1、第17講矩形、菱形、正方形考試目標鎖定考綱要求備考指津1.掌握平行四邊形與矩形、菱形的關系2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性質3.靈活運用特殊平行四邊形的判定與性質進行有關的計算和證明.特殊的平行四邊形是中考的重點內容之一，常以選擇題、填空題、計算題、證明題的形式出現，也常與折疊、平移和旋轉問題相結合，出現在探索性、開放性的題目中基礎自主導學考點一矩形的性質與判定1定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形2性質：(1)矩形的四個角都是直角(2)矩形的對角線相等(3)矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸；它的對稱中心是對角線的交點3判定：(1)有三個角是直角的四邊形是矩形(

2、2)對角線相等的平行四邊形是矩形考點二菱形的性質與判定1定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2性質：(1)菱形的四條邊都相等(2)菱形的對角線互相垂直且平分，并且每一條對角線平分一組對角3判定：(1)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形(2)四條邊都相等的四邊形是菱形考點三正方形的性質與判定1定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形2性質：(1)正方形的四條邊都相等，四個角都是直角(2)正方形的對角線相等，且互相垂直平分；每條對角線平分一組對角(3)正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線，以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸；正方形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心3判定：(1)一組鄰邊相

3、等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形(2)一組鄰邊相等的矩形是正方形(3)對角線互相垂直的矩形是正方形(4)有一個角是直角的菱形是正方形(5)對角線相等的菱形是正方形1如圖所示，已知ABCD，下列條件：ACBD，ABAD，12，ABBC中，能說明ABCD是矩形的有_(填寫序號)2如圖，在菱形ABCD中，AB15，ADC120°，則B，D兩點之間的距離為()A15 BC7.5 D153下列命題中是真命題的是()A對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等C兩條對角線相等的平行四邊形是矩形D兩邊相等的平行四邊形是菱形4下面的圖形中，既是軸對稱圖形，又是

4、中心對稱圖形的是()A角 B任意三角形C矩形 D等腰三角形5如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點O，AOF90°.求證：BECF.規律-方法探索一、矩形的性質與判定【例1】 如圖，ABC中，ABAC，AD，AE分別是BAC和BAC外角的平分線，BEAE. (1)求證：DAAE；(2)試判斷AB與DE是否相等，并證明你的結論分析：第(1)題利用鄰補角的角平分線互相垂直易證；第(2)題中，AB與DE是四邊形ADBE的對角線，可考慮利用矩形的判定證四邊形ADBE是矩形即可解：(1)證明：AD，AE分別平分BAC，BAF，BADBAC，BAEBAF.BAC

5、BAF180°，BADBAE(BACBAF)×180°90°，即DAE90°.DAAE.(2)ABDE.理由是：ABAC，AD平分BAC，ADBCADB90°.BEAE，AEB90°.DAE90°，四邊形ADBE是矩形ABDE.矩形的定義既可以作為性質，也可以作為判定矩形的性質是求證線段或角相等時常用的知識點證明一個四邊形是矩形的方法：(1)先證明它是平行四邊形，再證明它有一個角是直角；(2)先證明它是平行四邊形，再證明它的對角線相等；(3)證明有三個內角為90°.二、菱形的性質與判定【例2】 如圖，AD

6、EF，點B，C在AD上，12，BFBC(1)求證：四邊形BCEF是菱形；(2)若ABBCCD，求證：ACFBDE.證明：(1)ADFE，FEB2.12，FEB1.BFEF.BFBC，BCEF.四邊形BCEF是平行四邊形又BFBC，BCEF是菱形(2)EFBC，ABBCCD，ADFE.四邊形ABEF，四邊形CDEF均為平行四邊形AFBE，FCED又AC2BCBD，ACFBDE(SSS)菱形的定義既可作為性質，也可作為判定證明一個四邊形是菱形的一般方法是：(1)四邊相等；(2)首先證明是平行四邊形，然后證明有一組鄰邊相等；(3)對角線互相垂直平分；(4)對角線垂直的平行四邊形如圖，在菱形ABCD中

7、，對角線AC與BD相交于點O，AB=5，AC=6.過D點作DEAC交BC的延長線于點E. (1)求BDE的周長；(2)點P為線段BC上的點，連接PO并延長交AD于點Q，求證：BP=DQ.三、正方形的性質與判定【例3】 如圖，在正方形ABCD中，E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點，HAEBFCGD，連接EG，FH，交點為O.(1)如圖，連接EF，FG，GH，HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結論；(2)將正方形ABCD沿線段EG，HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖的方式拼接成一個四邊形若正方形ABCD的邊長為3 cm，HAEBFCGD1 cm，則圖中陰影部分的面積為_c

8、m2.分析：根據題目的條件可先證AEH，BFE，CGF，DHG四個三角形全等，證得四邊形EFGH的四邊相等，然后由全等再證一個角是直角解：(1)四邊形EFGH是正方形證明：四邊形ABCD是正方形，ABCD90°，ABBCCDDAHAEBFCGD，AEBFCGDH.AEHBFECGFDHG.EFFGGHHE.四邊形EFGH是菱形由DHGAEH，知DHGAEH.AEHAHE90°，DHGAHE90°.GHE90°.菱形EFGH是正方形(2)1證明一個四邊形是正方形可從以下幾個方面考慮：(1)“平行四邊形”+“一組鄰邊相等”+“一個角為直角”(定義法)；(2)

9、“矩形”“一組鄰邊相等”；(3)“矩形”“對角線互相垂直”；(4)“菱形”“一個角為直角”；(5)“菱形”“對角線相等”知能優化訓練1(2012山東濱州)若菱形的周長為8 cm，高為1 cm，則菱形兩鄰角的度數比為()A31 B41C51 D612(2012江蘇泰州)下列四個命題：一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；順次連接矩形四邊中點得到的四邊形是菱形；正五邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形其中真命題共有()A1個 B2個 C3個 D4個3(2011江蘇南京)如圖，菱形ABCD的邊長是2 cm，E是AB的中點，且DEAB，則菱形ABCD的面積

10、為_ cm2. 4(2011黑龍江哈爾濱)已知正方形ABCD的邊長為2，點P是直線CD上一點，若DP1，則tanBPC的值是_5(2012四川南充)矩形ABCD中，AB2AD，E為AD的中點，EFEC交AB于點F，連接FC(1)求證：AEFDCE；(2)求tanECF的值1下列說法不正確的是()A一組鄰邊相等的矩形是正方形B對角線相等的菱形是正方形C對角線互相垂直的矩形是正方形D有一個角是直角的平行四邊形是正方形2如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，AOB60°，AB2，則矩形的對角線AC的長是()A2 B4 C2 D43如圖所示，菱形ABCD的周長為20 cm，DEAB，垂足

11、為E，sin A，則下列結論正確的個數有()DE3 cmBE1 cm菱形的面積為15 cm2BD2 cmA1個 B2個 C3個 D4個4如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF.若CD6，則AF等于()A4 B3C4 D85如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到E，使AEAC，則BCE的度數是_6我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形若一個四邊形ABCD的中點四邊形是一個矩形，則四邊形ABCD可以是_(寫出一個你認為正確的結論即可)7如圖，在矩形ABCD中，AB3，AD4，P是AD上不與A，D重合的一動點，PEAC

12、，PFBD，E，F為垂足，則PEPF的值為_8如圖，點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上一個動點，點M，N分別是AB，BC邊上的中點，MPNP的最小值是_9如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于F，且AFBD，連接BF. (1)求證：D是BC的中點(2)如果ABAC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論參考答案基礎自主導學自主測試12.A3.C4.C5證明：如題圖，四邊形ABCD為正方形，ABBC，ABCBCD90°.EABAEB90°.EOBAOF90°，FBCAEB90°.EABFBC.A

13、BEBCF.BECF.規律方法探究變式訓練解：(1)因為四邊形ABCD為菱形，所以BEAD，又ACDE，故四邊形ACED為平行四邊形，則有ABADBCCE5，所以BEBCCE10，ACDE6，又OAAC×63，AB5，OA垂直于OB，所以在RtAOB中有AB2OB2OA2.所以OB4BD，BD8，故BDE的周長為BDDEBE861024.(2)證明：因為四邊形ABCD為菱形，所以OBOD，BEAD，則DBCADB，又BOPDOQ，所以BOPDOQ，故有BPDQ.知能優化訓練中考回顧1C2.B 324.2或5(1)證明：在矩形ABCD中，AD90°.EFEC，FEC90°，FEACED90°.FEAEFA90°，EFACED.AEFDCE.(2)解：AB2AD，E為AD的中點，AEADABCD.AEFDCE，.在RtCEF中，ta