1、第三章 功和能3-1 汽車在平直路面上行駛，若車與地面間的摩擦力恒定，而空氣阻力與速度的平方成正比設對于一輛質量為1500kg的汽車總的阻力（其中F以N為單位，v以m/s為單位），求當車速為60 km/h，加速度為1.0m/s2時，汽車引擎所損耗的瞬時功率分析 作用力的瞬時功率等于該力與物體獲得的速度的乘積解 當汽車的加速度為a時，引擎牽引力為F1，應用牛頓第二定律，運動方程為則 根據(jù)瞬時功率的定義，汽車引擎所損耗的瞬時功率為3-2 如習題1-7所述，若海岸高h = 10 m，而猛烈的大風使船受到與繩的牽引方向相反的恒定的作用力F = 5000 N，如圖3-2所示當岸上的水手將纜繩由50 m

2、收到30 m后，求纜繩中張力的改變量，以及在此過程中水手所作的功Fh圖3-2分析 水手拉纜繩的過程中，是通過纜繩將力作用在船上實現(xiàn)船體運動作的功由于纜繩中的張力是變力，直接計算它的功比較困難根據(jù)動能定理，合外力的功等于物體動能的增量，船在此過程中開始前和結束后都保持靜止，船只在水平方向發(fā)生位移，水平方向只受纜繩張力水平分量和恒定阻力F作用，則水手通過纜繩張力所作的功的量值應等于恒力F所作的負功解 纜繩長度由l1=50 m 收到l2=30 m的過程中，位移為s，水手作的功為設此過程中開始前纜繩張力為FT1、結束后為FT2，它們的水平方向分量都應與恒力F等大而反向，因此有則F 0 x0x2x圖3-

3、33-3 質點沿x軸運動，由x1 = 0處移動到x2 = 4 m的過程中，受到力的作用，其中x0 = 2 m，F(xiàn)0 = 8 N，作出Fx曲線，求在此期間力F對質點所作的功分析 當質點沿x軸作直線運動時，如果外力是質點位置坐標x的函數(shù)，質點從位置x1運動到x2的過程中，根據(jù)功的定義，該力所作的功為，即為Fx圖像中x1到x2區(qū)間曲線與x軸線包圍面積的代數(shù)和解 根據(jù)題意，F(xiàn)x曲線如圖3-3所示按照功的定義，有由圖3-3可見，x1到x2區(qū)間曲線與x軸線包圍面積的代數(shù)和為零，與上面的計算結果一致3-4 在x軸線上運動的物體速度為v = 4 t2 + 6（其中v以m/s為單位，t以s為單位），作用力（其中

4、F以N為單位，t以s為單位）沿x軸正向試求在t1 = 1 s和t2 = 5 s期間，力F對物體所作的功分析 當質點沿x軸作直線運動時，如果外力是時間t的函數(shù)，根據(jù)功的定義，無法直接積分計算，通常可利用微分關系式，將積分變量轉換為時間t進行計算積分變量代換后，積分的上下限也要作相應的代換解 根據(jù)功的定義3-5 在光滑的水平桌面上固定有如圖3-5(a)所示的半圓形屏障，質量為m的滑塊以初速v0沿屏障一端的切線方向進入屏障內(nèi)，滑塊與屏障間的摩擦系數(shù)為，（1）證明當滑塊從屏障另一端滑出時，摩擦力對它所作的功為；（2）說明上述結果為什么與圓弧半徑無關Ffv0vFN（a） （b）圖3-5分析 當外力無法表

5、示成位移的函數(shù)時，功就不能直接由定義式積分進行計算如果能確定物體初末狀態(tài)的速度，可以應用動能定理，求出物體動能的增量就等于合外力對物體所作的功證 （1）首先應計算出滑塊從屏障另一端滑出時的速度設滑塊在屏障中位于如圖3-5(b)所示的位置，在豎直方向無運動，在水平面內(nèi)受到屏障壓力FN和摩擦力Ff作用，此時速度為v，設屏障半徑為R，應用牛頓第二定律所得運動方程為法向：切向：由于FfFN，得 利用關系式，上式可寫為 (1)由初末條件：當時，；當時，將上式分離變量并積分： (2)得滑塊從屏障另一端滑出時的速度為 (3)則摩擦力在此期間所作的功為（2）由（1）和（2）式可以看出，當滑塊發(fā)生角位移時，速度

6、的變化只與角位移有關，與半徑無關，因此（3）式給出的末速度也只與半圓的張角有關，這就導致最終結果與圓弧半徑無關了3-6 一個質點在指向中心的平方反比力的作用下，作半徑為r的圓周運動，求質點運動的速率和總機械能（提示：選取距力心無窮遠點的勢能為零）分析 與物體間距離平方成反比的力是自然界中普遍存在的一種力，例如萬有引力和電荷間的庫侖力如果該力指向中心，計算勢能時，從空間任意一點到勢能零點（無窮遠點）積分的路徑方向與力的作用方向相反，積分表達式的矢量乘積變?yōu)闃肆砍朔e后要取負號解 質點只在指向中心的力的作用下作圓周運動，當速率為v時，法向加速度為，則質點的法向運動方程為得 選取距力心無窮遠為勢能零點

7、，則勢能為總機械能為3-7 在力的作用下，質點在xy平面內(nèi)運動，(1)分別計算質點由原點O經(jīng)路徑OBA和路徑OA移動到達A點該力所作的功，其中AB是以O為圓心R為半徑的一段圓弧，如圖3-7（a）所示；(2)計算沿任意路徑由位置P(x1 , y1)到Q(x2 , y2)該力所作的功，并由此證明該力是保守力分析 y yALFRdsFPr1r drQr2 OOB xx（a） （b）圖3-7 解 （1）根據(jù)功的定義，經(jīng)路徑OBA該力所作的功為由于力，即沿原點指向質點所在位置的方向，所以有從圖3-7（a）可以看出，在路徑OB上，力的方向與位移方向相同；在路徑BA上，力的方向與位移方向垂直，因此可得同理，

8、經(jīng)路徑OA該力所作的功為（2）P點的徑矢大小為r1，Q點的徑矢大小為r2，則，取任意路徑L如圖3-7（b）所示，則結果表明，沿任意路徑力F所作的功與路徑無關，只與P點和Q點的位置有關，表明力F為保守力3-8 沿x軸運動的某粒子的勢能是其位置x的函數(shù)據(jù)此所作的勢能曲線如圖3-8所示(1)試求粒子勢能最小值所對應的運動的平衡位置；(2)當粒子的總能量時，粒子將被約束在一定范圍內(nèi)振動，求粒子往返運動的轉折位置分析 是粒子物理、固體物理和材料科學中描述粒子間相互作用經(jīng)常出現(xiàn)的勢能函數(shù)，對它的研究和討論有十分重要的實際意義這里僅就最簡單的情況，即進行分析，獲得粒子運動狀態(tài)的初步印象圖3-8 當粒子的能量

9、比較小時，將在平衡位置附近作簡諧振動，因此平衡位置和往返運動的轉折位置就有重要意義解 （1）由可得勢能函數(shù)最小值的位置，即解得 （2）在往返運動的轉折點處，粒子的速度為零，即動能為零，總能量應等于粒子的勢能，即可得 解得 FFNFfRmg圖3-9 3-9 馬拉雪橇上坡，從坡底到坡頂是一段半徑為R弧長為的圓弧形山坡假設馬的拉力始終沿圓弧的切線方向，雪橇的質量為m，雪橇與雪地間的滑動摩擦系數(shù)為，求在這段路程中馬所作的功分析 在物體運動過程中，有摩擦力等非保守力存在時，應用功能原理計算外力的功比較便捷，外力和非保守內(nèi)力的功等于物體系機械能的增量解 以雪橇為研究對象，受力情況如圖3-9所示，如果始末時

10、刻雪橇為靜止狀態(tài)，在上坡過程中，馬的拉力的功和摩擦阻力的負功之和等于雪橇重力勢能的增量由于此過程雪橇高度的增加為，因此重力勢能的增量為當雪橇所在位置的法線方向與豎直方向夾角為時，摩擦力，位移，應用功能原理，馬的拉力的功為3-10 用的初速度將一質量為的物體豎直上拋，所達到的高度是，求空氣對它的平均阻力分析 物體所受到的空氣阻力是外力，重力是物體和地球組成的系統(tǒng)的內(nèi)力，根據(jù)功能原理，空氣阻力所作的功應等于系統(tǒng)機械能的增量應在選取了勢能零點后，確定系統(tǒng)的初末狀態(tài)的機械能，計算出系統(tǒng)機械能的增量解 取物體拋出點為重力勢能零點，則物體初始機械能為，達最高點時機械能為，設空氣對它的平均阻力為F，應用功能

11、原理得則3-11 質量分別為m1、m2的二物體與勁度系數(shù)為k的彈簧連接成如圖3-11（a）所示的系統(tǒng)，物體m1放置在光滑桌面上，忽略繩與滑輪的質量及摩擦當物體達到平衡后，將m2往下拉h(huán)距離后放手，求物體m1、m2運動的最大速率分析 應用機械能守恒定律解力學問題時，系統(tǒng)的選取十分重要選定系統(tǒng)后，要區(qū)分內(nèi)力和外力、保守力和非保守力以及作功的力和不作功的力僅當外力和非保守內(nèi)力所作的功均為零時，才能應用機械能守恒定律本題中m1、m2二物體連接在一起，位移大小、速率和加速度的大小都相同忽略繩與滑輪的質量及摩擦的情況下，張力FT和FT為一對內(nèi)力，大小相等，方向分別與物體運動方向相同和相反，因此系統(tǒng)運動過程

12、中二力的功之和為零km1FNFFTFTm2m1gm2gx（a） （b）圖3-11解 以彈簧與二物體組成的彈性系統(tǒng)以及物體與地球組成的重力系統(tǒng)為研究對象，二物體受力情況如圖3-11（b）所示在系統(tǒng)運動過程中，因張力FT和FT所作功之和為零，只有作用在m2上的重力及作用在m1上的彈簧彈性力作功，系統(tǒng)機械能守恒取豎直向下為x軸正向，系統(tǒng)平衡時m2的位置為坐標原點，設此時彈簧的伸長量為l0，根據(jù)胡克定律，彈簧的彈性力大小為由于系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，應有，且因，則 (1)取m2的平衡位置為重力勢能零點，初始時，m2向下位移h，重力勢能為，彈簧伸長量為，彈性勢能為，則系統(tǒng)機械能為 (2)當m2處于x位置時，設

13、速率為v，則系統(tǒng)總動能為，重力勢能為，彈簧伸長量為，彈性勢能為，則系統(tǒng)機械能為 (3)應用機械能守恒定律，由（1）、（2）和（3）式得顯然時有最大值 3-12 用彈簧將質量分別為m1和m2的兩塊木板連接起來，必須加多大的力F壓到上面的板m1上，以便當突然撤去F時，上面的板跳起來能使下面的板也剛好被提離地面分析 對于彈簧連接的兩塊木板組成的系統(tǒng)，初始時有外力作用，運動過程中m2還受到地面的壓力，彈簧的彈性力是變力，兩塊木板之間有相對運動，應用牛頓定律解這樣的問題顯得相當復雜考慮到撤去外力F后，作用于系統(tǒng)的力除作為保守力的重力和彈簧的彈性力外，只有地面的壓力根據(jù)題意，下面的板剛好被提離地面，表明其

14、處于與地面接觸的臨界狀態(tài)，實際并沒有離開地面，也就是說沒有發(fā)生位移，那么地面的壓力就沒有作功于是，撤去外力F后，只有重力和彈簧的彈性力作功，系統(tǒng)機械能守恒xm1x2F1x1OF2m1gFm2m1gF2m2g（a） （b） （c）圖3-12解 以如圖3-12（a）所示的彈簧連接的兩塊木板組成的彈性系統(tǒng)、以及和地球組成的重力系統(tǒng)為研究對象，兩塊木板的處于始末狀態(tài)和受力情況分別如圖3-12（b）和（c）所示初刻，彈簧壓縮形變量為x1，彈性勢能為，設此時系統(tǒng)重力勢能為零，系統(tǒng)機械能為下面的板剛好被提離地面時，彈簧伸長形變量為x2，彈性勢能為，重力勢能為，系統(tǒng)機械能為機械能守恒，得即 兩邊同除以，得 (

15、1)初始時，由圖3-12（b）可見，m1處于平衡狀態(tài)，因，則有 (2)m2剛好被提離地面時，由圖3-12（c）可見，地面壓力為零，m2處于平衡狀態(tài)，因，則有 (3)(2)式減去(3)式得 將(1)式代入上式，得3-13 質量m的小球從光滑的軌道下滑，然后進入半徑為R的圓形軌道，開始下滑時，小球的高度，如圖3-13（a）所示求：（1）小球在什么位置脫離圓軌道；（2）小球脫離圓軌道之后，能達到的最大高度；（3）經(jīng)過高度為R的A點時，小球對軌道的壓力v CR FN AH A mg（a） （b）圖3-13分析 當物體在光滑表面上運動時，支承面對物體的壓力不作功，系統(tǒng)機械能守恒在曲線形軌道上運動時，軌道

16、的壓力和重力的法向分量使物體產(chǎn)生法向加速度物體脫離軌道的瞬間，軌道的壓力為零，只有重力的法向分量使物體產(chǎn)生法向加速度解 （1）小球在軌道上某點C受力情況如圖3-13（b）所示，此時速度為，則法向運動方程為 (1)如果就在C點脫離圓軌道，由上式得 (2)小球運動過程中軌道壓力方向始終與運動方向垂直，不作功，只有重力作功，機械能守恒取軌道最低點為重力勢能零點，初始時小球勢能為，到達C點時高度為，勢能為，動能為，由機械能守恒定律得 (3)由(2)和(3)式，且，解得 (4)（2）小球離開軌道后作拋體運動，水平方向速度不變，等于C點速度的水平分量最高點高度為，重力勢能為，動能為，應用機械能守恒定律，得

17、 (5)由(2)、(3)、(4)和(5)式，解得（3）位于A點時，由(1)式得應用機械能守恒定律，得從以上兩式得 3-14 勁度系數(shù)為的彈簧，水平放置，其一端固定在墻上，另一端被質量為8 kg的物體壓縮，當彈簧形變量為15 cm時，將物體釋放，在彈簧的作用下，物體水平射出，物體和平面間摩擦力為5 N，（1）求彈簧恢復原長時，物體的速度；（2）若彈簧恢復原長后，物體和彈簧就脫離接觸，求物體此后能跑多遠分析 根據(jù)受力和各作用力作功的不同情況，將運動過程分階段討論，可以分別應用動能定理和功能原理求解解 （1）取物體與彈簧組成的彈性系統(tǒng)為研究對象，在彈簧恢復原長的過程中，重力和平面支承力不作功，摩擦力

18、作負功，彈簧的彈性力是保守力，根據(jù)功能原理，摩擦力所作的功應等于系統(tǒng)機械能的增量初始時，彈簧被壓縮量，彈性勢能為；彈簧恢復原長時，速度為v，動能為，則有得（2）物體和彈簧脫離后，在摩擦力作用下作減速運動，設此后位移為s，應用動能定理，摩擦力所作的功應等于物體動能的增量，則得 圖3-153-15 如圖3-15所示，自動卸料車重量為G2，連同料重為G1，它從靜止開始沿著與水平方向成角的斜面下滑，滑到底端時與一呈自然長度的輕彈簧相碰，當彈簧壓縮量達最大時，卸料車自動翻斗卸料，然后因彈簧的彈性力作用，料車反彈沿斜面回到原有高度設車與斜面間的摩擦力為車重的0.25倍，求的值分析 由于卸料車下滑與返回過程

19、的受力情況不同，應分兩階段分析討論因為整個過程中除摩擦力外，沒有其他的非保守力和外力作功，所以可以應用功能原理求解解 以卸料車與彈簧和地球組成的彈性和重力系統(tǒng)為研究對象在下滑階段，料車載重，設料車行程的高差為h，彈簧最大壓縮量為，取斜面頂端為重力勢能零點，則重力勢能增量為，彈簧彈性勢能增量為，摩擦力作功為，應用功能原理，得在料車返回過程中，重力勢能增量為，彈簧彈性勢能增量為，摩擦力作功為，應用功能原理，得由以上兩式可得3-16 如圖3-16所示，滑塊置于一豎直輕彈簧上，彈簧原長為R，用力使彈簧壓縮到R/2時釋放，則滑塊恰好能通過上方光滑的1/4圓弧形軌道，并由A點拋出(1)求彈簧的勁度系數(shù)；(

20、2)求滑塊落到地面時的水平位置分析 在滑塊離開軌道之前，由于軌道光滑，除重力和彈簧的彈性力外無其他力作功，可以應用機械能守恒定律滑塊離開軌道后，作平拋運動，運用運動學中的公式求解在豎直光滑圓形軌道上運動的物體，只受重力和軌道壓力作用，當物體剛好能通過圓形軌道頂端，表明在頂點時軌道壓力為零，物體圓周運動的法向加速度只由重力產(chǎn)生ARRR圖3-16解 （1）取地面為重力勢能零點，當彈簧被壓縮時，彈性勢能為，重力勢能為，到達A點時，重力勢能為，速度為v，動能為，應用機械能守恒定律得(1)根據(jù)題意，在A點的運動方程為 (2)由以上兩式得（2）滑塊脫離A點后作平拋運動，豎直方向下落距離為2R，水平運動距離

21、為s，則有再利用(2)式，得 3-17 勁度系數(shù)為k 原長為R 的彈簧一端固定在豎立的半徑為R 的大圓環(huán)的頂點A，彈簧另一端連接一環(huán)形重物由位置B 釋放，在重力的作用下重物向下滑移，如圖所示，到達最低點C時的速度剛好為零，如果忽略重物與大圓環(huán)之間的摩擦，求重物的質量以及運動中角加速度為零的位置 AFB 2Cmg圖3-17分析 通常所討論問題中的彈簧的長度方向與物體運動方向相同如果彈簧的長度方向以及伸長或壓縮方向與物體運動方向不同，只要彈簧的彈性形變量為，根據(jù)胡克定律，它作用于物體的彈性力大小就為，系統(tǒng)的彈性勢能就等于解 由于不計摩擦，只有重力和彈簧的彈性力作功，系統(tǒng)機械能守恒初始時，設重力勢能

22、為零，彈性勢能為，達最低點C時，重力勢能為，彈性勢能為，應用機械能守恒定律得則重物質量為 (1)（2）由圖3-17可見，當彈簧與豎直方向夾角為時，重力在圓環(huán)切線方向的分量為；彈簧伸長量為，彈性力為，在圓環(huán)切線方向的分量為，則重物的切向運動方程為令角加速度，得利用（1）式，得 圖3-183-18 在傾角為的光滑斜面上，質量為1.8 kg的物體由靜止開始下滑，到達底部時將一個沿斜面放置的勁度系數(shù)的彈簧壓縮了0.2 m后，達瞬時靜止，求：（1）物體達瞬時靜止前在斜面上滑過的路程；（2）它與彈簧開始接觸時的速率分析 只有重力和彈簧的彈性力作功，將物體和彈簧以及地球共同組成一個保守系統(tǒng)機械能守恒由于實際

23、問題所涉及的都是物體不同位置之間勢能的差值，因此勢能零點的選取不影響結果，只需考慮如何選取可以使表達式最簡單解 （1）設物體在斜面上滑過的路程為s，物體達到的最低點為重力勢能零點，彈簧壓縮量為，彈性勢能為開始下滑時重力勢能為，應用機械能守恒定律，得（2）設物體與彈簧剛接觸時，速度為v，距最低點距離為，此時重力勢能為，應用機械能守恒定律，得3-19 在氣墊導軌上質量為m的滑塊被勁度系數(shù)分別為k1、k2的兩彈簧連接到氣軌的兩端點A、B上起初氣軌水平放置，兩彈簧均處于無形變狀態(tài)，滑塊位于O點，如圖3-19（a）所示現(xiàn)迅速將氣軌的B端抬高，使其與水平面的夾角為，如圖3-19（b）所示，求滑塊運動可能達到的最低點與O點間的距離及滑塊可能達到的最大速率分析 當重力勢能和彈簧的彈性勢能同時存在，應用機械能守恒定律時，應該注意勢能零點的選取問題可以按表達式最簡單的原則選取重力勢能零點，而彈性勢能零點則通常應選取在彈簧無形變位置OOk2 B A k1mk2 B A k1（a） （b）圖3-19解 取氣軌傾斜后O點為重