1、精選優質文檔-傾情為你奉上專題講座 小學數學圖形與幾何(吳正憲）  小學數學圖形與幾何話題一【課程簡介】小學數學圖形與幾何課標解讀及教學思考，主要介紹數學課程標準關于“圖形與幾何”內容的規定，包括核心概念、內容主線、具體要求。本模塊主要包括以下四個話題：1如何在觀察、操作中“認識圖形” 抽象出圖形特征，發展空間觀念？2如何以“圖形的測量”為載體，滲透度量意識，體會測量的意義，認識度量單位及其實際意義，了解掌握測量的基本方法，并在具體問題中進行恰當的估測？從而發展學生的空間觀念與推理能力？3如何通過“圖形的運動”探索發現，體會研究圖形性質的不同方法，發展學生幾何直觀能力和空間

2、觀念，提高學生研究圖形性質的興趣？4如何通過學習“確定圖形位置”的方法，發展學生的空間觀念和推理能力？【學習要求】1. 請老師們認真觀看視頻，明確下列觀點：（ 1 ）了解數據“幾何直觀”、“空間觀念”的內涵，在教學中如何發展學生的“幾何直觀”和“空間觀念”；（ 2 ）圖形與幾何的內容變化及主線分析；（ 3 ）圖形與幾何學習的教學策略。2. 結合自己的教學實踐完成下面兩項作業：（ 1 ）線段、射線和直線的認識中，直線概念建立是兒童學習的難點，為什么？怎么突破？（ 2 ）選擇&#

3、160;1 個對您啟發最大的內容，做一次教學實踐（教學設計、教學案例、學生調研等）。 2011 版課標終于要公布了，新課標 修訂后有哪些變化。這一講主要講“圖形與幾何”這個領域的變化。新課標在圖形與幾何領域有幾個核心概念。主要有 等。空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。更直觀的理解如下圖： 幾何直觀主要是指利用圖形的描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題，變得簡明形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果，探

4、索思路預測結果。案例：打電話如果你是老師，有件緊急的事情要通知給同學，用打電話的方式，每分鐘通知 1 人，給你 3 分鐘的時間，能使多少人收到通知？大膽的猜測一下。下面是學生借助圖形研究的例子。這些學生都能夠利用線段、點以圖形的形式，來描述打電話來通知這件事情，設計方案。 通過這個數圖就把這個復雜的數量關系，很簡明很直觀的呈現出來，而且從這個圖本身，就能發現一些規律，就是一分鐘通知一個人，第二次通知的新的人數，就是第一次的兩倍，否則你算是算不出來，看圖就看出來了。通過線段、點，以及圖形，把通知過程很簡捷的表現出來，把它們之間的關系，揭示得非常清

5、楚，這就屬于典型的幾何直觀，就是圖形直觀。推理能力 的發展應貫穿于整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論。通過對一線教師的訪談，查閱資料，把老師們的困惑集中起來，歸結為四個大話題。討論話題：1如何在觀察、操作中“認識圖

6、形” 抽象出圖形特征，發展空間觀念？2如何以“圖形的測量”為載體，滲透度量意識，體會測量的意義，認識度量單位及其實際意義，了解掌握測量的基本方法，并在具體問題中進行恰當的估測？從而發展學生的空間觀念與推理能力？3如何通過“圖形的運動”探索發現，體會研究圖形性質的不同方法，發展學生幾何直觀能力和空間觀念，提高學生研究圖形性質的興趣？4如何通過學習“確定圖形位置”的方法，發展學生的空間觀念和推理能力？話題一、圖形的認識抽象圖形特征，發展空間觀念問題一、新的課程標準在圖形的認識方面有哪些變化？有哪些新的要求呢？這次新課標修訂后圖形的認識部分都包括哪些內容？有什么新的變化？課標修訂前后立體圖形的認識部

7、分內容的對比： 修訂前修訂后第一學段（ 1 ）通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等 立體圖形 。 （ 2 ） 辨認從正面、側面、上面觀察到的簡單物體的形狀。 參見例 1  （ 3 ）辨認長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。 （ 4 ）通過觀察、操作， 能用自己的語言描述 長方形、正方形的特征。 （ 5 ）會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。 （ 6 ）結合生活情境

8、認識角，會辨認直角、銳角和鈍角。 （ 7 ）能對簡單幾何體和圖形進行分類。 1. 能通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等 幾何體 。2. 能根據具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體 （參見例 11 ）。3. 能辨認長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。4. 通過觀察、操作， 初步認識 長方形、正方形的特征。5. 會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。6. 結合生活情境認識角，了解直角、銳角和鈍角。7. 能對簡單幾何體和圖

9、形進行分類（參見例 20 ）。 第二學段（ 1 ） 了解兩點確定一條直線和兩條相交直線確定一個點。 （ 2 ） 能區分直線、線段和射線。 （ 3 ）體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。 （ 4 ）知道周角、平角的概念及周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關系。 （ 5 ）結合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關系。 （ 6 ）通過觀察、操作，認識平行四邊形、梯形和圓，

10、會用圓規畫圓。 （ 7 ）認識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內角和是 180 ° 。 （ 8 ）認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。 （ 9 ）通過觀察、操作，認識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認識長方體、正方體和圓柱的 展開圖。 （ 10 ）能辨認 從不同方位看到的物體的形狀和相對位置。 參見例 1 1 結合實例了解線段、射線和直線。2體會兩點間所有連線中線段最短，知道

11、兩點間的距離。3知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關系。4結合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關系。5通過觀察、操作，認識平行四邊形、梯形和圓 ，知道扇形， 會用圓規畫圓。6認識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內角和是 180° 。7認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。8能辨認 從不同方向（前面、側面、上面）看到的物體的形狀圖 （參見例 32 ）。9通過觀察、操作，認識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認識長方體、正方體和圓柱的展開圖。 從這個表中可以看

12、到，課表修訂前后在圖形的認識部分只有一些細小的變化，圖形與幾何這一模塊原稱空間與圖形，變“空間與圖形”為“圖形與幾何”；重提幾何直觀、推理能力、運算能力、邏輯思維能力，用詞更加規范，體現了課標的嚴肅。< 標準 > 的”圖形與幾何”第一、二學段仍分為四部分，具體表示有所變動，（ 1 ）圖形的認識，（ 2 ）測量，（ 3 ）圖形的運動（修改稿：圖形與變換），（ 4 ）圖形與位置。圖形的運動”強調了圖形的運動是研究圖形性質的一種有效方法。運動也是一種基本的數學思想。第二學段的內容

13、標準刪除“兩點確定一條直線”和“兩條直線確定一個點”。“圖形與幾何”領域，將幾何學習的視野拓寬到學生生活的空間，強調空間和圖形知識的現實背景，從第一學段開始使學生接觸豐富的幾何世界。新標準突出用觀察、描述、制作、從不同的角度觀察物體、認識方向、制作模型等活動，發展學生的空間觀念和圖形設計與推理（合情推理與演繹推理）的能力。新標準在第二學段還增加了知道扇形這一內容。扇形的認識，大綱（修訂版）教材作為選學內容，數學課程標準中沒有認識扇形的要求。認識扇形在課標修改稿中確實沒有做要求，但在 “ 統計與概率 ” 部分卻明確提出了通過實例認識扇形統計圖的內容標準，考慮到知識的系統性、邏輯性和連貫性，以及學

14、生認識扇形統計圖的需要，課標修訂稿在認識圓的基礎上，增加了初步認識扇形。簡單說對圖形認識的要求主要包括兩個方面：一是對圖形自身特征的認識。二是對圖形各元素之間、圖形與圖形之間關系的認識。在三個學段中，認識同一個或同一類圖形的要求有明顯的層次性：從 “ 辨認 ” 到 “ 初步認識 ” ，再從 “ 認識 ” 到 “ 探索并證明 ” 。例如，對于長方體、正方體、圓柱和球等幾何體，第一學段要求 “ 辨認 ” ；第二學段要求 “ 認識 ” ；第三學段要求了解其中一些幾何體的側面展開圖。又如，對于平行四邊形，第一學段要求 “ 辨認 ” ；第二學段要求 “ 認識 ” ；第三學段要求 “ 探索并證明平行四邊形

15、的性質定理、判定定理 ” 。再如，三角形內角和的例子： 關于 “ 視圖 ” ，第一學段要求 “ 能根據具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體 ” ；第二學段要求 “ 能辨認從不同方向（前面、側面、上面）看到的物體的形狀圖 ” ；第三學段要求 “ 會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，會根據視圖描述簡單的幾何體 ” 。這種要求的層次性，既體現了從整體到局部的認識過程；也符合學生的認知特點，逐漸深入、循序漸進。對圖形的各元素之間、圖形與圖形之間的關系的認識，主要包括大小、位置、形狀之間關系的認識。第一學段的 “ 了解直角、銳角和鈍角 ”

16、；第二學段的 “ 體會兩點間所有連線中線段最短 ” ； “ 了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關系 ” ； “ 了解 ” ；第三學段的 “ 會比較線段的長短 ” ， “ 能比較角的大小 ” 等，都是對圖形大小關系的研究 。點與直線的位置關系、直線與直線的位置關系、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系等，是義務教育階段幾種主要的圖形位置關系；軸對稱、中心對稱、平移也反映了圖形與圖形之間的位置關系。圖形的全等、相似都是研究研究圖形之間關系的課程內容，全等研究的是圖形的形狀、大小關系；圖形的相似研究的是圖形的形狀之間的關系；而圖形的位似則還涉及到了圖形的位置關系。在兒童的

17、不同學段上，形象思維的發展是有層次的，荷蘭范 . 希爾夫婦對學生幾何思維水平的研究說明了從直觀辨認到探索特征是兒童的對圖形的形象思維規律。他們將學生的圖形認知水平主要分為五級：水平 1 ：直觀化；水平 2 ：描述 / 分析；水平 3 ：抽象 / 關聯；水平 4 ：演繹 / 形式化推理；水平 5 ：嚴密 / 元數學。一二三水平在小學體現，四五水平是在中學體現的。這和我們課標的要求也是一致。圖形認識的

18、教學先明確兩點：一是這部分內容屬于圖形認識的哪個水平，前后繼知識各是什么；二是多數學生現在的形象思維處于一個什么階段，要通過你的教學達到什么階段。問題二、 小學階段對于 “ 圖形的認識 ” 這一內容，教材是遵循怎樣一個編排體系的？第一， 現在的教材，在圖形的認識當中，是先講立體，再講平面，再回到立體。從歷史發展過程上看，實際上我們中國小學的傳統教材，最初是按點、線、面、體的邏輯關系講的。到了上個世紀 90 年代以后，義務大綱出現就發生變化了，先講立體以后再講平面，然后又回到立體。為什么當時要改？因為當時很多老師都反映，高年級孩子，對幾何立體圖形，本身的識圖的能力比較低，認識

19、起來比較困難。這部分是個難點，分階段安排可以分散難點。第二，實際上一個人是生活在三維空間當中，一個嬰兒從出生落地，他所有接觸的東西，看到的東西，實際上都是體，他的奶瓶，他玩的積木都是體，住的大大樓里，所有東西都是體，在這個過程中兒童積累了很多立體的物體，因此所有的幾何體，都具有直觀的實物的模型的。那在這種情況之下，低年級孩子，剛開始初步的認識立體圖形是有可能的。所以一是有必要，二是有可能，再加上兒童的空間觀念的形成，必然是有一個長期的反復的積累的過程，不能一次到位。所以當時的義務大綱就打破了傳統的一步到位，先講立體圖形，要求直觀認識，然后中間一段是平面圖形，最后再講立體圖形。現在教材也一樣，先

20、講立體，后講平面，再回到立體，但這兩次講立體層次不同，第一次要求辨認，到第二學段要求是認識。也就是 現在教材是 “ 體形體 ” 的混合螺旋編排結構問題三、 怎樣通過圖形的認識教學，培養學生的空間觀念？第一、通過對實物的觀察與操作認識圖形第一學段要求 “ 能通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體 ” 、 “ 通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形的特征 ” ；第二學段要求 “ 結合實例了解線段、射線和直線 ” 、 “ 結合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關系 ” 等，這些要求的共同特點是通過觀察與操作認識圖形，直觀地、整體地認識立體圖形和平面圖形。從對實物的觀察與操

21、作過程中來認識圖形的特征和性質，既符合學生認識事物的規律，也符合數學課程的目標要求。這樣的過程有助于學生發展能力，初步體會數學的思想方法，發展積極的情感與態度。人們生活在三維的空間中，常見的樓房、積木、各種包裝盒、皮球 都給我們以長方體、正方體、圓柱體、球體等直觀形象。基于這樣的生活經驗，學生可以從認識立體圖形開始， “ 通過實物和模型等辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體 ” 。 “ 辨認 ” 是認識的低級階段，但與以往的經驗有所不同，它要經歷從實物到幾何圖形的抽象過程。 從不同的角度觀察長方體、正方體、圓柱體、球的表面，抽象出長方形、正方形、圓等平面圖形。像這樣從具體到抽象，從實

22、物到圖形，從整體到局部的安排，揭示了立體圖形與平面圖形的關系，也符合學生的認知特點。第二學段要求 “ 結合實例了解線段、射線和直線 ” 、 “ 結合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關系 ” 。射線和直線涉及到了無限的概念，與長方體、正方體、長方形、正方形等相比，在現實中沒有 “ 直線 ” 的實物原型，這就需要學生進行抽象與想象。認識線段要容易一些，因為現實生活中有 “ 線段 ” 的實物原型。類似的，學生理解兩條直線平行的位置關系也比較困難，可以利用兩根鐵軌作為實物原型來描述，兩根鐵軌不相交以及它們之間的距離處處相等的事實，都揭示了平行線的本質，但鐵軌無法總是筆直的延伸，所以在從實物到幾何圖形的抽象過程中還需要想象，這有助于學生發展抽象能力和空間觀念。第二、基于圖形的想象和圖形之間的轉換，發展空間觀念新教材內容編排上增加了 “ 視圖和投影、展開與折疊 ” 等內容。  視圖和投影，過去小學沒有，現在小學數學幾何和圖形當中，增加了觀察物體，這部分在課標上有兩個要求。第一個學段的要求是根據具體事物照片或直觀圖，辨認從不同角度觀察到的簡單物體的形狀，這是辨認。很多教材里面是這樣，有的是拿個實物，有的是拿熊貓玩具等，讓孩子們從各種角度去看，看的時候，孩子們就發現，不同角度看到的熊貓不一樣。第二個學段的要求能辨認從