1、第十一章第十一章 級數級數第一節第一節 無窮級數的概念及性質無窮級數的概念及性質 nuuuu321 nkknnuuuuS121 2部分和：部分和：、,11uS ,212uuS ,3213uuuS ,21nnuuuS 則則稱稱和和是是一一給給定定的的數數列列，設設無無窮窮級級數數：、 1nu，記為記為 1 nnu即：即：對應一個部分和數列對應一個部分和數列，給定級數給定級數顯然，顯然， , 1nnnSu .稱為級數的一般項稱為級數的一般項而而nu, nnnuuuuu3211即即.為無窮級數為無窮級數.稱稱為為無無窮窮級級數數的的部部分分和和無無窮窮級級數數的的收收斂斂與與發發散散一一、 ，存存在

2、在極極限限的的部部分分和和數數列列若若級級數數SSunnn1 1收斂，收斂，則稱級數則稱級數 nnu，即即SSnn lim 記為記為稱為該級數的和，稱為該級數的和，且極限且極限 S.211Suuuunnn .1發散發散則稱級數則稱級數 nnunnSSr 21nnuu 1nkku級數收斂：級數收斂：、 3級數發散：級數發散：、 4余項：余項：、 5則則稱稱收收斂斂，設設級級數數 1 nnu不不存存在在，若若極極限限nnS lim.lim 1存在存在收斂收斂級數級數說明：說明：nnnnSu .lim1不不存存在在發發散散級級數數nnnnSu .1的余項的余項為級數為級數 nnu且且，產生的誤差為產

3、生的誤差為代替和代替和這時用這時用 nnrSS. 0)(limlim nnnnSSrnnSSr 21nnuu 1nkku余項：余項：、 5則則稱稱收收斂斂，設設級級數數 1 nnu.1的余項的余項為級數為級數 nnu.lim 1存在存在收斂收斂級數級數說明：說明：nnnnSu .lim1不不存存在在發發散散級級數數nnnnSu )1(1321211 nnSn解：解：1113121211 nn)111(limlim nSnnn，111 n. 1 . 1 S且且和和. )1(1321211)1(1 11若若收收斂斂求求其其和和的的斂斂散散性性，判判斷斷、例例 nnnnn收斂，收斂，故故 1)1(1

4、 nnn12 nnaqaqaqaS解解：.1 1)1( 時時當當， qqqan 1時，時，當當 q，qaSnn 1lim時，時，當當1 q， nnSlim 收收斂斂，故故級級數數 11 nnaq. 11發發散散故故級級數數 nnaq.1qa 且和為且和為.)0()( 21211的斂散性的斂散性幾何級數幾何級數討論等比級數討論等比級數、例例 aaqaqaqaaqnnn,1時時當當 q不不存存在在，nnS lim . 12 , 2, 0knaknSn，時時當當，1 qna時，時，當當1 q， nnSlim . 11發發散散故故級級數數 nnaq. 11發發散散故故級級數數 nnaq. 11發發散散

5、級級數數 nnaq時時，因因此此當當1 q收收斂斂；級級數數 11 nnaq時，時，當當1 q時，時，當當1 q， nnSlim 收收斂斂，故故級級數數 11 nnaq. 11發發散散故故級級數數 nnaq.1qa 且和為且和為,1時時當當 q不不存存在在，nnS lim . 12 , 2, 0knaknSn，時，時，當當1 q， nnSlim . 11發發散散故故級級數數 nnaq.)0()( 21211的的斂斂散散性性幾幾何何級級數數討討論論等等比比級級數數、例例 aaqaqaqaaqnnn級數的基本性質級數的基本性質二、二、 ，、的的部部分分和和分分別別為為、設設級級數數證證：nnnnn

6、nSkuu 11 nnkukuku 21 則則)(limlimnnnnkS nnSk lim.kS . 1kSkunn且且和和為為收收斂斂，故故級級數數 . )( 2111 SvuSvunnnnnnn且且其其和和為為也也收收斂斂，則則級級數數，、分分別別收收斂斂于于、設設級級數數、，、的的部部分分和和分分別別為為、設設級級數數證證：nnnnnnSvu 11 . 111kSkuSunnnn且且和和為為收收斂斂，則則級級數數，收收斂斂于于設設級級數數、 ,nkS )(21nuuuk . 0 11的斂散性相同的斂散性相同與與級數級數時，時，當當說明：說明： nnnnkuuk級數的基本性質級數的基本性

7、質二、二、 . )( 2111 SvuSvunnnnnnn且且其其和和為為也也收收斂斂，則則級級數數，、分分別別收收斂斂于于、設設級級數數、，、的的部部分分和和分分別別為為、設設級級數數證證：nnnnnnSvu 11 . 111kSkuSunnnn且且和和為為收收斂斂，則則級級數數，收收斂斂于于設設級級數數、 )(1的部分和為的部分和為則級數則級數 nnnvu)()()(2211nnnvuvuvu )()(2121nnvvvuuu ，nnS )(limlimnnnnnS . S. )(1 Svunnn且且和和為為收收斂斂，故故級級數數級數的基本性質級數的基本性質二、二、 . )( 2111 S

8、vuSvunnnnnnn且且其其和和為為也也收收斂斂，則則級級數數，、分分別別收收斂斂于于、設設級級數數、. 111kSkuSunnnn且且和和為為收收斂斂，則則級級數數，收收斂斂于于設設級級數數、 . 逐項相減逐項相減收斂級數可逐項相加與收斂級數可逐項相加與說明：說明：發散嗎？發散嗎？兩個發散級數的和一定兩個發散級數的和一定問題：問題： . 不一定發散不一定發散答案：答案：都都發發散散，、等等比比級級數數例例如如、 111)1( )1( nnnn. )1()1(11收收斂斂但但級級數數 nnn和一定發散嗎？和一定發散嗎？收斂級數與發散級數的收斂級數與發散級數的問題：問題： . 一一定定發發散

9、散答答案案：級數的基本性質級數的基本性質二、二、 . )( 2111 SvuSvunnnnnnn且且其其和和為為也也收收斂斂，則則級級數數，、分分別別收收斂斂于于、設設級級數數、. 3其其和和一一般般是是改改變變的的但但在在收收斂斂時時，的的斂斂散散性性，不不改改變變級級數數項項，增增加加或或改改變變級級數數的的有有限限去去掉掉、)2( )1( 21121 nkkknkkkuuukuuuuu項項得得到到級級數數去去掉掉前前面面設設級級數數證證：nkkknuuu 21 則則，記記Ssnknnn lim lim . kSS 則則， knkSS . 同同時時收收斂斂或或同同時時發發散散與與時時，故故

10、當當nnkSn ，、的的部部分分和和分分別別為為、設設級級數數nnS )2( )1(. 其和一般會改變其和一般會改變故收斂時，故收斂時，級數的基本性質級數的基本性質二、二、 . 3其其和和一一般般是是改改變變的的但但在在收收斂斂時時，的的斂斂散散性性，不不改改變變級級數數項項，增增加加或或改改變變級級數數的的有有限限去去掉掉、)1( 211 nnnuuuu證證：設設級級數數nnmmS limlim 故故,93S ,nmS .S . , 4且且其其和和不不變變級級數數仍仍收收斂斂收收斂斂級級數數加加括括弧弧后后所所得得、)2( )()( 54321 uuuuu進進行行如如下下加加括括弧弧：, 2

11、1S 則則,52S ，、的的部部分分和和分分別別為為、設設級級數數nnS )2( )1(，且且其其和和為為收收斂斂，級級數數S )2(.即其和不變即其和不變. 級級數數未未必必收收斂斂收收斂斂級級數數去去括括弧弧后后所所得得說說明明：. , 4且且其其和和不不變變級級數數仍仍收收斂斂收收斂斂級級數數加加括括弧弧后后所所得得、級數的基本性質級數的基本性質二、二、 )11()11()11( 1n例例如如、 11)1(1111 nn但但 收斂收斂 發散發散. 則則原原級級數數發發散散發發散散，若若加加括括弧弧后后所所得得的的級級數數推推論論：. 級級數數未未必必收收斂斂收收斂斂級級數數去去括括弧弧后

12、后所所得得說說明明：設原級數收斂，設原級數收斂，證：證： 加括弧得到一級數，加括弧得到一級數，則按照已知條件的方式則按照已知條件的方式得該級數收斂，得該級數收斂，由性質由性質4.與已知矛盾與已知矛盾.故原級數發散故原級數發散級級數數收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 1 nnnnuu則則收收斂斂，設設級級數數，的的部部分分和和為為證證：設設級級數數nnnSu 1，則則1 nnnSSu)(limlim1 nnnnnSSu且且SS . 0 .14332211 31的斂散性的斂散性判斷級數判斷級數、例例 nnnnn,limSSnn 且且1limlim nnnnSS1limlim nnu

13、nnn解：解：1 ，0 .1 1發發散散級級數數 nnn級級數數收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu則則收收斂斂，設設級級數數必必要要條條件件：、. 0lim 21發散發散則級數則級數，設設推論：推論：、 nnnnuau. 斷斷級級數數發發散散的的方方法法上上述述推推論論給給出出了了一一個個判判說說明明：，顯顯然然01limlim nunnn,1312111 1 nnn調調和和級級數數例例如如，.11發發散散但但級級數數 nn，且且其其和和為為收收斂斂，假假設設事事實實上上，Snn 1 1 .為部分和為部分和其中其中nS，則則SSnn lim，SSnn 2lim

14、. 0)(lim2 SSSSnnn級級數數收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu則則收收斂斂，設設級級數數必必要要條條件件：、.0lim 1收收斂斂級級數數由由說說明明： nnnnuu，顯顯然然01limlim nunnn,1312111 1 nnn調調和和級級數數例例如如，.11發發散散但但級級數數 nn，SSnn 2lim. 0)(lim2 SSSSnnn級級數數收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu則則收收斂斂，設設級級數數必必要要條條件件：、.0lim 1收收斂斂級級數數由由說說明明： nnnnuunnnSSnn2121112

15、 又又nnn212121 ，0)(lim2 nnnSS.)1( 矛盾矛盾與與.21 )1(.11發發散散故故級級數數 nn第十一章第十一章 級數級數第二節第二節 正正項級數的審斂法項級數的審斂法有有界界部部分分和和數數列列收收斂斂正正項項級級數數1nnnSu 收收斂斂，設設”“證證 1 :nnu.有有界界nS,單調增加單調增加nS收收斂斂，nS.1收收斂斂故故正正項項級級數數 nnu. 0 11為正項級數為正項級數則稱級數則稱級數，設設正項級數：正項級數：、 nnnuu收斂，收斂，則數列則數列nS有界，有界，”設”設“nS，0 nu，nnSS 1. !1 11的的斂斂散散性性判判斷斷級級數數、

16、例例 nnnn 211!1 解解：2211 要條件要條件正項級數收斂的充分必正項級數收斂的充分必、 2!1! 21! 11nSn ，121 n. 0 11為正項級數為正項級數則稱級數則稱級數，設設正項級數：正項級數：、 nnnuu. !1 11的的斂斂散散性性判判斷斷級級數數、例例 nnnn 211!1 解解：2211 要條件要條件正項級數收斂的充分必正項級數收斂的充分必、 2!1! 21! 11nSn ，121 n!1! 21! 11 nSn 有有界界，得得由由0nnSS 121211 n1212 n. 2 211211 n.!1 1收收斂斂因因此此級級數數 nn上上述述解解題題主主要要是是

17、利利用用：，1)21(!1 nn 11.) 21(nn收收斂斂而而，、的的部部分分和和分分別別為為、設設證證：nnnnnnSvu 11 .1收收斂斂故故 nnu，且且均均為為正正項項級級數數，和和設設nnnnnnvuvu 11也也收收斂斂；則則收收斂斂，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也發散也發散則則發散，發散，若若 nnnnvu收斂，收斂，若若 1 )1(nnv，MSn . 11nnkknkknvuS 則則，則則Mn 發散，發散，若若 1)2(nnu.1發散發散故故 nnv無界，無界， n 無界，無界，則則nS比較判別法比較判別法、 3，且且均均為為正正項項級級數數，和和設設nn

18、nnnnvuvu 11也也收收斂斂；則則收收斂斂，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也發散也發散則則發散，發散，若若 nnnnvu比較判別法比較判別法、 3.) ()1(”可可改改為為“Nnvuvunnnn . (3)11未必收斂未必收斂收斂時，收斂時，當當 nnnnvu. )4(11未未必必發發散散發發散散時時，當當 nnnnuv幾點說明：幾點說明：.)0 ()2(”可可改改為為“ ccvuvunnnn時時，解解：當當1 p，因為因為nnp11 .11發散發散級數級數故故 npnp時時，當當1 poyx)1(1 pxyp1234，有有時時，當當ppxnnnx11 1 pppnnS1

19、31211 dxxdxxnnpp 121111dxxnp 111npxp11111 ，111 p發散，發散，又又 11nn.1 21的的斂斂散散性性級級數數判判斷斷、例例 npnpdxnnnnpp 111)11(1111 pnp.11 1nnpp 時時，當當.11dxxnnp 時時，解解：當當1 p，因為因為nnp11 .11發散發散級數級數故故 npnp時時，當當1 poyx)1(1 pxyp1234，有有時時，當當ppxnnnx11 1 pppnnS131211 ，111 p發散，發散，又又 11nn.1 21的的斂斂散散性性級級數數判判斷斷、例例 npnpdxnnnnpp 111.11

20、1nnpp 時時，當當.11dxxnnp 有界，有界，nS.11收斂收斂級數級數故故 npnp收斂，收斂，級數級數時，時，故當故當 11 1npnpp.1 11發發散散級級數數時時，當當 npnpp，判斷下列級數的斂散性判斷下列級數的斂散性、例例 12)1(1)1( 3nnn收收斂斂，又又 1231nn.)1(1 12收斂收斂 nnn，解：解： 1)1(1 )1( 232nnn ，且且均均為為正正項項級級數數，和和設設nnnnnnvuvu 11也也收收斂斂；則則收收斂斂，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也發散也發散則則發散，發散，若若 nnnnvu比較判別法比較判別法、 3：比較判

21、別法的參考級數比較判別法的參考級數，等等比比級級數數 11nnaq.11 npnp級級數數，判斷下列級數的斂散性判斷下列級數的斂散性、例例 12)1(1)1( 3nnn 22311)2(nn，).0(11)3(1 aann.11 223發發散散 nn發發散散，又又 1321nn 111 )2(3232，nn )1(11 1)3(，時，時，當當nnaaa 收斂，收斂，而而 1)1( nna 1.11 nna收收斂斂故故111lim 1 nnaa時時，當當 1.11 nna發發散散故故，時，時，當當2111 1 naa 1.11nna發散發散故故 11 11收收斂斂；時時，因因此此當當 nnaa.

22、11 11發發散散時時，當當 nnaa，0 ，且且均均為為正正項項級級數數，和和設設lvuvunnnnnnn lim 11斂散性相同；斂散性相同；與與則則時，時，當當 11 0(1)nnnnvul收收斂斂；則則收收斂斂，且且時時，當當 11 0)2(nnnnuvl. )3(11發發散散則則發發散散，且且時時，當當 nnnnuvl得得由由證：證： lim)1(lvunnn .2 0211llvuNnNlnn 有有時，時，當當，對對 ，即即nnnvluvl232 ，22llvulnn .11斂散性相同斂散性相同與與故由比較判別法可得故由比較判別法可得 nnnnvu比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式、 4，且且均均為為正正項項級級數數，和和設設lvuvunnnnnnn lim 11斂散性相同；斂散性相同；與與則則時，時，當當 11 0(1)nnnnvul收收斂斂；則則收收斂斂，且且時時，當當 11 0)2(nnnnuvl. )3(11發發散散則則發發散散，且且時時，當當 nnnnuvl比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式、 4得得由由證證：0lim )2( nnnvu，nnvu . 11收收斂斂收收斂斂時時，故故當當 nnnnuv. 10 0