1、第一章實數(shù)集與函數(shù)§ 1實數(shù) 授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)一一§1實數(shù) 教學目的：使學生掌握實數(shù)的基本性質.教學重點：（1）理解并熟練運用實數(shù)的有序性、稠密性和封閉性； 牢記并熟練運用實數(shù)絕對值的有關性質以及幾個常見的不等式.（它們是分析論證的重要工具） 教學難點：實數(shù)集的概念及其應用. 教學方法：講授.（部分內(nèi)容自學） 教學程序：引言上節(jié)課中，我們與大家共同探討了數(shù)學分析這門課程的研究對象、主要 內(nèi)容等話題.從本節(jié)課開始，我們就基本按照教材順序給大家介紹這門課程的主 要內(nèi)容首先，從大家都較為熟悉的實數(shù)和函數(shù)開始.問題為什么從“實數(shù)”開始.答：數(shù)學分析研究的基本對象是函數(shù)，

2、但這里的“函數(shù)”是定義在“實 數(shù)集”上的（后繼課復變函數(shù)研究的是定義在復數(shù)集上的函數(shù)）.為此，我們要先了解一下實數(shù)的有關性質.一、實數(shù)及其性質1、實數(shù)有理數(shù)：任何有理數(shù)都可以用分數(shù)形式 q （ p, q為整數(shù)且q 0）表示，P也可以用有限十進小數(shù)或無限十進小數(shù)來表示 無理數(shù):用無限十進不循環(huán)小數(shù)表示 R x | x為實數(shù)-全體實數(shù)的集合.問題有理數(shù)與無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對統(tǒng)一討論實數(shù)是不利的.為以下 討論的需要，我們把“有限小數(shù)”（包括整數(shù)）也表示為“無限小數(shù)”.為此 作如下規(guī)定：限 小 數(shù) x ao.a&L an,0 ai 9,i 1,2,L , n,% 0,a。為非負整數(shù)，記 x

3、 3。£丄務1 1）9999L ;對于正整數(shù)x a。,則記x （a。1）.9999L ;對于負有限小數(shù)（包括負整數(shù)）y，則先將y表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負號.0表示為0= 0.0000L例:2.0012.0009999L ;32.9999L ；2.0012.009999L ；32.9999L利用上述規(guī)定，任何實數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示在此規(guī)定下，如何比較實數(shù)的大小？2、兩實數(shù)大小的比較1） 定義1給定兩個非負實數(shù)x a°.aiL anL ，y b°bL bn L .其中直,5為 非負 整數(shù)，ak，bk （k 1,2,L ）為 整數(shù)，0 ak 9

4、,0 b k 9 .若有 ak bk,k 0,1,2,L，則稱x與y相等，記為x y ;若a。b°或存在非負整數(shù)I， 使得ak bk, k 0,1,2,L ,l，而q 1 b| 1，則稱x大于y或y小于x,分別記為x y 或y x .對于負實數(shù)x、y，若按上述規(guī)定分別有 x y或x y，貝U分別 稱為x y與x y （或y x）.規(guī)定：任何非負實數(shù)大于任何負實數(shù).2） 實數(shù)比較大小的等價條件（通過有限小數(shù)來比較）.定義2 （不足近似與過剩近似）:x a00L anL為非負實數(shù)，稱有理數(shù)1Xn a°.a1L an為實數(shù)x的n位不足近似；x. x.飛稱為實數(shù)x的n位過剩近10似

5、，n 0,1,2丄.1對于負實數(shù)xa°.a1L anL ，其n位不足近似x.比£丄a. n ； n位過10剩近似 xn.a-|L an .注：實數(shù)x的不足近似召當n增大時不減，即有X。x, X2 L ;過剩近似 xn當n增大時不增，即有x° X1 X2 L .命題：記x a°.a1L anL ， y SbL gL為兩個實數(shù)，則x y的等價條件 是：存在非負整數(shù)n，使Xn yn （其中Xn為x的n位不足近似，yn為y的n位過 剩近似）.命題應用例1.設X, y為實數(shù)，X y，證明存在有理數(shù)r，滿足X r y .證明：由X y，知：存在非負整數(shù)n,使得X；

6、yn 令r 1只yn ,貝打2為有理數(shù)，且x x； r y； y 即 x r y .3、實數(shù)常用性質（詳見附錄U. P289 P302）.1）封閉性（實數(shù)集R對，）四則運算是封閉的.即任意兩個實數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍是實數(shù).2）有序性：a,b R，關系a b,a b,a b，三者必居其一，也只居其3) 傳遞性：a, b, c R，若a b,b c,則 a c.4）阿基米德性：a,b R,b a 0 n N使得na b.5）稠密性：兩個不等的實數(shù)之間總有另一個實數(shù).6）一一對應關系：實數(shù)集R與數(shù)軸上的點有著一一對應關系.例2.設a,b R，證明：若對任何正數(shù)，有a b ，則a b.（

7、提示：反證法利用“有序性”，取 a b）二、絕對值與不等式1、絕對值的定義實數(shù)a的絕對值的定義為|a|a,a0aa03、幾個重要不等式1、a2 b2 2ab,sin x1.sin x2、均值不等式：對a1, a2, an RM(ai)an1 nai,n i 1算術平均值)G(ai)n a©an1nai幾何平均值)H(aJn丄丄a a 21T1 n丄ann i 1 ai(調和平均值)i i ai有平均值不等式：H(aJ G(ai)M (ai),即:n1 1 . 1L a1a2ann aia2L ana? Lnan等號當且僅當a1 a2an時成立.3、Bernoulli不等式:(在中學已

8、用數(shù)學歸納法證明過)1,有不等式(1 x)n 1nx,n N.2時,有嚴格不等式(1 x)n 1nx.證:由 1 x 0 且 1 x 0,(1 x)n n 1(1 x)n 1n n (1 x)n n(1x).(1 x)n 1 nx.4、利用二項展開式得到的不等式：對h 0,由二項展開式(1 h)n 1 nh 叫h2 n(n 1)(n 2)h3 2!3!hn,(1 h)n上式右端任何一項.練習P4. 5課堂小結:實數(shù):實數(shù)及其性質 絕對值與不等式.作業(yè)P4. 1. (1) , 2. (2)、(3) , 35§ 2數(shù)集和確界原理授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)一一§2數(shù)集和確界原理

9、 教學目的：使學生掌握確界原理，建立起實數(shù)確界的清晰概念 .教學要求：(1) 掌握鄰域的概念；(2) 理解實數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關命題的證明中正確地加以運 用教學重點：確界的概念及其有關性質(確界原理)教學難點：確界的定義及其應用教學方法：講授為主教學程序：先通過練習形式復習上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗學習效果，此后導入新課.引言上節(jié)課中我們對數(shù)學分析研究的關鍵問題作了簡要討論；此后又讓大家自學 了第一章§1實數(shù)的相關內(nèi)容下面，我們先來檢驗一下自學的效果如何！1、證明：對任何x R有： |x 1| |x 2| 1；|x 1| |x 2| |x 3| 2.(1 Q x 11 (x 2

10、)1 x 2, x 1 x 21)(2)|x 1 |x 2 1, x 2 |x 3 1, x 2 |x 3 2.三式相加化簡即可)2、證明：|x | |y | |x y |.3、 設a,b R，證明：若對任何正數(shù) 有a b ，則a b.4、設x, y R,x y，證明：存在有理數(shù)r滿足y r x .引申:由題1可聯(lián)想到什么樣的結論呢？這樣思考是做科研時的經(jīng)常的 思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問題引出一般的結論：一 般的方法？由上述幾個小題可以體會出“大學數(shù)學”習題與中學的不同；理論性強，概念性強，推理有理有據(jù)，而非憑空想象；課后未布置作業(yè)的習題要盡 可能多做，以加深理解，語言

11、應用提請注意這種差別，盡快掌握本門課程的術 語和工具本節(jié)主要內(nèi)容：1、先定義實數(shù)集R中的兩類主要的數(shù)集一一區(qū)間與鄰域；2、討論有界集與無界集；3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理(確界原理)一、區(qū)間與鄰域1、區(qū)間(用來表示變量的變化范圍)設a,b R且a b.區(qū)間 有限區(qū)間，其中無限區(qū)間開區(qū)間:x R | a x b (a,b)有限區(qū)間閉區(qū)間:x R | a x b a,b閉開區(qū)間:x R|a x b開閉區(qū)間:x R|a x ba, b)(a,bxR| xaa,).xR| xa(,a.無限區(qū)間xR|xa(a,).xR|xa(,a).xR|xR半開半閉區(qū)間7#2、鄰域.與a鄰近的“區(qū)域”

12、很多，到a的對稱區(qū)間”；如何用數(shù)學底哪一類是我們所要講的“鄰域”呢？就是“關于聯(lián)想：“鄰居”.字面意思：“鄰近的區(qū)域” 語言來表達呢?(1) a的 鄰域：設a R, 0,滿足不等式|x a|的全體實數(shù)x的集合稱為點a的 鄰域，記作U (a;)，或簡記為U(a)，即 ，' + '" 一Oa-daa+S xU (a; ) x | x a| (a ,a )其中a稱為該鄰域的中心,稱為該鄰域的半徑#(2) 點a的空心鄰域(a ,a) (a,a)JJ°(a).Uo(a; ) x 0 | x a|(3) a的 右鄰域和點a的空心 右鄰域U (a; )a, a)JJ (a

13、)x axa;U0 (a; )(a, a)U 0(a)x axa.(4) 點a的 左鄰域和點a的空心 左鄰域U (a; ) (a ,aU (a) xa x a ; U0(a; ) (a ,a) U0(a) x a x a .(5) 鄰域， 鄰域， 鄰域U( ) x|x| M ,(其中M為充分大的正數(shù))；9U( ) Xx M ,U( ) x#二、有界集與無界集1、定義1（上、下界）：設S為R中的一個數(shù)集.若存在數(shù)M（L），使得一切x S 都有x M （x L），則稱S為有上（下）界的數(shù)集.數(shù)M（L）稱為S的上界（下 界）；若數(shù)集S既有上界，又有下界，則稱 S為有界集.閉區(qū)間a,b、開區(qū)間（a,b

14、）（a,b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合E y y sinx, x （,）也是有界數(shù)集.若數(shù)集S不是有界集，則稱S為無界集.（,）,（,0）,（0,）等都是無界數(shù)集，集合E y y -, x （0,1）也是無界數(shù)集.x注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上 （下）界與S的關系如何？看下例：例1討論數(shù)集Nn |n為正整數(shù) 的有界性.解：任取no N，顯然有no 1，所以N有下界1 ；但N無上界.因為假設N有上界M,則M>0按定義，對任意no N，都有 no M，這是不可能的，如取n。M 1（符號M表示不超過M的最大整數(shù)）， 則 n0 N，且 n0 M .綜上所述知：N是有下界無上界

15、的數(shù)集，因而是無界集.例2證明：（1）任何有限區(qū)間都是有界集；（2）無限區(qū)間都是無界集；（3） 由有限個數(shù)組成的數(shù)集是有界集.問題:若數(shù)集S有上界，上界是唯一的嗎？對下界呢？（答：不唯一 ， 有無窮多個）.三、確界與確界原理1、定義定義2（上確界） 設S是R中的一個數(shù)集，若數(shù) 滿足：（1）對一切x S,有x （即 是S的上界）；（2） 對任何，存在X。S，使得X。（即是S的上界中最小的一個），則稱數(shù) 為數(shù)集S的上確界，記作 supS.從定義中可以得出：上確界就是上界中的最小者.命題1 M supE充要條件1）x E,x M ；2）o, Xo S,使得 Xo M .證明：必要性，用反證法.設2）

16、不成立，則00,使得x E,均有x M o，與M是上界中最小的一個矛盾.充分性（用反證法），設M不是E的上確界，即 m0是上界，但M M。. 令 M Mo 0，由2）， x0 E，使得x0 M Mo，與Mo是E的上界矛 盾.定義3（下確界）設S是R中的一個數(shù)集，若數(shù) 滿足：（1）對一切x S,有x （即 是S的下界）；（2）對任何，存在xo S，使得xo（即 是S的下界中最大的一個），貝U稱數(shù) 為數(shù)集S的下確界，記作 inf S. 從定義中可以得出：下確界就是下界中的最大者.命題2 inf S的充要條件：1）x E,x ;2）>o，Xo S,有Xo V .上確界與下確界統(tǒng)稱為確界.（1）

17、n例 3 （1） S 1,則 supS _1_； infS _0一n（2）E y y sinx, x （0,）.則 supS _1_; inf S _o_ 注：非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.命題3：設數(shù)集A有上（下）確界，則這上（下）確界必是唯一的證明：設 supA， sup A且，則不妨設sup AX A 有 xsupA 對XoA使 Xo，矛盾.例：sup R nnfzdinE 5,0,3,9,11 則有 inf E 5.開區(qū)間a,b與閉區(qū)間a,b有相同的上確界b與下確界a例4設S和A是非空數(shù)集，且有S A.則有supS supA, inf S inf A.例5設A和B是非空數(shù)集.若

18、對 x A和y B,都有x y,則有 sup A inf B.證明： y B, y是A的上界， supA y. supA是B的下 界, supA inf B.例6A和B為非空數(shù)集，S A B.試證明：infS min inf A,inf B .證明：x S,有x A或x B,由inf A和inf B分別是A和B的下界，有x inf A或 x inf B. x min inf A, inf B .即min inf A,inf B 是數(shù)集S的下界，inf S min inf A, inf B .又S 代 S的下界就是 A的下 界，i nfS是S的下界，infS是A的下界， inf S inf A;

19、同理有 inf S inf B.于是有 inf S min inf A, inf B .綜上，有inf S min inf A,inf B .1. 數(shù)集與確界的關系：確界不一定屬于原集合.以例3為例做解釋.2. 確界與最值的關系：設E為數(shù)集.（1）E的最值必屬于E,但確界未必，確界是一種臨界點.（2） 非空有界數(shù)集必有確界（見下面的確界原理），但未必有最值.（3）若maxE存在,必有max E sup E.對下確界有類似的結論.4. 確界原理：Th1.1（確界原理）.設S非空的數(shù)集.若S有上界，則S必有上確界；若S有 下界，則S必有下確界.這里我們給一個可以接受的說明E R,E非空，x E，我

20、們可以找到一個整數(shù)p ,使得p不是E上界，而p 1是E的上界.然后我們遍查 p-1, PZ，p.9和p 1，我們可以找到一個q0，0 q0 9，使得p.q0不是E上界，P-（q0 1）是E上界，如果再找第二位小數(shù)qi，如此下去，最后得到p'q0q!q2 ，它是一個實數(shù)，即為E的上確界.證明：（書上對上確界的情況給出證明，下面講對下確界的證明）不妨設S中 的元素都為非負數(shù)，貝U存在非負整數(shù)n,使得"x S，有 x n ；2）存在 Xr S，有 x n 1 ；把區(qū)間（n, n 1 10等分，分點為n. 1， n .2，n . 9,存在山，使得1）S，有；x n.n1 ；2）存在x

21、2 S，使得X2 ng法-再對開區(qū)間（n-n1, n-ni丄10等分，同理存在n2，使得）對任何 x S，有 x n.nin2 ；2）存在x2，使X2 n.ng 柑繼續(xù)重復此步驟，知對任何k 1,2,，存在nk使得1）對任何x S，x1 nnn?nk 莎；2）存在xkS，xk門門小2nk -因此得到n.mn2nk以下證明inf S （i）對任意xS，x；（ii）對任何存在x S使x-作業(yè):P9 1 (1)，(2)；2； 4 (2)、(4)； 7§ 3函數(shù)概念授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)一一§3函數(shù)概念教學目的：使學生深刻理解函數(shù)概念.教學要求：（1）深刻理解函數(shù)的定義以及復

22、合函數(shù)、 反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉 函數(shù)的各種表示法；（2）牢記基本初等函數(shù)的定義、性質及其圖象 .會求初等函數(shù)的存在域， 會分析初等函數(shù)的復合關系.教學重點：函數(shù)的概念.教學難點：初等函數(shù)復合關系的分析.教學方法：課堂講授，輔以提問、練習、部分內(nèi)容可自學.教學程序：引言關于函數(shù)概念，在中學數(shù)學中已有了初步的了解 .為便于今后的學習，本節(jié)將對此作進一步討論、函數(shù)的定義1.定義1 設D,M R，如果存在對應法則f，使對 x D，存在唯的一個數(shù)y M與之對應，則稱f是定義在數(shù)集D上的函數(shù)，記作x| y .數(shù)集D稱為函數(shù)f的定義域，x所對應的y，稱為f在點x的函數(shù)值，記為f(x).全體函數(shù)值的集

23、合稱為函數(shù)f的值域，記作f(D).即 f (D) y | y f (x),x D .2. 幾點說明(1)函數(shù)定義的記號中“ f : D M ”表示按法則f建立D到M的函數(shù)關 系，x| y表示這兩個數(shù)集中元素之間的對應關系，也記作 x| f (x).習慣上稱 x自變量，y為因變量.(2) 函數(shù)有三個要素，即定義域、對應法則和值域 .當對應法則和定義域 確定后，值域便自然確定下來.因此，函數(shù)的基本要素為兩個：定義域和對應法則.所以函數(shù)也常表示為：y f (x), x D .由此，我們說兩個函數(shù)相同，是指它們有相同的定義域和對應法則.例如：1) f (x)1,x R, g(x) 1,x R 0 .(

24、不相同，對應法則相同，定義域不同)2) (x) |x|,x R, (x)x.x R.(相同，只是對應法則的表達形式不同).(3) 函數(shù)用公式法(解析法)表示時，函數(shù)的定義域常取使該運算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域(自然定義域).此時，函數(shù)的記號中的定義域可省略不寫，而只用對應法則f來表示一個函數(shù).即“函數(shù)y f(x) ”或“函數(shù)f ”.(4) “映射”的觀點來看，函數(shù)f本質上是映射，對于a D， f(a)稱為映射f下a的象.a稱為f (a)的原象.（5）函數(shù)定義中，x D，只能有唯一的一個y值與它對應，這樣定義的函數(shù)稱為“單值函數(shù)”，若對同一個 x值，可以對應多于一個y值，則稱這種

25、函 數(shù)為多值函數(shù).本書中只討論單值函數(shù)（簡稱函數(shù)）.二、函數(shù)的表示方法1主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和圖象法（圖示法） 2可用“特殊方法”來表示的函數(shù).1）分段函數(shù)：在定義域的不同部分用不同的公式來表示.1, x0例如 sgnx 0,x 0，（符號函數(shù)）1, x0（借助于 sgnx 可表示 f（x） |x|,即 f（x） |x| xsgnx）2）用語言敘述的函數(shù).（注意；以下函數(shù)不是分段函數(shù)）例 1） y x（取整函數(shù)）比如：3.5=3, 3=3, _3.5=_4.常有 x x x 1，即 Ox x 1.與此有關一個的函數(shù)y x x x （非負小數(shù)函數(shù)）圖形 是一條大鋸，畫出圖

26、看一看.2）狄利克雷（Dirichlet ）函數(shù)1,當x為有理數(shù)，D（x）0,當 x為無理數(shù)，y0Jth.1r J這是一個病態(tài)函數(shù)，很有用處，卻無法畫出它的圖形 .它是周期函數(shù)，但卻 沒有最小周期，事實上任一有理數(shù)都是它的周期 .3）黎曼（Riemman函數(shù)R（x）才當x評,q吒為既約分數(shù)）,0,當x 0,1和（0,1內(nèi)的無理數(shù).三函數(shù)的四則運算給定兩個函數(shù)f ,x D1,g,x D2，記D D1UD2，并設D ，定義f與g在D上的和、差、積運算如下：F(x) f (x)g(x), x D;G(x) f (x) g(x),x D;H (x)f(x)g(x), x D .上定義f與g的商運算如下

27、；L(x) f(x),x Dg. g(x)注：1)若 D D1 U D2，則f與g不能進行四則運算2 )為敘述方便，函數(shù)f與g的和、差、積、商常分別寫為:若在D中除去使g(x) 0的值，即令Dg D xg(x) 0,x D2,可在Dgg,fg,17#四、復合運算1引言在有些實際問題中函數(shù)的自變量與因變量通過另外一些變量才建立起它們 之間的對應關系.例：質量為m的物體自由下落，速度為v,則功率E為12丄22mg t1 2 E mv2v gt抽去該問題的實際意義，我們得到兩個函數(shù)1f (v)- mv2,v gt，把 v(t)代2入f，即得1 2 2f(v(t) mg t .2這樣得到函數(shù)的過程稱為

28、“函數(shù)復合”，所得到的函數(shù)稱為“復合函數(shù)”. 問題任給兩個函數(shù)都可以復合嗎？考慮下例；2y f (u) arcsinu,u D 1,1,u g(x)2 x ,x E R.就不能復合，結合上例可見，復合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)”的值域與“外函數(shù)” 的定義域的交集不空(從而引出下面定義)2 定義(復合函數(shù) )設有兩個函數(shù) y f (u),u D,u g(x), x E，Eg x f (x) DIE，若Eg，則對每一個x Eg，通過g對應D內(nèi)唯一一個值u，而u又通過f對應唯一一個值y，這就確定了一個定義在Eg±的函數(shù)，它 以x為自變量，y因變量，記作y f(g(x),x丘9或y (fog)(x

29、),x Eg.簡記為f og .稱為函數(shù)f和g的復合函數(shù)，并稱f為外函數(shù)，g為內(nèi)函數(shù)，u為中間變 量.3. 例子例 y f(u).u, ug(x)1 x2.求 f g (x)f g(x).并求定義域.例2f (1 x) x x 1,f(x)f x1 2x!則xxf(x)()A. x2,B.x2 1,C.x22,D.x22例討論函數(shù)yf (u).u,u 0,)與函數(shù)u g(x).1 x2,xR能否進行復合，求復合函數(shù)4說明1) 復合函數(shù)可由多個函數(shù)相繼復合而成每次復合，都要驗證能否進行？在 哪個數(shù)集上進行？復合函數(shù)的最終定義域是什么？例女口 ： y si nu,u 】v,v 1 x2， 復合成

30、：y sin 1 x2,x 1,1.2) 不僅要會復合，更要會分解.把一個函數(shù)分解成若干個簡單函數(shù)，在分解時也要注意定義域的變化 yloga 1x2,x(0,1) y lOgaU,U,Z,Z 1 yarcs in 1y arcs inu,u 7v,v x21. y 2sin x y 2u,u v2,v sinx.五、反函數(shù)1 .引言在函數(shù)y f (x)中把x叫做自變量，y叫做因變量.但需要指出的是，自變量 與因變量的地位并不是絕對的，而是相對的，例如：f (u) . u,u t2 1,那么u對于f來講是自變量，但對t來講，u是因變量.習慣上說函數(shù)y f(x)中x是自變量，y是因變量，是基于y隨

31、x的變化現(xiàn) 19時變化.但有時我們不僅要研究y隨X的變化狀況，也要研究x隨y的變化的狀況. 對此，我們引入反函數(shù)的概念.2 .反函數(shù)概念定義設f : x R是一函數(shù)，如果 x1， x2 X ，由Xi X2f(xj f(X2)(或由f (xi)f (X2)XiX2)，則稱f在X上是i-i 的.若 f :X Y，Yf(X)，稱 f為滿的.若f :X Y是滿的i-i的，則稱f為i-i對應.f : XR 是 i-i的意味著yf (X)對固定y至多有一個解x， f : XY 是 i-i的意味著對yY， y f(x)有且僅有一個解x.定義設f :XY是i-i對應.y Y,由y f (x)唯確定一個X X，

32、由這種對應法則所確定的函數(shù)稱為y f(x)的反函數(shù)，記為x f 1(y).反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域f 1:Y X顯然有1f fI :X X(恒等變換)f f 11 :丫Y(恒等變換)(f 1) 1f : XY.從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別，作為函數(shù)，習慣 上我們還是把反函數(shù)記為y f1(x),這樣它的圖形與 y f(x)的圖形是關于對角線y x對稱的.嚴格單調函數(shù)是i-i對應的，所以嚴格單調函數(shù)有反函數(shù).但i-i對應的函數(shù)(有反函數(shù))不一定是嚴格單調的，看下面例子X,0 X if(x)3 x,i x 2它的反函數(shù)即為它自己.實際求反函數(shù)問題可分為二步進行：i. 確定

33、f:X 丫的定義域x和值域丫，考慮i-i對應條件.固定y 丫，i解方程f(x) y得出x f (y).2. 按習慣，自變量x、因變量y互換，得y f 1(x).xx例求y sh(x) e e : r R的反函數(shù)2xx解固定y，為解v e e ，令ex z，方程變?yōu)閥c2,2zy z 1z2 2zy 10z y . y2 1 (舍去 y . y2 1 )得 x ln( y . y2 1)，即 y ln(xx2 1) sh 1 (x)，稱為反雙曲正弦 .定理 給定函數(shù)y f(x)，其定義域和值域分別記為 x和Y，若在丫上存在函數(shù)g(y)，使得 g(f(x) x ,則有g(y) f 1(y).分析：

34、要證兩層結論：一是y f(x)的反函數(shù)存在，我們只要證它是1-1對應就行了；二是要證g( y) f 1( y).證要證y f(x)的反函數(shù)存在，只要證f(x)是x到Y的1-1對應 x1，x2 X，若f (x1) f(x2)，則由定理條件，我們有g(f(xj) %g(f(x2) X2x1 x2，即 f : X Y 是 1-1 對應再證 g(y) f (y). y y， x x，使得 y f(x).由反函數(shù)定義x f 1(y)，再由定理條件1g(y) g(f(x) x. g(y) f (y)例f : R R，若f(f(x)存在唯一()不動點，貝U f(x)也1不動點.證 存在性，設 x* ff(x

35、*)，f(x*) f ff(x*)，即f(x*)是f f的不動點，由唯一性f(x*)x*，即存在f(X)的不動點x*.唯一性：設 x f (x)，x f(x) f (f (x)，說明x是f f的不動點，由唯一性，x=x*.從映射的觀點看函數(shù).設函數(shù)y f (x),x D .滿足：對于值域f(D)中的每一個值y,D中有且只有一個值x，使得f(x) y，則按此對應法則得到一個定義在f(D)上的函 數(shù)，稱 這個函數(shù)為f的反函 數(shù)，記 作f 1： f(D) D,(y| x)或 x f 1(y),y f(D).3、注釋a) 并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)，從映射的觀點看，函數(shù) f 有反函數(shù)，意味著f是D與f

36、(D)之間的一個一一映射，稱f 1為映射f的逆映射，它把f(D) D ；b) 函 數(shù) f 與 f 1 互 為 反 函 數(shù) ， 并 有 : f 1( f(x) x,x D,1f( f 1(x) y,y f(D).c) 在反函數(shù)的表示x f 1(y), y f (D)中，是以y為自變量，x為因變量.若按習慣做法用 x 做為自變量的記號， y 作為因變量的記號， 則函數(shù) f 的反函數(shù) f 1可以改寫為y f 1(x),xf(D).應該注意， 盡管這樣做了， 但它們的表示同一個函數(shù)， 因為其定義域和對應 法則相同，僅是所用變量的記號不同而已 . 但它們的圖形在同一坐標系中畫出時 有所差別 .六 、初等

37、函數(shù)1.基本初等函數(shù)(6類)常量函數(shù)y C (C為常數(shù))；冪函數(shù) y x ( R) ；指數(shù)函數(shù) y ax(a 0,a 1)；對數(shù)函數(shù)y log a x(a 0,a 1) ；三角函數(shù)y sin x, y cosx,y tgx, y ctgx ；反三角函數(shù) y arcsin x , y arccosx, y arctgx , y arcctgx .注：幕函數(shù)y x ( R)和指數(shù)函數(shù)y ax(a 0,a1)都涉及乘幕，而在中學數(shù)學課程中只給了有理指數(shù)乘冪的定義 . 下面我們借助于確界來定義無理 指數(shù)冪，便它與有理指數(shù)冪一起構成實指數(shù)乘冪，并保持有理批數(shù)冪的基本 性質.定義2 .給定實數(shù)a 0,a

38、1，設x為無理數(shù)，我們規(guī)定:sup ar |r為有理數(shù)，當a 1時， r xinf ar|r為有理數(shù)，當0 a 1時.這樣解決了中學數(shù)學僅對有理數(shù) x定義ax的缺陷.問題:這樣的定義有意義否？更明確一點相應的“確界是否存在呢？”2. 初等函數(shù)定義3 .由基本初等函數(shù)經(jīng)過在有限次四則運算與復合運算所得到的函數(shù), 統(tǒng)稱為初等函數(shù)如：y21V 12sinx cos x, y sin( )，y logaX2, y | x |.xx不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù).如Dirichlet 函數(shù)、Riemann函數(shù)、 取整函數(shù)等都是非初等函數(shù).注：初等函數(shù)是本課程研究的主要對象.為此，除對基本初等函數(shù)的圖

39、象與 性質應熟練掌握外，還應常握確定初等函數(shù)的定義域.確定定義域時應注意兩點. 例2 .求下列函數(shù)的定義域.(1)y /；(2y ln | sin x|.3. 初等函數(shù)的幾個特例：設函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù)，則(1)(2)因為(3)f(x)是初等函數(shù),因為(x) max f (x) ,g(x)和f(x),(x) min1(x) max f (x) ,g(x)- f (x) g(x)2-f(x)2(x) min f(x), g(x)幕指函數(shù)f (x) g(x)f(x) 0g(x)f(x) 2.f(x),g(x)都是初等函數(shù),f(x) g(x),f(x) g(x).是初等函數(shù)，因為g(x

40、)f(x)ln f (x) g(x) eeg(x)m f(x)作業(yè)R5:3; 4: (2)、(3);5: (2) ;7: (3) ; 11§ 4具有某些特性的函數(shù)授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)一一§4具有某些特性的函數(shù)教學目的：熟悉與初等函數(shù)性態(tài)有關的一些常見術語教學目的：深刻理解有界函數(shù)、單調函數(shù)的定義；理解奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的定 義；會求一些簡單周期函數(shù)的周期.教學重點：函數(shù)的有界性、單調性.教學難點：周期函數(shù)周期的計算、驗證教學方法：有界函數(shù)講授，其余的列出自學題綱，供學生自學完成 教學程序：引言在本節(jié)中，我們將介紹以后常用的幾類具有某些特性的函數(shù)，如有界函數(shù)、 單調函

41、數(shù)、奇偶函數(shù)與周期函數(shù).其中，有些概念在中學里已經(jīng)敘述過，因此， 這里只是簡單地提一下與“有界集”的定義類似，先談談有上界函數(shù)和有下界 函數(shù).一、有界函數(shù)1有上界函數(shù)、有下界函數(shù)的定義定義1設f為定義在D上的函數(shù)，若存在數(shù)M(L)，使得對每一個x D有 f(x) M(f(x) L)，則稱f為D上的有上(下)界函數(shù)，M(L)稱為f在D上 的一個上(下)界注：(1)f在D上有上(下)界，意味著值域f(D)是一個有上(下)界的 數(shù)集；(2)又若M (L)為f在D上的一個上(下) 界，則任何大于M (小于 L)的數(shù)也是f在D上的上(下)界.所以，函數(shù)的上(下)界若存在，貝U不是 唯一的，例如：y si

42、nx，1是其一個上界，下界為一1，則易見任何小于一1的 數(shù)都可作為其下界；任何大于1的數(shù)都可作為其上界；(3) 任給一個函數(shù)，不一定有上(下)界；(4) 由(1)及“有界集”定義，可類比給出“有界函數(shù)”定義：f在D上有界f (D)是一個有界集f在D上既有上界又有下界f在D上的有上界函數(shù)，也為D上的有下界函數(shù).2、有界函數(shù)定義定義2設f為定義在D上的函數(shù).若存在正數(shù)M,使得對每一個 x D有 | f (x) | M，則稱f為D上的有界函數(shù).注：(1)幾何意義：f為D上的有界函數(shù)，貝U f的圖象完全落在y M和 y M之間；(2) f在D上有界 f在D上既有上界又有下界；例子：y sin x, y

43、 cosx ；(3) 關于函數(shù)f在D上無上界、無下界或無界的定義.3、例題例1證明f :X R有界的充要條件為： M ,m ,使得對 x X , m f (x) M .證明如果f : X R有界，按定義 M >0， x X有f (x) M，即25M f(x) M ,取 m M,M M 即可.反之如果 M , m使得x X, m f (x) M，令M0 max M 1, m，則 f(x)| Mo，即 M。0，使得對 x X 有 f(x)| Mo，即 f : X R有界.1例2.證明 f(x)-為(0,1上的無上界函數(shù).x例 3 .設f,g為 D上的有界函數(shù).證明：(1 )inD f(x)

44、inD g(x) inf f(x) g(x)；sup f (x) supg(x).x Dx D5x2x2(2) sup f(x) g(x)x D例4驗證函數(shù)f(x)解法一由2x2f (x)f(0)對解法3W2x)2X5|x|32x23,R,總有5x30x2x22 ,2x 3在R內(nèi)有界.3(J3)2 2x732 6x,當x 0時，有5x276|x52、63.f(x)3,即f(x)在R內(nèi)有界.關于x的二次方程2yx25x 3y 0有實數(shù)52224 y 0,254,242.解法三tgt, t2對應x).于是f(x)5x2x235 ；tgt235 3 tgt3l2tg2t 1sint.6 cost s

45、ec t- sin 2t,2、6f(x)L sin 2t2/652、6、單調函數(shù)定義3設f為定義在D上的函數(shù)，則稱f為D上的增函數(shù)；若f(xj f(X2)，則稱f為D上的嚴格增函數(shù).(2)若 f(xj f (X2)，則稱f為D上的減函數(shù)；若f (為)減函數(shù).例5.證明：X1,X2 D, x.X2, (1)若 f (xjf (X2),f(X2)，則稱f為D上的嚴格x3在()上是嚴格增函數(shù)證明：設X133X2， X1X2(x1 x2)(x； X.jX2X；)如 X1X20 ,則 X20X133X1X227如 x1x2 0 ，則 x12 x1x2 x22 0, x13 x32故X； x；0即得證.例

46、6討論函數(shù)y X在R上的單調性.Q xi,x2 R，當X, x2時，有x,x2 ,但此函數(shù)在R上的不是嚴格增函數(shù).注：1)單調性與所討論的區(qū)間有關 . 在定義域的某些部分， f 可能單調，也 可能不單調 . 所以要會求出給定函數(shù)的單調區(qū)間；2)嚴格單調函數(shù)的幾何意義：其圖象無自交點或無平行于 x 軸的部分 . 更準確地講：嚴格單調函數(shù)的圖象與任一平行于 x 軸的直線至多有一個交點 . 這 一特征保證了它必有反函數(shù) .總結得下面的結論：定理1 設y f(x),x D為嚴格增(減)函數(shù)，則f必有反函數(shù)f 1，且f 1 在其定義域f(D)上也是嚴格增(減)函數(shù)證明：設f在D上嚴格增函數(shù).對y f(D

47、),有x D,使f (x) y .下面證明這 樣的x只有一個.事實上，對于 D內(nèi)任一 xi x,由于f在D上嚴格增函數(shù)，當 x1 x 時 f (x1) y ， 當 x1 x 時 f (x1) y ， 總 之 f (x1) y . 即 y f(D),都只存在唯一的一 x D,使得f(x) y，從而例7討論函數(shù)y x2在(，)上反函數(shù)的存在性；如果y x2在(，) 上不存在反函數(shù)，在 (,)的子區(qū)間上存在反函數(shù)否？結論：函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關 .例8 證明：y ax當a 1時在R上嚴格增，當0 a 1時在R上嚴格遞減. 三、奇函數(shù)和偶函數(shù)定義 4. 設 D 為對稱于原點的數(shù)集，

48、f 為定義在 D 上的函數(shù) . 若對每一個 x D有(1) f( x) f (x)，則稱f為D上的奇函數(shù)；(2) f ( x) f (x)，則 稱 f 為 D 上的偶函數(shù) .注：(1)從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱(中心對稱)，偶函數(shù)的圖象關于 y 軸對稱；(2)奇偶性的前提是定義域對稱， 性.；)從奇偶性角度對函數(shù)分類：( 4)由于奇偶函數(shù)對稱性的特點，邊或右邊即可 四、周期函數(shù)1 、定義因此 f(x) x,x 0,1 沒有必要討論奇偶奇函數(shù):y=sinx 偶函數(shù):y=sgnx非奇非偶函數(shù) :y=sinx+cosx 既奇又偶函數(shù) :y 0研究奇偶函數(shù)性質時， 只須討論原點的左設 f

49、 為定義在數(shù)集 D 上的函數(shù)，若存在 0 ，使得對一切 x D 有 f(x ) f(x) ，則稱 f 為周期函數(shù)， 稱為 f 的一個周期 .2、幾點說明：(1)若 是 f 的周期，則 n (n N ) 也是 f 的周期，所以周期若存在，則不唯一.如y sinx, 2 ,4丄.因此有如下“基本周期”的說法，即若在周期 函數(shù)f的所有周期中有一個最小的周期，則稱此最小周期為f的“基本周期”，簡稱“周期”.如y sinx，周期為2 ；（2）任給一個函數(shù)不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期， 如：1） y x 1，不是周期函數(shù)；2） y C （C為常數(shù)），任何正數(shù)都是它的周 期.第二章數(shù)列極限

50、為了掌握變量的變化規(guī)律，往往需要從它的變化過程來判斷它的變化趨勢.111 1例如有這么一個變量，它開始是1,然后為丄,1，丄,L ,丄丄如此，一直無盡地變2 3 4 n 下去，雖然無盡止，但它的變化有一個趨勢，這個趨勢就是在它的變化過程中越 來越接近于零.我們就說，這個變量的極限為0.在高等數(shù)學中，有很多重要的概念和方法都和極限有關（如導數(shù)、微分、積 分、級數(shù)等），并且在實際問題中極限也占有重要的地位.例如求圓的面積和圓周 長（已知：S r2, l 2 r ），但這兩個公式從何而來？要知道，獲得這些結果并不容易！人們最初只知道求多邊形的面積和求直線 段的長度.然而，要定義這種從多邊形到圓的過渡

51、就要求人們在觀念上，在思考 方法上來一個突破.問題的困難何在？多邊形的面積其所以為好求， 是因為它的周界是一些直線 段，我們可以把它分解為許多三角形.而圓呢？周界處處是彎曲的，困難就在這 個“曲”字上面.在這里我們面臨著“曲”與“直”這樣一對矛盾 .辯證唯物主義認為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以相互轉化 .整個圓周 是曲的，每一小段圓弧卻可以近似看成是直的； 就是說，在很小的一段上可以近 似地“以直代曲”，即以弦代替圓弧.按照這種辯證思想，我們把圓周分成許多的小段，比方說，分成n個等長的小段，代替圓而先考慮其內(nèi)接正n邊形.易知，正n邊形周長為ln 2n Rsi n n顯然，這個ln不會等于l

52、.然而，從幾何直觀上可以看出，只要正 n邊形的邊 數(shù)不斷增加.這些正多邊形的周長將隨著邊數(shù)的增加而不斷地接近于圓周長 .n 越大，近似程度越高.但是，不論n多么大，這樣算出來的總還只是多邊形的周長.無論如何它只是 周長的近似值，而不是精確值.問題并沒有最后解決.為了從近似值過渡到精確值，我們自然讓n無限地增大，記為n .直觀上 很明顯，當n 時，ln l，記成lim In l .極限思想.n即圓周長是其內(nèi)接正多邊形周長的極限.這種方法是我國劉微（張晉）早在 第3世紀就提出來了，稱為“割圓術”.其方法就是一一無限分割.以直代曲；其 思想在于“極限”.除之以外，象曲邊梯形面積的計算均源于“極限”思想.所以，我們有必要對極限作深入研究.31§ 1數(shù)列極限的概念教學目的：使學生建立起數(shù)列極限的準確概念； 會用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極 限等有關命題.教學要求：使學生逐步建立起數(shù)列極限的N定義的清晰概念.深刻理解數(shù)列發(fā)散、單調、有界和無窮小數(shù)列等有關概念會應用數(shù)列極限的N