有什么區別？32什么是流線和跡線？流線具有

19、什么性質？33什么是過水斷面和斷面平均流速？為何要引入斷面平均流速？34敘述流動的分類和其特征？35有人說“均勻流一定是恒定流，急變流一定是非恒定流”，這種說法是否正確？為什么？36動水壓強與靜水壓強有什么不同？在推導恒定總流能量方程時，為什么過流斷面必須位于漸變流段？37在使用能量方程時應注意哪些問題？38應用能量方程判斷下列說法是否正確：（1）水一定從高處向低處流動；（2）水一定從壓強大的地方向壓強小的地方流動；（3）水總是從流速大的地方向流速小的地方流動？39什么是水頭線和水力坡度？總水頭線、測壓管水頭線和位置水頭線三者有什么關系？沿程變化特征是什么？【解 題 指 導】思35提示：流動均勻與否是對于空間分布而言，流動恒定與否是相對時間而言，這是判別流動的兩個不同標準。因此，這種說法是錯誤的。思36解答：靜水壓強具有下列特性：即靜水液體內任