1、第2課時解三角形的實際應用舉例高度、角度問題1.1.仰角和俯角仰角和俯角如圖所示如圖所示. .2.2.方向角和方位角方向角和方位角(1)(1)方向角方向角: :指北或指南方向線與目標方向線所成的指北或指南方向線與目標方向線所成的_的水平角的水平角, ,叫方向角叫方向角. .目標方向線方向一般可用目標方向線方向一般可用“偏偏”多少多少度來表示度來表示, ,這里第一個這里第一個“”是是“北北”或或“南南”, ,第二個第二個“”是是“東東”或或“西西”. .小于小于9090如圖所示如圖所示,OA,OB,OC,OD,OA,OB,OC,OD的方向角分別表示北偏東的方向角分別表示北偏東6060、北偏西、北

2、偏西3030、_、南偏東、南偏東2020. .南偏西南偏西4545(2)(2)方位角方位角: :從從_的方向線按的方向線按_到目標方向線所轉過的到目標方向線所轉過的水平角水平角. .正北正北順時針順時針3.3.視角視角從眼睛的中心向物體兩端所引的兩條直線的夾角從眼睛的中心向物體兩端所引的兩條直線的夾角. .如圖所示如圖所示, ,視視角角6060指的是觀察該物體上下兩端點時指的是觀察該物體上下兩端點時, ,視線的張角視線的張角. .1.“1.“判一判判一判”( (正確的打正確的打“”,”,錯誤的打錯誤的打“”)”)(1)“(1)“視角視角”就是就是“仰角仰角”. .( () )(2)(2)仰角與

3、俯角都是與鉛垂線所成的角仰角與俯角都是與鉛垂線所成的角. .( () )(3)(3)方位角的范圍是方位角的范圍是(0,).(0,).( () )【解析】【解析】(1)(1)錯誤錯誤. .視角和仰角定義不同視角和仰角定義不同, ,不是一個概念不是一個概念. .(2)(2)錯誤錯誤. .仰角與俯角都是與水平線所成的角仰角與俯角都是與水平線所成的角. .(3)(3)錯誤錯誤. .方位角的概念明確表明方位角的概念明確表明,“,“從正北方向順時針轉到目從正北方向順時針轉到目標方向線所成的角標方向線所成的角”, ,顯然方位角的范圍應該為顯然方位角的范圍應該為(0,2).(0,2).答案答案: :(1)(1

4、)(2)(2)(3)(3)2.“2.“做一做做一做”( (請把正確的答案寫在橫線上請把正確的答案寫在橫線上) )(1)(1)沿坡角為沿坡角為4545的斜坡直線向上行走的斜坡直線向上行走80m,80m,實際升高了實際升高了m.m.(2)(2)身高為身高為1.701.70米的李明站在離旗桿米的李明站在離旗桿2020米的地方米的地方, ,目測該旗桿的目測該旗桿的高度高度, ,若李明此時的仰視角為若李明此時的仰視角為3030, ,則該旗桿的高度約為則該旗桿的高度約為米米. .( (精確到精確到0.10.1米米) )(3)(3)如圖所示如圖所示,OA,OB,OA,OB的方向角各是的方向角各是. .【解析

5、】【解析】(1)h=80(1)h=80sin45sin45=40 (m).=40 (m).答案答案: :4040(2)h= +1.7013.2(2)h= +1.7013.2(米米).).答案答案: :13.213.2(3)(3)根據方向角的概念可知根據方向角的概念可知,OA,OA的方向角為北偏東的方向角為北偏東6060,OB,OB的方的方向角為北偏西向角為北偏西3030. .答案答案: :北偏東北偏東6060, ,北偏西北偏西303022203底部可到達底部可到達底部不可到達底部不可到達解直角三角形解直角三角形解直角三角形解直角三角形解一般三角形解一般三角形【要點探究】【要點探究】知識點知識點

6、 高度和角度的測量問題高度和角度的測量問題測量高度問題時常見的三種數學模型及其特征測量高度問題時常見的三種數學模型及其特征(1)(1)三種模型：三種模型：(2)(2)特征特征: :底部可到達底部可到達, ,此類問題可直接構造直角三角形此類問題可直接構造直角三角形. .底部不可到達底部不可到達, ,但仍在同一與地面垂直的平面內但仍在同一與地面垂直的平面內, ,此類問題中此類問題中兩次觀測點和所測垂線段的垂足在同一條直線上兩次觀測點和所測垂線段的垂足在同一條直線上, ,觀測者一直觀測者一直向向“目標物目標物”前進前進. .底部不可到達底部不可到達, ,且涉及與地面垂直的平面且涉及與地面垂直的平面.

7、 .此類問題中觀測者此類問題中觀測者兩次觀測點所在直線不經過兩次觀測點所在直線不經過“目標物目標物”. .【微思考】【微思考】為了測量某建筑物的高度所構造的三角形為了測量某建筑物的高度所構造的三角形, ,其所在平面與地面其所在平面與地面之間有什么關系之間有什么關系? ?提示提示: :為了測量某建筑物的高度所構造的三角形為了測量某建筑物的高度所構造的三角形, ,其所在平面與其所在平面與地面垂直地面垂直. .【即時練】【即時練】從高出海平面從高出海平面h h米的小島看正東方向有一只船俯角為米的小島看正東方向有一只船俯角為3030, ,看正看正南方向有一只船俯角為南方向有一只船俯角為4545, ,則

8、此時兩船間的距離為則此時兩船間的距離為( () )A.2hA.2h米米B. hB. h米米C. hC. h米米D.2 hD.2 h米米232【解析】【解析】選選A.A.如圖所示如圖所示,BC= h,AC=h,BC= h,AC=h,所以所以AB= AB= =2h(=2h(米米).).3223hh【題型示范】【題型示范】類型一類型一 高度問題高度問題【典例【典例1 1】(1)(1)一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱, ,為了測量噴水柱為了測量噴水柱噴出的水柱的高度噴出的水柱的高度, ,某人在噴水柱正西方向的點某人在噴水柱正西方向的點A A測得水柱頂端測得水柱頂

9、端的仰角為的仰角為4545, ,沿點沿點A A向北偏東向北偏東3030前進前進100m100m到達點到達點B,B,在在B B點測點測得水柱頂端的仰角為得水柱頂端的仰角為3030, ,則水柱的高度是則水柱的高度是( () )A.50 m B.100 m C.120 m A.50 m B.100 m C.120 m D.150mD.150m(2)(2)某興趣小組要測量電視塔某興趣小組要測量電視塔AEAE的高度的高度H(H(單位單位:m).:m).如圖如圖, ,豎直放豎直放置的標桿置的標桿BCBC的高度的高度h=4m,h=4m,仰角仰角ABE=,ADE=.ABE=,ADE=.該小組已測該小組已測得一

10、組得一組,的值的值, ,算出了算出了tan=1.24,tan=1.20,tan=1.24,tan=1.20,請據此算出請據此算出H H的值的值. .【解題探究】【解題探究】1.1.題題(1)(1)畫示意圖要注意的問題是什么畫示意圖要注意的問題是什么? ?2.2.題題(2)(2)中怎樣建立中怎樣建立tan,tantan,tan和和H H間的關系間的關系? ?【探究提示】【探究提示】1.1.要注意兩次觀測點要注意兩次觀測點A A和和B B以及水柱底端以及水柱底端C C在水平在水平面上并不在同一條直線上面上并不在同一條直線上, ,因此要畫一個立體圖形因此要畫一個立體圖形. .2.2.題題(2)(2)

11、中通過中通過AB+BD=ADAB+BD=AD來建立來建立tan,tantan,tan和和H H間的關系間的關系. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)選選A.A.如圖如圖, ,設水柱高度是設水柱高度是hm,hm,水柱底端為水柱底端為C,C,則則在在ABCABC中中,BAC=60,BAC=60,AC=h,AB=100,BC= h,AC=h,AB=100,BC= h,根據余弦定理得根據余弦定理得, ,( h)( h)2 2=h=h2 2+100+1002 2-2h100cos60-2h100cos60, ,即即h h2 2+50h-5000=0,+50h-5000=0,解得解得h=50,h=50

12、,故水柱的高度是故水柱的高度是50m.50m.33(2)(2)由由 及及AB+BD=AD,AB+BD=AD,得得解得解得H= =124.H= =124.因此因此, ,算出的電視塔的高度算出的電視塔的高度H H是是124m.124m.HhHABBDADtan tan tan ，HhHtan tan tan ，htan 4 1.24tan tan 1.24 1.20【方法技巧】【方法技巧】測量高度問題的要求及注意事項測量高度問題的要求及注意事項(1)(1)要求要求: :依題意畫圖是解決三角形應用題的關鍵依題意畫圖是解決三角形應用題的關鍵. .問題中如果問題中如果既有方向角既有方向角( (它是在水平

13、面上所成的角它是在水平面上所成的角),),又有仰又有仰( (俯俯) )角角( (它是在它是在鉛垂面上所成的角鉛垂面上所成的角),),在繪制圖形時在繪制圖形時, ,可畫立體圖形和平面圖形可畫立體圖形和平面圖形兩個圖兩個圖, ,以對比分析求解以對比分析求解. .(2)(2)注意事項注意事項: :方向角是相對于在某地而言的方向角是相對于在某地而言的, ,因此在確定方向因此在確定方向角時角時, ,必須先弄清楚是哪一點的方向角必須先弄清楚是哪一點的方向角. .從這個意義上來說從這個意義上來說, ,方方向角是一個動態角向角是一個動態角, ,在理解題意時在理解題意時, ,應把它看活應把它看活, ,否則在理解

14、題否則在理解題意時將可能產生偏差意時將可能產生偏差. .【變式訓練】【變式訓練】在某一山頂觀測山下兩村莊在某一山頂觀測山下兩村莊A,B,A,B,測得測得A A的俯角為的俯角為3030,B,B的俯角為的俯角為4040, ,觀測觀測A,BA,B兩村莊的視角為兩村莊的視角為5050, ,已知已知A,BA,B在在同一水平面上且相距同一水平面上且相距1000m,1000m,求山的高度求山的高度.(.(參考數據參考數據sin40sin400.643,0.643,精確到精確到1m)1m)【解題指南】【解題指南】根據題意畫出圖形根據題意畫出圖形, ,通過圖形分析建立關系求解通過圖形分析建立關系求解. .【解析

15、】【解析】設山頂為設山頂為C,C,山高山高CD=x,CD=x,由題意由題意CAD=30CAD=30,CBD=40,CBD=40,ACB=50,ACB=50. .在在RtRtADCADC中中,AC= =2x,AC= =2x,在在RtRtBDCBDC中中,BC=,BC=CDsin 30CDx.sin 40 sin 40在在ABCABC中中, ,由余弦定理知由余弦定理知ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2-2ACBCcosACB.-2ACBCcosACB.所以所以100010002 2=4x=4x2 2+ cos50+ cos50, ,所以所以x=1000sin40 x=1000sin

16、40643(m).643(m).即山高約為即山高約為643m.643m.222x4xsin 40sin 40【補償訓練】【補償訓練】從從200m200m高的山頂看高的山頂看, ,測得山下一塔頂與塔底的俯測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為角分別為3030,60,60, ,則塔高為則塔高為( () )400400 3A.m B.m33200 3200C.m D.m33【解析】【解析】選選A.A.由山頂與塔底的俯角為由山頂與塔底的俯角為6060可知可知, ,山腳與塔底的山腳與塔底的水平距離為水平距離為 又山頂看塔頂的俯角為又山頂看塔頂的俯角為3030. .設塔高為設塔高為xm,xm,則則200-x=

17、200-x= 所以所以x= x= 故選故選A.A.2003，200333，4003，類型二類型二 角度問題角度問題【典例【典例2 2】(1)(1)一艘客船上午一艘客船上午9:309:30在在A A處處, ,測得燈塔測得燈塔S S在它的北偏東在它的北偏東3030, ,之之后它以每小時后它以每小時3232海里的速度繼續沿正北方向勻速航行海里的速度繼續沿正北方向勻速航行, ,上午上午10:0010:00到達到達B B處處, ,此時測得船與燈塔此時測得船與燈塔S S相距相距8 8 海里海里, ,則燈塔則燈塔S S在在B B處的處的( () )A.A.北偏東北偏東7575 B. B.南偏東南偏東1515

18、C.C.北偏東北偏東7575或南偏東或南偏東1515 D. D.以上方位都不對以上方位都不對2(2)(2)如圖如圖, ,甲船在甲船在A A處處, ,乙船在乙船在A A處的南偏東處的南偏東4545方向方向, ,距距A A有有9 9海里海里的的B B處處, ,并以并以2020海里每小時的速度沿南偏西海里每小時的速度沿南偏西1515方向行駛方向行駛, ,若甲若甲船沿南偏東船沿南偏東度的方向度的方向, ,并以并以2828海里每小時的速度行駛海里每小時的速度行駛, ,恰能在恰能在C C處追上乙船處追上乙船. .問用多少小時追上乙船問用多少小時追上乙船, ,并求并求sinsin的值的值.(.(結果保結果保

19、留根號留根號, ,無需求近似值無需求近似值) )【解題探究】【解題探究】1.1.分析題分析題(1)(1)中角的關系的關鍵是什么中角的關系的關鍵是什么? ?2.2.題題(2)(2)中如何求得中如何求得ABC?ABC?【探究提示】【探究提示】1.1.確定題確定題(1)(1)中角的關系的關鍵是畫出圖形中角的關系的關鍵是畫出圖形, ,并結并結合方向角的有關概念求解合方向角的有關概念求解. .2.ABC=1802.ABC=180-15-15-45-45=120=120. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)選選C.C.根據題意畫出示意圖根據題意畫出示意圖, ,如圖如圖, ,由題意可知由題意可知AB=3

20、2AB=32 =16,BS=8 ,A=30 =16,BS=8 ,A=30. .在在ABSABS中中, ,由正弦定理由正弦定理, ,得得所以所以S=45S=45或或135135, ,所以所以B=105B=105或或1515, ,即燈塔即燈塔S S在在B B處的北偏東處的北偏東7575或南偏東或南偏東1515. .122ABBSABsin A16sin 302sin S,sin Ssin ABS28 2，(2)(2)設用設用t t小時小時, ,甲船追上乙船甲船追上乙船, ,且在且在C C處相遇處相遇, ,那么在那么在ABCABC中中,AC=28t,BC=20t,AB=9,AC=28t,BC=20t

21、,AB=9,ABC=180ABC=180-15-15-45-45=120=120, ,由余弦定理得由余弦定理得: :(28t)(28t)2 2=81+(20t)=81+(20t)2 2-2-29 920t20t(- ),(- ),128t128t2 2-60t-27=0,-60t-27=0,解得解得t= t= 或或t=- (t=- (舍去舍去),),所以所以AC=21(AC=21(海里海里),BC=15(),BC=15(海里海里),),1234932根據正弦定理根據正弦定理, ,得得sinBAC=sinBAC=cosBAC=cosBAC=又又ABC=120ABC=120,BAC,BAC為銳角為

22、銳角, ,所以所以=45=45-BAC,-BAC,sin=sin(45sin=sin(45-BAC)-BAC)=sin45=sin45cosBAC-cos 45cosBAC-cos 45sinBAC=sinBAC=BCsin ABC5 3AC14，275111.141411 2 5 6.28【延伸探究】【延伸探究】題題(2)(2)中若乙船向正南方向行駛中若乙船向正南方向行駛, ,速度未知速度未知, ,而甲而甲船沿南偏東船沿南偏東1515的方向行駛恰能與乙船相遇的方向行駛恰能與乙船相遇, ,其他條件不變其他條件不變, ,試試求乙船的速度求乙船的速度. .【解析】【解析】設乙船的速度為設乙船的速度

23、為x x海里每小時海里每小時, ,用用t t小時甲船追上乙船小時甲船追上乙船, ,且在且在C C處相遇處相遇( (如圖所示如圖所示),),則在則在ABCABC中中,AC=28t,BC=xt,CAB=30,AC=28t,BC=xt,CAB=30,ABC=135,ABC=135. .由正弦定理得由正弦定理得即即所以所以x=x= ( (海里每小時海里每小時).).答答: :乙船的速度為乙船的速度為14 14 海里每小時海里每小時. .ACBCsin ABCsin CAB，28txtsin 135sin 30，28 sin 30.sin 135128214 2222【方法技巧】【方法技巧】測量角度問題

24、的基本思路測量角度問題的基本思路 測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上, ,畫出表示實畫出表示實際問題的圖形際問題的圖形, ,并在圖形中標出有關的角和距離并在圖形中標出有關的角和距離, ,再用正弦定理再用正弦定理或余弦定理解三角形或余弦定理解三角形, ,最后將解得的結果轉化為實際問題的解最后將解得的結果轉化為實際問題的解. .【變式訓練】【變式訓練】某海上養殖基地某海上養殖基地A,A,接到氣象部門預報接到氣象部門預報, ,位于基地位于基地南偏東南偏東6060相距相距20( +1)20( +1)海里的海面上有一臺風中心海里的海面上有一臺風中心, ,影響半影

25、響半徑為徑為2020海里海里, ,正以每小時正以每小時10 10 海里的速度沿某一方向勻速直線海里的速度沿某一方向勻速直線前進前進, ,預計臺風中心將從基地東北方向刮過且預計臺風中心將從基地東北方向刮過且( ( +1)+1)小時后開小時后開始持續影響基地始持續影響基地2 2小時小時. .求臺風移動的方向求臺風移動的方向. .233【解析】【解析】如圖所示如圖所示, ,設預報時臺風中心為設預報時臺風中心為B,B,開始影響基地時臺開始影響基地時臺風中心為風中心為C,C,基地剛好不受影響時臺風中心為基地剛好不受影響時臺風中心為D,D,則則B,C,DB,C,D在一直在一直線上線上, ,且且AD=20,

26、AC=20.AD=20,AC=20.由題意由題意AB=20( +1),DC=20 ,AB=20( +1),DC=20 ,BC=( +1)10 .BC=( +1)10 .在在ADCADC中中, ,因為因為DCDC2 2=AD=AD2 2+AC+AC2 2, ,所以所以DAC=90DAC=90,ADC=45,ADC=45. .2332在在ABCABC中中, ,由余弦定理得由余弦定理得cosBAC=cosBAC=所以所以BAC=30BAC=30, ,又因為又因為B B位于位于A A南偏東南偏東6060, ,6060+30+30+90+90=180=180, ,所以點所以點D D位于位于A A的正北方

27、向的正北方向, ,又因為又因為ADC=45ADC=45, ,所以臺風移動的方向為北偏西所以臺風移動的方向為北偏西4545. .222ACABBC3.2AC AB2【補償訓練】【補償訓練】甲船在甲船在A A處觀察到乙船在它的北偏東處觀察到乙船在它的北偏東6060方向的方向的B B處處, ,兩船相距兩船相距a n mile,a n mile,乙船向正北方向行駛乙船向正北方向行駛. .若甲船的速度是若甲船的速度是乙船速度的乙船速度的 倍倍, ,問甲船應沿什么方向前進才能最快追上乙問甲船應沿什么方向前進才能最快追上乙船船? ?相遇時乙船行駛多少相遇時乙船行駛多少n mile?n mile?3【解析】【

28、解析】如圖所示如圖所示, ,設兩船在設兩船在C C處相遇處相遇, ,并設并設CAB=,CAB=,乙船行駛距離乙船行駛距離BCBC為為x n mile,x n mile,則則AC= x,AC= x,3由正弦定理得由正弦定理得sin=sin=而而6060, ,所以所以=30=30, ,即即BAC=30BAC=30, ,所以所以ACB=30ACB=30, ,所以所以AB=BC=an mile,AB=BC=an mile,答答: :甲船應沿北偏東甲船應沿北偏東3030方向前進才能最快追上乙船方向前進才能最快追上乙船, ,兩船相遇兩船相遇時乙船行駛了時乙船行駛了an mile.an mile.BC si

29、n 1201AC2 ，【易錯誤區】【易錯誤區】利用正、余弦定理解決高度問題時弄錯對應關系利用正、余弦定理解決高度問題時弄錯對應關系致誤致誤【典例】【典例】(2014(2014新課標全國卷新課標全國卷)如圖如圖, ,為測量山高為測量山高MN,MN,選擇選擇A A和另一座山的山頂和另一座山的山頂C C為測量觀測點為測量觀測點. .從從A A點測得點測得M M點的仰角點的仰角MAN=MAN=6060,C,C點的仰角點的仰角CAB=45CAB=45以及以及MAC=75MAC=75; ;從從C C點測得點測得MCA=MCA=6060. .已知山高已知山高BC=100m,BC=100m,則山高則山高MN=MN=m.