1、2022-3-71第三章第三章 流體動力學基礎流體動力學基礎11 描述流體運動的兩種方法描述流體運動的兩種方法 16 伯努利（伯努利（Bernoulli）方程的應用）方程的應用 18 液體的空化和空蝕現象液體的空化和空蝕現象17 定常流動的動量方程和動量矩方程定常流動的動量方程和動量矩方程12 流體運動的一些基本概念流體運動的一些基本概念14 理想流體的運動微分方程理想流體的運動微分方程13 流體運動的連續性方程流體運動的連續性方程15 理想流體微元流束的伯努力方程理想流體微元流束的伯努力方程2022-3-72 流體運動學研究流體的運動規律，如速度、加速度等運動參數的變化規律，而流體動力學則研

2、究流體在外力作用下的運動規律，即流體的運動參數與所受力之間的關系。本章主要介紹流體運動學和流體動力學的基本知識，推導出流體動力學中的幾個重要的基本方程：連續性方程、動量方程和能量方程，這些方程是分析流體流動問題的基礎。2022-3-73第一節 描述流體運動的兩種方法 連續介質模型的引入，使我們可以把流體看作為由無數個流體質點所組成的連續介質，并且無間隙地充滿它所占據的空間。我們把流體質點運動的全部空間稱為流場。由于流體是連續介質，所以描述流體運動的各物理量(如速度、加速度等)均應是空間點的坐標和時間的連續函數。根據著眼點的不同，流體力學中研究流體的運動有兩種不同的方法，一種是拉格朗日（Lagr

3、ange）方法，另一種是歐拉（Euler）方法。 拉格朗日方法又稱隨體法，是從分析流場中個別流體質點著手來研究整個流體運動的。這種研究方法，最基本2022-3-74 的參數是流體質點的位移，在某一時刻，任一流體質點的位置可表示為： X=x (a，b，c，t) y=y (a，b，c，t) z=z (a，b，c，t) (3-1) 式中a、b、c為初始時刻任意流體質點的坐標，即不同的a、b、c代表不同的流體質點。對于某個確定的流體質點，a、b、c為常數，而t為變量，則得到流體質點的運動規律。對于某個確定的時刻，t為常數，而a、b、c為變量，得到某一時刻不同流體質點的位置分布。通常稱a、b、c為拉格朗

4、日變量，它不是空間坐標的函數，而是流體質點標號。2022-3-75 將式（3-1）對時間求一階和二階導數，可得任意流體質點的速度和加速度為： (3-2) (3-3),(tcbautxu),(tcbavtyv),(tcbawtzw),(22tcbaatxtuaxx),(22tcbaatytvayy),(22tcbaatztwazz2022-3-76 同樣，流體的密度、壓強和溫度也可寫成a、b、c、的函數，即= （a，b，c，），P=P (a，b，c，)，t=t (a，b，c，)。 歐拉法，又稱局部法，是從分析流場中每一個空間點上的流體質點的運動著手，來研究整個流體的運動的，即研究流體質點在通過某

5、一空間點時流動參數隨時間的變化規律。所以流體質點的流動是空間點坐標（x，y，z）和時間t的函數，例如：流體質點的三個速度分量、壓強和密度可表示為： u=u (x，y，z，t) v=v (x，y，z，t) （3-4） w=w (x，y，z，t)式中，u，v，w分別表示速度矢量在三個坐標軸上的分量：kwj vi uV2022-3-77 P=p (x，y，z，t) =（x，y，z，t) (3-5) 式（3-4）中，當參數x，y，z不變而改變時間t，則表示空間某固定點的速度隨時間的變化規律。當參數t不變，而改變x，y，z，則代表某一時刻，空間各點的速度分布。 x，y，z有雙重意義，一方面它代表流場的空

6、間坐標，另一方面它代表流體質點在空間的位移。根據流體連續介質假設，每一個空間點上都有流體質點所占據。而占據每一個空間點上的流體質點都有自己的速度，有速度必然產生位移。也就是說，空間坐標x，y，z也是流體質點位移的變量，它也是時間t的函數： x= x (t) y= y (t) z= z (t) (3-6)2022-3-78 式（3-6）是流體質點的運動軌跡方程，將上式對時間求導就可得流體質點沿運動軌跡的三個速度分量 （3-7） 現在用歐拉法求流體質點的加速度。由于加速度定義為在dt時刻內，流體質點流經某空間點附近運動軌跡上一段微小距離時的速度變化率，于是可按復合函數的求導法則，分別將式（3-4）

7、中三個速度分量對時間取全導數，并將式（3-7）代入，即可得流體質點在某一時刻經過某空間點時的三個加速度分量txuddtvddytwddz2022-3-79 (3-8) 用矢量 表示加速度，即 。根據矢量分析的點積公式 （3-9） 式中 是矢量微分算子。 由式（3-8）可知，用歐拉法求得的流體質點的加速度由兩部分組成；第一部分是由于某一空間點上的流體質點zwwywvxwutwazvwyvvxvutvazuwyuvxuutuazyxakajaiaazyxVVtVa)(kzjyix2022-3-710 的速度隨時間的變化而產生的，稱為當地加速度，即式（3-8）中等式右端的第一項 、 、 ；第二部分是

8、某一瞬時由于流體質點的速度隨空間點的變化稱為遷移加速度，即式（3-8）中等式右端的后三項 、 、 等；當地加速度和遷移加速度之和稱為總加速度。為了加深對當地加速度和遷移加速度的理解，現舉例說明這兩個加速度的物理意義。如圖3-1所示，不可壓縮流體流過一個中間有收縮形的變截面管道，截面2比截面1小，則截面2的速度就要比截面1的速度大。所以當流體質點從1點流到2點時，由于截面的收縮引起速度的增加，從而產生了遷移加速度，如果在某一段時間內流進管道的流體輸入量有變化（增加或減少），則管道中每一點上流體質點的速tutvtwxuuyuvzuw2022-3-711圖 3-1 中間有收縮形的變截面管道內的流動2

9、022-3-712 度將相應發生變化（增大或減少），從而產生了當地加速度。 應該注意，流體質點和空間點是兩個截然不同的概念，空間點指固定在流場中的一些點，流體質點不斷流過空間點，空間點上的速度指流體質點正好流過此空間點時的速度。用歐拉法求流體質點其他物理量的時間變化率也可以采用式(3-9)的形式，即 （3-10） 式中，括弧內可以代表描述流體運動的任一物理量，如密度、溫度、壓強，可以是標量，也可以是矢量。 稱為全導數， 稱為當地導數， 稱為遷移導數。 ) ( )() (D) D(VtttD) D(t) () ( )(V2022-3-713 由上述可知，采用歐拉法描述流體的流動，常常比采用拉格朗

10、日法優越，其原因有三。一是利用歐拉法得到的是場，便于采用場論這一數學工具來研究。二是采用歐拉法，加速度是一階導數，而拉格朗日法，加速度是二階導數，所得的運動微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數學上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。三是在工程實際中，并不關心每一質點的來龍去脈。基于上述三點原因，歐拉法在流體力學研究中廣泛被采用。當然拉格朗日法在研究爆炸現象以及計算流體力學的某些問題中還是方便的。 2022-3-714 【例例3-1】 已知用拉格朗日變量表示得速度分布為 u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0時，x=a， y=b。求（1）t=3時質點分布；（2

11、）a=2，b=2質點的運動規律；（3）質點加速度。 【解解】 根據（3-2）式得 將上式積分，得 上式中c1、c2為積分常數，它仍是拉格朗日變量的函數。 利用t=0時，x=a，y=b得c1=-2， c2=-22)2(teatx2)2(tebty12)2(cteaxt22)2(ctebyt2022-3-715 X=(a+2)et-2t-2 y=(b+2)et-2t-2 （1）將t=3代入上式 得 X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8 （2）a=2，b=2時 x=4et-2t-2 y=4et-2t-2 (3)teatu)2( tebtv)2( 2022-3-716 【例例3-2】 在任意

12、時刻，流體質點的位置是x=5t2，其跡線為雙曲線xy=25。質點速度和加速度在x和y方向的分量為多少？ 【解解】 根據式（3-7）得 由式（3-8）得ttttxu10)5(dddd2txxxttvdd12525ddddy23221010)5(125ttt10tuax430ttvay2022-3-717第二節 流體運動的一些基本概念 在討論流體運動的基本規律和基本方程之前，為了便于分析、研究問題，先介紹一些有關流體運動的基本概念。 一、定常流動和非定常流動一、定常流動和非定常流動 根據流體的流動參數是否隨時間而變化，可將流體的流動分為定常流動和非定常流動，現舉例說明如下：如圖3-2所示裝置，將閥

13、門A和B的開度調節到使水箱中的水位保持不變，則水箱和管道中任一點(如1點、2點和3點等)的流體質點的壓強和速度都不隨時間而變化，但由于1、2、3各點所處的空間位置不同，故其壓強和速度值也就各2022-3-718圖 3-2 流體的出流2022-3-719圖 3-2 流體的出流2022-3-720 不相同。這時從管道中流出的射流形狀也不隨時間而變。這種運動流體中任一點的流體質點的流動參數(壓強和速度等)均不隨時間變化，而只隨空間點位置不同而變化的流動，稱為定常流動。現將閥門A關小，則流入水箱的水量小于從閥門B流出的水量，水箱中的水位就逐漸下降，于是水箱和管道任一點流體質點的壓強和速度都逐漸減小，射

14、流的形狀也逐漸向下彎曲。這種運動流體中任一點流體質點的流動參數(壓強和速度等)隨時間而變化的流動，稱為非定常流動。由上可見，定常流動的流場中，流體質點的速度、壓強和密度等流動參數僅是空間點坐標x、y、z的函數，而與時間t無關，用表示任一流動參數（即可表示u，v，w，p，等），則 = (x，y，z) (3-11)2022-3-721 由于是定常流動，故其流動參數對時間的偏導數等于零，即 （3-12） 因此，定常流動時流體加速度可簡化成 （3-13） 由式(3-13)可知，在定常流動中只有遷移加速度。例如圖3-2中，當水箱的水位保持不變時，2點到3點流體質點的速度減小，而4點到5點速度增加，都是由

15、于截面變化而引起的遷移加速度。若遷移加速度為零，則為均勻流動，例如流體質點在等截面管道中的流動(3點到4點)。 在供水和通風系統中，只要泵和風機的轉速不變，運轉穩定，則水管和風道中的流體流動都是定常流動。又如0tVVa)(2022-3-722 火電廠中，當鍋爐和汽輪機都穩定在某一工況下運行時，主蒸汽管道和給水管道中的流體流動也都是定常流動。可見研究流體的定常流動有很大的實際意義。 二、跡線與流線二、跡線與流線 跡線是流場中某一質點運動的軌跡。例如在流動的水面上撒一片木屑，木屑隨水流漂流的途徑就是某一水點的運動軌跡，也就是跡線。流場中所有的流體質點都有自己的跡線，跡線是流體運動的一種幾何表示，可

16、以用它來直觀形象地分析流體的運動，清楚地看出質點的運動情況。跡線的研究是屬于拉格朗日法的內容，跡線表示同一流體質點在不同時刻所形成的曲線，其數學表達式為： （3-14）twzvyuxdddd2022-3-723 式(3-14)就是跡線微分方程，是自變量。 流線是某一瞬時在流場中所作的一條曲線，在這條曲線上的各流體質點的速度方向都與該曲線相切，因此流線是同一時刻，不同流體質點所組成的曲線，如圖3-3所示。 流線可以形象地給出流場的流動狀態。通過流線，可以清楚地看出某時刻流場中各點的速度方向，由流線的密集程度，也可以判定出速度的大小。流線的引入是歐拉法的研究特點。例如在流動水面上同時撤一大片木屑，

17、這時可看到這些木屑將連成若干條曲線，每一條曲線表示在同一瞬時各水點的流動方向線就是流線。 1、流線的基本特性 (1)在定常流動時，因為流場中各流體質點的速度不隨2022-3-724圖 3-3 流線的概念2022-3-725 時間變化，所以通過同一點的流線形狀始終保持不變，因此流線和跡線相重合。而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡線不相重合。 (2)通過某一空間點在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。否則在同一空間點上流體質點將同時有幾個不同的流動方向。只有在流場中速度為零或無窮大的那些點，流線可以相交，這是因為，在這些點上不會出現在同一點上存在不同流動方向的問

18、題。速度為零的點稱駐點，速度為無窮大的點稱為奇點。 (3)流線不能突然折轉，是一條光滑的連續曲線。 (4)流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。2022-3-726 2、流線微分方程 現由矢量分析法導出流線微分方程。設在某一空間點上流體質點的速度矢量 ，通過該點流線上的微元線段 。由流線的定義知，空間點上流體質點的速度與流線相切。根據矢量分析，這兩個矢量的矢量積應等于零，即 即 上式又可寫成kwjviuVkzj yi xLdddd0d d d k j i dzyx v wu LV0dd0dd0ddzuxwywzvxvyu2022-3-727 （3-15） 式

19、（3-15）就是流線的微分方程，式中時間t是個參變量。 【例例3-3】 有一流場，其流速分布規律為：u= -ky，v= kx，w=0，試求其流線方程。 【解解】 由于w=0，所以是二維流動，二維流動的流線方程微分為 將兩個分速度代入流線微分方程（3-15），得到 即 xdx+ydy=0 積分上式得到 x2+y2=c 即流線簇是以坐標原點為圓心的同心圓。),(d),(d),(dtzyxwztzyxvytzyxuxvyuxddxyyxkdkd2022-3-728 三、流管、流束和總流三、流管、流束和總流 在流場中任取一條不是流線的封閉曲線，通過曲線上各點作流線，這些流線組成一個管狀表面，稱之為流管

20、。如圖3-4所示。因為流管是由流線構成的，所以它具有流線的一切特性，流體質點不能穿過流管流入或流出(由于流線不能相交)。流管就像固體管子一樣，將流體限制在管內流動。 過流管橫截面上各點作流線，則得到充滿流管的一束流線簇，稱為流束。當流束的橫截面積趨近于零時，則流束達到它的極限流線。 在流束中與各流線相垂直的橫截面稱為有效截面。流線相互平行時，有效截面是平面。流線不平行時，有效截面是曲面，如圖3-5所示。有效截面面積為無限小的流束2022-3-729 和流管，稱為微元流束和微元流管。在每一個微元流束的有效截面上，各點的速度可認為是相同的。 無數微元流束的總和稱為總流。自然界和工程中所遇到的管流或

21、渠流都是總流。根據總流的邊界情況，可以把總流流動分為三類： （1）有壓流動 總流的全部邊界受固體邊界的約束，即流體充滿流道，如壓力水管中的流動。 （2）無壓流動 總流邊界的一部分受固體邊界約束，另一部分與氣體接觸，形成自由液面，如明渠中的流動。 （3）射流 總流的全部邊界均無固體邊界約束，如噴嘴出口的流動。 在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度稱為濕周，用符號表示。2022-3-730圖 3-4 流管和流束2022-3-731圖 3-5 有效截面2022-3-732 總流的有效截面面積與濕周之比稱為水力半徑，用符號Rh表示，即 關于濕周和水力半徑的概念在非圓截面管道和管束的水力計算中常

22、常用到。 四、流量和平均流速四、流量和平均流速 單位時間內通過有效截面的流體體積稱為體積流量，以qv表示。其單位為m3/s、m3/h等。 單位時間內通過有效截面的流體質量稱為質量流量,以qm表示，其單位為kg/s、t/h等。 由于微元流束有效截面上各點的流速V是相等的，所以通過微元流束有效截面積為的體積流量dqv和質量流量dqm分別為： dqv=VdA (3-16) dqm=VdA (3-17)ARh2022-3-733 由于流束是由無限多的微元流束組成的，所以通過流束有效截面面積為的流體體積流量和質量流量分別由式(3-16)和式(3-17)積分求得，即 (3-18) (3-19) 以上計算必

23、須先找出微元流束的速度V在整個流束有效截面上的分布規律，這在大部分工程問題中是不能用解析法來確定的。在工程計算中為了方便起見，引入平均流速的概念。平均流速是一個假想的流速，即假定在有效截面上各點都以相同的平均流速流過，這時通過該有效截面上的體積流量仍與各點以真實流速流動時所得到的體積流量相同。AVAVqdAmAVqd2022-3-734 若以表示平均流速，按其定義可得： (3-20) (3-21) 五、一維、二維和三維流動五、一維、二維和三維流動 一般的流動都是在三維空間的流動，流動參數是x、y、z三個坐標的函數，在流體力學中又稱這種流動為三維流動。當我們適當地選擇坐標或將流動作某些簡化，使其

24、流動參數在某些情況下，僅是x、y兩個坐標的函數，稱這種流動為二維流動。是一個坐標的函數的流動，稱為一維流動。 如圖3-6所示的帶錐度的圓管內黏性流體的流動，流體質點運動參數，如速度，即是半徑r的函數，又是沿軸AVAVAVqAAVddAqVV2022-3-735圖 3-6 管內流動速度分布2022-3-736 線距離的函數，即：u=u (r，x)。顯然這是二元流動問題。工程上在討論其速度分布時，常采用其每個截面的平均值u。就將流動參數如速度，簡化為僅與一個坐標有關的流動問題，這種流動就叫一維流動，即：u=u (x)。 如圖3-7所示的繞無限翼展的流動就是二維流動，二維流動的參數以速度為例，可寫成

25、： 如圖3-8所示的繞有限寬翼展的流動就是三維流動，三維流動的參數以速度為例，可寫成： 六、均勻流和非均勻流六、均勻流和非均勻流 根據流場中同一條流線各空間點上的流速是否相同，可將總流分為均勻流和非均勻流。若相同則稱為均勻流，j ),(i ),(xxvyxuVkzyxwzyxvzyxuV ),(j ),(i ),(2022-3-737圖 3-7 繞無限翼展的流動2022-3-738圖 3-8繞有限翼展的流動2022-3-739 否則稱為非均勻流。由此定義可知在均勻流中，流線是彼此平行的直線，過水斷面（有效截面）是平面。如在等直徑的直管道內的水流都是均勻流(圖3-9)。注意在均勻流中各流線上的流

26、速大小不定彼此相等在非均勻流中，流線或者是不平行的直線，或者是曲線，如圖3-10所示。一般非均勻流的過水斷面（有效截面）是曲面。非均勻流按流速的大小和方向沿流線變化的緩、急程度又可分為緩（漸）變流和急變流兩種（圖3-11）。流速的大小和方向沿流線逐漸改變的非均勻流，稱為緩（漸）變流。顯然，緩（漸）變流的流線的曲率半徑r較大，流線之間的夾角較小。因此，緩（漸）變流是一種流線幾乎平行又近似直線的流動，其極限情況就是均勻流。緩（漸）變流的有效截面可看作平面，但是緩（漸）變流各個過水斷面的形狀和大小是沿程逐漸改變的，各個過水斷面上的流速分布圖形也是沿程逐漸改變的。流速的大小和2022-3-740方向沿

27、流線急劇變化的非均勻流，稱為急變流。顯然其流線之間的夾角較大，或者流線曲率半徑較小，或者兩者兼而有之。2022-3-741圖 3-9 均勻流2022-3-742圖 3-10 非均勻流2022-3-743急變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流急變流急變流急變流急變流圖 3-11 緩變流和急變流2022-3-744第三節 流體流動的連續性方程 連續性方程是質量守恒定律在流體力學中的應用。我們認為流體是連續介質，它在流動時連續地充滿整個流場。在這個前提下，當研究流體經過流場中某一任意指定的空間封閉曲面時，可以斷定：若在某一定時間內，流出的流體質量和流入的流體質量不相等時，則這封閉曲面內一定會有流體密度

28、的變化，以便使流體仍然充滿整個封閉曲面內的空間；如果流體是不可壓縮的，則流出的流體質量必然等于流入的流體質量。上述結論可以用數學分析表達成微分方程，稱為連續性方程。2022-3-745 一、直角坐標系下連續性微分方程式一、直角坐標系下連續性微分方程式 設在流場中任取一個微元平行六面體，其邊長分別為dx、dy和dz，如圖3-12所示。 假設微元平行六面體形心的坐標為x、y、z，在某一瞬時t經過形心的流體質點沿各坐標軸的速度分量為u、v、w，流體的密度為。現討論流體經六面體各面的流動情況。 先分析x軸方向，由式(3-4)和式(3-5)可知，u和都是坐標和時間的連續函數，即u=u (x，y，z，t)

29、和 = (x，y，z，t)。根據泰勒級數展開式，略去高于一階的無窮小量，得在d時間內，沿軸方向從左邊微元面積dydz流入的流體質量為2022-3-746圖 3-12 流場中的微元平行六面體2022-3-747 同理可得在dt時間內從右邊微元面積dydz流出的流體質量為 (3-22) 上述兩者之差為在dt時間內沿x軸方向流體質量的變化，即 (3-23)tzytzyxxutzyxxddd,2d,2dtzyxtuuxttzyxtutzyxuxttzyxddd2d2dddd2d),(2d),(tzyxtuuxtddd2d2dtzyxuxtzyxxuxxudddd)(ddddd2022-3-748 同理

30、可得，在dt時間內沿y軸和z軸方向流體質量的變化分別為： 因此，在dt時間內經過微元六面體的流體質量總變化為 (3-24) 由于流體是作為連續介質來研究的，所以式(3-24)所表示的六面體內流體質量的總變化，唯一的可能是因為六面體內流體密度的變化而引起的。因此式(3-24)應和由于流體密度的變化而產生的六面體內的流體質量變化相等。 設開始瞬時流體的密度為，經過dt時間后的密度為tzyxvydddd)(tzyxwzdddd)(tzyxzwyvxuddddttttzyxd)d,(2022-3-749 則可求出在dt時間內，六面體內因密度的變化而引起的質量變化為 (3-25) 根據連續性條件，式(3

31、-24)和式(3-25)應相等，經簡化得到 (3-26) 式（3-26）為可壓縮流體非定常三維流動的連續性方程。 若流體是定常流動，則 ，上式成為 (3-27) 式（3-27）為可壓縮流體定常三維流動的連續性方程。 若流體是不可壓縮的，不論是定常或非定常流動均tzyxtzyxzyxttddddddddddd0zwyvxut0t0zwyvxu2022-3-750 為常數，故式(3-27)成為 (3-28) 式（3-28）為不可壓縮流體三維流動的連續性的方程。它的物理意義是：在同一時間內通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時間內流入的體積流量與流出的體積流量相等。 在流體力學中

32、時常討論所謂平面（二維）流動，即平行任何一個坐標平面的流動。若這種流動的流動參數（如速度、壓強）只沿x、y兩個坐標軸方向發生變化，則式（3-28）可以寫成 (3-29) 由于在推導上述連續性方程時，沒有涉及作用力的問題，所以不論是對理想流體還是實際流體都是適用的。0zwyvxu0yvxu2022-3-751 二、微元流束和總流的連續性方程二、微元流束和總流的連續性方程 在工程上和自然界中，流體流動多數都是在某些周界所限定的空間內沿某一方向流動，即一維流動的問題，所謂一維流動是指流動參數僅在一個方向上有顯著的變化，而在其它兩個方向上的變化非常微小，可忽略不計。例如在管道中流動的流體就符合這個條件

33、。在流場中取一微元流束(圖3-13)。假定流體的運動是連續的、定常的，則微元流管的形狀不隨時間而改變。又根據流管的特性，流體質點不能穿過流管表面，因此在單位時間內通過微元流管的任一有效截面的流體質量都應相等，即 1V1dA1= 2V2dA2= VdA=常數 （3-30） 式中 dA1 、dA2分別為1、2兩個有效截面的面積，m2；2022-3-752圖 3-13 流場中的微元流束2022-3-753 V1 、V2分別為dA1和dA2上的流速，也稱為真實流速，m/s； 1 、 2分別為和處的流體密度，kg/m3。 對于由無限多微元流束所組成的總流（例如流體在管道中的流動），可對式（3-30）進行

34、積分得 （3-31） 式中 A1 和A2分別為總流1和2兩個有效截面的面積，m2。 式（3-31）為一維流動積分形式總流的連續性方程。設 和 是總流兩個有效截面l和2上的平均流速，則式（3-31）可寫成 (3-32)常數AAAAVAVAVddd212221111V2V222111AVAV2022-3-754 式中1和2分別代表截面和上的平均密度，kg/m3。 式（3-32）表示當流動為可壓縮流體定常流體動時，沿流動方向的質量流量為一個常數。 對不可壓縮均質流體常數，則式（3-32）成為 (3-33) 式（3-33）為不可壓縮流體一維定常流動的總流連續性方程。該式說明一維總流在定常流動條件下，沿

35、流動方向的體積流量為一個常數，平均流速與有效截面面積成反比，即有效截面面積大的地方平均流速小，有效截面面積小的地方平均流速就大。 2211AVAV2022-3-755 【例例3-4】 假設有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規律為）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。試分析該流動是否連續。 【解解】 根據式（3-28） 所以 故此流動不連續。不滿足連續性方程的流動是不存在的 3xu4yv2zw09 zwyvxu2022-3-756 【例例3-5】 有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布規律為u=x2siny，v=2xcosy，試分析該流動是否連續。 【解解】 根據式（3-29）

36、 所以 故此流動是連續的。yxxusin2yxyvsin20)sin2(sin2yxyxyvxu2022-3-757 【例例3-6】 有一輸水管道，如圖3-14所示。水自截面1-1流向截面2-2。測得截面1-1的水流平均流速 m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，試求截面2-2處的平均流速 為多少？ 【解解】 由式（3-33）得 (m/s)2V2V22221144dVdV5 . 015 . 02222112ddVV2022-3-758圖 3-14 輸水管道2022-3-759第四節 理想流體的運動微分方程 在流動的理想流體中，取出一個微元平行六面體的微團，它的各邊長度分別為dx、dy和dz

37、，如圖3-15所示。由于是理想流體，沒有黏性，運動時不產生內摩擦力，所以作用在流體微團上的外力只有質量力和壓強。該壓強與靜壓強一樣，垂直向內，作用在流體微團的表面上。假設六面體形心的坐標為x、y、z，壓強為p。 先分析x方向的運動，在垂直于x軸的左右兩個平面中心點上的壓強各等于 由于是微元面積，所以這些壓強可以作為各表面上的2dxxpp2dxxpp2022-3-760圖 3-15 推導歐拉運動微分方程用圖2022-3-761 平均壓強。設在六面體形心上的單位質量的質量力分量為fx、fy和fz ，則作用在微元平行六面體的流體微團上的質量力在軸方向的分量為 fxdxdydz 又流體微團的加速度在x

38、軸上的投影為 ，則根據牛頓第二定律得x軸方向的運動微分方程 將上式各項除以流體微團的流體質量dxdydz，化簡后得： 同理 (3-34)DtDuDtDuzyxzyxxppzyxxppzyxfxddddd2ddd2ddddDtDuxpfx1DtDvypfy1DtDwzpfz12022-3-762 這就是理想流體的運動微分方程，早在1755年就為。對于靜止的流體u=v=w=0，則由式（3-34）可以直接得出流體平衡微分方程，即歐拉平衡微分方程式（2-3）。因此歐拉平衡微分方程只是歐拉運動微分方程的一個特例。如果把加速度寫成展開式，可將歐拉運動微分方程寫成如下形式 (3-35)zwwywvxwutw

39、zpfzvwyvvxvutvypfzuwyuvxuutuxpfzyx1112022-3-763 在一般情況下，作用在流體上的質量力fx、fy和fz 是已知的，對理想不可壓縮流體其密度為一常數。在這種情況下，式（3-35）中有四個未知數u、v、w和p，而式（3-35）中有三個方程，再加上不可壓縮流體的連續性方程（3-28），就從理論上提供了求解這四個未知數的可能性。2022-3-764 第五節 理想流體微元流束的伯努利方程 一、理想流體微元流束的伯努利方程一、理想流體微元流束的伯努利方程 理想流體的運動微分方程（3-35）只有在少數特殊情況下才能求解。在下列幾個假定條件下： (1)不可壓縮理想流

40、體的定常流動； (2)沿同一微元流束（也就是沿流線）積分； (3)質量力只有重力。 即可求得理想流體微元流束的伯努利方程。 假定流體是定常流動，則有 ，0t0zwyvxu2022-3-765 因此式(3-35)可寫成 (3-36) 假如流體微團沿流線的微小位移ds在三個坐標軸上的投影為dx、dy和dz。現用dx、dy和dz分別乘以式（3-36）的第一式、第二式和第三式，則可得到zwwywvxwuzpfzvwyvvxvuypfzuwyuvxuuxpfzyx1112022-3-766 (3-37) 由流線微分方程（3-15）有 udy=vdx ydz=wdy (3-38) wdx=udz 將式（3

41、-38）代入式（3-37）中的對應項，則得zzwwzywvzxwuzzpzfyzvwyyvvyxvuyypyfxzuwxyuvxxuuxxpxfzyxdddd1ddddd1ddddd1d2022-3-767 (3-39) 將式（3-39）的三個方程相加，得到 (3-40) 由于式（3-40）中的dx、dy和dz是流體微團沿流線微小位移ds的三個分量，所以要沿流線（或微元流束）進行積分。wwzzwwyywwxxwwzzpzfvvzzvvyyvvxxvvyypyfuuzzuuyyuuxxuuxxpxfzyxddddd1dddddd1dddddd1dwwvvuuzzpyypxxpzfyfxfzyxd

42、ddddd1)ddd(2022-3-768 式（3-40)中的 假設質量力只有重力，fx=0，fy=0，fz=-g，即z軸垂直向上，oxy為水平面。則式(3-40)可寫成 又假設為不可壓縮均質流體，即=常數，積分后得 或 (3-41) 式（3-41）稱為理想流體微元流束的伯努利方程。方程右邊的常數對不同的流線有不同的值。該方程的適用范圍pzzpyypxxpdddd2222d21)(d21dddVwvuwwvvuu0d21d1d2Vpzg常數22Vpgz常數gVgpz222022-3-769 是：理想不可壓縮均質流體在重力作用下作定常流動，并沿同一流線（或微元流束）。若1、2為同一條流線（或微元

43、流束）上的任意兩點，則式（3-41）也可寫成 (3-42) 在特殊情況下，絕對靜止流體V=0，由式(3-41)可以得到靜力學基本方程 二、方程的物理意義和幾何意義二、方程的物理意義和幾何意義 為了進一步理解理想流體微元流束的伯努利方程，現來敘述該方程的物理意義和幾何意義。 1、物理意義 理想流體微元流束的伯努利方程式（3-41）中，左端gVgpzgVgpz2222222111常數gpz2022-3-770 前兩項的物理意義，在靜力學中已有闡述，即第一項z表示單位重量流體所具有的位勢能；第二項p/(g)表示單位重量流體的壓強勢能；第三項V2/(2g)理解如下：由物理學可知，質量為m的物體以速度V

44、運動時，所具有的動能為Mv2/2，則單位重量流體所具有的動能為V2/(2g)即(mV2/2)/(mg)= V2/(2g) 。所以該項的物理意義為單位重量流體具有的動能。位勢能、壓強勢能和動能之和稱為機械能。因此，伯努利方程可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線（或微元流束）上各點的單位重量流體所具有的位勢能、壓強勢能和動能之和保持不變，即機械能是一常數，但位勢能、壓強勢能和動能三種能量之間可以相互轉換，所以伯努利方程是能量守恒定律在流體力學中的一種特殊表現形式。2022-3-771 2、幾何意義圖 理想流體微元流束的伯努利方程式（3-41）中，左端前兩項的幾何意義，同樣

45、在靜力學中已有闡述，即第一項z表示單位重量流體的位置水頭，第二項p/(g)表示單位重量流體的壓強水頭，第三項V2/(2g)與前兩項一樣也具有長度的量綱。它表示所研究流體由于具有速度V，在無阻力的情況下，單位重量流體所能垂直上升的最大高度，稱之為速度水頭。位置水頭、壓強水頭和速度水頭之和稱為總水頭。由于它們都表示某一高度，所以可用幾何圖形表示它們之間的關系，如圖3-16所示。 因此伯努利方程也可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線(或微元流束)上各點的單位重量流體所具有的位置水頭、壓強水頭和速度水頭之和保持不變，即總水頭是一常數。2022-3-772圖 3-16 總水頭線

46、和靜水頭線2022-3-773第六節 伯努利（Bernoulli）方程的應用 理想流體微元流束的伯努利方程，在工程中廣泛應用于管道中流體的流速、流量的測量和計算，下面以應用最廣泛的皮托管和文特里流量計為例，介紹它們的測量原理和伯努利方程的應用。 一、皮托管一、皮托管 在工程實際中，常常需要來測量某管道中流體流速的大小，然后求出管道的平均流速，從而得到管道中的流量，要測量管道中流體的速度，可采用皮托管來進行，其測量原理如圖3-17所示。 在液體管道的某一截面處裝有一個測壓管和一根兩端2022-3-774VBAZZ圖 3-17 皮托管測速原理2022-3-775 開口彎成直角的玻璃管（稱為測速管）

47、。將測速管（又稱皮托管）的一端正對著來流方向，另一端垂直向上，這時測速管中上升的液柱比測壓管內的液柱高h。這是由于當液流流到測速管入口前的A點處，液流受到阻擋，流速變為零，則在測速管入口形成一個駐點A。駐點A的壓強PA稱為全壓，在入口前同一水平流線未受擾動處（例如B點）的液體壓強為 PB，速度為V。應用伯努利方程于同一流線上的、兩點，則有 則 (3-43) 022gpzgVgpzABgVgpgphBA22ghppvBA222022-3-776 式（3-43）表明，只要測量出流體的運動全壓和靜壓水頭的差值h，就可以確定流體的流動速度。由于流體的特性，以及皮托管本身對流動的干擾，實際流速比用式(3

48、-43)計算出的要小，因此，實際流速為 (3-44) 式中 流速修正系數，一般由實驗確定， =0.97。 如果測定氣體的流速，則無法直接用皮托管和靜壓管測量出氣柱差來，必須把兩根管子連接到一個形差壓計上，從差壓計上的液面差來求得流速，如圖3-18所示，則 用式(3-43)，則得 （3-45）ghV2)(液液ghppBA122液液液液ghhgV2022-3-777圖 3-18 用皮托管和靜壓管測量氣體流速2022-3-778 考慮到實際情況， (3-45a) 在工程應用中多將靜壓管和皮托管組合成一件，稱為皮托靜壓管，又稱動壓管，習慣上常簡稱它為皮托管，其示意圖如圖3-19所示。圖中1點為總壓測點

49、，2點為靜壓測點，將總靜壓孔的通路分別連接于差壓計的兩端，則差壓計的指示為總壓和靜壓的差值，從而可由式(3-43)求得測點的流速。皮托-靜壓管的構造尺寸及使用時的連接方式如圖3-20所示。12液液ghV2022-3-779圖 3-19 皮托-靜壓管2022-3-780圖 3-20 皮托-靜壓管構造及連接方式2022-3-781 二、文特里二、文特里(Venturi)流量計流量計 文特里流量計主要用于管道中流體的流量測量，主要是由收縮段、喉部和擴散段三部分組成，如圖3-21所示。它是利用收縮段，造成一定的壓強差，在收縮段前和喉部用形管差壓計測量出壓強差，從而求出管道中流體的體積流量。 以文特里管

50、的水平軸線所在水平面作為基準面。列截面1-1，2-2的伯努利方程 (3-46) 由一維流動連續性方程 (3-47)gVgpgVgp20202222112121VAAV 2022-3-782圖 3-21 文特里流量計原理圖2022-3-783 將式(3-47)代入到式(3-46)，整理得 (3-48) 由流體靜力學 (3-49) 將式(3-49)代入到式(3-48)，則 (3-50) 式(3-50)表明，若液， ，A2，A1已知，只要測量出h液，就可以確定流體的速度。流量為： (3-51)/(1 )(2212212AAppV液液ghpp)(21)/(1 )(22122AAhgV液液)/(1 )(

51、242122222AAhgdVAqV液液2022-3-784 考慮到實際情況 (3-52) 式中Cd為流量系數，通過實驗測定。 文特里流量計是節流裝置中的一種，除此之外還有孔板，噴嘴等，其基本原理與文特里流量計基本相同，不再敘述。 三、伯努利方程應用時特別注意的幾個問題三、伯努利方程應用時特別注意的幾個問題 伯努利方程是流體力學的基本方程之一，與連續性方程和流體靜力學方程聯立，可以全面地解決一維流動的流速(或流量)和壓強的計算問題，用這些方程求解一維流動問題時，應注意下面幾點： (1) 弄清題意，看清已知什么，求解什么，是簡單的流)/(1 )(2421222AAhgdCqCqdVdV液液實20

52、22-3-785 動問題，還是既有流動問題又有流體靜力學問題。 (2) 選好有效截面，選擇合適的有效截面，應包括問題中所求的參數，同時使已知參數盡可能多。通常對于從大容器流出，流入大氣或者從一個大容器流入另一個大容器，有效截面通常選在大容器的自由液面或者大氣出口截面，因為該有效截面的壓強為大氣壓強，對于大容器自由液面，速度可以視為零來處理。 (3) 選好基準面，基準面原則上可以選在任何位置，但選擇得當，可使解題大大簡化，通常選在管軸線的水平面或自由液面，要注意的是，基準面必須選為水平面。 (4) 求解流量時，一般要結合一維流動的連續性方程求解。伯努利方程的p1和p2應為同一度量單位，同為絕對壓

53、強或者同為相對壓強，p1和p2的問題與靜力學中的處理完2022-3-786 全相同。 (5) 有效截面上的參數，如速度、位置高度和壓強應為同一點的，絕對不許在式中取有效截面上點的壓強，又取同一有效截面上另一點的速度。 【例例3-7】 有一貯水裝置如圖3-22所示，貯水池足夠大，當閥門關閉時，壓強計讀數為2.8個大氣壓強。而當將閥門全開，水從管中流出時，壓強計讀數是0.6個大氣壓強，試求當水管直徑d=12cm時，通過出口的體積流量(不計流動損失)。 【解解】 當閥門全開時列1-l、2-2截面的伯努利方程 當閥門關閉時，根據壓強計的讀數，應用流體靜力學基本gVgppgpHaaa26 . 00022

54、2022-3-787 方程求出值 則 代入到上式 （m/s） 所以管內流量 （m3/s）aaappgHp8 . 2O)(mH289806980608 . 28 . 22gpHa78.209806980606 . 08 . 2806. 926 . 022gpHgVa235. 078.2012. 0785. 04222VdqV2022-3-788圖 3-222022-3-789 【例例3-8】 水流通過如圖3-23所示管路流入大氣，已知：形測壓管中水銀柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O，管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑d2=0.05m，不計管中水頭損失，試求管中流量qv。 【解解】 首先

55、計算1-1斷面管路中心的壓強。因為A-B為等壓面，列等壓面方程得： 則 (mH2O) 列1-1和2-2斷面的伯努利方程11Hgghphg1Hg1ghhgp272. 02 . 06 .131Hg1hhgpgVgpzgVgpz22222221112022-3-790 由連續性方程： 將已知數據代入上式，得 （m/s） 管中流量 （m3/s）21221ddVVgVgV2015216122022221 .12151676 .192V024. 01 .1205. 0442222VdqV2022-3-791圖 3-232022-3-792第七節 定常流動的動量方程和動量矩方程 在許多工程實際問題中，可以不

56、必考慮流體內部的詳細流動過程，而只需求解流體邊界上流體與固體的相互作用，這時常常應用動量定理直接求解顯得十分方便。例如求彎管中流動的流體對彎管的作用力，以及計算射流沖擊力等。由于不需要了解流體內部的流動型式，所以不論對理想流體還是實際流體，可壓縮流體還是不可壓縮流體，動量定理都能適用。 一、定常流動的動量方程一、定常流動的動量方程 將質點系動量定理應用于流體系統的運動，可以導出流體運動的動量方程。根據動量定理，流體系統動量的時2022-3-793 間變化率等于作用在系統上的外力矢量和，即 設不可壓縮流體在管中作定常流動，如圖3-24所示。取有效截面1-1和2-2之間的流段作為研究對象，兩截面上

57、的平均流速分別和，流段在質量力、兩截面上的壓強和管壁的作用力的作用下，經過dt時間后從位置1-2流到1-2。與此同時，流段的動量發生了變化，其變化等于流段在1-2和1-2位置時的動量之差。由于定常流動中流管內各空間點的流速不隨時間變化，因此1-2這部分流體（圖中陰影部分）的動量沒有改變。于是在dt時間內流段的動量變化就等于2- 2段的動量和1- 1段的動量之差。 (3-53)tVmVmF1212dd)(dVtqVtqVmVV2022-3-794圖 3-24 推導動量方程用圖2022-3-795 由于按平均流速計算得到的動量變化量和以實際流速計算的動量變化量是不同的，故引入一個動量修正系數加以修

58、正。根據實驗測定值約為1.021.05，近似于l，所以為計算方便，在工程計算中通常取 1。于是上式可改寫成 (3-54) 根據不可壓流體一維流動總流的連續性方程，流過截面1-1的流量和流過截面2-2的流量相等，即 或 （3-55） 方程(3-55)就是不可壓縮流體定常流動的動量方程 111222dd)( dVtqVtqVmVVVVVqqq21tFVmVVtqVd)(d)(d1122FVVqV)(11222022-3-796 把上式寫成分量形式為 (3-56) 管流的定常動量方程常用于求解作用在管道上的動水反力等問題。由式(3-56)可知，在定常流動中，可以有某一段流體進、出口的流速變化，而不需

59、要知道這一流段的內部情況，就可以求出流體所受外力的合力，即管壁對流體的作用力，從而求出流體對管壁的作用力。由于動量方程是一個矢量方程，所以應用投影方程比較方便。應用時應注意，適當地選擇控制面，完整地表達出控制體和控制面上的外力，并注意流動方向和投影的正負等。zVyVxVFwwqFvvqFuuq)()()(1122112211222022-3-797 二、動量方程應用舉例二、動量方程應用舉例 【例例3-9】 水平放置在混凝土支座上的變直徑彎管，彎管兩端與等直徑管相連接處的斷面1-1上壓力表讀數p1=17.6104Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直徑d1=300，d2=200，轉角=600，

60、如圖3-25所示。求水對彎管作用力F的大小 【解解】 水流經彎管，動量發生變化，必然產生作用力F。而F與管壁對水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，將R分解成Rx和Ry兩個分力。 取管道進、出兩個截面和管內壁為控制面，如圖所示，坐標按圖示方向設置。 1.根據連續性方程可求得： 2022-3-798圖 3-252022-3-799 (m/s) (m/s) 2.列管道進、出口的伯努利方程 則得： (Pa)42. 13 . 041 . 042211dqvV18. 32 . 041 . 042222dqvVgvgpgvgp222222112/ )(222112vvpp2/ )18. 342.