1、§8.3 正項級數的審斂法(掌握)May 4, 2015§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 20151 / 53啥叫正項級數?定義 1 若 un > 0, (n = 1, 2, . . .), 則稱級數 P un 為正項級數.注, 正項級數的部分和序列單調不減, 即0 6 S1 6 S2 6 S3 6 S4 6 · · ·如果不把那些 0 項寫出來, 那么部分和序列嚴格單調遞增.§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 20152 / 53正項級數都有哪些研究內容?斂散性, 求和.對于求和, 需要用到函數項

2、級數的知識, 受課時限制, 課堂上無法涉及.本節專講正項級數的斂散性的判別.§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 20153 / 53本錄理論 礎定理 8.1.原理性命題定理 8.2.定理 8.3.正項級數收斂的充分必要條件 (掌握?)比較判別法 (掌握?)比較判別法的極限形式 (掌握?)工具性命題 (適用范圍依次遞減, 使用方便程度依次遞增)定理 8.3. 極限判別法 (掌握)定理 8.4.定理 8.5.比值判別法 (掌握)根值判別法 (掌握)§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 20154 / 53本節內容提煉本節中心思想: 正項級數的審斂法.P

3、正項級數u 收斂的唯一決定因素是:n其通項 un 趨于零的速度要足夠快!正項級數是否收斂的基本方法是比較:(Th 8.2 & Th 8.3)欲證 P un 收斂: 找一收斂級數 P vn, 使得 un6vnPP欲證u 發散: 找一發散級數v , 使得 u >vnnnnPP我們稱u 為 “待驗級數”, 稱v 為 “級數”nnP和 P qn1np(Th 8.3, Th 8.4 & Th8.5 ) 兩個常用的級數:§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 20155 / 53正項級數收斂的決定因素是其通于零的速度要 “足夠快”,因此,正項級數斂散性即其通于 0

4、 的速度.1 + 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = +1 + 2 + 3 + 4 + · · · = +1 + · · · = +23452111111111111 + · · · =22324252611111 + · · · = 221222324§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 20156 / 53定理 8.1 (正項級數收斂的充分必要條件)正項級數收斂 其部分和序列有 (上) 界.P證設u為正項級數

5、, Sn 為其部分和序列.n0 為 Sn 的一個下界, 故對于 Sn , “有界” 與 “有上界” 同義.P()u 收斂即 Sn 收斂. 由 P40 的性質 2 知, Sn 有界.n() 因 Sn 單調不減, 由 P58 的單調有界準則知, 若 Sn 有上界,則 Sn 收斂, 即 P un 收斂.推論 正項級數 P un 發散, 當且僅當 P un = +.§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 20157 / 53定理 8.2 (比較判別法) P un,P vn為正項級數, un 6 vn (n > 1).則,(1) P un 散則 P vn 散;(2) P vn

6、斂則 P un 斂.證明PP散, 即u = +(1)u.nn而 vn > un (n > 1),故 P vn > P un = +, 即 P vn 散.PP(2) 若v 斂, 則v < .nn而 un 6 vn (n > 1).則 P un 6 P vn < , 即P un 斂.§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 20158 / 53定理 8.2 (比較判別法) P un,P vn為正項級數, un 6 vn (n > 1). 則,(1) P un 散則 P vn 散;(2) P vn 斂則 P un 斂.使用說明P級數) P

7、un,級數) P un,欲證v(待驗級數) 發散, 需找一發散級數 (n使得 un 6 vnP欲證v (待驗級數) 收斂, 需找一收斂級數 (n使得 un > vn做題步驟: 先斂散性, 再找級數§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 20159 / 53例 2 (重要!) 證明 p-級數 = 1 + 1 1+ · · ·p2p3p(1) 當 p 6 1 時, p 發散; (2) 當 p > 1 時, p 收斂.(1) 證法一 當 p 6 1 時,1111(待驗級數)p= 1 + 2p + 3p + 4p + 5p + ·

8、 · ·1111 1 +>級數)+ · · ·(21314151= ,這表示, 當p 6 1 時, p發散.§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201510 / 53例 2 (1) 當 p 6 1 時, = 1 + 1 1+ · · · 發散p2p3p 1 (1) 證法二 當 p 6 0 時, lim=lim np 6= 0, 此時 = . 發散pn npn1下設 0 < p 6 1.函數 f (x ) =.xp1f (x ) 在區間 n, n + 1 上的最大值為, 因此,np

9、Zn+1 dxxp 1 6 np ,n > 1.n所以, ZZ+1XXn+1 dxxp+ dxxp1p1npx>= +.p =1 pn1n=1n=1這表示, 當p 6 1 時, p 發散. 級數是§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201511 / 53y = 1/xy = 1/xp (0 < p 1)Z n+1Z + +x1pXX111dx =dx = +n=1 nn=1pxpxp1 p1n111 1 3p2p 1 1 14p5p6pO1234567§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201512 / 53例 2 (2) 當

10、p > 1 時, = 1 + 1 1+ · · · 收斂.p2p3p1(2) 證明函數 f (x ) =, p > 1.xp1f (x ) 在區間 n, n + 1 上的最小值為因此,(n + 1)p ,Zn+1 dxxp 1 (n + 1)p ,>n > 1.n所以,ZZ X+1n+1 dxxp+ dxxp1pp 6 1 += 1 += 1 +=.p 1(1 p)xp1n1n=1部分和序列有界, 因此 p 收斂. 級數是§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201513 / 53y = 1/xy = 1/xp (p

11、> 1)Z n+1Z +XX111pp 1 1 +dx = 1 +dx =n=1 npxpxp1nn=1112p 1 3p 1 1 14p5p6pO1234567§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201514 / 53例 2 總結 (牢記) 1 p 越大,趨于 0 的速度越快, 收斂的可能性越大np 1 p 越小,趨于 0 的速度越慢, 收斂的可能性越小npp = 1 是收斂與發散的 “分水嶺”ZX+1np1與有完全相同的斂散性:xp dx1n=1§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201515 / 53p 6 1p > 1X 1

12、np發散收斂Z + 1 xp dx1發散收斂y = 1/xy = 1/xp (0 < p 1)Z n+1Z + +x1pXX111dx =dx = +n=1 nn=1pxpxp1 p1n111 1 3p2p 1 1 14p5p6pO1234567§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201516 / 53y = 1/xy = 1/xp (p > 1)Z n+1Z +XX111pp 1 1 +dx = 1 +dx =n=1 npxpxp1nn=1112p 1 3p 1 1 14p5p6pO1234567§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4,

13、201517 / 53注 基本上, 一切級數審斂法皆使用 p-級數, 或幾何級數作為數, 因此這些級數都可看作 p-級數或幾何級數的變體.級§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201518 / 53P 1例 1 討論級數的斂散性.n(n+1)(n+2)P 1 1 , 1 分析而收斂, 故原級數收斂.級,n3n3n(n+1)(n+2)P 1 數應該取.n3解 (1) 初步級數收斂. (2) 使用比較判別法, 要找一收斂的級數, 且級數要比待驗級數大.1(3) 由不等式1<,n3n(n + 1)(n + 2)收斂, 可得所給級數收斂.P 1 及n3§8.3

14、正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201519 / 532例 0.1 討論級數 Pn n + 2的斂散性.(n n)(n + 1)(n + 2)(n2 + 4)Pn2n+2 1 , 1 分析級數為.(n n)(n+1)(n+2)(n2+4)n3n3解 由不等式n2 n + 2(n n)(n + 1)(n + 2)(n2 + 4)n2 + n2 + n2n(n 1)(n + 0)(n + 0)(n2 + 0)<3n23n2.5<n · n4=P 及3 收斂, 可得所給級數收斂.n2.5§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201520 / 53

15、2Pn n + 2例 0.2 討論級數的斂散性.(n n)(n + 1)(n + 2)P2 1 ,n n+21分析級數為.n1n(n n)(n+1)(n+2)解 (1) 初步級數發散. (2) 使用比較判別法, 要找一發散的級數, 且級數要比待驗級數小. (3) 由不等式n2 n + 2(n n)(n + 1)(n + 2)1 21 21 n2n + n (n 2) 2n322>>(n 0)(n + n)(n + n)12n=P 1 及發散, 可得所給級數發散.2n§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201521 / 53定理 8.3 (比較判別法的極限形式

16、)PP vun和都是正項級數, lim= k, 則unnn vnPP(1) 當 0 < k < + 時,u 和v 有相同的斂散性;nn(2) 當 k = 0 時, 若 P vn 斂, 則P un斂;(3) 當 k = + 時, 若 P vn 散, 則 P un 散.§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201522 / 53定理 8.3 解讀unlim= k (0, +): un 與 vn 是等階無窮小1n vn它們趨于 0 的 “速度” 一樣快, 故相應級數有相同的斂散性unvnlim= 0 或 lim= +:2n vnn unun 是 vn 的高階無窮小,

17、 vn 是 un 的低階無窮小un 趨于 0 的 “速度” 比 vn 快, vn 趨于 0 的 “速度” 比 un 慢.故:若 P un 散則 P vn 散;若 P vn 斂則u 斂.Pn若 P un 斂, 無法P vn的斂散性 (不知道 vn 比 un 慢多少);的斂散性 (不知道 un 比 vn 快多少).若 P vn 散, 無法P un§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201523 / 53定理 8.3 (1) lim= k (0, +), 則 P u 和 P v 有相同的斂散性;unnnn vnunk ,證明 因為 lim= k (0, +), 由數列極限的定

18、義知, 對于 =n vn2存在自然數 N, 當 n > N時,uk,n k < = v2n即,k3kvn < un <vn.22P vnP un3k vn若若若若斂, 由 un <散, 由 un >知斂;2P vn知 P un 散;k vn2P unPk vn斂, 由 un >知v 斂;n2P unP vn3k vn散, 由 un <知散.2§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201524 / 53定理 8.3 (2) lim= 0, 若 P v 斂, 則 P u 斂.unnnn vnun證明 因為 lim= 0, 由數列

19、極限的定義知, 對于 = 1, 存在自然n vn數 N, 當 n > N 時,un 0 < 1, vn即,un < vn.若 P vn 斂,P un則斂.§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201525 / 53unP vP u定理 8.3 (3) lim= +, 若散, 則散.nnn vnun證明 因為 lim= +, 由數列極限的定義知, 對于 = 1, 存在自n vn然數 N, 當 n > N 時,unvn> 1,即vn < un,P vn散, 則 P un 散.故若§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 2

20、01526 / 53P 1例 1討論級數的斂散性.n(n+1)(n+2)解由 1n(n+1)(n+2) 1 n3limn= lim= 1n n(n + 1)(n + 2)n3P 1 及收斂知, 所給級數收斂.n3§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201527 / 532例 0.1 討論級數 Pn n + 2的斂散性.(n n)(n + 1)(n + 2)(n2 + 4)解由n2n+2 (n n)(n+1)(n+2)(n2+4)limn 1 n3(n2 n + 2) · n3=limn (n 2n)(n + 1)(n + 2)(n + 4)1 2 1 +nn2

21、=limn1124 (1 )(1 + )(1 + )(1 +)1n2nnn=P 1 及收斂知, 所給級數收斂.n3§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201528 / 53 2Pn n + 2例 0.2 討論級數的斂散性.(n n)(n + 1)(n + 2)解由n2n+2 (n n)(n+1)(n+2)(n2+4)limn 1 n3(n2 n + 2) · n3=limn (n 2n)(n + 1)(n + 2)(n + 4)1 2 1 +nn2=limn1124 (1 )(1 + )(1 + )(1 +)1n2nnn=P 1 及發散知, 所給級數發散.2n

22、§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201529 / 53例 0.3. 不等階的無窮小 與 級數斂散性的關系PP 11 1 1 與皆收斂:是的高階無窮小n2n3n3n2PP 11 1 1 與皆發散:是的高階無窮小n0.1n0.2n0.2n0.1PP 1 n21n1 1n散,斂:是的高階無窮小n2§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201530 / 53定理 8.3 (將定理 8.3 與 p-級數相結合) 極限判別法PP 1 對于級數u(待驗級數), 如果存在 p, k 滿足 (級數)nnp= k (0, +), 則 P u 與P lim npu1

23、 有相同的斂散性.nnnpnlim npun = 0, 則n如果Pp > 1, 則un 收斂P un如果 p 6 1, 無法的斂散性lim npun = +, 則n如果Pp 6 1, 則un 發散P un如果 p > 1, 無法的斂散性§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201531 / 53 P與 Pnln n+1例 3 判別級數的斂散性.n2+n1n分析 1 Pnn故斂.(1),n2+n1n1.5n2+n1P(2) ln n+1 = ln(1 + ) 故ln散.11 ,n+1nnnn解(1) 由 limn(2) 由 limnn n2+n1 11 1 n1

24、.5 ·= 1 知所給級數收斂.= limn1+ nn2n1 ln n+11= lim n ·= 1 知所給級數發散.nnn§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201532 / 53 P例 4 判別級數1 cos的斂散性.n212分析 1 cos n = 2 sin· n2 , 故收斂.2n22 2222解由 lim n1 cos= lim 2n sin=知所給級數收斂.n2nnn§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201533 / 53定理 8.4 (比值判別法) P un 為正項級數, limun+1 un= k

25、, 則nP(1) 當 0 6 k < 1 時, 級數u收斂;n(2) 當 k > 1 時, 級數 P un 發散;(3) 當 k = 1 時, 不能判定斂散性.P級數為k (|k| > 1 時發散, |k| < 1注 1n時收斂)注 2 該判別法需要用到級數中相鄰的兩項.注 3 k = 1 時, 判別法失效. §8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201534 / 53= k 0, 1) 時, P un 收斂.un+1 un定理 8.4 (1) 當 limnun+1 un1k ,證明 因為 lim= k 0, 1), 故對于 =存在自然數 N, 當

26、2nn > N 時,u1 k ,n+1 k< = un 21+k un,1+k < 1,于是記 q =un+1 <22q 是一個與 n 無關且嚴格小于 1 的常數, 這是此性質成立的關鍵則 un+1 < qun (n > N). 于是,2i< quN+i1 < q uN+i2 < · · · < q uN,uN+i§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201535 / 53= k 0, 1) 時, P un 收斂.un+1 un定理 8.4 (1) 當 limn所以,P(u1 + u

27、2 + · · · + uN ) + (uN+1 + uN+2 + · · · )SN + (quN + q2uN + q3uN + q4uN + · · · )un=n=1<=SN + uN (q + q2 + q3 + q4 + · · · )qSN + uN · 1 qP un所以收斂.§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201536 / 53= k > 1 時, P un 發散.un+1 un定理 8.4 (2) 當 li

28、mnun+1 unk1 ,證明 因為 lim= k > 1, 故對于 =存在自然數 N, 當2nn > N 時,uk 1 ,n+1 k< = un2 1+k 21+k un.于是,記 q =un+1 >> 1,2q 是一個與 n 無關且嚴格大于 1 的常數, 這是此性質成立的關鍵則 un+1 > qun (n > N). 于是,2i> quN+i1 > q uN+i2 > · · · > q uN,uN+i§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201537 / 53= k &g

29、t; 1 時, P un 發散.un+1 un定理 8.4 (2) 當 limn所以,P(u1 + u2 + · · · + uN ) + (uN+1 + uN+2 + · · · )SN + (quN + q2uN + q3uN + q4uN + · · · )SN + uN (q + q2 + q3 + q4 + · · · )un=n=1>=發散.+(q > 1)P un所以§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201538 / 53u

30、n+1 un定理 8.4 (3) 當 limn= 1 時, 不能判定斂散性.例證PP1n1 ,un+1 un發散, u =lim= 1nnn 1,1un+1 un收斂, u =limn= 1nn2n2§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201539 / 53P為正項級數, lim n un = k.定理 8.5 (根值判別法)u則nn0 6 k < 1 時, 級數收斂;(1) 當(2) 當 k > 1 時, 級數發散;(3) 當 k = 1 時, 不能判定級數的斂散性.P級數為k (|k| > 1 時發散, |k| < 1 時收斂)注 1n注 2

31、 該判別法只使用級數一行.(與比值判別法相比, 使用更方便, 但適用范圍相對較小.)注 3 k = 1 時, 判別法失效.§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201540 / 53定理 8.5 (1) 當 lim n un = k 0, 1) 時, P un 收斂.n證明 因為 lim n un = k 0, 1), 故對于 =12 k ,存在自然數 N, 當nn > N 時,|n u k| < =1 k ,n2于是 n un <1+k < 1.1+k , q是嚴格小于 1 的常數 則 un < qn記 q =22(n > N). 所

32、以,P(u1 + u2 + · · · + uN ) + (uN+1 + uN+2 + · · · )SN + (qN+1 + qN+2 + qN+3 + · · · )+,un=n=1<<所以 P un 收斂.§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201541 / 53定理 8.5 (2) 當 lim n un = k > 1 時, P un 發散.n證明 因為 lim n un = k > 1, 故對于 =k2 1 ,存在自然數 N, 當nn > N

33、 時,|n u k| < =k 1 ,n2于是 n un >1+k > 1.1+k , q是嚴格大于 1 的常數 則 un > qn記 q =22(n > N). 所以,P(u1 + u2 + · · · + uN ) + (uN+1 + uN+2 + · · · )SN + (qN+1 + qN+2 + qN+3 + · · · )+,un=n=1>>所以 P un 發散.§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201542 / 53定理 8

34、.5 (3) 當 lim n un = 1 時, 不能判定斂散性.n例證PP1n1 ,n u發散, u =lim= 1nnnn 1,1n u收斂, u =limn= 1nnn2n2§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201543 / 53anP 例 5 斂散性:, a > 0.pn分析因此可先為等比數列, 分母為多項式, 故趨于 0 的速度由決定.P級數a , a > 0,nPnaa > 1 時,a < 1 時,a = 1 時,發散收斂化為npPnanpPPn a1 npnpp > 1 時, 收斂p < 1 時, 發散p = 1 時,

35、 發散§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201544 / 53anP 例 5 斂散性:, a > 0.pnan解法一 根值判別法 記 un = np , 則naalimun = limn= lim= a.ppn (n)n 1n討論:a > 1 時, 所給級數發散;0 < a < 1 時, 所給級數收斂;P 1 a = 1 時, 所給級數化為:npp > 1 時, 所給級數收斂;p < 1 時, 所給級數發散;p = 1 時, 所給級數發散.§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201545 / 53anP 例

36、5 斂散性:, a > 0.pnan解法二 比值判別法 記 un = np , 則an+1npun+1a·limn= lim= lim= a.pn1unn (n + 1)apn (1 + n )討論:a > 1 時, 所給級數發散;0 < a < 1 時, 所給級數收斂;P 1 a = 1 時, 所給級數化為:npp > 1 時, 所給級數收斂;p < 1 時, 所給級數發散;p = 1 時, 所給級數發散.§8.3 正項級數的審斂法 (掌握)May 4, 201546 / 53ann!P 例 6 斂散性:, a > 0.nn分析公式 (Stirlings Approximation): nnn! 2n1en! limn= 12n2n(n/e) enn!lim=23n+0.5n n ann! nnannnan代入原級數通項公式,·2n=2n,nnee討論:a > e 時, 發散, a < e 時, 收斂,