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文檔簡介

1、Vol.53No.2Mar.2014廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)JournalofXiamenUniversity(NaturalScience)doi:lO.6O43/j.issn.O438-O479.2O14.O2.OO5非參數(shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的約束剖面加權(quán)最小二乘估計(jì)解其昌*,賴紹永(1.山東工商學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)院,山東煙臺(tái)264005;2.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)學(xué)院.四川成都611130)摘要:對(duì)異方差非參數(shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的估計(jì)進(jìn)行了研究.采用約束剖面加權(quán)最小二乘法,給出了估計(jì)量的閉表達(dá)式并且證明了固定效應(yīng)參數(shù)和非參數(shù)函數(shù)估計(jì)具有漸近正志分布性質(zhì).進(jìn)一步.得到了固定效應(yīng)參數(shù)和非參數(shù)函數(shù)

2、估計(jì)的收斂率.關(guān)鍵詞:面板數(shù)據(jù);固定效應(yīng);局部近似;非參數(shù)回歸;剖面加權(quán)最小二乘法中圖分類號(hào):O212.7»F224.0文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號(hào):0438-0479(2014)02-0171-051預(yù)備知識(shí)面板數(shù)據(jù)或縱向數(shù)據(jù)描述了跨越時(shí)間的個(gè)體信息,它包含截面和時(shí)間兩個(gè)方向維度.對(duì)比單純的時(shí)間序列數(shù)據(jù)或橫截面數(shù)據(jù)來說,面板的雙重維度不僅使其包含了每個(gè)個(gè)體更多的內(nèi)容,而且有助于研究者發(fā)展更復(fù)雜的模型分析技術(shù).隨著面板數(shù)據(jù)可獲得性的增長,面板數(shù)據(jù)的理論和應(yīng)用研究變得越來越流行.關(guān)于參數(shù)面板數(shù)據(jù)模型的統(tǒng)計(jì)推斷和計(jì)最分析,Hsia。和Baltagi給出了詳細(xì)的介紹和全面的回顧.參數(shù)面板模型能夠

3、簡明和清晰地描述出變量間的相互關(guān)系.然而,該類模型的最大缺陷就是需要很強(qiáng)的假設(shè)條件并且很容易產(chǎn)生模型錯(cuò)誤設(shè)定的風(fēng)險(xiǎn).如何彌補(bǔ)參數(shù)模型的這些不足,一個(gè)有效的備選方法就是引入非參數(shù)或半?yún)?shù)建模思想.本文就是基于這種思想,考慮下述非參數(shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型:ya=aj+gf)=】,;,=1,JV8,(1)這里是反應(yīng)變髭,S定義成固定效應(yīng)參數(shù),g()為一個(gè)未知光滑函數(shù)門是外生協(xié)變量以及為隨機(jī)誤收»a»,2013-07-04基金項(xiàng)目:教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(109140);山東工商學(xué)院博士啟動(dòng)基金(521014306203)通值作#:qichangx差.為了模型的可識(shí)別性,需要史

4、們=0.此外,假設(shè)隨i-1機(jī)誤差氣滿足£<,)=0和var()=時(shí)=1,/.相比參數(shù)面板數(shù)據(jù)模型,非參數(shù)和半?yún)?shù)面板模型的研究還非常滯后.采用基于局部多項(xiàng)式近似的廣義估計(jì)方程技術(shù),Lin等檢驗(yàn)了非參數(shù)平行面板數(shù)據(jù)模型的漸近性質(zhì),但是他們沒有給出估計(jì)量的收斂速度.Baltagi等研究了隨機(jī)誤差服從獨(dú)立同分布的半?yún)?shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的估計(jì),卻沒有考慮誤差分布的異方差性.Su等使用剖面似然法分析帶有固定效應(yīng)的半?yún)?shù)面板模型,推導(dǎo)出了非參函數(shù)的漸近正態(tài)性,而并沒有得到固定效應(yīng)的分布理論.通過一階差分方法,Henderson等獲得了固定效應(yīng)非參數(shù)面板數(shù)據(jù)模型估計(jì)的收斂率,但是由于計(jì)算

5、程序復(fù)雜,沒有建立估計(jì)最的漸近正態(tài)分布性質(zhì).Qian等運(yùn)用邊際積分技術(shù),討論了半?yún)?shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的估計(jì),然而該方法運(yùn)算復(fù)雜且消耗時(shí)間.此外,文獻(xiàn)也都對(duì)非參數(shù)面板模型進(jìn)行了深入研究,但都沒有考慮異質(zhì)信息或個(gè)體效應(yīng)影響.本文檢驗(yàn)異方差非參數(shù)固定效應(yīng)面板模型的一致估計(jì).不同于傳統(tǒng)的一階差分方法,我們給出了使用約束剖面加權(quán)最小二乘技術(shù)估計(jì)該模型的詳細(xì)步驟.該方法的主要優(yōu)點(diǎn)就是計(jì)算簡便以及容易實(shí)現(xiàn).通過構(gòu)造虛擬變蜃和引入局部線性近似的方法,不僅得到了模型中固定效應(yīng)參數(shù)和非參數(shù)函數(shù)估計(jì)的表達(dá)式并且還推導(dǎo)出了估計(jì)最的漸近正態(tài)分布性質(zhì).同時(shí),證明了參數(shù)和非參數(shù)估計(jì)最能夠?qū)崿F(xiàn)相應(yīng)的參數(shù)和非參數(shù)收斂率.2

6、模型估計(jì)若令勺是第,個(gè)元素等于1,其余元素是o的JXI維矩陣且記xtl=孔,=e,=(xtI,,x.j)丁、y,=(W,,w)丁、礦(g(4),g(偵)丁及6,=(5,*)T,則方程(1)可以用矩陣重新寫為y=xa+g+e,(2)這里y=(片,y!)T,x=(x?,,y尸=(gj,g!)T,£=(£?,£?)t以及a=(a】,aj),在表達(dá)式(1)中,變量*并不存在,它是以虛擬變量的形式被添加到方程(2)中,且其元素只有。和1.因?yàn)間()是一個(gè)未知的光滑函數(shù),所以應(yīng)用Taylor展開式來近似,即對(duì)門臨域內(nèi)的任意一點(diǎn)t有:g(如)Qg(Z)+g'(£

7、;)(1£)=(£)+£),其中t(£)=g(£)和3(t)=g'(Q.進(jìn)一步,定義K()為一個(gè)核函數(shù)并且記W,(Q=diag(b】2K/,(*£),方2K.(t訂一£),其中Ka()=U'K(/i和九是窗寬參數(shù).讓如(=(£“以及令r=(】,1)丁表示元素均為1的JX】維矩陣.如果a已經(jīng)被確定,那么Y(t)=(a(t),hb(t)T可以通過局部線性最小二乘來估計(jì),即y(i)=(<2(z)»A6(Z)t=argmin(j*一my(Q)TW,(y一D,Y(Q),(3)這里y*=yxaD

8、,=(i,f(t)以及W,=diag(Wi(t),w”(£).從式(3),解得Y(t)=D;叱仇廣。?W,y-.(4)通常a是未知的,因此由式(4)給出的歹(£)不能被直接計(jì)算.下面考慮固定效應(yīng)a的估計(jì).根據(jù)方程(4),知g的估計(jì)能夠表示為fl,0沁”*g=:=口,0沁“).京京WIU':y9.(5).1,0嘰W頃。,時(shí)尸1>京W”.顯然,若令s(O=0,l(D;比仇廣如W,和S=($丁(小),$t(M)L則式(5)可以簡化為j?=S(yxa).(6)將f代入到表達(dá)式(2)中,有(IS)y=(IS)xa+e,其中I為nJXnJ的單位矩陣.接下來,使1=(1,,

9、1),是元素均為1的JX1維矩陣.因?yàn)殡S機(jī)誤差土服從異方差分布,所以傳統(tǒng)的同方差回歸技術(shù)不能被應(yīng)用.因此,提出使用約束剖面加權(quán)最小二乘法來估計(jì)參數(shù)a.具體來說,固定效應(yīng)a的約束剖面加權(quán)最小二乘估計(jì)為:ar=argmin也(aq)=argmin(/S)y(IS)xa)TH1(IS)y一(f-S)xa)+2AiTa,(7)這里f2=diag(n),q”)和m="=O”=diag(。,/;)以及人是拉格朗日乘子.由目標(biāo)函數(shù)2(aU)的一階條件物(。,義)/西=0,推導(dǎo)出xTa-S)rnla-S)xa4-AiT-xT(/-S)TX2-S)y=0.(8)不言而喻,。的估計(jì)值為表達(dá)式(8)與方程

10、iTa=0的解.如果令和A是方程(8)和iTa=0的根,那么ar=xT(/S)TD,(f-s)xp'xT(/-s)ln-*(i-s)j-xt(/-S)tjQ-,(I-S)x-1Ai.(9)進(jìn)一步,把式(9)代入到"a=0中,得A=<iTCxT(I-S)TI2(l-S)x_1i.丁|>丁(1-S)TT(I一S)xmS)TOT(I-S)y,(10)然后,再將式(10)代入到方程(9)中,有ar-S)x廠""一S)T£2-l(I-S)y-xT(I-S)TH】(I-S)x-l|TxT(/-S)Tn-'(I-S)x7IT(iTxT(/-

11、s)Tn_,(/s)x-,xT(z一S)T。'(I-S)yr.(11)若令i=(IS)x,則表達(dá)式(11)可以簡化為arS*(!-S)y一(tTxTf2",x-,iTn,(f-S)yi.(12)方程(12)給出了固定效應(yīng)參數(shù)a估計(jì)的閉表達(dá)式.于是,把代入到式(4)中,就可以得到y(tǒng)(£)估計(jì)的閉表達(dá)式沁=>?Wt9,rlDjWt(y-xaJ.(13)特別,非參函數(shù)gh)估計(jì)的閉表達(dá)式為g(t)=1,0(D?*W,D,-*DZWy-xaJ.(14)假設(shè)4當(dāng)花8時(shí)以及湖43漸近性質(zhì)3漸近性質(zhì)=0(1).在闡述估計(jì)髭的漸近分布定理之前,先給出一些在一些正則條件下,本節(jié)

12、給出非參數(shù)面板數(shù)據(jù)模引理.型估計(jì)的漸近性質(zhì).定義們=u'KMdu和叫=,ju,Kz(M)du.進(jìn)一步,讓g>(z)=(2E(xvjf)(£)/(S72兒(,),x,=(租(站),根(,訂)丁和x=(Xi,,x“)T以及r=E_(.xixJ1£2,(.x,X,).下面介紹一些假設(shè)條件,這些條件被廣泛使用于非參數(shù)面板數(shù)據(jù)模型的理論分析中假設(shè)1是相互獨(dú)立的并且對(duì)任意的5>0有EleJ2+a<oo成立.假設(shè)2協(xié)變量f存在緊支撐N和具有二次連續(xù)可微的密度函數(shù)/).同時(shí),密度函數(shù)人(),/=1,。有界且不等于零和無窮.假設(shè)3在緊支撐N上,核函數(shù)K()對(duì)稱且一致

13、有界以及函數(shù)g()存在連續(xù)有界的二階導(dǎo)數(shù).此外,矩陣T是正定的.引理1如果假設(shè)條件14成立,那么n'1pPiTQr,其中“一”表示依概率收斂.證明由假設(shè)條件14和大數(shù)定理知,對(duì)任意的A>0,赤露刑(*)(嚀)N土2日K(*)(寧)=jSK(s)sifj(t+hs)ds=與,(£)(1+。(力)=Jj-lai牛£頊(Q(l+o(l).(15)j)-1ai通過矩陣運(yùn)算以及應(yīng)用式(15),得W,Dt去刑(守)二您沁)1VVK(如_八(2)擊熊刑(¥)(*)(1+。(1),(16)(17)同理,因?yàn)閠-Si門兒(。(1+。(1),J>-i°,

14、所以s(t)x(S<2"(19)接著,從x的定義知Sx工*x,這意味著x=(/因此,W,x=(18)P_S)xxx.那么,XTX2_1x(X,X。廠(X.X,)n切e(x,Xi)Tnr*(x,x,)=r.引理2在假設(shè)14條件下,有廠”£丁。-】(1S)g=op(l).證明對(duì)任意的人>0,注意到&露扒十)(寧)&二mv-S4兒。)(1+。(1),JOj(20)于是,結(jié)合式(12)和(23)知于是,,部熊心陣、案家K(寧)(寧)'舞購、0P進(jìn)一步,S(£)g«。)(1+。(1),其暗示著Sgp_p>g(l+o(l).

15、又因?yàn)閄XX,所以£iST(ss)g=£:£(Xj-VWVH1-1X,)TO/(g,-gJl+Op(l)(l+op(l)=(1+。).(24)g(七)(21)土史(X,一£,)%7g,(op(l)(l+op(l)=Jni-iOp(1)op(1)=op(l).引理3若假設(shè)14被滿足,則廣/2/。"(1-S)£nx,t證明類似于引理1的證明,知W=&熊刑阡9%p_涂習(xí)鄉(xiāng)親(壬T(十)氣毯%")0。=。,那么S(t)«=Op<l)9這表明S£=Op(l).因此,iTf2】(1一S)e=當(dāng)丁。刁&#

16、163;(1+。卜(1)JnJn工*蘭完(x,Jnf-i定理1在假設(shè)14條件下,有而(,一a。).N(0,Hr7H),其中a。表示真實(shí)參數(shù)值,“一定義成依分布收斂以及H=z-r-,i(iTr-1i-1iT且是jxj單位矩陣.證明令d為無約束固定效應(yīng)參數(shù)a的估計(jì),則a=孑亍廣£丁。-'(1-S)y,(23)因?yàn)閍°=0,所以由引理1和式(24),得。一a。=da。一0丁0iir(X1£2lx)',1i(iT(aa0)=7-£tot£,iT(£tot£)TiTiTgp.a0)H(aa。).此外.由方程(23),有

17、Jn(atr0)=S)g+(25)xySlxx盧丁O*(/-T1:xTn-'(i-s)£=JnC,+c2.從引理1和2,易知G=op(l).此外,根據(jù)引理1D和3并應(yīng)用中心極限定理有C2fN(0,rT),即L4D石(a-a°)N(0,L).(27)最后,由式(25)和(27)立即可以推出該定理.從定理1可知固定效應(yīng)參數(shù)a估計(jì)的收斂率為疽”2并且估計(jì)量是漸近正態(tài)分布的.接下來,給出非參數(shù)函數(shù)估計(jì)的漸近性質(zhì).定義九(£)=廣史")/以定理2如果條件14成立,那么(26))°op-*N(0,»),這里N=nJ和,=了尸(£

18、)diag(0o,0/).特別地,(£)一&(£)一后+服(1)二N0,.If3)證明由表達(dá)式(13),得沁)=(D7町W,(y-xar)=D;W,(xa。+g+&&)QDW.D.'DjW,(D,yh)+聊+ex(ara。),(28)其中B=gQ)/»2/2以及W=(3£)2/»2,.,(m-t)2/h2)T.這樣,根據(jù)式(28),有>/NA(/(/)-/</)NhDjW,D,TD?W,+NhDjW,e一/NhDW,D,TD?-a。)=Ki+KlK.(29)一方面,從式(16),可知N-D?W,D,=

19、.=/(£)diag(l,“2)+op(l).另一方面,采取與式(16)相同的證明方法,有N-'D?W況=入(£)質(zhì)2,0)丁+op(1)成立.于是,可以得到K,比”7。?町畔=(加,0尸+op(1)/Nhp.此外,注意到(30)K2=-/NhDW,D»td?W,e=5W,D,(31)弟公?W,e-N(O,M),這里M=/(£)diag(uo,v2).進(jìn)一步,結(jié)合表達(dá)式(31)和(32)直接推出Dk2N(omwmT)=n(o,)對(duì)于K3來說,有(32)(33)K3=NhD!W.D,-'DjWtx(ar-a0)=>/NhOp(l)Op

20、(l)Op(n-l/2)=Op(5/")=Op(1).(34)最后,從方程(29)、(30)、(33)和(34),知該定理成立.參考文獻(xiàn):1HsiaoC.AnalysisofpaneldataM.Cambridge:CambridgeUniversityPress.2003.2 BaltagiBH.EconometricanalysisofpaneldataM.WestSussexJohnWileyandSonsLtd,2005.3 LinX«CarrollRJ.Nonparametricfunctionestimationforclustereddatawhenthepr

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