1、數學：寒假專題一一三角形中的常用輔助線2011-2-16 14:57:00 來源： 人氣：68 討論：0 條課程解讀一、學習目標：歸納、掌握三角形中的常見輔助線二、重點、難點：1、全等三角形的常見輔助線的添加方法。2、掌握全等三角形的輔助線的添加方法并提高解決實際問題的能力。三、考點分析：全等三角形是初中數學中的重要內容之一，是今后學習其他知識的基礎。判斷三角形全等的公理有SAS ASA AAS SSS和HL,如果所給條件充足，則可直 接根據相應的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據已知的條件結 合相應的公理進行分析，先推導出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題 要構造合適的全等三角

2、形，把條件相對集中起來，再進行等量代換，就可以化 難為易了。典型例題人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還 要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。全等三角形輔助線找全等三角形的方法：（1）可以從結論出發，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在 哪兩個可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法： 延長中線構造全等三角形； 利用翻折，構造全等三角形； 引平行線構造全等三角形； 作連線構造等腰

3、三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題， 思維模式是全等變換中的“對折”。例1：如圖， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90，BD平分/ ABC交AC于點D, CE垂直于BD,交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE思路分析：1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應用2） 解題思路：要求證BD=2CE可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分 / ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結合起來。解答過程：證明：延長 BA , CE交于點F,在 BEF和 BEC中，/ 仁/2，BE=BE，/ BEF= / BEC=90

4、， BEF A BEC, EF=EC，從而 CF=2CE。又/ 1 + Z F= / 3+Z F=90°，故/ 1= / 3。在 A ABD 和 A ACF 中，t/ 仁/3，AB=AC，/ BAD= / CAF=90 ， A ABDB A ACF，. BD=CF， BD=2CE。解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質的逆命題在添加輔助線中的應 用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關知識點和不同知識領域的聯系， 為同學們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化 歸的數學思想，它是解決問題的關鍵。（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，

5、構 造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。例2：如圖，已知 A ABC中，AD是/ BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證： A ABC是等腰三角形。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。解答過程：證明：延長 AD到E，使DE=AD，連接 BE。又因為 AD是BC邊上的中線， BD=DC又/ BDE= / CDA BEM CAD, 故 EB=

6、AC，/ E= / 2, AD是/ BAC的平分線/ 仁/2,/ 仁/ E , AB=EB從而AB=AC即卩 ABC是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。(3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用 的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性 質定理或逆定理。例 3:已知，如圖，AC平分/ BAD CD=CB AB>AD 求證：/ B+Z ADC=180。思路分析：1) 題意分析：本題考查角平分線定理的應用。2) 解題思路：因為AC是Z BAD的平分線，所以可過點 C

7、作Z BAD的兩邊的 垂線，構造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作CE!AB于E，CF丄AD于 F。 AC平分Z BAD CE=CF在 Rt CBE和 Rt CDF中,vCE=CF CB=CD Rt CB專 Rt CDF/ B=Z CDFvZ CDFV ADC=180 ,/ B+Z ADC=180。解題后的思考：(4) 過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式 是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”例4:如圖， ABC中，AB=AC E是AB上一點，F是AC延長線上一點，連 EF 交BC于D,若EB=CF求證：DE=DF思路分析：1) 題意分析：本題考

8、查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2) 解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形 DEB與 DFC不可能全等，又知EB=CF， 所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過E作EG/CF，構造中心對稱型全等三 角形，再利用等腰三角形的性質，使問題得以解決。解答過程：證明：過E作EG/AC交BC于G, 則/ EGBH ACB又 AB=ACZ B=Z ACB/ B=Z EGB / EGDH DCF EB=EG=CFvZ EDBM CDF DGE A DCF DE=DF解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法:例 5: ABC中 , Z BAC=60 , Z C=40° ,

9、AP平分Z BAC交 BC于 P , BQ平分Z ABC交 AC于 Q 求證：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+A彫勢較為復雜,我們可以通過轉化的思想把左式和右式分別轉化為幾條相等線段的和即可得證。可過0作BC的平行線。得 AD3A AQO得至U OD=OQAD=AQ只要再證出BD=O蹴可以 了。解答過程：圖證明：如圖（1）,過O作OD/ BC交AB于D, Z ADOZ ABC=180 60° 40° =80° , 又 vZ AQOZ C+Z QBC=80 ,

10、Z ADOZ AQO又/ DAOM QAO OA=A, ADOA AQO-OD=OQ AD=AQ又: OD/ BP,/ PBOM DOB又/ PBOM DBO/ DBOM DOB BD=OD又/ BPAM C+Z PAC=70 ,/ BOPM OBAZ BAO=70 ,Z BOPM BPO BP=OB- AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解題后的思考：(1) 本題也可以在AB上截取AD=AQ連OD構造全等三角形,即“截長法”(2) 本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖(2),過O作OD/ BC交AC于D,則厶ADOA ABC從而得以解決圖（2）如圖（3）,過0

11、作DMEU交于D，奩AC：于耳 則AADOSflAAQO, abmAae 0從而得以解抉.如圖 ，過F作PDZ/BQ交AB的延長線于D. PIJAAPDAAFCK而 得說解抉口；詢如圖（5）,過P作PD/ BQ交AC于D,則厶ABPA ADP從而得以解決龍BpC圖小結：通過一題的多種輔助線添加方法， 體會添加輔助線的目的在于構造全 等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現線段的轉移的，體會構 造的全等三角形在轉移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行 線還是倍長中線，實質都是對三角形作了一個以中點為旋轉中心的旋轉變換構 造了全等三角形。（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線

12、段上截取一條線段與特定線段 相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關 性質加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例 6:如圖甲，AD/ BC 點 E在線段 AB上，/ ADE=/CDE / DC=Z ECB 求證：CDADfBC思路分析：1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2）解題思路：結論是CD=AC+BC,可考慮用“截長補短法”中的“截長”， 即在CD上截取CF=CB只要再證DF=DA即可，這就轉化為證明兩線段相等的問 題，從而達到簡化問題的目的。解答過程：證明：在CD上截取CF=BC如圖乙在 Ft遲與廳G

13、E中.CF = CBCE = CE:. FCEA BCE（SAS ,/ 2=Z 1。又 AD/ BC/ AD（+Z BCD：180°,:丄 DC&Z CD=90°,/ 2+Z 3=90°,/ 1 + Z 4=90°,/Z 3=/ 4。在厶FDE與厶ADE中,FDE = ADE衛二加Z3-.Z.4* FDEAADE（ASA , DF=DACD=DF+CF,/. CD=ADfBC。解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時， 一般方法是截長 法或補短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另 一條；補短：將一條短線

14、段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等 于長線段。1）對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差 小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。2）在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證明不出來，可連 接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中， 再 運用三角形三邊的不等關系證明。小結：二角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。 線段和差不等式，移到同一三

15、角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線。預習導學下一講我們就要進入八下的學習了，八下的第一章是分式。請同學們預習課本，并思考以下問題。1、分式的概念是什么？2、分式的乘除法的運算法則是什么？同步練習（答題時間：90分鐘）這幾道題一定要認真思考啊，都是要添加輔助線的，開動腦筋好好想一想吧！加油！你一 定行！1、已知，如圖1,在四邊形ABCD中，BdAB, AD=DC BD平分/ ABC 求證：/ BAI+Z BCI=180°。2、已知，如圖2，Z仁Z 2，P為BN上一點，且PDL BC于點D，ABfBC=2BD 求證：Z BAF+Z BCf=180

16、76;o圖23、已知，如圖 3,在厶 ABC中, Z C= 2Z B，Z 1 = Z 2。求證：AB=A（+CD久 如圖5, AD為AABC的中線，求證孑AB+血C>2AD圖56、如圖6所示，AD是2XABC的中線，BE交于E,交AD于F,且AE=EF 求證 AC=BFO圖6角你熱愛生命嗎？艮眩別浪費時間，因為時I、目是組成生W命的材料 言蘭克林試題答案1、分析：因為平角等于180°,因而應考慮把兩個不在一起的角通過全等轉 化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關鍵在于構造直角三角形， 可通過“截長法或補短法”來實現。證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E,作DF丄BC

17、于點F,如圖1-2E T'/hzzF 分乙jet A cz)M ,DE = DFADCD:.Rt AD匡Rt CDFHL),/ DAE：/DCF又/ BADV DAE：180°,/./ BAD/DCF=180°, 即/ BAD/BCD：180°2、分析：與1相類似，證兩個角的和是180°,可把它們移到一起，讓它們 成為鄰補角，即證明/ BC：/EAP因而此題適用“補短”進行全等三角形的構 造。證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E,如圖2-2S 2-2丁丄丄乳且切丄占：PE=PD,在砒氐EFE與代沖-PEPDBPBP二舟底RPE當&理E

18、PD(RI4 EEWD.'劇阱EO2FD.'.ASLEKBIXBS,.'ADC=BDC=£-A b=AE.在陽貝PE呂&厶廠中，PB= PD斗 PEA= ZPDCAE= DC:.Rt APE Rt CPDSAS),/ PAE：/PCD又/ BAP/ PAE：180°。/ BAF+/ BCP=180°AC3、分析：從結論分析，“截長”或“補短”都可實現問題的轉化，即延長 至E使CE=CD或在AB上截取AF=AG證明：方法一（補短法）延長 AC到 E,使 DC=CE,則/ CDEZ CED 如圖 3-2ACB=2E,Z5= H在衛宜均月

19、ED中，Z1 = Z2=EAD= AD從EDMAED (JIA幻, .AB=AE.5LAE=A g dE=AC+DCt /.AEAC+DC.方袪二(載長法)在幾5上截取J1聲如圖3J圖3>3在厶AFTACD中，*AF 二 AC<Z1 = Z2A.D ADL AFDAACD(SAS , DF=DCZ AFD=Z ACD又/ AC* 2/ B,/ FDB=Z B, FD=FB AB=AF+FB=AC+FD AB=AC+C>D4、證明：（方法一）將DE兩邊延長分別交 AB AC于M N,在AMN中, AM+AN>MD+DE+NE在 BDM中, MB+MD>BD在厶 CE

20、N中, CN+NE>CE由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE AB+AC>BD+DE+EC（方法二：圖4-2）延長BD交AC于F,延長CE交BF于G 在厶ABF GFCffiA GD沖有: AB+AF>BD+DG+GFGF+FC>GE+CEDG+GE>DE由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE- AB+AC>BD+DE+EC5、分析：要證 AB+AC>2AD由圖想到：AB+BD>ADAC+CD>AD所以有 AB+AC+BD+CD>AD+AD=2左邊

21、比要證結論多BD+C D故不能直接證出此題，而 由2AD想到要構造2AD,即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去證明2証扶AD至匸l®DE.=AD,連捲EE, CE丁AD為郃C的中線（已知）BD=CD （中線定義）SAACD 和 4EBD 中BD = CD Q 已證） 4 = Z2C對頂角相等AD = ED C輔助線作法S ACDA EBD（SAS BE=CA（全等三角形對應邊相等在 ABE中有：AB+BE>AE三角形兩邊之和大于第三邊） AB+AC>2AD6、分析：欲證AC=BF只需證AC BF所在兩個三角形全等，顯然圖中沒有含 有AC BF的兩個全等三角形，而根據題目條件去構造兩個含有AC BF的全等三角形也并不容易。這時我們想到在同一個三角形中等角對等