1、二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂 第二節(jié)第二節(jié)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十二章 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若,0nu1nnu定理定理 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂部分和序列nS),2, 1(n有界 .若1nnu收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知故有界.則稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù) .單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,Zn,nnvku 都有定理定

2、理2 (比較審斂法比較審斂法)設(shè),1nnu1nnv且存在,ZN對(duì)一切,Nn 有(1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv則弱級(jí)數(shù)1nnu(2) 若弱級(jí)數(shù)1nnu則強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv證證:設(shè)對(duì)一切和令nSn則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .分別表示弱級(jí)數(shù)和強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和, 則有nnvku 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (常數(shù) k 0 ),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性, 故不妨機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv則有nn lim因此對(duì)一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu則有(2) 若弱級(jí)數(shù)1nnu,limnnS因此,limnn這說(shuō)明強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv也發(fā)散 .knSnk也收斂 .發(fā)散,收斂,

3、弱級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 討論 p 級(jí)數(shù)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 解解: 1) 若, 1p因?yàn)閷?duì)一切,Zn而調(diào)和級(jí)數(shù)11nn由比較審斂法可知 p 級(jí)數(shù)11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , 1p因?yàn)楫?dāng)nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級(jí)數(shù)收斂 .時(shí),1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 若機(jī)動(dòng) 目錄

4、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 調(diào)和級(jí)數(shù)與 p 級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在,ZN對(duì)一切,Nn ,) 1(nkun, ) 1()2(pnkupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , 0k證明級(jí)數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散 .證證: 因?yàn)?) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級(jí)數(shù)111nn21kk發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知, 所給級(jí)數(shù)發(fā)散 .例例2.2.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理3. (比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) l = 0 ,1收斂時(shí)且nnv;1也收斂nnu(3) 當(dāng)

5、 l = ,1發(fā)散時(shí)且nnv.1也發(fā)散nnu證證: 據(jù)極限定義, 0對(duì),ZN存在lnnvu)(l設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足(1) 當(dāng) 0 l 時(shí),時(shí)當(dāng)Nn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nnnvluvl)()(, l取由定理 2 可知與1nnu1nnv同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 當(dāng)l = 時(shí),ZN存在,時(shí)當(dāng)Nn ,1nnvu即nnvu 由定理2可知, 若1nnv發(fā)散 , ;1也收斂則nnu(1) 當(dāng)0 l 3時(shí),1) 1ln() 1(ln)(nnnfnnnf又因?yàn)? 0lnlimnnn由Leibniz 判別法,知1ln) 1(nnnn收斂 .例例12. 判別

6、級(jí)數(shù)121)1() 1(21nnnne的斂散性 .解解: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 先考察函數(shù)xexfx1)(在 x=0 的某個(gè)右鄰域的單調(diào)性 ., 1)(xexf)(xf在0 x時(shí)單調(diào)遞增.故, 01)(212121nenfn且隨 n 的增大而遞減.又因?yàn)? 0)(lim21nfn由Leibniz 判別法,知121)1() 1(21nnnne收斂 .三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂 定義定義: 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnu若若原級(jí)數(shù)收斂, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱(chēng)原級(jí)111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂 ,1nnu

7、數(shù)1nnu為條件收斂 .均為絕對(duì)收斂.例如例如 ：絕對(duì)收斂 ；則稱(chēng)原級(jí)數(shù)條件收斂 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理7. 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂 .證證: 設(shè)1nnunv),2,1(n根據(jù)比較審斂法顯然,0nv1nnv收斂,收斂12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收斂)(21nnuu 且nv,nu收斂 , 令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例13. 證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn證證: (1),1sin44nnn而141nn收斂 ,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對(duì)收斂 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

8、束 (2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂,絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例14. 判別級(jí)數(shù)121)1() 1(21nnnne是條件收斂，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 還是絕對(duì)收斂？解解: 由例12知此級(jí)數(shù)收斂.下面說(shuō)明它不是絕對(duì)收斂.,2111lim2121nnenn此級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂。因此,它是條件收斂。其和分別為 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì).*定理定理8. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和. ( P265 定理9 )說(shuō)明說(shuō)

9、明: 證明參考 P265P268, 這里從略.*定理定理9. ( 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法 ).S則對(duì)所有乘積 jivu1nnw按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)1nnv1nnu與都絕對(duì)收斂,S其和為但需注意條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì). (P267 定理10) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿(mǎn)足發(fā) 散滿(mǎn)足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為

10、收斂級(jí)數(shù)1nnu設(shè)Leibniz判別法:01nnuu0limnnu則交錯(cuò)級(jí)數(shù)nnnu1) 1(收斂概念:,1收斂若nnu1nnu稱(chēng)絕對(duì)收斂,1發(fā)散若nnu條件收斂1nnu稱(chēng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂, 能否推出12nnu收斂 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收斂 ,11nn發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P268 1 -5第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判別級(jí)數(shù)的斂散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn發(fā)散 , 故原級(jí)數(shù)發(fā)散 .11npnp:級(jí)數(shù)不是 p級(jí)數(shù)(2)nlimnnn1lim111nn發(fā)散 , 故原級(jí)數(shù)發(fā)散 .nnn1n1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. ),3,2, 1(0nun設(shè), 1limnunn且則級(jí)數(shù)).() 1(11111nnuunn(A) 發(fā)散 ; (B) 絕對(duì)收斂;(C) 條件收斂 ; (D) 收斂性根據(jù)條件不能確定.分析分析:, 1limnunn由,11nun知 (B) 錯(cuò) ;)(2111uunS又)(3211uuC)(4311uu)(5411uu)