1、Vol.53No.2Mar.2014廈門大學學報(自然科學版)JournalofXiamenUniversity(NaturalScience)doi:lO.6O43/j.issn.O438-O479.2O14.O2.OO5非參數固定效應面板數據模型的約束剖面加權最小二乘估計解其昌*，賴紹永(1.山東工商學院經濟學院，山東煙臺264005；2.西南財經大學經濟數學學院.四川成都611130)摘要：對異方差非參數固定效應面板數據模型的估計進行了研究.采用約束剖面加權最小二乘法，給出了估計量的閉表達式并且證明了固定效應參數和非參數函數估計具有漸近正志分布性質.進一步.得到了固定效應參數和非參數函數

2、估計的收斂率.關鍵詞：面板數據；固定效應；局部近似；非參數回歸；剖面加權最小二乘法中圖分類號：O212.7»F224.0文獻標志碼：A文章編號：0438-0479(2014)02-0171-051預備知識面板數據或縱向數據描述了跨越時間的個體信息,它包含截面和時間兩個方向維度.對比單純的時間序列數據或橫截面數據來說，面板的雙重維度不僅使其包含了每個個體更多的內容，而且有助于研究者發展更復雜的模型分析技術.隨著面板數據可獲得性的增長，面板數據的理論和應用研究變得越來越流行.關于參數面板數據模型的統計推斷和計最分析，Hsia。和Baltagi給出了詳細的介紹和全面的回顧.參數面板模型能夠

3、簡明和清晰地描述出變量間的相互關系.然而，該類模型的最大缺陷就是需要很強的假設條件并且很容易產生模型錯誤設定的風險.如何彌補參數模型的這些不足，一個有效的備選方法就是引入非參數或半參數建模思想.本文就是基于這種思想，考慮下述非參數固定效應面板數據模型：ya=aj+gf)=】，；，=1，JV8,(1)這里是反應變髭，S定義成固定效應參數,g()為一個未知光滑函數門是外生協變量以及為隨機誤收»a»,2013-07-04基金項目：教育部科學技術研究重點項目(109140)；山東工商學院博士啟動基金(521014306203)通值作#：qichangx差.為了模型的可識別性，需要史

4、們=0.此外，假設隨i-1機誤差氣滿足£<,)=0和var()=時=1,/.相比參數面板數據模型，非參數和半參數面板模型的研究還非常滯后.采用基于局部多項式近似的廣義估計方程技術，Lin等檢驗了非參數平行面板數據模型的漸近性質，但是他們沒有給出估計量的收斂速度.Baltagi等研究了隨機誤差服從獨立同分布的半參數固定效應面板數據模型的估計，卻沒有考慮誤差分布的異方差性.Su等使用剖面似然法分析帶有固定效應的半參數面板模型，推導出了非參函數的漸近正態性，而并沒有得到固定效應的分布理論.通過一階差分方法，Henderson等獲得了固定效應非參數面板數據模型估計的收斂率，但是由于計算

5、程序復雜，沒有建立估計最的漸近正態分布性質.Qian等運用邊際積分技術，討論了半參數固定效應面板數據模型的估計，然而該方法運算復雜且消耗時間.此外,文獻也都對非參數面板模型進行了深入研究,但都沒有考慮異質信息或個體效應影響.本文檢驗異方差非參數固定效應面板模型的一致估計.不同于傳統的一階差分方法，我們給出了使用約束剖面加權最小二乘技術估計該模型的詳細步驟.該方法的主要優點就是計算簡便以及容易實現.通過構造虛擬變蜃和引入局部線性近似的方法，不僅得到了模型中固定效應參數和非參數函數估計的表達式并且還推導出了估計最的漸近正態分布性質.同時，證明了參數和非參數估計最能夠實現相應的參數和非參數收斂率.2

6、模型估計若令勺是第，個元素等于1,其余元素是o的JXI維矩陣且記xtl=孔，=e,=(xtI,，x.j)丁、y,=(W，,w)丁、礦(g(4),g(偵)丁及6,=(5，*)T,則方程(1)可以用矩陣重新寫為y=xa+g+e,(2)這里y=(片，y!)T,x=(x?,，y尸=(gj，g!)T，£=(£?，£?)t以及a=(a】，aj)，在表達式(1)中，變量*并不存在，它是以虛擬變量的形式被添加到方程(2)中，且其元素只有。和1.因為g()是一個未知的光滑函數，所以應用Taylor展開式來近似，即對門臨域內的任意一點t有：g(如)Qg(Z)+g'(£

7、;)(1£)=(£)+£),其中t(£)=g(£)和3(t)=g'(Q.進一步，定義K()為一個核函數并且記W,(Q=diag(b】2K/,(*£)，方2K.(t訂一£),其中Ka()=U'K(/i和九是窗寬參數.讓如(=(£“以及令r=(】，1)丁表示元素均為1的JX】維矩陣.如果a已經被確定，那么Y(t)=(a(t),hb(t)T可以通過局部線性最小二乘來估計，即y(i)=(<2(z)»A6(Z)t=argmin(j*一my(Q)TW,(y一D,Y(Q),(3)這里y*=yxaD

8、,=(i,f(t)以及W,=diag(Wi(t)，w”(£).從式(3),解得Y(t)=D；叱仇廣。？W,y-.(4)通常a是未知的，因此由式(4)給出的歹(£)不能被直接計算.下面考慮固定效應a的估計.根據方程(4),知g的估計能夠表示為fl，0沁”*g=:=口,0沁“).京京WIU':y9.(5).1,0嘰W頃。,時尸1>京W”.顯然，若令s(O=0,l(D；比仇廣如W,和S=($丁(小)，$t(M)L則式(5)可以簡化為j?=S(yxa).(6)將f代入到表達式(2)中，有(IS)y=(IS)xa+e,其中I為nJXnJ的單位矩陣.接下來，使1=(1,，

9、1),是元素均為1的JX1維矩陣.因為隨機誤差土服從異方差分布，所以傳統的同方差回歸技術不能被應用.因此，提出使用約束剖面加權最小二乘法來估計參數a.具體來說，固定效應a的約束剖面加權最小二乘估計為：ar=argmin也(aq)=argmin(/S)y(IS)xa)TH1(IS)y一(f-S)xa)+2AiTa,(7)這里f2=diag(n)，q”)和m="=O”=diag(。，/；)以及人是拉格朗日乘子.由目標函數2(aU)的一階條件物(。，義)/西=0,推導出xTa-S)rnla-S)xa4-AiT-xT(/-S)TX2-S)y=0.(8)不言而喻,。的估計值為表達式(8)與方程

10、iTa=0的解.如果令和A是方程(8)和iTa=0的根，那么ar=xT(/S)TD,(f-s)xp'xT(/-s)ln-*(i-s)j-xt(/-S)tjQ-,(I-S)x-1Ai.(9)進一步，把式(9)代入到"a=0中，得A=<iTCxT(I-S)TI2(l-S)x_1i.丁|>丁(1-S)TT(I一S)xmS)TOT(I-S)y,(10)然后，再將式(10)代入到方程(9)中，有ar-S)x廠""一S)T£2-l(I-S)y-xT(I-S)TH】(I-S)x-l|TxT(/-S)Tn-'(I-S)x7IT(iTxT(/-

11、s)Tn_,(/s)x-,xT(z一S)T。'(I-S)yr.(11)若令i=(IS)x,則表達式(11)可以簡化為arS*(!-S)y一(tTxTf2",x-,iTn,(f-S)yi.(12)方程(12)給出了固定效應參數a估計的閉表達式.于是,把代入到式(4)中，就可以得到y(£)估計的閉表達式沁=>?Wt9,rlDjWt(y-xaJ.(13)特別，非參函數gh)估計的閉表達式為g(t)=1,0(D?*W,D,-*DZWy-xaJ.(14)假設4當花8時以及湖43漸近性質3漸近性質=0（1）.在闡述估計髭的漸近分布定理之前，先給出一些在一些正則條件下，本節

12、給出非參數面板數據模引理.型估計的漸近性質.定義們=u'KMdu和叫=,ju,Kz（M）du.進一步，讓g>（z）=（2E（xvjf）（£）/（S72兒（，），x,=（租（站），根（，訂）丁和x=（Xi，,x“）T以及r=E_（.xixJ1£2,（.x,X,）.下面介紹一些假設條件，這些條件被廣泛使用于非參數面板數據模型的理論分析中假設1是相互獨立的并且對任意的5>0有EleJ2+a<oo成立.假設2協變量f存在緊支撐N和具有二次連續可微的密度函數/）.同時，密度函數人（）,/=1,。有界且不等于零和無窮.假設3在緊支撐N上，核函數K（）對稱且一致

13、有界以及函數g（）存在連續有界的二階導數.此外，矩陣T是正定的.引理1如果假設條件14成立，那么n'1pPiTQr,其中“一”表示依概率收斂.證明由假設條件14和大數定理知，對任意的A>0,赤露刑（*）（嚀）N土2日K（*）（寧）=jSK（s）sifj（t+hs）ds=與,（£）（1+。（力）=Jj-lai牛£頊（Q（l+o（l）.（15）j）-1ai通過矩陣運算以及應用式（15）,得W,Dt去刑（守）二您沁）1VVK(如_八(2)擊熊刑(¥)(*)(1+。(1),(16)(17)同理，因為t-Si門兒（。（1+。（1）,J>-i°，

14、所以s（t）x（S<2"（19）接著，從x的定義知Sx工*x,這意味著x=（/因此,W,x=(18)P_S）xxx.那么,XTX2_1x（X,X。廠（X.X,）n切e（x,Xi）Tnr*（x,x,）=r.引理2在假設14條件下,有廠”£丁。-】（1S）g=op（l）.證明對任意的人>0,注意到&露扒十）（寧）&二mv-S4兒。）（1+。（1），JOj(20)于是，結合式（12）和（23）知于是，,部熊心陣、案家K（寧）（寧）'舞購、0P進一步，S（£）g«。）（1+。（1）,其暗示著Sgp_p>g（l+o（l）.

15、又因為XXX,所以£iST（ss）g=£：£（Xj-VWVH1-1X,）TO/（g,-gJl+Op（l）（l+op（l）=(1+。).(24)g(七)(21)土史(X,一£,)%7g,(op(l)(l+op(l)=Jni-iOp（1）op（1）=op（l）.引理3若假設14被滿足，則廣/2/。"（1-S）£nx,t證明類似于引理1的證明，知W=&熊刑阡9%p_涂習鄉親（壬T（十）氣毯%"）0。=。，那么S（t）«=Op<l）9這表明S£=Op（l）.因此,iTf2】（1一S）e=當丁。刁&#

16、163;（1+。卜（1）JnJn工*蘭完（x,Jnf-i定理1在假設14條件下，有而（，一a。）.N（0,Hr7H）,其中a。表示真實參數值，“一定義成依分布收斂以及H=z-r-,i（iTr-1i-1iT且是jxj單位矩陣.證明令d為無約束固定效應參數a的估計，則a=孑亍廣£丁。-'（1-S）y,（23）因為a°=0,所以由引理1和式(24),得。一a。=da。一0丁0iir(X1£2lx)'，1i(iT(aa0)=7-£tot£，iT(£tot£)TiTiTgp.a0)H(aa。).此外.由方程(23),有

17、Jn(atr0)=S)g+(25)xySlxx盧丁O*(/-T1：xTn-'(i-s)£=JnC,+c2.從引理1和2,易知G=op（l）.此外，根據引理1D和3并應用中心極限定理有C2fN（0,rT）,即L4D石（a-a°）N（0,L）.（27）最后，由式（25）和（27）立即可以推出該定理.從定理1可知固定效應參數a估計的收斂率為疽”2并且估計量是漸近正態分布的.接下來，給出非參數函數估計的漸近性質.定義九（£）=廣史"）/以定理2如果條件14成立，那么(26)）°op-*N（0,»）,這里N=nJ和，=了尸（£

18、）diag（0o，0/）.特別地,（£）一&（£）一后+服（1）二N0,.If3)證明由表達式(13),得沁)=(D7町W,(y-xar)=D；W,(xa。+g+&&)QDW.D.'DjW,(D,yh)+聊+ex(ara。),(28)其中B=gQ)/»2/2以及W=(3£)2/»2,.，(m-t)2/h2)T.這樣，根據式(28),有>/NA(/(/)-/</)NhDjW,D,TD?W,+NhDjW,e一/NhDW,D,TD?-a。）=Ki+KlK.（29）一方面，從式（16）,可知N-D?W,D,=

19、.=/（£）diag（l,“2）+op（l）.另一方面，采取與式（16）相同的證明方法，有N-'D?W況=入（£）質2,0）丁+op（1）成立.于是，可以得到K,比”7。？町畔=（加，0尸+op（1）/Nhp.此外，注意到(30)K2=-/NhDW,D»td?W,e=5W,D,(31)弟公？W,e-N（O,M）,這里M=/（£）diag（uo,v2）.進一步，結合表達式（31）和（32）直接推出Dk2N（omwmT）=n（o,）對于K3來說，有(32)(33)K3=NhD!W.D,-'DjWtx(ar-a0)=>/NhOp(l)Op

20、(l)Op(n-l/2)=Op(5/")=Op(1).(34)最后，從方程(29)、(30)、(33)和(34),知該定理成立.參考文獻：1HsiaoC.AnalysisofpaneldataM.Cambridge：CambridgeUniversityPress.2003.2 BaltagiBH.EconometricanalysisofpaneldataM.WestSussexJohnWileyandSonsLtd,2005.3 LinX«CarrollRJ.Nonparametricfunctionestimationforclustereddatawhenthepr

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