1、勾股定理的逆定理學習目標1. 掌握勾股定理的逆定理與其應用理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念與它們之間的 關系.2. 能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.3. 能夠理解勾股定理與逆定理的區別與聯系，掌握它們的應用圍.要點梳理高清課堂 勾股定理逆定理 知識要點要點一、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長a，b, c，滿足a2 b2 c2，那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：1勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.2勾股定理的逆定理是把“數轉為“形，是通過計算來判定一個三角形是否為直 角三角形.要點二、如何判定一個三角形是否是直角三角形

2、1首先確定最大邊如c.2 驗證c2與a2 b2是否具有相等關系.假設c2 a2 b2，那么 ABC是/ C=90°的直角三角形；假設c2 a2 b2，那么 ABC不是直角三角形.要點詮釋：當a2 b2 c2時，此三角形為鈍角三角形；當 a2 b2 c2時，此三角形為銳角三角形， 其中c為三角形的最大邊.要點三、互逆命題如果兩個命題的題設與結論正好相反，那么稱它們為互逆命題.如果把其中一個叫原命題，那么另一個叫做它的逆命題.要點詮釋：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯誤；正確的命題我 們稱為真命題，錯誤的命題我們稱它為假命題.要點四、勾股數滿足不定方程X2 y

3、2 z2的三個正整數，稱為勾股數又稱為高數或畢達哥拉斯數，顯然，以x、y、z為三邊長的三角形一定是直角三角形熟悉以下勾股數，對解題會很有幫助： 3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果a、b、c是勾股數，當t為正整數時，以at、bt、ct為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角 形.3m22n ,2mn mn,m n是自然數是直角三角形的三條邊長;要點詮釋：11n2 1，2n, n2 1 n 1,n是自然數是直角三角形的三條邊長;22n2 2n, 2n 1,2n2 2n 1 n是自然數是直角三角形的三條邊長;典型例題類型一、原命題與逆命題1、寫出以下命題的逆

4、命題，并判斷其真假:1同位角相等，兩直角平行；2如果x 2，那么x2 4 ;3等腰三角形兩底角相等；4全等三角形的對應角相等.5對頂角相等.6線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等.思路點撥寫一個命題的逆命題的關鍵是分清它的題設和結論，然后將其交換位置，判斷一個命題為真 命題要經過證明，是假命題只需舉出反例說明即可.答案與解析解：1逆命題是：兩直線平行，同位角相等，它是真命題.2逆命題是：如果x24，那么x 2，它是假命題.3逆命題是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形，它是真命題.4逆命題是：對應角相等的兩個三角形全等，它是假命題.5逆命題是：如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角，它是

5、假命題.6逆命題是：到線段兩個端點距離相等的點一定在線段的垂直平分線上，它是真命題.總結升華寫一個命題的逆命題的關鍵是分清它的題設和結論，然后將題設和結論交換位置，寫出它的 逆命題，可以借助“如果那么分清題設和結論.每一個命題都有逆命題，其中有真命題，也有假 命題.舉一反三：變式以下定理中，有逆定理的個數是有兩邊相等的三角形是等腰三角形； 假設三角形三邊a, b, c滿足a2 b2 c2，那么該三角形是直角三角形；全等三角形對應角相等；假設 a b，那么a2 b2.A. 1個 B . 2個 C . 3個 D . 4個 答案B;提示：的逆命題是：等腰三角形有兩邊相等，是真命題；的逆命題是：假設三

6、角形是直角三角形，那么三邊滿足a2 b2 c2 c為斜邊；但對應角相等的兩個三角形不一定全等；假設 a2 b2，a與 b不一定相等，所以、的逆命題是假命題，不可能是定理.類型二、勾股定理逆定理的應用2、如下列圖，四邊形 ABCD中 AB丄AD, A吐2, AD= 2. 3，CD= 3，BO5,求/ ADC的度數. (答案與解析)解： AB 丄AD, / A= 90°,在 Rt ABD中, BD2 AB2 AD222(2 3)216 .1 BD = 4,A AB -BD，可知/ ADB= 30°,2在厶 BDC中, BD2 CD216 3225 , BC25225 , BD2

7、 CD2 BC2 ,/ BDC= 90°,/ ADC=Z ADBy BDC= 30° +90°= 120°.總結升華利用勾股定理的逆定理時，條件是三角形的三邊長，結論是直角三角形，即由邊的條件得到 角的結論，所以在幾何題中需要進展邊角的轉換時要聯想勾股定理的逆定理.舉一反三：變式 1 ABC三邊 a, b, c 滿足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c，那么 ABC是:A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形2 2 2答案D;提示：由題意 a 5 b 12 c 130，a 5, b 12, c 13，因為a2 b2 c

8、2，所以 ABC為直角三角形.變式 2如下列圖，在 ABC中，/ ACB= 90°, AOBC, P是厶ABC一點，且 P心3，P吐 1，POCD= 2, CDL CP 求/ BPC的度數.答案解：連接 BD T CD 丄CP 且 CD= CP= 2, CPD為等腰直角三角形，即/ CPD= 45°. vZ ACP# BCP=Z BCP£ BCD= 90°,/ ACP=Z BCD V CA = CB CAPA CBDSAS / DB = P心 3.在 Rt CPD中, DP2 CP2 CD222 228 .又v PB = 1,那么 PB21.v DB29

9、，二 DB2 DP2 PB 8 19 , DPB為直角三角形，且Z DPB= 90°,Z CPB=Z CPDZ DPB= 45° +90°= 135°.3、如下列圖，在平面直角坐標系中，直線 y 3x 3與x軸交于點B,與y軸交于點A,直線y3與3x軸交于點C,同時也過點A.請判斷兩直線有怎樣的位置關系，并說明理由.思路點撥判斷兩直線的位置關系，可轉化為判斷厶 ABC的形狀.要判斷厶ABC的形狀，需先求出其 三邊的長，而由直線的解析式易求出線段 AO , BO, CO的長，再根據勾股定理可求得 AB , AC的長. 答案與解析解：V 直線y 3x3與x軸

10、交于點B, 當y 0時，x1 ,點B的坐標為-1, 0.v 直線y3x 3與y軸交于點A, , 當x 0時，y3 , 點A的坐標為0 , 3. AO = 3, B8 1.在Rt ABC中，由勾股定理，得 AB2AO2BO232 1210 .1V 直線yx 3與x軸交于點C,3當y = 0時，x=9,二 點C的坐標為9 , 0在Rt ACC中，由勾股定理，得 AC2AO2CO2329290 .又v BC = BO+C=10,. AB2 AC210290 100 , BC210 100 . AB2 AC2 BC2 . ABC為直角三角形，二 AB 丄 AC總結升華在平面直角坐標系判斷一個三角形的形

11、狀，可考慮勾股定理的逆定理.另外，在平面直角坐 標系中，只要知道兩點的坐標，便可求出線段的長度.類型三、勾股定理逆定理的實際應用4、如下列圖，MN以左為我國領海，以右為公海，上午 9時50分我國緝私艇A發現在其正向有一走私艇 C 并以每小時13海里的速度偷偷向我國領海開來，便立即通知距其 5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B 密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測得C與其距離為12海里，假設走私艇C的 速度不變，最早在什么時間進入我國海域？答案與解析解：AB2 BC2 52 122 169 132 AC2，二 ABC為直角三角形./ ABG90解得x14413凹 13131441

12、44 0.85(h) = 51(分).169所以走私艇最早在10時41分進入我國領海.總結升華1此題用勾股定理作相等關系列方程解決問題,2用勾股定理的逆定理判定直角三角形，為勾股定理的運用提供了條件.穩固練習 一.選擇題1.2021?三組數據：2，3，4;3,4, 5; 1, 3，2.分別以每組數據中的三個數為三角形的三邊長，構成直角三角形的有2.以下三角形中，不是直角三角形的是A.B .C .D .A.三個角之比為5 : 6 : 1B.一邊上的中線等于這一邊的一半C.三邊之長為20、21、293.列命題中，不正確的選項是A. 三個角的度數之比為B. 三邊之比為1:、3:21:3:4D.三邊之

13、比為1.5 : 2 : 3的三角形是直角三角形;的三角形是直角三角形;C.三個角的度數之比為1:2:2的三角形是直角三角形;D.三邊之比為 2 ： .2 :2的三角形是直角三角形.L-又 BDL AC，可設 CD= x，/2 xBD2122,(13x)2BD252,得 x2 169 26x x2119，4. 如圖，在單位正方形組成的網格圖中標有 AB CD EF、GH四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是A. CD EF、GH B . AB EF、GH C . AB CF EF D . GH AB CD5五根小木棒，其長度分別為7, 15, 20, 24, 25,現將他們擺成兩個直角三

14、角形，其中正確的選項是 A-E.-U*6. a,b,c為直角三角形的三邊，且c為斜邊，h為斜邊上的高，以下說法:a2,b2,c2能組成一個三角形a, . b, c能組成三角形7.8.c h,a b,h能組成直角三角形其中正確結論的個數是.填空題假設 ABC中，babaA.1 1 1-，匚，匚能組成直角三角形 a b h1 B . 2c2，那么/ B=如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,那么網格上的 ABC是三角形.9.假設一個三角形的三邊長分別為 1、a、8其中a為正整數，那么以a 2、a、a 2為邊的三角形 的面積為.,此10. AABC的兩邊a, b分別為5, 12,另一邊c為奇數

15、，且a b c是3的倍數，那么c應為_三角形為.11. 有兩根木條，長分別為60 cm和80cm，現再截一根木條做一個鈍角三角形，那么第三根木條x鈍角所對的邊長度的取值圍.12. 如果線段a, b, c能組成一個直角三角形，那么a,-,c組成直角三角形.“能或“不2 2 2能三.解答題13. a、b、c是厶ABC的三邊，且a2c2 b2c2 a4 b4，試判斷三角形的形狀.14. 觀察以下各式：334252,8262102,15282172,242102262，你有沒有發現其中的規律？請用含n的代數式表示此規律并證明，再根據規律寫出接下來的式子.15. 在等邊 ABC有一點P, PA=3 PB

16、=4 PC=5現將 APB繞A點逆時針旋轉60°,使P點到達Q點, 連PQ猜想 PQC的形狀，并論證你的猜想.答案與解析一.選擇題1. 答案D;解析根據勾股定理的逆定理，只要兩邊的平方和等于第三邊的平方即可構成直角三角形只要判斷兩個較小的數的平方和是否等于最大數的平方即可判斷.2. 答案D;解析D選項不滿足勾股定理的逆定理.3. 答案C；解析度數之比為1:2:2，那么三角形角分別為36°: 72°: 72°4. 答案B ；解析AB2 8, CD220, EF25, GH 213, AB2 EF2 GH 2，所以這三條線段能構成直角三角形5. 答案C；解析

17、72 242 252,152 202 252.2 2 2 22 26. 答案C；解析因為a b c，兩邊之和等于第三邊，故a ,b ,c不能組成一個三角形，錯誤;因:為心 .bc，所以.a, . b, c能組成三角形，正確；因:為ab ch，所以2 a2ab b2 h2c22chh2，即2 2a b h2c h 2正確；因為121 2a2b22 cc21 2aba2b22-2 a bc2h2h所以正確.二.填空題7. 答案90 ° ；解析由題意b2 a2 c2，所以/ B=90°8.答案直角；解析AB2=13,BC2=52，AC2 =65,所以 AB2BC2AC2.9. 答案24 ；解析t 7v a v 9，a a = 8.10. 答案13 ;直角三角形；解析7 v c v 17.11. 答案100 cm v x v 140cm ；解析因為60, 80,100構成直角三角形，那么鈍角三角形的最長邊應該大于100cm，再根據兩邊之和大于第三邊，所以12.答案能；解析設c為斜邊，那么a2 b2c2，兩邊同乘以13.解: