1、初中數學專題復習全等三角形一.知識點結構梳理及解讀1.全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。2.全等三角形性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等3.三角形全等的判定：1邊邊邊 (SAS) :三邊對應相等的兩個三角形全等。2角邊角SAS：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。3角邊角ASA：兩邊和他們的 夾角對應相等的兩個三角形全等。 角角邊AAS：兩個角和其中的一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。4斜邊，直角邊 (HL)：斜邊和直角邊對應相等的兩個三角形全等。 4.角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。2.角平分線的判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點

2、在角的平分線上。三角形三條內角平分線交于一點，且這一點到三角形三邊的距離相等。二、找全等三角形的方法1從結論出發，看要證明相等的線段或角分別在哪兩個可能全等的三角形中；2從出發，看可以確定哪兩個三角形全等；3從條件和結論綜合考慮，看能一同確定哪兩個三角形全等；4考慮輔助線，構造全等三角形。三全等三角形中幾個重要結論1全等三角形對應角的平分線、中線、高分別相等(對應元素都分別相等)2在一個三角形中，等邊對等角，反過來，等角對等邊；等腰三角形三線合一；等腰三角形頂角的外角等于底角的2倍；等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等；等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高；等腰三角形底邊延長線

3、上任意一點到兩腰的距離之差等于一腰上的高。3直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么，這條邊的對角等于90°；Rt30°角的對邊等于斜邊的一半，反之，Rt中如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊的對角是30°。4三角形三內角平分線交于一點這點叫三角形的內心，這點到三角形三邊的距離相等，三角形兩外角平分線與第三內角平分線交于一點這點叫三角形的旁心，這點到三角形三邊所在直線的距離相等，到三角形三邊所在直線等距離的點有四個經典例題例1如圖：BE、CF相交于點D，DEAC，DFAB，垂足分別為E、F，且DE=DF。求證：AB=A

4、C。舉一反三：例2【變式1】如圖：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求證：1AM=AN；2AMAN。例3【變式2】如圖：BAC=90°，CEBE，AB=AC，ABE=CBE，求證：BD=2EC。 例4啟航：如圖，RtABC中，ABAC，ADBC，BE平分ABC，交AD于E，EFAC，求證：AB=BF例5：如圖，ADBC，AE平分BAD，AEBE；說明：AD+BC=AB例624題在ABC中，ACB90°，ACBC，過C作CDAB交ABC的平分線于點D，ACB的平分線交BD于點E。1求證：BCCD；2求證：BCCEAB例724題.如圖，在等腰三角形ABC中，CA =

5、CB，ACB = 90°，點D、E是直線BC上兩點且CD = BE，過點C作CMAE交AE于點M，交AB于點F，連接DF并延長交AE于點N(1).假設AC=2，CD=1，求CM的值；(2).求證：D=E 例82021級一中七下.兩個全等的等腰直角ABC、DEF，其中ACB=DFE=90°，E為AB中點，線段DE，EF分別交線段CA，CB或它們所在直線于M、N1如圖l所示放置，當線段EF經過ABC的頂點C時，點N與點C重合，線段DE交AC于M，求證：AM=MC；2如圖2所示放置，當線段EF與線段BC邊交于N點，線段DE與線段AC交于M點，連MN，EC，請探究AM，MN，CN之

6、間的等量關系，并說明理由；3如圖3所示放置，當線段EF與BC延長線交于N點，線段DE與線段AC交于M點，連MN，EC，請猜想AM，MN，CN之間的等量關系，不必說明理由例92021級南開七下。，在等腰中，為直線AB上一點，連接CD，過C作，且，連接DE，交AC于F。1如圖1，當D、B重合時，求證：。2如圖2，當D在線段AB上，且時，請探究DF、EF、CF之間的數量關系，并說明理由。3如圖3，在2的條件下，在FC上任取一點G，連接DG，作射線GP使，交的角平分線于點，求證：。例102021級一中七下。在RtABC中，ACBC，ACB90°，D是AC的中點，DGAC交AB于點G.1如圖1

7、，E為線段DC上任意一點，點F在線段DG上，且DE=DF，連結EF與 CF，過點F作FHFC，交直線AB于點H求證：DG=DC 判斷FH與FC的數量關系并加以證明圖1圖22假設E為線段DC的延長線上任意一點，點F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結論是否發生改變，本小題直接寫出結論，不必證明三角形中常見輔助線的作法1、延長中線構造全等三角形例1：如圖1，ABC中，AD是ABC的中線，AB=8，AC=6，求AD的取值范圍 第1題 第2題 第3題2、引平行線構造全等三角形例2：如圖2，ABC中，ABAC，D在AB上，E

8、是AC延長線上一點，且BDCE，DE與BC交于點F求證：DF=EF提示：此題輔助線作法較多，如：作DGAE交BC于G；作EHBA交BC的延長線于H；再通過證三角形全等得DFEF3、作連線構造等腰三角形例3：如圖3，RTACB中，C=90°，AC=BC，AD=AC，DEAB，垂足為D，交BC于E求證：BD=DE=CE提示：連結DC，證ECD是等腰三角形4、利用翻折，構造全等三角形例4：如圖4，ABC中，B2C，AD平分BAC交BC于D求證：ACABBD提示：將ADB沿AD翻折，使B點落在AC上點B處，再證BD=BDBC，易得ADBADB，BDC是等腰三角形，于是結論可證 第4題 第5題

9、5、作三角形的中位線例5：如圖5，四邊形ABCD中，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線交EF的延長線于點M、N求證：BMECNE提示：連結AC并取中點O，再連結OE、OF那么OEAB，OFCD，故1BME，2CNE、且OE=OF，故12，可得證綜合練習題1：2021中考如圖，ABC和ABD均為等腰直角三角形，ACB=BAD=90°，點P為邊AC上任意一點點P不與A、C兩點重合，作PEPB交AD于點E，交AB于點F1求證：AEP=ABP2猜想線段PB、PE的數量關系，并證明你的猜想3假設P為AC延長線上任意一點如圖，PE交DA的延長線于點E，其他條件不變，2中的

10、結論是否成立？請證明你的結論綜合練習題2：2021中考如圖，點E在AD上，ABC和BDE都是等邊三角形猜想：BD、CD、AD三條線段之間的關系，并說明理由綜合練習題3：2021中考點P為線段AB的中點，分別過線段AB的端點A、B作直線l的垂線，垂足分別為點C、D，連接PC、PD1當直線l過線段AB的中點P，如圖1，猜想PC、PD的數量關系直接寫出你的猜想；2當直線l過線段AB上的任一點，如圖2，猜想PC、PD的數量關系并加以證明；3當直線l過線段AB的延長線上的任一點，按照題意畫出圖形，并判斷PCD的形狀不必證明綜合練習題4：2021中考如圖，在ABC中，D是BC的中點，過D點的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點，DEGF，交AB于點E，連接EG1求證：BG=CF；2請你判斷BE+CF與EF的大小關系，并證明你的結論綜合練習題5：2021宿遷如圖，BAD和BCE均為等腰直角三角形，BAD=BCE=90°，點