1、Vol.53No.2Mar.2014廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)JournalofXiamenUniversity(NaturalScience)doi:lO.6O43/j.issn.O438-O479.2O14.O2.OO5非參數(shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的約束剖面加權(quán)最小二乘估計(jì)解其昌*，賴紹永(1.山東工商學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)院，山東煙臺(tái)264005；2.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)學(xué)院.四川成都611130)摘要：對(duì)異方差非參數(shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的估計(jì)進(jìn)行了研究.采用約束剖面加權(quán)最小二乘法，給出了估計(jì)量的閉表達(dá)式并且證明了固定效應(yīng)參數(shù)和非參數(shù)函數(shù)估計(jì)具有漸近正志分布性質(zhì).進(jìn)一步.得到了固定效應(yīng)參數(shù)和非參數(shù)函數(shù)

2、估計(jì)的收斂率.關(guān)鍵詞：面板數(shù)據(jù)；固定效應(yīng)；局部近似；非參數(shù)回歸；剖面加權(quán)最小二乘法中圖分類號(hào)：O212.7»F224.0文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：0438-0479(2014)02-0171-051預(yù)備知識(shí)面板數(shù)據(jù)或縱向數(shù)據(jù)描述了跨越時(shí)間的個(gè)體信息,它包含截面和時(shí)間兩個(gè)方向維度.對(duì)比單純的時(shí)間序列數(shù)據(jù)或橫截面數(shù)據(jù)來說，面板的雙重維度不僅使其包含了每個(gè)個(gè)體更多的內(nèi)容，而且有助于研究者發(fā)展更復(fù)雜的模型分析技術(shù).隨著面板數(shù)據(jù)可獲得性的增長，面板數(shù)據(jù)的理論和應(yīng)用研究變得越來越流行.關(guān)于參數(shù)面板數(shù)據(jù)模型的統(tǒng)計(jì)推斷和計(jì)最分析，Hsia。和Baltagi給出了詳細(xì)的介紹和全面的回顧.參數(shù)面板模型能夠

3、簡明和清晰地描述出變量間的相互關(guān)系.然而，該類模型的最大缺陷就是需要很強(qiáng)的假設(shè)條件并且很容易產(chǎn)生模型錯(cuò)誤設(shè)定的風(fēng)險(xiǎn).如何彌補(bǔ)參數(shù)模型的這些不足，一個(gè)有效的備選方法就是引入非參數(shù)或半?yún)?shù)建模思想.本文就是基于這種思想，考慮下述非參數(shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型：ya=aj+gf)=】，；，=1，JV8,(1)這里是反應(yīng)變髭，S定義成固定效應(yīng)參數(shù),g()為一個(gè)未知光滑函數(shù)門是外生協(xié)變量以及為隨機(jī)誤收»a»,2013-07-04基金項(xiàng)目：教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(109140)；山東工商學(xué)院博士啟動(dòng)基金(521014306203)通值作#：qichangx差.為了模型的可識(shí)別性，需要史

4、們=0.此外，假設(shè)隨i-1機(jī)誤差氣滿足£<,)=0和var()=時(shí)=1,/.相比參數(shù)面板數(shù)據(jù)模型，非參數(shù)和半?yún)?shù)面板模型的研究還非常滯后.采用基于局部多項(xiàng)式近似的廣義估計(jì)方程技術(shù)，Lin等檢驗(yàn)了非參數(shù)平行面板數(shù)據(jù)模型的漸近性質(zhì)，但是他們沒有給出估計(jì)量的收斂速度.Baltagi等研究了隨機(jī)誤差服從獨(dú)立同分布的半?yún)?shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的估計(jì)，卻沒有考慮誤差分布的異方差性.Su等使用剖面似然法分析帶有固定效應(yīng)的半?yún)?shù)面板模型，推導(dǎo)出了非參函數(shù)的漸近正態(tài)性，而并沒有得到固定效應(yīng)的分布理論.通過一階差分方法，Henderson等獲得了固定效應(yīng)非參數(shù)面板數(shù)據(jù)模型估計(jì)的收斂率，但是由于計(jì)算

5、程序復(fù)雜，沒有建立估計(jì)最的漸近正態(tài)分布性質(zhì).Qian等運(yùn)用邊際積分技術(shù)，討論了半?yún)?shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的估計(jì)，然而該方法運(yùn)算復(fù)雜且消耗時(shí)間.此外,文獻(xiàn)也都對(duì)非參數(shù)面板模型進(jìn)行了深入研究,但都沒有考慮異質(zhì)信息或個(gè)體效應(yīng)影響.本文檢驗(yàn)異方差非參數(shù)固定效應(yīng)面板模型的一致估計(jì).不同于傳統(tǒng)的一階差分方法，我們給出了使用約束剖面加權(quán)最小二乘技術(shù)估計(jì)該模型的詳細(xì)步驟.該方法的主要優(yōu)點(diǎn)就是計(jì)算簡便以及容易實(shí)現(xiàn).通過構(gòu)造虛擬變蜃和引入局部線性近似的方法，不僅得到了模型中固定效應(yīng)參數(shù)和非參數(shù)函數(shù)估計(jì)的表達(dá)式并且還推導(dǎo)出了估計(jì)最的漸近正態(tài)分布性質(zhì).同時(shí)，證明了參數(shù)和非參數(shù)估計(jì)最能夠?qū)崿F(xiàn)相應(yīng)的參數(shù)和非參數(shù)收斂率.2

6、模型估計(jì)若令勺是第，個(gè)元素等于1,其余元素是o的JXI維矩陣且記xtl=孔，=e,=(xtI,，x.j)丁、y,=(W，,w)丁、礦(g(4),g(偵)丁及6,=(5，*)T,則方程(1)可以用矩陣重新寫為y=xa+g+e,(2)這里y=(片，y!)T,x=(x?,，y尸=(gj，g!)T，£=(£?，£?)t以及a=(a】，aj)，在表達(dá)式(1)中，變量*并不存在，它是以虛擬變量的形式被添加到方程(2)中，且其元素只有。和1.因?yàn)間()是一個(gè)未知的光滑函數(shù)，所以應(yīng)用Taylor展開式來近似，即對(duì)門臨域內(nèi)的任意一點(diǎn)t有：g(如)Qg(Z)+g'(£

7、;)(1£)=(£)+£),其中t(£)=g(£)和3(t)=g'(Q.進(jìn)一步，定義K()為一個(gè)核函數(shù)并且記W,(Q=diag(b】2K/,(*£)，方2K.(t訂一£),其中Ka()=U'K(/i和九是窗寬參數(shù).讓如(=(£“以及令r=(】，1)丁表示元素均為1的JX】維矩陣.如果a已經(jīng)被確定，那么Y(t)=(a(t),hb(t)T可以通過局部線性最小二乘來估計(jì)，即y(i)=(<2(z)»A6(Z)t=argmin(j*一my(Q)TW,(y一D,Y(Q),(3)這里y*=yxaD

8、,=(i,f(t)以及W,=diag(Wi(t)，w”(£).從式(3),解得Y(t)=D；叱仇廣。？W,y-.(4)通常a是未知的，因此由式(4)給出的歹(£)不能被直接計(jì)算.下面考慮固定效應(yīng)a的估計(jì).根據(jù)方程(4),知g的估計(jì)能夠表示為fl，0沁”*g=:=口,0沁“).京京WIU':y9.(5).1,0嘰W頃。,時(shí)尸1>京W”.顯然，若令s(O=0,l(D；比仇廣如W,和S=($丁(小)，$t(M)L則式(5)可以簡化為j?=S(yxa).(6)將f代入到表達(dá)式(2)中，有(IS)y=(IS)xa+e,其中I為nJXnJ的單位矩陣.接下來，使1=(1,，

9、1),是元素均為1的JX1維矩陣.因?yàn)殡S機(jī)誤差土服從異方差分布，所以傳統(tǒng)的同方差回歸技術(shù)不能被應(yīng)用.因此，提出使用約束剖面加權(quán)最小二乘法來估計(jì)參數(shù)a.具體來說，固定效應(yīng)a的約束剖面加權(quán)最小二乘估計(jì)為：ar=argmin也(aq)=argmin(/S)y(IS)xa)TH1(IS)y一(f-S)xa)+2AiTa,(7)這里f2=diag(n)，q”)和m="=O”=diag(。，/；)以及人是拉格朗日乘子.由目標(biāo)函數(shù)2(aU)的一階條件物(。，義)/西=0,推導(dǎo)出xTa-S)rnla-S)xa4-AiT-xT(/-S)TX2-S)y=0.(8)不言而喻,。的估計(jì)值為表達(dá)式(8)與方程

10、iTa=0的解.如果令和A是方程(8)和iTa=0的根，那么ar=xT(/S)TD,(f-s)xp'xT(/-s)ln-*(i-s)j-xt(/-S)tjQ-,(I-S)x-1Ai.(9)進(jìn)一步，把式(9)代入到"a=0中，得A=<iTCxT(I-S)TI2(l-S)x_1i.丁|>丁(1-S)TT(I一S)xmS)TOT(I-S)y,(10)然后，再將式(10)代入到方程(9)中，有ar-S)x廠""一S)T£2-l(I-S)y-xT(I-S)TH】(I-S)x-l|TxT(/-S)Tn-'(I-S)x7IT(iTxT(/-

11、s)Tn_,(/s)x-,xT(z一S)T。'(I-S)yr.(11)若令i=(IS)x,則表達(dá)式(11)可以簡化為arS*(!-S)y一(tTxTf2",x-,iTn,(f-S)yi.(12)方程(12)給出了固定效應(yīng)參數(shù)a估計(jì)的閉表達(dá)式.于是,把代入到式(4)中，就可以得到y(tǒng)(£)估計(jì)的閉表達(dá)式沁=>?Wt9,rlDjWt(y-xaJ.(13)特別，非參函數(shù)gh)估計(jì)的閉表達(dá)式為g(t)=1,0(D?*W,D,-*DZWy-xaJ.(14)假設(shè)4當(dāng)花8時(shí)以及湖43漸近性質(zhì)3漸近性質(zhì)=0（1）.在闡述估計(jì)髭的漸近分布定理之前，先給出一些在一些正則條件下，本節(jié)

12、給出非參數(shù)面板數(shù)據(jù)模引理.型估計(jì)的漸近性質(zhì).定義們=u'KMdu和叫=,ju,Kz（M）du.進(jìn)一步，讓g>（z）=（2E（xvjf）（£）/（S72兒（，），x,=（租（站），根（，訂）丁和x=（Xi，,x“）T以及r=E_（.xixJ1£2,（.x,X,）.下面介紹一些假設(shè)條件，這些條件被廣泛使用于非參數(shù)面板數(shù)據(jù)模型的理論分析中假設(shè)1是相互獨(dú)立的并且對(duì)任意的5>0有EleJ2+a<oo成立.假設(shè)2協(xié)變量f存在緊支撐N和具有二次連續(xù)可微的密度函數(shù)/）.同時(shí)，密度函數(shù)人（）,/=1,。有界且不等于零和無窮.假設(shè)3在緊支撐N上，核函數(shù)K（）對(duì)稱且一致

13、有界以及函數(shù)g（）存在連續(xù)有界的二階導(dǎo)數(shù).此外，矩陣T是正定的.引理1如果假設(shè)條件14成立，那么n'1pPiTQr,其中“一”表示依概率收斂.證明由假設(shè)條件14和大數(shù)定理知，對(duì)任意的A>0,赤露刑（*）（嚀）N土2日K（*）（寧）=jSK（s）sifj（t+hs）ds=與,（£）（1+。（力）=Jj-lai牛£頊（Q（l+o（l）.（15）j）-1ai通過矩陣運(yùn)算以及應(yīng)用式（15）,得W,Dt去刑（守）二您沁）1VVK(如_八(2)擊熊刑(¥)(*)(1+。(1),(16)(17)同理，因?yàn)閠-Si門兒（。（1+。（1）,J>-i°，

14、所以s（t）x（S<2"（19）接著，從x的定義知Sx工*x,這意味著x=（/因此,W,x=(18)P_S）xxx.那么,XTX2_1x（X,X。廠（X.X,）n切e（x,Xi）Tnr*（x,x,）=r.引理2在假設(shè)14條件下,有廠”£丁。-】（1S）g=op（l）.證明對(duì)任意的人>0,注意到&露扒十）（寧）&二mv-S4兒。）（1+。（1），JOj(20)于是，結(jié)合式（12）和（23）知于是，,部熊心陣、案家K（寧）（寧）'舞購、0P進(jìn)一步，S（£）g«。）（1+。（1）,其暗示著Sgp_p>g（l+o（l）.

15、又因?yàn)閄XX,所以£iST（ss）g=£：£（Xj-VWVH1-1X,）TO/（g,-gJl+Op（l）（l+op（l）=(1+。).(24)g(七)(21)土史(X,一£,)%7g,(op(l)(l+op(l)=Jni-iOp（1）op（1）=op（l）.引理3若假設(shè)14被滿足，則廣/2/。"（1-S）£nx,t證明類似于引理1的證明，知W=&熊刑阡9%p_涂習(xí)鄉(xiāng)親（壬T（十）氣毯%"）0。=。，那么S（t）«=Op<l）9這表明S£=Op（l）.因此,iTf2】（1一S）e=當(dāng)丁。刁&#

16、163;（1+。卜（1）JnJn工*蘭完（x,Jnf-i定理1在假設(shè)14條件下，有而（，一a。）.N（0,Hr7H）,其中a。表示真實(shí)參數(shù)值，“一定義成依分布收斂以及H=z-r-,i（iTr-1i-1iT且是jxj單位矩陣.證明令d為無約束固定效應(yīng)參數(shù)a的估計(jì)，則a=孑亍廣£丁。-'（1-S）y,（23）因?yàn)閍°=0,所以由引理1和式(24),得。一a。=da。一0丁0iir(X1£2lx)'，1i(iT(aa0)=7-£tot£，iT(£tot£)TiTiTgp.a0)H(aa。).此外.由方程(23),有

17、Jn(atr0)=S)g+(25)xySlxx盧丁O*(/-T1：xTn-'(i-s)£=JnC,+c2.從引理1和2,易知G=op（l）.此外，根據(jù)引理1D和3并應(yīng)用中心極限定理有C2fN（0,rT）,即L4D石（a-a°）N（0,L）.（27）最后，由式（25）和（27）立即可以推出該定理.從定理1可知固定效應(yīng)參數(shù)a估計(jì)的收斂率為疽”2并且估計(jì)量是漸近正態(tài)分布的.接下來，給出非參數(shù)函數(shù)估計(jì)的漸近性質(zhì).定義九（£）=廣史"）/以定理2如果條件14成立，那么(26)）°op-*N（0,»）,這里N=nJ和，=了尸（£

18、）diag（0o，0/）.特別地,（£）一&（£）一后+服（1）二N0,.If3)證明由表達(dá)式(13),得沁)=(D7町W,(y-xar)=D；W,(xa。+g+&&)QDW.D.'DjW,(D,yh)+聊+ex(ara。),(28)其中B=gQ)/»2/2以及W=(3£)2/»2,.，(m-t)2/h2)T.這樣，根據(jù)式(28),有>/NA(/(/)-/</)NhDjW,D,TD?W,+NhDjW,e一/NhDW,D,TD?-a。）=Ki+KlK.（29）一方面，從式（16）,可知N-D?W,D,=

19、.=/（£）diag（l,“2）+op（l）.另一方面，采取與式（16）相同的證明方法，有N-'D?W況=入（£）質(zhì)2,0）丁+op（1）成立.于是，可以得到K,比”7。？町畔=（加，0尸+op（1）/Nhp.此外，注意到(30)K2=-/NhDW,D»td?W,e=5W,D,(31)弟公？W,e-N（O,M）,這里M=/（£）diag（uo,v2）.進(jìn)一步，結(jié)合表達(dá)式（31）和（32）直接推出Dk2N（omwmT）=n（o,）對(duì)于K3來說，有(32)(33)K3=NhD!W.D,-'DjWtx(ar-a0)=>/NhOp(l)Op

20、(l)Op(n-l/2)=Op(5/")=Op(1).(34)最后，從方程(29)、(30)、(33)和(34),知該定理成立.參考文獻(xiàn)：1HsiaoC.AnalysisofpaneldataM.Cambridge：CambridgeUniversityPress.2003.2 BaltagiBH.EconometricanalysisofpaneldataM.WestSussexJohnWileyandSonsLtd,2005.3 LinX«CarrollRJ.Nonparametricfunctionestimationforclustereddatawhenthepr

21、edictorismeasuredwithout/witherrorJ.JournaloftheAmericanStatisticalAssociation*2000.95：520-534.4 BaltagiBH»LiD.SeriesestimationofpartiallylinearpaneldatamodelswithfixedeffectsJ.AnnalsofEconomicandFinance»2002(3):103-116.5 SuL*UllahA.Profilelikelihoodestimationofpartiallylinearpaneldatamode

22、lswithfixedeffectsJj.EconomicsLetters,2006,92：75-81.6 HendersonDJ*CarrollRJ,LiQ.Nonparametricestimationandtestingoffixedeffectspaneldatamodels.JournalofEconometrics,2008.144：257-275.7 QianJ»WangL.EstimatingsemiparametricpaneldatamodelsbymarginalintegrationJJ.JournalofEconomet-rics,2012,167：483-

23、493.8 JiangCR,WangJL.CovariateadjustedfunctionalprincipalcomponentsanalysisforlongitudinaldataJ.TheAnnalsofStatistics*2010*38(1194-1226.9 MaS.Two-stepsplineestimatingequationsforgeneralizedadditivepartiallylinearmodelswithlargeclustersizesJ.TheAnnalsofStatistics.2012*40：2943-2972.10 ZhangX,ParkBU.WangJL.Time-varyingadditivemodelsforlongitudinaldataCJ.JournaloftheAmericanStatisticalAssociation.2013.108：1360-1371.113YaoW,LiR.NewlocalestimationprocedurefornonparametricregressionfunctionoflongitudinaldataJ.JournalofRoyalStatisticalSociety：SeriesB,2013,75：1