1、*它是一個函數,f(x)例1.已知函數分段函數常見題型及解法分段函數是指自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內，有不同的對應法則的函數,非幾個函數；它的定義域是各段函數定義域的并集，其值域也是各段函數值域的并集與分段函數有關的類型題的求解，在教材中只出現了由分段函數作出其圖象的題型，并未作深入說明,因此，對于分段函數類型的求解不少同學感到困難較多，現舉例說明其求解方法.1 .求分段函數的定義域和值域2x 2 x 1,0; f(x) 1x x (0,2);例1.求函數3 x 2,"的定義域、值域.解析：作圖，利用“數形結合”易知 f(x)的定義域為1)，值域為(-1, 2U 3.(A &g

2、t;0)劃=4 3例2.求函數(彳二 口)的值域.解析：因為當xno時，x2+1>l；當x<0時，-x2<0.所以，原函數的值域是2 .求分段函數的函數值|x 1| 2,(|x| 1)11 x2,(|x| 1)求 ffG)解析：因為f(2) 11 1| 23 HF)凡所以f( 1)1 ( 1)2413.或)依1圈】X例2.已知函數L -(/ < 0),(。工"D，(,求 f聯a) (a<0)的值.分析：求此函數值關鍵是由內到外逐一求值,即由a<0, f(a)=2a ,又 0<2a<1,7(V3) = 10gl = -7VU D3 &qu

3、ot; ，所以，注：求分段函數值的關鍵是根據自變量的取值代入相應的函數段.g(x)練1.設ex, x 0.lnx,x 0.則1以町)(x 2).則 ff(2)f(x)練2.設x 12e (x 2),.2log 3(x 1)3 .求分段函數的最值4x 3 (x 0)f(x) x 3 (0 x 1)fmax(x)f(1) 4當x 1時,例1.求函數x 5 (x 1)的最大值.解析：當x 。時，fmax(x)f3,當0 x 1時4,綜上有fmax (x)例2.設a為實數，函數f(x)=x 2+|x-a|+1,x £ R,求f(x)的最小值 分析：因為原函數可化為/十二一口十1所以，只要分別

4、求出其最小值，再取兩者較小者即可鏟 * 葉：f 2解：當x<a時，函數f(x)=x2-x+a+1 乙3十厘十一4a < -所以若 2 ,則函數f(x)在(-8,a止單調遞減，從而f(x)在(-8,a止的最小值為f(a)=a2+1.-2 ,則函數f(x)在(-°0,a止的最小值為一3十口4 ，且/ (a) =+ x- a-l = (x + )J當x>a時，函數20 + 4; 3八一 0 =ja八一三”2 4，且 2a若 2 ,則函數f(x)在a,+的最小值為f(a)=a2+1.綜上，當 2時，函數f(x)的最小值是4當 22時，函數f(x)的最小值是a ,則函數f(x

5、)在a,+ 8t的最小值為+1 ；、1 3 a > a 當 2時，函數造)的最小值是4.注：分段函數最值求解方法是先分別求出各段函數的最值，再進行大小比較，從而達到求解的目的4 .求分段函數的解析式例1.在同一平面直角坐標系中，函數y f(x)和y g(x)的圖象關于直線y x對稱，現將 y g(x)的圖象沿x軸向左平移2個單位，再沿y軸向上平移1個單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折線(如圖所示)則函數f(x) 的表達式為()A. f(x)2x 2 ( 1 x 0) 2x 2(0 x 2)B. f(x)2x 2x 22 2(1x0)(0 x 2)C. f(x)2x 2 (1 x 2)2

6、 1(2 x 4)D. f(x)2x 6 (1 x 2)2 3(2 x 4)解析：當x 2，0時,y 2x 1將其圖象沿x軸向右平移2個單位，再與&y軸向下平移1個單位，得解析式為y 12(x 2) 1 11x 1,所以 f(x) 2x 2 (x 1,0)當 x 0,1時,y 2x 1將其圖象沿x軸向右平移2個單位,再沿y軸向下平移1個單位，得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4 所以 f(x) x 2 (x 0,2)綜上可得f(x)2x 2 ( 1 x 0)(0x 2)故選A.2月1日起的300天內，西紅柿售價與上市時例2.某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從間的關系用圖

7、1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖2的拋物線段表示:(I)寫出圖l表示的市場售價與時間的函數關系式P=f(t),寫出圖2表示的種植成本與上市時間的函數關系式Q=g(t) ; (II)認定市面上售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？解析:(I)由圖l可得市場售價與時間的關系為(0< 200)(200 <2 £30。)由圖2可得種植成本與時間的函數關系為13上 UU(0<t<30 0(II)設t時間的純收益為 h(t),由題意得?+ (。工 E 420022_L產 二”丹里£3。0)一h(t)=f(t)-g(t)20

8、022再求h(t)的最大值即可。注：觀察圖1,知f(t)應是一個關于t的一次分段函數，觀察圖 2可知g(t)是關于t的二次函數，可設 為頂點式，即設 g(t)=a(t-150) 2+100。5 .作分段函數的圖像11nxi例i.函數ye |x 11的圖像大致是()D例2.已知函數f(x)=|x2-2x-3的圖象與直線 解：f(x)=|(x-1) 2-4|=|(x+1)(x-3)|,y=a有且僅有3個交點，求a的值.所以(工 > 3)由圖象易知a=4.注：此題可以根據函數圖像的對稱性直接畫出函數圖像，再根據數形結合的方法求出，不用寫出函數 解析式，更簡單.例3.已知函數f(x)=|x2-2

9、x-3的圖象與直線y=a有且僅有3個交點，求a的值.解：f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,由圖象易知a=4.(TK 3),S >3).注：此題可以根據函數圖像的對稱性直接畫出函數圖像，再根據數形結合的方法求出，不用寫出函數 解析式，更簡單.6 .求分段函數得反函數例1.求函數”0)(天)°)的反函數.解：: f(x)在R上是單調減函數,1. f(x)在R上有反函數.y=x2+1(x w 0兩反函數是 y - 一J' 一1 (x > 1),y=1-x(x>0)的反函數是 y=1-x(x<1),函數f(x)的反函數是gl),5 &l

10、t; 1).注：求分段函數的反函數只要分別求出其反函數即可例2.已知y f(x)是定義在R上的奇函數且當 x 0時，f(x)3x 1設f(x)得反函數為y g(x), 求g(x)的表達式.解析：設xx0,則 x 0,所以 f( x) 31又因為f(x)是定義在R上的奇函數所以f( x)f(x),且 f(0)0,所以 f(x) 1 3因此3x1(x0)f(x)0(x0)g(x)13 x(x0),從而可得例 3.已知 f(x) l0g3(x + 1)(x>6)3x-6(x<6)log3(x 1) (x 0)0(x 0)log3(1 x) (x 0),若記f 1(x)為f (x)的反函數

11、，且1 1(9),f(a 4)7 .判斷分段函數的奇偶性f (x)例1.判斷函數2 ,/、，x (x 1) (x2x (x 1)(x0)0)的奇偶性.解析：當x 0時,f( 0)f(0) 0,當 x 0意 x R都有 f ( x) f(x),所以f (x)為偶函數.22 ,x 0, f( x) ( x) ( x 1) x (x 1) f(x),當 x 0時注：分段函數奇偶性必須對8.判斷分段函數的單調性x值分類，從而比較f(-x)與f(x)的關系，得出f(x)是否是奇偶函數結論3xf (x)2例1.判斷函數x解一：x (x 0)(x 0)的單調性.分析：由于xCR,所以對于設x1>x2必

12、須分成三類:1.當 x>x2>0 時，貝U f(x1)-f(x 2)=+1 (勺 +1) =(x1-x2)(x1+x2)>0 ；2.當0”1>x2時，則八a-7區)=-1；-(-君)=工廠硝區f)o；3.當x1>0>x2時,則以川-區)=工： C$l>0 一綜上所述：xCR,且 x1>x2 時,有 f(x 1)-f(x 2)>0。所以函數f(x)是增函數.注：分段函數的單調性的討論必須對自變量的值分類討論'2解二：顯然f(x)連續.當x 0時，f (x) 3x 1 1恒成立,所以f(x)是單調遞增函數，當x 0 時，f(x) 2x

13、0 恒成立，f(x)也是單調遞增函數，所以f(x)在R上是單調遞增函數；或畫圖易知f(x)在R上是單調遞增函數.例2.寫出函數f(x) |1 2x| |2x|的單調減區間.解析:f(x)3x 1 (x3 x (3x1 (x2)2 x2)2),畫圖知單調減區間為9.解分段函數的方程例1.設函數解析：若21x 814,解得例2.設函數解析：若21x 814,解得f(x)f(x)log81 x(1,)log81 x，則2 x3 (1,)練1:函數f(x)=A.a<0(1,1) 升f (x) ,則滿足方程2,得x 2 (,1,所以所以x 3即為所求.x的值為(舍去)，若log81x1”,則(,1

14、(1,) ,則滿足方程f(x)2,得x 2 (，1,所以所以x 3即為所求.,1 x2(|x| 1) |x|(|x| 1)B.0<a<1,如果方程f(x)=a有且只有C.a=14的x的值為x 2 (舍去)，若 10g81 x個實根，那么a滿足D.a>1f (x)練2:設定義為R的函數lg x 1 , x 1,0,x 0.則關于x的方程f2(x)bf (x) c 0有7個不同的實數解的充要條件是()A. b 0 且 C 0 b. b 0且 C 0C. b 0且 C 0 d. b 0且 c 0練3:設函數f (x)在()上滿足 f(2 x) f(2 x), f(7 x)f(7 x

15、),且在閉區間0,7上，只有 f f(3) 0.(I)試判斷函數y f(x)的奇偶性;(n)試求方程f (x)0在閉區間10.解分段函數的不等式2005,2005上的根的個數，并證明你的結論f(x)設函數2 x1x21 (x(x0)0),若f(x0) 1,則x0得取值范圍是()A.( 1,1) C.(, D.(,b.( 1,2) (0,1) (1,解一首先畫出f(x)和f(%) 1時,所對應的x0的取值范圍是的大致圖像，,1)(1,解二:因為f (x0)1 ,當 x00時，2x011,解得 x01 ,當 x00時,1 x021,解得x01,綜上x0的取值范圍是,1)(1,) .故選D.C.例2

16、:解析:f(x) 1f(x)設函數2 0,102 1,10當x 1時,(xf(x)0 x 10,故選A項.1)2.x 1(x(xB.D.1 (x1)1),22,01)21則使得f(x)0,11,1010,所以11的自變量x的取值范圍為0,所以x2或0 xx 10,綜上所述，x當x 1時,f (x)例3:設函數(x 1)2 (x 1)則使得f(x) 1的自變量x的取值范圍為(4,x 1 (x 1)A. (,2 0,10B. (, 2 0,1C. (, 2 1,10D. 2,01,102,解析：當 x 1 時，f(x) 1 (x 1)1x2或x 0,所以x2或0 x 1,當x 1時,x 10所以1 x 10,綜上所述,f(x)練1 :已知1 (x 0)0 x 10,故選A項.1 (x 0),則不等式 x (x 2)f(x 2) 5的解集是練 2:設 f(x)=x 12e , x10g 3(x22,1),x 2,則不等式f(x)>2的解集為(A) (1, 2)(3, +8)(B) (。10 , +oo)(C) (1, 2)(T10 , +oo)(D) (1, 2)1 (以；有理數)練