1、【精品文檔】如有侵權，請聯系網站刪除，僅供學習與交流異面直線的夾角專題(教師版).精品文檔.異面直線所成角的幾種方法異面直線所成角的大小，是由空間任意一點分別引它們的平行線所成的銳角（或直角）來定義的準確選定角的頂點，平移直線構造三角形是解題的重要環節本文舉例歸納幾種方法如下，供參考方法一：抓異面直線上的已知點過一條異面直線上的已知點，引另一條直線的平行線(或作一直線并證明與另一直線平行)，往往可以作為構造異面直線所成角的試探目標例1：如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成的角是？ 解：連B1

2、G，則A1EB1G，知B1G F就是異面直線A1E與GF所成的角在B1GF中，由余弦定理，得 cosB1GF0， 故B1G F90°練習1.1：在空間四邊形ABCD中，ADBC2，E，F分別為AB、CD的中點，EF，求AD、BC所成角的大小練習1.2：長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2cm，AA1=4cm，求異面直線BD1與AD所成的角的余弦值？方法二：抓異面直線(或空間圖形)上的特殊點考察異面直線上的已知點不湊效時，抓住特殊點(特別是中點)構造異面直線所成角是一條有效的途徑.例2：設M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點，DEAB于E(如圖)現將ADE沿DE折起，使二面角

3、ADEB為45°，此時點A在平面BCDE內的射影恰為點B，則M、N的連線與AE所成角的大小為多少？解：取AE中點G, 連結GM、BGGMED，BNED，GMED，BNED GMBN，且GMBNBNMG為平行四邊形，MN/BGA的射影為BAB面BCDEBEABAE45°，又G為中點，BGAE即MNAEMN與AE所成角的大小等于90度練習2.1：S是正三角形ABC所在平面外的一點，如圖SASBSC，BMANCS且ASBBSCCSA，M、N分別是AB和SC的中點求異面直線SM與BN所成的角的余弦值證明：連結CM，設Q為CM的中點，連結QN 則QNSMQNB是SM與BN所成的角或其

4、補角連結BQ，設SCa，在BQN中BN NQSMa BQCOSQNB練習2.2：如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M、N分別是A1B1和A1C1的中點，ACBNMA1C1B1若BCCACC1，求NM與AN所成的角的余弦值解：連接MN，作NGBM交BC于G，連接AG，易證GNA就是BM與AN所成的角設：BCCACC12，則AGAN，GNB1M，cosGNA.練習2.3：如圖，在正方體中，E、F分別是、CD的中點求與所成的角。證明：取AB中點G，連結A1G，FG， 因為F是CD的中點，所以GFAD，又A1D1AD，所以GFA1D1，故四邊形GFD1A1是平行四邊形，A1

5、GD1F。設A1G與AE相交于H，則A1HA是AE與D1F所成的角。因為E是BB1的中點，所以RtA1AGABE, GA1A=GAH,從而A1HA=90°,即直線AE與D1F所成的角為直角。方法三：平移(或構造)幾何體有些問題中，整體構造或平移幾何體，能簡化解題過程.例3：如圖，平面，且，則異面直線PB與AC所成角的正切值為多少？解：將此多面體補成正方體，與所成的角的大小即此正方體主對角線與棱所成角的大小，在RtPDB中，即.練習3.1：正ABC的邊長為a，S為ABC所在平面外的一點，SASBSCa，E，F分別是SC和AB的中點求異面直線SA和EF所成角練習3.2：已知正方形ABCD

6、的邊長為1，PD平面ABCD，PD=3（1）求PB與平面ABCD所成角的大小；（2）求異面直線PC與BD的夾角大小作業：一、 選擇題1分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是 （ ）（A）不平行的直線 （B）不相交的直線（C）相交直線或平行直線 （D）既不相交又不平行直線2已知EF是異面直線a、b的共垂線，直線lEF，則l與a、b交點的個數為 （ ）（A）0 （B）1 （C）0或1 （D）0，1或23兩條異面直線的距離是 （ ）（A）和兩條異面直線都垂直相交的直線 （B）和兩條異面直線都垂直的直線（C）它們的公垂線夾在垂足間的線段的長 （D）兩條直線上任意兩點間的距離4設a, b, c是空間的

7、三條直線，下面給出三個命題： 如果a, b是異面直線，b, c是異面直線，則a, c是異面直線； 如果a, b相交，b, c也相交，則a, c相交； 如果a, b共面，b, c也共面，則a, c共面上述命題中，真命題的個數是 （ ）（A）3個 （B）2個 （C）1個 （D）0個ABCSEF5異面直線a、b成60°，直線ca，則直線b與c所成的角的范圍為 （ ）（A）30°，90° （B）60°，90° （C）30°，60° （D）60°，120°6如圖:正四面體SABC中，如果E，F分別是SC，AB的中點

8、，那么異面直線EF與SA所成的角等于 （ ）（A）90°（B）45°（C）60°（D）30°ABCDD1C1B1A1MN7在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是 （ ）（A）（B）（C）（D） 8右圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中， BM與ED平行； CN與BE是異面直線； CN與BM成角；DM與BN垂直以上四個命題中，正確命題的序號是 （ ）（A） （B） （C） （D）9梯形ABCD中AB/CD，AB平面，CD平面，則直線CD與平面內的直線的位置關系只能是 （ ）（A）平行

9、 （B）平行和異面 （C）平行和相交 （D）異面和相交10在空間四邊形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點，且AE ：EFAF ：FD1 ：4，又H、G分別為BC、CD的中點，則 （ ） （A）BD/平面EFGH且EFGH是矩形 （B）EF/平面BCD且EFGH是梯形（C）HG/平面ABD且EFGH是菱形 （D）HE/平面ADC且EFGH是平行四邊形二、填空題11如圖，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點， G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點，將ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數為 12在四面體ABCD中，若AC與BD成60°角

10、，且ACBDa，則連接AB、BC、CD、DA的中點的四邊形面積為 BACDA13在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC3，AA14，則異面直線AB1與 A1D所成的角的余弦值為 14把邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折起，使A、C的距離等于a，如圖所示，則異面直線AC和BD的距離為 三、 解答題15已知AB、BC、CD為不在同一平面內的三條線段，AB，BC，CD的中點P、Q、R滿足PQ2，QR，PR3，求AC與BD所成的角16已知P為ABC所在平面外的一點，PCAB，PCAB2，E、F分別為PA和BC的中點（1）求證：EF與PC是異面直線；（2）EF與PC所成的角；（3）線段EF的長17