1、2018年中國研究生數學建模競賽B題光傳送網建模與價值評估1. 背景2009年諾貝爾物理學獎授予了英籍華人高錕（Charles K. Kao）博士，以表彰他對光纖通信發展所做出的貢獻，諾貝爾獎委員會在給公眾的公開信中寫到：“當諾貝爾物理學獎宣布的時候，世界大部分地方幾乎瞬間收到了這條信息文字、語音和視頻信號沿著光纖在世界各地來回傳輸，幾乎瞬時地被微小而便捷的設備接收，人們已經把這種情況當做習慣。光纖通信正是整個通信領域急速發展的前提。”從誕生至今，50多年里基于數字光纖通信技術的光傳送網構建起了全球通信的骨架。從城市內的傳輸，直到跨越大洋的傳輸，光傳送網為人類提供了大容量、高可靠性和低能耗的信

2、息傳輸管道，人類對通信容量的追求也成為光傳送技術發展的源源不斷的動力。光傳送網的規劃與建設是運營商、設備商以及政府必須考慮的課題。光傳送的基本規律是在相同技術條件下傳輸的容量會隨著傳輸距離增加而減小。網絡規劃者需要在有限資源的條件下，綜合考慮傳輸距離，傳輸容量、網絡拓撲等各種因素，以最大化網絡的價值。本課題中，請你們站在上述角度，從底層物理出發為光傳送鏈路建模，制定光傳送網規劃，探索光傳送網有關規律。本課題的內容包括：1) 對光傳送鏈路進行簡單建模 2) 制定光傳送網的規劃，并探討網絡的價值3）改進調制格式2. 問題-1：光傳送鏈路建模現代數字傳輸系統可認為是對0101二進制序列進行編碼傳輸的

3、系統，1個二進制的0或1稱為1個比特（bit）。無論是語音、視頻還是任何類型的消息，都可以數字化為一串串”0101”的二進制比特序列，經編碼并調制為某個“載體信號”后，再經過特定的“信道”（信息的通道）傳輸到目的地。圖1中給出了簡化的模型。在光纖通信中，光纖就是信道，光纖傳輸的光波就是信息的載體。信道中無法避免的噪聲可能導致最終接收的二進制序列中比特出錯，即產生誤碼。圖1 簡化后的數字傳輸模型二進制序列通常需要將K個比特作為一個“符號”進行傳輸，每個符號有2K個不同狀態。光傳輸利用光波的復振幅承載信號，因此可用復平面上不同的點來對應不同的符號狀態，這種將符號狀態畫在復平面上的圖稱為“星座圖”，

4、圖上的點稱為“星座點”。如圖2(a)所示的QPSK（Quadrature Phase Shift Keying）調制，經過信道疊加噪聲和接收機處理后，接收端的星座圖不再是理想的四個點，而是會出現擴散。當接收機收到1個符號時，就將發送的符號判定為離該符號最近的星座點。顯然，如果噪聲過大，接收到的符號可能被判錯從而產生誤碼，如圖2(b)中的藍點。誤碼率（Bit Error Ratio, BER）定義為錯誤的比特數占總傳輸比特數的比例，例如傳輸了50個符號共100個比特，其中有1個符號被誤判為相鄰的符號，錯誤了1個bit，則誤碼率為0.01。BER是衡量通信系統性能的最根本指標，采用糾錯編碼，只要糾

5、前BER小于某個門限值（BER容限點），糾錯編碼后就能實現糾后誤碼率為零的傳輸，本題中BER都是指糾錯編碼前的誤碼率（糾前BER）。圖2 星座圖與噪聲導致誤碼的示意圖圖3 信號和噪聲的相關定義示意圖圖3中理想星座點用sk表示，接收到的符號用rk表示，則噪聲為 nk=rk-sk (1) 噪聲通常服從均值為0的正態分布。噪聲的方差等于噪聲的平均功率，定義為Pn=1Nk=1Nnk2 (2)其中N為總共傳輸的符號數。信號平均功率定義為發送符號絕對值平方的均值：Ps=1Nk=1Nsk2 (3)定義信號和噪聲功率的比值為信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR），SNR=Ps/Pn (

6、4)工程上通常用dB作為SNR的單位，定義為SNRdB=10log10(Ps/Pn) (5)增大十倍為加10dB，減小0.5倍為減去3dB。本題中功率單位統一為毫瓦（mW），星座圖實部和虛部單位為mW。光傳輸鏈路由多個相同跨段的級聯而成。如圖4所示，幾十km的光纖和一個放大器構成了1個跨段。信號每傳輸15km，光功率衰減一半，經過一段光纖傳輸后，需要用放大器對光功率進行補償。在信號、噪聲同步放大的同時，放大器還引入自發輻射噪聲, 公式為Pn=2hfB(NF-1/Gain)，其中是h是普朗克常數（6.62606896×10-34 JS），f是光波頻率（可定為193.1THz），B為帶寬

7、（設為50GHz），NF為噪聲指數（可設為4），Gain為補償光纖衰減所對應的功率增益。另一方面，光纖作為一種傳輸介質，其本身的非線性效應也會等效地引入噪聲。其等效噪聲功率與入纖功率近似呈平方關系，光纖功率為1mW時的非線性噪聲約等于單個放大器噪聲的2/3。放大器的自發輻射噪聲和光纖的非線性噪聲都是加性噪聲。非線性噪聲在每跨開頭疊加，放大器噪聲在每跨末尾疊加；每跨中間信噪比保持不變。每跨疊加的噪聲間相互獨立。圖4 基本的光傳輸鏈路模型子問題-1）糾前誤碼率與信噪比計算 星座圖的編碼分布模式也稱為調制格式，對于給定的調制格式，BER和SNR呈一一對應的關系，糾前BER門限對應的SNR記做“SNR

8、容限點”。給出圖5中所示的三種調制格式及編碼方式（相鄰星座點距離相等），每個符號等概率出現，分別稱為QPSK，8QAM (Quadrature Amplitude Modulation, QAM)，16QAM。請給出BER與SNR的關系曲線，BER=0.02時SNR容限點分別為多少？圖5 三種調制格式的編碼方案子問題-2）光鏈路性能計算當單跨傳輸距離為80km和100km兩種情況，以糾前誤碼率0.02為門限，圖5給出的傳輸格式最遠的傳輸距離（每跨距離×跨段數量）是多少？3. 問題-2光傳送網規劃表1給出進一步優化升級后的三種典型光傳輸設備參數。考慮到通信網絡的目的是把更多的人更充分地

9、連接到一起，我們按照如下方式定義網絡的價值：1） 每條直接連接兩個城市/區域的鏈路當做1個連接，每個連接的價值定義為傳輸的容量與連接區域人口數的乘積（取兩區域人口數乘積的0.5次方）2） 網絡的價值則是所有連接價值的加權和網絡價值=權重*容量*人口 (6)以圖5給出的北京、南京、上海三座城市為例，若相互之間均互有連接，根據城市的距離可得出能傳輸的容量。若每條鏈路的權重為1，進而再由人口算出網絡價值（Network Value, NV）為NV =21×24m×16Tb/s+21×8m×16Tb/s+24×8×32Tb/s1010mTb/

10、s (7)其中m代表百萬人(million)，Tb/s=1012bit/s, 該網絡的連接數為3。然而由于資源等因素制約，網絡往往并不能讓每對節點都直接連接，但可通過中間節點連接起來。以圖5(b)為例，網絡連接數為2，北京和南京之間需通過上海中轉。若北京上海之間的傳輸僅保留一半容量(100Gb/s)，而另一半容量用于南京到北京的信號傳輸(100Gb/s)，相應地南京與上海之間的直接傳輸容量也會降低至300Gb/s，此時網絡的價值為 NV=21×24m×8Tb/s+21×8m×8Tb/s+24×8×24Tb/s616mTb/s (8)

11、根據需要兩個節點之間也可以有多個連接。圖6 三個節點網絡示意圖表1 不同傳輸格式的傳輸距離單波傳輸容量最大傳輸距離總容量100 Gb/s3000 km8 Tb/s200 Gb/s1200 km16 Tb/s400 Gb/s600 km32 Tb/s請你們隊考慮價值與需求為圖6中的我國城市群制定光傳送網規劃，圖中共有12個區域(其中北京/天津，深圳/廣州均按1個區域對待)， 子問題-1:如果連接數從16增加到33條時，不考慮中間節點，給出你們的兩個網絡規劃及其價值。網絡價值最多是多少？子問題-2：存在中間節點，且兩個節點之間可以有多個連接的情況下，重新解決子問題-1并給出所有中間節點傳輸容量的分配，假定每條鏈路容量可任意分配，只要總容量不超過表1的規定。如果由市擴大為省（區）影響如何？（人口請從網上查找）子問題-3:光傳送網絡價值有多個側面，例如從運營商的角度，連接經濟發達的地區會帶來更多的收入，從政府的角度保障發展相對滯后地區的通信是均衡發展的要求等。你隊認為制定光傳送網絡規劃的目標函數應該是什么？前面制定的規劃有無變化？ 圖7 需要考慮的城市群問題-3 改善星座圖由第一問可知，糾前BER不變時，降低SNR容限點可以提高系統容忍噪聲的能力，從而延長鏈路的總長度。請嘗試