1、第三講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題一 目標認知學習目標：1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組. 3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決.重點：用二元一次不等式（組）表示平面區域，利用圖解法求得線性規劃問題的最優解.難點：把實際問題轉化成線性規劃問題，并給出解答，解決難點的關鍵是根據實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函數，利用圖解法求得最優解。二 知識要點梳理知識點一：二元一次不等式（組）的定義1.二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的最高次數是1的不等式叫做二元一次不等式

2、。2.二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。3.二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式（組）的和的取值構成有序實數對，所有這樣的有序實數對構成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集。知識點二：用圖形表示不等式（組）1. 一元一次不等式（組）的解集可以用數軸上的區間所對應的圖形表示. 如的圖形表示為（如圖），其中1叫界點.2. 二元一次不等式（組）的解集與平面直角坐標系內的點之間的關系：二元一次不等式（組）的解集是有序實數對，而點的坐標也是有序實數對，因此，有序實數對就可以看成是平面內點的坐標，因此，二元一次不等式（組）的解集就可以看成是直角坐標系內的點

3、構成的集合。3.二元一次不等式所表示的平面區域：在平面直角坐標系中，直線將平面分成兩部分，平面內的點分為三類：直線上的點（x，y）的坐標滿足：；直線一側的平面區域內的點（x，y）的坐標滿足：；直線另一側的平面區域內的點（x，y）的坐標滿足：。即二元一次不等式或在平面直角坐標系中表示直線的某一側所有點組成的平面區域，直線叫做這兩個區域的邊界，（虛線表示區域不包括邊界直線，實線表示區域包括邊界直線）。4二元一次不等式表示哪個平面區域的判斷方法由于對在直線同一側的所有點，把它的坐標代入，所得到實數的符號都相同，所以只需在此直線的某一側取一特殊點，從的正負即可判斷表示直線哪一側的平面區域.（特殊地，當

4、時，常把原點作為此特殊點）以上判定方法簡稱為“直線定界、特殊點定域”法.5.不等式組所表示的平面區域由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區域，是各個不等式所表示的平面區域的公共部分。知識點三：線性規劃的有關概念：1. 線性約束條件：如果兩個變量、滿足一組一次不等式組，則稱不等式組是變量、的約束條件，這組約束條件都是關于、的一次不等式，故又稱線性約束條件2. 線性目標函數：關于、的一次式是欲達到最大值或最小值所涉及的變量、的解析式，叫線性目標函數3. 線性規劃問題：一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題4. 可行解、可行域和最優解：在線性規劃問題中，滿

5、足線性約束條件的解叫可行解；由所有可行解組成的集合叫做可行域；使目標函數取得最大或最小值的可行解叫線性規劃問題的最優解。規律方法指導1.判斷二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直線的哪一側的方法：因為對在直線Ax+By+C =0同一側的所有點(x ,y)，數Ax+By+C的符號相同，所以只需在此直線的某一側任取一點(x0, y0)（若原點不在直線上，則取原點(0,0)最簡便），它的坐標代入Ax+By+c，由其值的符號即可判斷二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直線的哪一側.2. 畫二元一次不等式或表示的平面區域的基本步驟：畫出直線（有等號畫實線，無等

6、號畫虛線）；當時，取原點作為特殊點，判斷原點所在的平面區域；當時，另取一特殊點判斷；確定要畫不等式所表示的平面區域。簡稱：“直線定界，特殊點定域”方法。3.在應用線性規劃的方法時，一般具備下列條件：一定要能夠將目標表述為最大化（極大）或最小化（極小）的要求；一定要有達到目標的不同方法，即必須要有不同的選擇的可能性存在；所求的目標函數是有約束（限制）條件的；必須將約束條件用代數語言表示成為線性等式或線性不等式（組），并將目標函數表示成為線性函數。4.對于只有兩個變量的線性規劃(即簡單的線性規劃)問題，可以用圖解法求解其基本的解決步驟是： 設變量，建立線性約束條件及線性目標函數； 畫出可行域； 求

7、出線性目標函數在可行域內的最值(即最優解)；作答5.線性規劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應用：在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；給定一項任務，如何合理安排和規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務三典型例題透析類型一：二元一次不等式（組）表示的平面區域例1. 畫出不等式表示的平面區域。解析：先畫直線（畫成虛線）.取原點代入得,原點不在表示的平面區域內，不等式表示的區域如圖：總結升華：1. 畫二元一次不等式表示的平面區域常采用“直線定界，特殊點定域”的方法。特殊地，當時，常把原點作為此特殊點。2. 虛線表示區域不包括邊界直線，實線表示區域包括邊界

8、直線舉一反三：【變式1】畫出下列不等式所表示的平面區域（1）； （2）【答案】（1） （2）例2. 用平面區域表示不等式組.思路點撥: 不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區域的公共部分。解析：不等式表示直線右下方的區域，表示直線右上方的區域，取兩區域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集。總結升華：不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區域的公共部分。舉一反三：【變式1】畫出下列不等式組表示的平面區域。（1）； （2）； （3）.【變式2】畫出不等式組表示的平面區域并求其面積。【變式3

9、】由直線，和圍成的三角形區域（如圖）用不等式組可表示為。例3. 畫出下列不等式表示的平面區域(1) ； (2) 思路點撥: 將原不等式等價轉化為不等式組，然后畫圖.解析：(1) 原不等式等價轉化為或（無解），故點在區域內，如圖：(2) 原不等式等價為或，如圖總結升華：把非規范形式等價轉化為規范不等式組形式便于求解舉一反三：【變式1】用平面區域表示不等式【變式2】用平面區域表示不等式（1）； （2）； （3）例4.求滿足不等式組的整數解.思路點撥:不等式組的實數解集為直線：，：，：所圍成的三角形區域內部(不含邊界)，求出三條直線的交點，求得區域內點橫坐標范圍，取出的所有整數值，再代回原不等式組轉

10、化為的一元不等式組得出相應的的整數值。解析：設：，：，：，則由，得，由，得由，得于是看出區域內點的橫坐標在內，取，當時，代入原不等式組有，即，得2，區域內有整點。同理可求得另外三個整點、.總結升華：求不等式的整數解即求區域內的整點是教學中的難點，它為線性規劃中求最優整數解作鋪墊。常有兩種處理方法，一種是通過打出網絡求整點；另一種是本題解答中所采用的，先確定區域內點的橫坐標的范圍，確定的所有整數值，再代回原不等式組，得出的一元一次不等式組，再確定的所有整數值，即先固定，再用制約。舉一反三：【變式】求不等式組的整數解。類型二：圖解法解決簡單的線性規劃問題.例5.已知、滿足約束條件，求下列各式的最大

11、值和最小值.（1）； （2）.解析：（1）不等式組表示的平面區域如圖所示：圖2求出交點，作過點的直線:，平移直線，得到一組與平行的直線:,. 可知，在經過不等式組所表示的公共區域內的點且平行于的直線中，當經過點時的直線所對應的最大，所以；當經過點時的直線所對應的最小，所以.（2）不等式組表示的平面區域如圖所示：作過點的直線:，平移直線，得到一組與平行的直線:,. 可知，在經過不等式組所表示的公共區域內的點且平行于的直線中，當經過線段上的所有點時的直線所對應的最大，所以；當經過點時的直線所對應的最小，所以.總結升華：1.本題的切入點是賦予“”恰當的幾何意義：縱截距或橫截距；2.線性目標函數的最大

12、值、最小值一般在可行域的頂點處取得；3.線性目標函數的最大值、最小值也可能在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優解有無數多個，此時目標函數的圖象一定與區域中的一條邊界直線平行舉一反三：【變式1】求的最大值和最小值，使式中的、滿足約束條件.【變式2】求的最大值、最小值，使、滿足條件例6.某企業生產A、B兩種產品，生產每一噸產品所需的勞動力和煤、電耗如下表：產品品種勞動力（個）煤（噸）電（千瓦）A產品394B產品1045已知生產每噸A產品的利潤是7萬元，生產每噸B產品的利潤是12萬元，現因條件限制，該企業僅有勞動力300個，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦，試問該企業生產A、B兩種產品各多

13、少噸，才能獲得最大利潤？思路點撥:本題中條件較多，應分門列類列出約束條件后，再運用圖解法進行求解。解析：設生產A、B兩種產品各x、y噸，利潤為z萬元則，目標函數作出可行域，如圖所示， 作出在一組平行直線7x+12y=t（t為參數）中經過可行域內的點和原點距離最遠的直線，此直線經過點M（20，24）故z的最優解為（20，24），z的最大值為7×20+12×24=428（萬元）。總結升華：簡單線性規劃問題就是求線性目標函數在線性約束條件下的最優解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標函數；（2）由二元一次不等式表示的平面

14、區域做出可行域；（3）在可行域內求目標函數的最優解舉一反三：【變式1】家具公司制作木質的書桌和椅子，需要木工和漆工兩道工序，已知木工平均四個小時做一把椅子，八個小時做一張書桌，該公司每星期木工最多有8000個工作時；漆工平均兩小時漆一把椅子、一小時漆一張書桌，該公司每星期漆工最多有1300個工作時，又已知制作一把椅子和一張書桌的利潤分別是15元和20元，試根據以上條件，問怎樣安排生產能獲得最大利潤?【變式2】某廠生產甲、乙兩種產品，生產甲種產品每件要消耗煤9噸，電力4千瓦，使用勞動力3個，獲利7000元：生產乙種產品每件要消耗煤4噸，電力5千瓦，使用勞動力10個，獲利12000元。有一個生產日

15、，這個廠可動用的煤是360噸，電力是200千瓦，勞動力是300個，問應該如何安排甲、乙兩種產品的生產，才能使工廠在當日的獲利最大，并問該廠當日的最大獲利是多少?【變式3】某運輸公司有7輛載重量為6 t的A型卡車與4輛載重量為10 t的B型卡車，9名駕駛員，在建筑某段高速公路中，此公司承擔了每天至少搬運360 t瀝青的任務，已知每輛卡車每天往返的次數為A型卡車8次，B型卡車6次，每輛卡車每天往返的成本費為A型卡車160元，B型卡車252元，每天派出A型車與B型車各多少輛，才能使公司所花的成本費最低？四基礎達標：1在下列各點中，不在不等式2x+3y5表示的平面區域內的點為（ ） A（0，1） B（

16、1，0） C（0，2） D（2，0）2若點(3,1)和(-4,6)在直線3x-2y+a=0的兩側，則a的取值范圍是( )A. a<-1或a>24 B. a=7或a=24 C. -7<a<24 D. -24<a<73已知x，y滿足條件，則z=2x+y的最大值是（ ）A10 B12 C14 D164 若x，y滿足約束條件，則z=2x+4y的最小值為( )A. 6 B. -6 C. 10 D. -105不等式組 表示的平面區域的面積等于( )A28 B16 C D1216若E為平面上以A(4，1)， B(-1，-6)，C(-3，2)為頂點的三角形區域(包括邊界)，

17、則z4x-3y的最大值與最小值分別為( )A14，18 B14，18 C18，14 D18，147.若變量x、y滿足下列條件：，則使z3x+2y的值最小的(x,y)是( )。A(4.5，3) B(3，6) C(9，2) D(6，4)8.已知A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），平面區域是ABC的約束條件是。9已知D是以點A（4，1），B（1，6），C（3，2）為頂點的三角形區域（包括邊界與內部）。如圖所示。（1）寫出表示區域D的不等式組；（2）設點B（1，6），C（3，2）在直線4x3ya=0的異側，求a的取值范圍。10.某玩具公司每天工作小時的機器上可制造兩種玩具：衛兵和騎兵。制造

18、一個衛兵需要秒鐘和克金屬，制造一個騎兵需要秒鐘和克金屬，每天可供給的金屬量最多為千克，制造一個衛兵的利潤是元，制造一個騎兵的利潤是元，問：每種玩具各制造多少個時利潤最大，最大利潤是多少？11.一根長度為的鋼管，現需要截成長為和的甲、乙兩種毛坯，且甲、乙兩種毛坯的數量比要大于，問怎樣截取最合理？（即剩的最少？）12.以兩種飼料A和B的混合物飼養一動物，每一兩飼料A中含有10克蛋白質，0.5克脂肪和10克碳水化合物；每一兩飼料B中含有5克蛋白質，1克脂肪和10克碳水化合物；A和B的價格為每一兩5分錢和4分錢。每份混合飼料至少應含有100克蛋白質，10克脂肪和180克碳水化合物。問每份混合飼料中A和B各多少，才能使成本最少？能力提升：13在直角坐標系內，滿足不等式x2y20的點（x，y）的集合（用陰影表示）是（ ）14滿足|x|+|y|4的整點(橫縱坐標均為整數)的點(x，y)個數是()(A) 16 (B) 17 (C) 40 (D) 4115集合M=(x,y)|2y3x+5，集合P=(x，y)|y-4x+8，集合S=(x,y)|7y5x-10,若T=(MP)S，