1、第六章 無窮級數第一節第一節 數項級數的概念和性質數項級數的概念和性質一一. 數項級數的概念數項級數的概念中學: 無窮等比級數就是無窮級數的一種.12naqaqaqa定義將其各項依次累加所得的式子稱為數項無窮級數，簡稱級數 nuuu21給定無窮數列 ,21nuuu1nnu項通項問題:如何理解無窮個數相加?變化趨勢1. 部分和:nnkknuuuuS 2112. 部分和數列: ,21nSSS3. 收斂:SSnnlim稱級數收斂Sunn1極限不存在,稱級數發散例. 判斷級數斂散性:(1). 1+2+3+n+2) 1(321 nnnSn)(n級數發散結論：級數收斂就是部分和數列有極限結論：級數收斂就是

2、部分和數列有極限 nnnuuuu211(2). ) 1(1321211nn111nnun)111()3121()211 () 1(1321211 nnnnSn111n)( 1n級數收斂=1(3). nnnaqaqaqaaq20q =1時 naSnq =-1時 aaaaSn極限不存在,級數發散級數發散1qqaqaaqaqaqaSnnn 112SqaSqn1, 1|nSq, 1|級數發散總之總之:, 1|q級數收斂1|q級數發散二二.數項級數的基本性質：數項級數的基本性質：性質性質1：設C是任意非零常數，則級數的斂散性相同，且當收斂時，1nnu1nnCu與11nnnnuCCu性質性質2：如果級數

3、分別收斂于和 s,則級數 也收斂，且其和 為s11nnnnvu 與)(1nnnvu 性質性質3 ：在級數中去掉、增加或改變有限項，其 斂散性不變。說明說明：其斂散性不變，但和是會發生變化的1nnu11)(nnnuu5若無窮級數收斂于S，則無窮級數收斂于（）ASB2SC2S-u1D2S+u1 C性質性質4： 收斂級數各項任意加括號后所得新級數仍 收斂且和不變證:設收斂級數 nuuu21新級數 )()(54321uuuuu ,5221nmSSSSSnnmmlimlim注意注意: (1). 加括號后所得新級數發散,則原級數發散.(2). 加括號后所得新級數收斂,原級數不一定收斂.例如: (11)+

4、(11)+ (11)+.收斂而11+11+11+.發散.性質性質5：(級數收斂必要條件)若級數 收斂,則1nnu0limnnu證證:)(limlim1nnnnnSSu1limlimnnnnSS0SS注意注意:(1). 若 ,則級數 發散1nnu0limnnu(2). 時,級數 不一定收斂0limnnu1nnu判斷級數發散的第一步驟nlim1nnku5若un0,k是常數，則級數（）A收斂B條件收斂C發散D斂散性與k值有關 08.04D01limlimnunnn但可以證明級數發散假若級數收斂,則0)(lim2SSSSnnn但是,2121212121112 nnnnnSSnn矛盾例如例如:調和級數

5、n13121111nn22判斷無窮級數111nnn的斂散性.07.105若無窮級數1nnu收斂于S，則無窮級數11)(nnnuu收斂于（）ASB2SC2S-u1D2S+u1Cnlim1nnku5若un0,k是常數，則級數( )A收斂B條件收斂C發散D斂散性與k值有關 08.0410無窮級數) 1(1431321211nn的和為_. 09.04D21判斷級數111nnn的斂散性 09.0410. 無窮級數14332232323232nn+的和為_. 09.1010.無窮級數無窮級數0!2nnn的和為的和為 10.0410.106.2數項級數審斂法數項級數審斂法正項級數正項級數：各項都取正數或零的

6、級數稱作正項級數注:(1)正項級數的部分和數列是單調遞增數列(2)收斂數列必有界(3)單調有界數列必有極限定理定理1：正項級數 收斂的充要條件是1nnu其部分和數列sn有上界2.1.正項級數及其審斂法正項級數及其審斂法定理定理2(比較審斂法比較審斂法)1nnu設 和 都是正項級數,1nnv且)., 2 , 1( nvunn1nnu1nnv(1)若 收斂,則 收斂;1nnu1nnv若 發散則 發散.證證:設 收斂于,1nnv則 部分和1nnunnuuuS 21 nvvv211nnu由定理1,收斂.1nnv1nnu反之,若 發散則 必發散.否則與上面的結論矛盾.(2)推論推論1：設 與 都是正項級

7、數，且存在k0和自然數N，使得當nN時，總有也收斂。收斂，則級數如果級數11nnnnuv1nnu1nnvnnkvu 推論推論2：設 與 都是正項級數，且存在k0和自然數N，使得當nN時，總有也發散。發散，則級數如果級數11nnnnuv1nnu1nnvnnkvu 例例3：討論級數的斂散性11npn此級數稱為P級數解：當0N 時,22llvullnnnnnvluvl232即由比較審斂法可知結論AunnlimAuNnNn時，當對任意, 0即22llvulnn例1)11ln(nn1)11 (limln1)11ln(limnnnnnn而 發散11nn發散定理定理4：(比值審斂法比值審斂法)設 是正項級數

8、,1nnu如果級數的后項與前項的比的極限nnnuu1lim10).1 (1).2(收斂;發散;1).3(無法確定.21判斷無窮級數的斂散性.1nnn! n07.0421.判斷無窮級數131nnn的斂散性.08.1021. 判斷級數13) 1(2nnnn的斂散性. 09.10nnnuu1lim111)11 (lim)1(lim!) 1()!1(limlimennnnnnnuunnnnnnnnnn131) 1( 32lim1332lim1nnnnnnnn定理定理5：(根值審斂法根值審斂法)設 是正項級數,1nnu如果nnnulim則:10).1 (1).2(收斂;發散;1).3(無法確定.(證明略

9、)例例 :證明 nnnnn1312111321收斂01limlimnunnnn解解則級數收斂級數收斂：證明例nnnn1)5312(101)5312(nnnn正數，可當成從第二項開始各項均為證明：級數，又因為正項級數討論其斂散性1325312lim)5312(limlimnnnnunnnnnnn收斂知，級數所以，根據根植審斂法1)5312(nnnn2.2交錯級數及其審斂法交錯級數及其審斂法交錯級數：交錯級數：設對一切自然數n,都有un0,則稱級數此兩交錯級數的斂散性相同為交錯級數和111) 1() 1(nnnnnnuu以下介紹交錯級數的審斂法：以下介紹交錯級數的審斂法：萊布尼茨審斂法萊布尼茨審斂

10、法12limuSSnnSuSSnnnnn)(limlim122121limuSSnn則定理定理6：(萊布尼茨審斂法萊布尼茨審斂法)若交錯級數11) 1(nnnu滿足:,.)2 , 1( ;)(1nuuuinnn單調遞減，即數列0lim).(nnuii則級數收斂,且其和1uS )()()(21243212nnnuuuuuuS 1543212)()(uuuuuuSn 證證單調有界.1) 1(1111收斂：證明級數例nnn有對任意自然數是交錯級數證明：級數nnnn,1) 1(110111) 1 (1nnunnu01limlim)2(nunnn收斂級數根據萊布尼茨審斂法知nnn1) 1(11對于一般的

11、任意項級數1nnu考慮1|nnu正項級數1|nnu收斂,則1nnu絕對收斂絕對收斂1nnu收斂,而 發散,則1|nnu1nnu條件收斂條件收斂例如111)1(nnn1211)1(nnn絕對收斂條件收斂2.3絕對收斂和條件收斂絕對收斂和條件收斂定理定理7： 如果 絕對收斂,則 必收斂1nnu1nnu收斂數絕對收斂，所以正項級證明：因為級數11nnnnuu)2 , 1( ,nuuvnnn令）（且則2 , 1,2, 0nnuvvnn收斂知，級數根據比較審斂法的推論1nnvnnnuvu又因為1nnu 必收斂級數根據收斂級數的性質得例例12：判斷級數 的斂散性13sinnnn收斂收斂，所以而級數解：因為

12、131333sin1,1sinnnnnnnnn收斂絕對收斂，所以即級數1313sinsinnnnnnn21.判斷級數111)n(1)1(nnnn是否收斂.如果收斂，是條件收斂還是絕對收斂 08.04絕對收斂。故11)1ln() 1(, 10) 1ln(1lim|limnnnnnnnnnu1nnv1nnu5設0unvn(n=1,2,)，且無窮級數收斂，則無窮級數A.條件收斂 B.絕對收斂 C.發散 D.收斂性不確定 09.0421.判斷級數131321nnnn是否收斂,如果收斂,是條件收斂還是絕對收斂?10.04233312121321nnnn絕對收斂故收斂故收斂1311312332)1(,32

13、1,1nnnnnnnnnB10.1021.6.3冪級數冪級數1. 函數項級數的定義函數項級數的定義定義在區間I上的一列函數),(,),(),(),(321xuxuxuxun則由這一列函數構成的表達式稱為定義在區間I上的函數項級數函數項級數，簡稱級數級數。)()()()()(1321xuxuxuxuxunnn 對于每一個確定的值 函數項級數就成為常數項級數,0Ix 此級數可能收斂可能發散。此級數可能收斂可能發散。100030201)()()()()(nnnxuxuxuxuxu（）（） 如果（）收斂，稱點x0是函數項級數的收斂點收斂點；如果（）發散，則稱點x0是函數項級數的發散點發散點。 由所有的

14、收斂點構成的集合稱為函數項級數的收斂域收斂域，由所有的發散點構成的集合稱為函數項級數的發散域發散域。2. 函數項級數的收斂與發散函數項級數的收斂與發散 顯然，在收斂域上，函數項級數的和是顯然，在收斂域上，函數項級數的和是x的函的函數，記作數，記作 稱為函數項級數的稱為函數項級數的和函數和函數，即，即),(xS和函數的定義域就是級數的收斂域。和函數的定義域就是級數的收斂域。)()()()()()(1321xuxuxuxuxuxSnnn函數項級數的前函數項級數的前n項和項和)()()()()(321xuxuxuxuxSnn稱為它的稱為它的部分和函數部分和函數，易知在收斂域上有，易知在收斂域上有)(

15、)(limxSxSnn 冪級數冪級數是函數項級數中最簡單也是應用最廣是函數項級數中最簡單也是應用最廣泛的一類級數，以下重點介紹冪級數。泛的一類級數，以下重點介紹冪級數。3、冪級數的定義、冪級數的定義nnnnnxxaxxaxxaaxxa)()()()(020201000形如形如的級數稱為的級數稱為冪級數冪級數，其中的常數，其中的常數,210naaaa稱為稱為冪級數的系數冪級數的系數。對于上述冪級數，只要作代換對于上述冪級數，只要作代換t=x-x0, 就轉化為特殊形式就轉化為特殊形式nnnnntatataata22100我們今后只要討論這種簡單形式的冪級數我們今后只要討論這種簡單形式的冪級數4.冪

16、級數的收斂域冪級數的收斂域一般的,冪級數收斂域是一區間.例 nnnxxxx2111由等比級數的性質, 時收斂, 時發散1|x1|x則收斂域(1,1)內xxxxn 1112對于給定的冪級數如何確定他的收斂域？對于給定的冪級數如何確定他的收斂域？我們先介紹如下定理定理定理1 (阿貝爾定理阿貝爾定理) 如果 ：0nnnxa1.在點 收斂,)0(0 xx則當 時，它絕對收斂|0 xx 2.在點 發散,)0(0 xx則當 時，它發散.|0 xx 推論推論: 設 存在非零的收斂點,又存在發散點,則0nnnxa存在R0,使得當 |x|R 時它發散注:三種收斂情形:(1) 僅在 x = 0 處收斂;(2) 在

17、 內處處收斂;),(3) 在(R,R )內收斂,端點另外討論收斂區間R收斂半徑收斂半徑R= 0R= + 收斂半徑：收斂半徑：若存在一個正數R0,使得(1)對一切滿足|x|R的x，都有冪級數發散(3)對于x=R這兩點,其收斂情況不確定,要具體分析我們將滿足上述條件的R稱為該級數的收斂半徑收斂區間收斂區間：若級數的收斂半徑為R，則(-R，R)為收斂區間收斂域：收斂域：確定了端點的收斂區間稱為收斂域，即收斂域是-R,R,-R,R),(-R,R,(-R,R)其中之一。5.設冪級數1) 3(nnnxa在x=1處收斂,則在x=4處該冪級數( )A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.斂散性不定 10.04A5

18、.收斂半徑收斂半徑R的求法的求法：定理定理2: 對于冪級數對于冪級數 ，如果，如果則收斂半徑則收斂半徑 ，且當，且當 時，時， ；當；當 時，時， 。1 R0 R 0 Rnnnaa1lim )0(0 nnnnaxa說明：說明：求得收斂半徑求得收斂半徑R后后,再將再將 時的常數項級時的常數項級數的斂散性做以討論，便可得冪級數的收斂域。數的斂散性做以討論，便可得冪級數的收斂域。Rx 011.,nnnnnnnxxxaaa項的系數中是冪級數其中nxxxxxnn 1432) 1(4321：求冪級數例的收斂半徑、收斂區間和收斂域。解解：因為11lim111limlim1nnnnaannnnn) 1 , 1

19、(11R，其收斂區間為所以冪級數的收斂半徑當x=1時，原級數成為交錯級數1111) 1(1) 1(4131211nnnnn該級數收斂當x=-1，原級數成為nnn1) 1(141312111由調和級數發散知，該級數發散，因此冪級數的收斂域為(-1,122.求冪級數1n2nn) 3x(的收斂半徑和收斂域 07.0421求冪級數11) 1(2) 1(nnnnxn的收斂半徑和收斂域 07.1022.求冪級數nnnnxn1132) 1(的收斂區間 08.10)4 , 2(1|3| , 11, 11) 1(1lim22收斂區間xRnnn1,lim1Raannn收斂半徑22求冪級數11) 1(nnnx的收斂

20、區間 09.0422. 求冪級數12nnnx的收斂區間 09.105.設冪級數1) 3(nnnxa該冪級數( )A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.斂散性不定在x=1處收斂,則在x=4處10.04)(0 xSxannn設收斂半徑為R, 則(1) S(x) 在收斂域內連續;(2) S(x) 在(-R,R)內可導,且0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS6.冪級數的性質及應用冪級數的性質及應用即冪級數在(-R,R)內可以逐項求導,所得到的冪級數收斂半徑不變.可推廣到任意階導數(3) S(x)在(-R,R)內可積,且 01000001)(nnnnxnnxnnnxxnadttadtt

21、adttS即冪級數在(-R,R)內可以逐項積分,所得到的冪級數收斂半徑不變.注意:(2),(3)中端點需要另外討論.的和函數內求冪級數：在區間例11)1 , 1(7nnxn則即解：設所求和函數為,1)(),(1nnxnxsxs) 1 , 1(,11)(11xxxxsnn對上式兩邊從0到x積分，又因為s(0)=0，所以) 1 , 1(),1ln()(xxxs的和函數內，求冪級數：在區間例011) 1 , 1(8nnxn解解：設所求和函數為s(x),則1)0(,11)(0sxnxsnn且為了使冪級數的一般項求導后將系數消掉，在上面等式兩邊乘x,得11n110111)(nnnnxnxnxxs由例7知

22、xs(x)=-ln(1-x),x(-1,1)0,1) 1 , 0()0 , 1(),1ln(1)(xxxxxs1) 1 , 1(9nnnx 的和函數內，求冪級數：在區間例11111)()(nnnnnnnnxxxxnxxnx) 1 , 1(,)1 ()1 (1)1(22xxxxxxxx0)(nnnxgxb)(0 xfxannn設7.冪級數的運算冪級數的運算收斂半徑分別為 和 ,記1R2R,min21RRR 則對于任意的 , 有),(RRx)()()(000 xgxfxbaxbxannnnnnnnnn10.當|x|1時，無窮級數01) 1(nnnx的和函數為_08.04上節告訴我們：上節告訴我們：

23、nnnxxaxf)()(00 冪級數在其收斂域內有一個和函數，把這句話反過來說，就是這個和函數在收斂域內可以展開成冪級數。我們的問題是：任意給定的函數我們的問題是：任意給定的函數f(x)2. 如果能展開, 是什么?na3.展開式是否唯一?1.在什么條件下才能展開成冪級數?6.4函數的冪級數展開式函數的冪級數展開式并稱此冪級數為f(x)冪級數展開式冪級數展開式1.冪級數展開式冪級數展開式下面的定理說明，如果f(x)在(-R,R)內能展開成冪級數，則該冪級數是被f(x)在x=0點的函數值和各階導數值唯一確定。定理定理1(唯一性定理唯一性定理)如果函數f(x)在區間(-R,R)內可以展開成冪級數，即

24、)( ,)(22100nnnnnxaxaxaaxaxf則), 2 , 1 , 0( ,!)0()(nnfann證明：證明：將x=0代入，得a0=f(0)對()兩邊逐項求導，得1342321432)(nnxnaxaxaxaaxf 22432) 1(34232)(nnxannxaxaaxf 343) 2)(1(23423)(nnxannnxaaxf)( ,)(332210nnxaxaxaxaaxf將x=0代入以上各式得xnnannnxfnn2) 1(2)2)(1()()(), 2 , 1( ,!)0()(nanfnn), 2 , 1 , 0( ,!)0()(nnfann綜合以上知由以上定理不難得出

25、以下結論：由以上定理不難得出以下結論：，則若0)(nnnxaxf), 2 , 1 , 0( ,!)0()(nnfann2.泰勒公式泰勒公式在一元函數微積分中，我們學過拉格朗日中值定理：設f(x)在在a,b上連續，在上連續，在(a,b)內可導，則至少存在一點內可導，則至少存在一點(a,b)使得使得f(b)-f(a)=f()(b-a)將上述定理應用到區間x0,x上，有)()()()()()(0000 xxfxfxfxxfxfxf即之間與介于其中xx0將上述公式推廣即得以下泰勒公式泰勒公式：泰勒公式：階導數內有直到的某個鄰域在設1),()(000nxxxxf，有則對任意的),(00 xxx 2000

26、00)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf)()(!100)(xRxxxfnnnn之間與介于其中其中xxxxfnxRnnn010)1(,)()!1(1)(的泰勒公式的余項在點為我們稱0)()(xxxfxRn)()()(00 xxfxfxf拉格朗日： nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(! 2)()()(00)(200000nnnxxnxf)(!)(000)(處的泰勒級數在稱上述級數為0)(xxf處的泰勒系數在為稱00)()(), 2 , 1 , 0( ,!)(xxfnnxfann設f(x)在點x=x0附近有任意階導數，我們稱冪級數nnnxxnxf)(!)(000)(的馬克

27、勞林級數為)(xf的馬克勞林系數為稱)(), 2 , 1 , 0( ,!)0()(xfnnfann時，我們稱冪級數特別地，當00 x nnnnnxnfxfxffxnfxf!)0(! 2)0()0()0(!)0()()(20)( nnxxnfxxxfxxxfxf)(!) 0()(! 2)()()(0)(200000泰勒定理泰勒定理:若f(x) 在 的某鄰域內具有各階導數,0 x0)(limxRnn注: (1) 則f(x)在 的鄰域內可以展開成泰勒級數0 x若f(x)在 的泰勒級數收斂于f(x),即0 x000)()(!)()(nnnxxnxfxf泰勒展開式(2) 如果函數可以展開成冪級數,則展開

28、式唯一.則稱 f(x)在 可以展開成泰勒級數0 x 200000)(!21)()()(xxxfxxxfxfxf 200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf)()(!100)(xRxxxfnnnn3. 函數展開成冪級數函數展開成冪級數以下主要研究函數如何展開成 x 的冪級數. 麥克勞林級數00 x1. 直接展開法直接展開法(1) 求出 ),(,),(),()(xfxfxfn如果某階導數不存在,說明不能展開(2) 求出 ),0(,),0(),0(),0()(nffff(3) nnxnfxfxff!)0(! 2)0()0()0()(2求出收斂半徑R(4) 在(-R,R)內,如果0)

29、(limxRnn則 f(x) nnnnnxnfxfxffxnfxf!)0(! 2)0()0()0(!)0()()(20)( nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(! 2)()()(00)(200000nnnxxnxf)(!)(000)(例例1 ： 將函數 展開成 x 的冪級數xexf)(解：,.)2 , 1( ,)()(nexfxn,.)2 , 1( , 1)0()0()(nffn ! 212nxxxn收斂半徑R1)!1(| )(|nnxnexR)0(,)!1(|1|之間與介于xnxenx有限趨于零,因為 收斂01)!1(|nnnx所以0)(limxRnn)( ,! 212 xnxx

30、xenxxexf)( nnnnnxnfxfxffxnfxf!)0(! 2)0()0()0(!)0()()(20)(1!nnnx1,|lim1Raannn之間與介于其中xxxxfnxRnnn010)1(,)()!1(1)(102lim)!1()!2(lim12nxxnnxnnnn10.無窮級數1+1+!1! 31! 21n的和為_.08.10)( ,! 212 xnxxxenx10.無窮級數無窮級數0!2nnn的和為的和為 . 10.0425.將函數將函數 2312xxxf展開為展開為(x+1)的冪級數的冪級數 10.04ee2xxfxsin)(:2的冪級數：展開成例,.)2 , 1(),2si

31、n()(nnxxfn,.)2 , 1 , 0,.(1, 0 , 1 , 0)0()(nfn(循環) )!12() 1(! 5! 31253nxxxxnn收斂半徑R1)!1()21sin(| )(|nnxnnxR)0(,)!1(|1之間與介于xnxn所以0)(limxRnn0)( ,)!12() 1(012xnxnnn)2cos()(cos)2sin()(sin)()(nxxnxxnn解：解： nnnnnxnfxfxffxnfxf!)0(! 2)0()0()0(!)0()()(20)(1,|lim1Raannn2.間接展開法間接展開法利用已知的基本展開式和冪級數的性質(1).逐項積分,逐項求導法

32、(2)變量替換法(3)四則運算法例 將函數展開成 x 的冪級數xxfcos)().1 ()(sincosxx)!12() 1(! 5! 3(1253 nxxxxnn)( ,!2) 1(! 4! 21242 xnxxxnn)1ln()().2(xxf) 11( ,) 1(110 xxxnnnxdxxx011)1ln() 1(00 nxnndxx) 11(x11) 1(nnnnx02)!2() 1(nnnnx)( ,)!12() 1(sin012xnxxnnn) 11( ,!) 1()2)(1(! 3)2)(1(! 2) 1(1)1).(3(32 xxnnxxxxn冪級數展開成將xx211)4(0

33、2) 11( ,111nnnxxxxxx解解：因為得代替所以用xx202022) 1()(11nnnnnxxx) 11( ,) 1(1242xxxxnn例 將 分別展開成 x 的及 x1 的冪級數x313113131xx,301nnnxnnx)3(310211121) 1(2131xxxnnx)21(210)31( ,2) 1(01xxnnn3313113xxx31212121xxx33x例 將 展開成 x1的冪級數3412 xx)3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx)411 (81)211 (41xxnnnnnnxx)41() 1(81)21() 1(4100,) 1)(2

34、121() 1(0322nnnnnx)31(x)53(x)31(x25.將函數f(x)=xarctanx展開為x的冪級數.07.0425將函數xxxf3)(展開成x的冪級數 07.1002022) 1()(11)(arctannnnnnxxxx(),12) 1(arctan012nnnnxx) 11( ,12) 1(arctan)(022xnxxxxfnnn0013)3(31131)(nnnnnxxxxxxxxf3313xx25.將函數f(x)=21x展開成（x+2）的冪級數 25將函數f (x)=x31展開為x的冪級數。08.0408.1025將函數f(x)=x31展開為x-1的冪級數 09

35、.040)22(21221121)2(21()1()1()(nnxxxxxxf)33( ,3)3(3131131)(001xxxxxfnnnnn0014) 1() 1()41(41411141) 1(41)(nnnnnnxxxxxf)53(x25. 將函數f(x)=ln(1+x)展開為x的冪級數. 09.1025.將函數將函數 2312xxxf展開為展開為(x+1)的冪級數的冪級數 10.0410.10的冪級數展開成將151)(.22xxxf00) 1()(11)(nnnnnxxxxf2) 1(13) 1(11121)(xxxxxf311131211121)1(31)1(21xxxx常用函數的

36、冪級數展開式常用函數的冪級數展開式：x（3 3）x,110nnxx（1）（2）022,) 1(11nnnxx,!0nnxnxe（4）)!12() 1(sin120nxxnnn11x（5）02,)!2() 1(cosnnnnxxx（6）,) 1()1ln(11nnnnxx（7）.!) 1).(1(.! 2) 1(1)1 (2nxnnxxx1,!) 1).(1(11Rxnnnn6.5傅里葉級數傅里葉級數 在科學實驗與工程技術的某些現象中，常會碰到一種周期運動。最簡單的 周期運動就是簡諧振動，可用正弦型函數來描寫。 sinyAx 較為復雜的周期運動，能否分解成幾個簡諧振動的疊加，反應到數學上，就是一

37、個復雜的周期函數能否展開成由正弦函數和余弦函數構成的三角級數10)sincos(2nnnnxbnxaa三角級數：三角級數：形如形如的函數項級數稱為三角級數三角函數系：三角函數系：稱為三角函數系有時也記為：1sin,cos, 1nnxnx1.三角函數系的正交性：三角函數系的正交性：三角函數系的正交性是指三角函數系中每個函數的平方在-,上的積分都大于零，而每兩個不同函數的乘積在-,上的積分都等于零，即cossin0nxdxnxdx coscos0,sinsin0,cossin0mxnxdxmnmxnxdxmnmxnxdx （6） （7） 222cossin,12nxdxnxdxdx 通常把兩個函數

38、可積，且通常把兩個函數可積，且 0baxx dx , a b , 的函數的函數與與稱為在稱為在上是上是正交的。正交的。所以我們說在上，三角函數系具有正交性正交性2.2.周期為周期為22的函數展開為傅里葉級數的函數展開為傅里葉級數 設設f(x)是一個以是一個以2為周期的函數，且能展開成為周期的函數，且能展開成三角級數，即設三角級數，即設 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf 那么這個三角級數中的系數那么這個三角級數中的系數a0 ,a k ,bk與函數與函數 f(x)有什么關系？為了解決這個問題，我們假設三角級有什么關系？為了解決這個問題，我們假設三角級數數(3)是可以逐項積分的是可

39、以逐項積分的(3)0)(adxxf dxxfa)(10即即 10sincos2)(kkkkxdxbkxdxadxadxxf 根據三角函數系的正交性，上式右端除第一項根據三角函數系的正交性，上式右端除第一項外，其余各項均為零，所以有外，其余各項均為零，所以有先求先求a0 ，對，對(3)式兩邊從式兩邊從- 到到逐項積分，得逐項積分，得 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf(3) 10cossincoscoscos2kkknxdxkxbnxdxkxanxdxa nxdxnxanxdxxfncoscoscos)( nxdxxfcos)(根據三角函數系的正交性，上式右端除含根據三角函數系的

40、正交性，上式右端除含 ak且且k=n的這一項外，其余各項均為零，所以有的這一項外，其余各項均為零，所以有其次求其次求an，用，用cosnx乘乘(3)式兩邊，再從式兩邊，再從- 到到 逐項積分，得逐項積分，得 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf222cossin,12nxdxnxdxdx 即即 nxdxxfancos)(1 nxdxxfbnsin)(1類似地，用類似地，用sinnx乘乘(6)式兩邊，再從式兩邊，再從- 到到逐項積逐項積分，得分，得把上面討論的結果歸納如下把上面討論的結果歸納如下: dxxfa)(10nxdxxfacos)(1n則設, )sincos(2)(10nn

41、nnxbnxaaxf xdxxfbnsin)(1 dxxfa)(10nxdxxfancos)(1則設, )sincos(2)(10nnnnxbnxaaxf 這組公式稱為這組公式稱為歐拉歐拉-傅里葉公式傅里葉公式，由這些公式計算出的，由這些公式計算出的系數系數a0 ,a1 ,b1， a2 ,b2，稱為函數稱為函數f(x)的的傅里葉系數傅里葉系數 xdxxfbnsin)(110)sincos(2nnnnxbnxaa稱為函數稱為函數 f ( x)的的傅里葉級數傅里葉級數 下面給出傅里葉級數收斂的定理下面給出傅里葉級數收斂的定理 (定理證明從略定理證明從略)以以a0 ,an ,bn(n=1,2,3)為

42、系數作出的三角級數為系數作出的三角級數 )0()0(21 xfxf收斂定理收斂定理:(狄利克雷收斂準則狄利克雷收斂準則) 設設 f (x)是以是以2為周期的函數，如果它滿足條件為周期的函數，如果它滿足條件: (1).在一個周期內連續或至多只有有限個第一類間斷點，在一個周期內連續或至多只有有限個第一類間斷點， (2).在一個周期內至多有有限個極值點。在一個周期內至多有有限個極值點。則函數則函數f(x)的傅里葉級數收斂，并且的傅里葉級數收斂，并且(1)(1)當當x是是 f ( x)的連續點時，級數收斂于的連續點時，級數收斂于f ( x) ；(2)當當x是是 f (x)的間斷點時，級數收斂于的間斷點

43、時，級數收斂于 .0, 0,f(x) xxxx將將f(x)展開為傅里葉級數展開為傅里葉級數圖圖8.38.3例例2 2 設設f(x)是周期為是周期為2的函數，在的函數，在- ,)上的表示式為上的表示式為 00)(1 xdxdxx 00coscos)(1 nxdxxnxdxx 02xdx nxdxxfancos)(1 dxxfa)(10按傅里葉公式計算傅里葉系數按傅里葉公式計算傅里葉系數:.0, 0,f(x) xxxx 02cos1sin2 nxnnxnx ;4, 02為奇數為奇數當當為偶數為偶數當當nnn )1(cos22 nn 0cos2nxdxx 00coscos)(1 nxdxxnxdxx

44、0sinsin)(100 nxdxxnxdxx),()12cos()12(13cos31cos42)(22 xmmxxxf nxdxxfbnsin)(1 因為函數因為函數f(x)滿足收斂定理的條件，且沒有間斷點滿足收斂定理的條件，且沒有間斷點,所以所以f(x)的傅里葉級數為的傅里葉級數為;4, 02為奇數當為偶數當nnnan0a10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf, 0)(10dxxfa(1).設設f(x)是以是以2為周期的奇函數，則為周期的奇函數，則f(x)的傅里葉系數為的傅里葉系數為3.奇函數和偶函數的傅里葉級數奇函數和偶函數的傅里葉級數), 2 , 1( , 0cos)(1nnxdxxfan.)3 , 2 , 1( ,sin)(2sin)(10nnxdxxfnxdxxfbn所以函數的傅里葉級數10)sincos(2nnnnxbnxaa中只有正弦項，稱為正弦級數正弦級數故，若故，若f(x)是以是以2為周期的為周期的奇函數奇函數，則，則f(x)的傅里