1、 6.1 6.1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題6.2 6.2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程6.3 6.3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形6.6 6.6 提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的一些措施6.5 6.5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁目錄第第6 6章章 彎曲變形彎曲變形7-16.1 6.1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題6.1 6.1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題6.1 6.1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題1. 基本概念基本概念撓曲線方程：撓曲線方程：)(xyy 由于小變形，截面形心在

2、由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計方向的位移忽略不計撓度轉角關系為：撓度轉角關系為：dxdy tan撓曲線撓曲線yxxy撓度撓度轉角轉角撓度撓度y：截面形心在：截面形心在y方向的位移方向的位移y向上為正向上為正轉角轉角：截面繞中性軸轉過的角度。：截面繞中性軸轉過的角度。逆時針為正逆時針為正7-26.2 6.2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程2. 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應力時，得到：推導彎曲正應力時，得到：忽略剪力對變形的影響忽略剪力對變形的影響1( )( )zM xxEI 6.2 6.2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程1zMEI由數學知識可知：由數學知識

3、可知：3222)(1 1dxdydxyd 略去高階小量，得略去高階小量，得221dxyd 所以所以zEIxMdxyd)(22 2M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) b。解解1）由梁整體平衡分析得：）由梁整體平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02）彎矩方程）彎矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB 段：段：maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB6.3 6.3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形3）列撓曲線近似微分方程并積分

4、）列撓曲線近似微分方程并積分112112)(xlFbxMdxydEI 1211112)(CxlFbxEIdxdyEI 1113116DxCxlFbEIy AC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxydEI 2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdyEI 2223232)(662DxCaxFxlFbEIy CB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB6.3 6.3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形4）由邊界條件確定積分常數）由邊界條件確定積分常數0)(,22 lylx0)0(, 011 yx代入求解，得代入求解，得位移邊界

5、條件位移邊界條件光滑連續條件光滑連續條件)()(,2121aaaxx )()(,2121ayayaxx lFbFblCC661321 021 DDmaxyab1x2xACDFxAyFByFAByB6.3 6.3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形5）確定轉角方程和撓度方程）確定轉角方程和撓度方程)(6222211bllFbxlFbEI 12231)(661xbllFbxlFbEIy AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIyCB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFABy

6、B6.3 6.3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形6）確定最大轉角和最大撓度）確定最大轉角和最大撓度令令 得，得，0 dxd max,()()6BFabxllaEIl令令 得，得，0 dxdy)(39)(,3322max22EIlblFbyblx maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB6.3 6.3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形而梁中點而梁中點 C 處的撓度為：處的撓度為：122123448CxlFbyylbEI (ab)6.3 6.3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形當集中力無限接近支座當集中力無限接近支座 B (即即b0) 時，梁的最大撓度時，梁的最大撓度截面所

7、處位置截面所處位置為：為：1022max100.064293xxbFblFblyyEIEI 而此時梁中點而此時梁中點 C 處的撓度為：處的撓度為：llblx577.033220 梁的最大撓度梁的最大撓度為：為：12221230.06254816DxlFbFblFblyylEIEIEI 因此以梁中點的撓度代替梁的最大撓度的誤差為：因此以梁中點的撓度代替梁的最大撓度的誤差為：max2max2.65%lyyy 這個誤差在工程上是完全可以接受的。這個誤差在工程上是完全可以接受的。6.3 6.3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形BCaaADaF3FM-FaFaM-FaFaBCaaADaF3FMe=F

8、a例題例題6.3：彎曲剛度彎曲剛度EI相同的兩梁受力如圖，前者為懸臂梁，后者相同的兩梁受力如圖，前者為懸臂梁，后者為簡支梁，試分別畫出兩梁的撓曲線大致形狀。為簡支梁，試分別畫出兩梁的撓曲線大致形狀。6.3 6.3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形分析：分析：1) 撓曲線的曲率與彎矩有關，即在撓曲線的曲率與彎矩有關，即在M0的梁段，撓曲線曲率為的梁段，撓曲線曲率為正，形狀為凹；在正，形狀為凹；在M 0的梁段，撓曲線曲率為負，形狀為凸；在的梁段，撓曲線曲率為負，形狀為凸；在M=0的梁段的梁段(AC段段)，撓曲線曲率為零，形狀為直線；在，撓曲線曲率為零，形狀為直線；在M正負號發正負號發生改變的點

9、，對應著撓曲線的拐點。因兩梁的彎矩圖相同，故兩梁生改變的點，對應著撓曲線的拐點。因兩梁的彎矩圖相同，故兩梁的撓曲線凹凸性相同。的撓曲線凹凸性相同。2) 撓曲線的形狀與約束有關，懸臂梁固定端處的撓度和轉角均撓曲線的形狀與約束有關，懸臂梁固定端處的撓度和轉角均為零，而簡支梁在支座處的撓度為零，但轉角一般不為零。因兩梁為零，而簡支梁在支座處的撓度為零，但轉角一般不為零。因兩梁約束不同，故在相同位置的位移不同。約束不同，故在相同位置的位移不同。討討 論論積分法求變形有什么優缺點？積分法求變形有什么優缺點？6.3 6.3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形7-46.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加

10、法求彎曲變形F1F2F1F2wC1F1F2CwC2)(22xMEIydxydEI 設梁上有設梁上有n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉，轉角為角為 ，撓度為，撓度為y，則有：，則有： )(xMEIyii 若梁上只有第若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為個載荷單獨作用，截面上彎矩為 ，轉角，轉角為為 ，撓度為，撓度為 ，則有：，則有：i iy)(xMi由彎矩的疊加原理知：由彎矩的疊加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)( )( 11xMyEIyEIniinii 7-46.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形故故 )(

11、1 niiyy由于梁的邊界條件不變，因此由于梁的邊界條件不變，因此,1niiniiyy1重要結論：重要結論：梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉角，等于在各梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉角的代數和。這就是個載荷單獨作用時的撓度或轉角的代數和。這就是計算彎計算彎曲變形的疊加原理曲變形的疊加原理。6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形懸臂梁懸臂梁 EIlMwEIlMAA22ee EIFlwEIFlAA3232 EIqlwEIqlAA8643 AlFAlMeAlq6.4 6.4 用疊加法求彎曲變

12、形用疊加法求彎曲變形簡支梁簡支梁 EIFlwEIFlCA481632 EIqlwEIqlCA38452443 EIlMEIlMBA36ee BA2l2lCqBA2l2lCMeBA2l2lCF EIlMwC162e例題例題6.4：已知簡支梁受力如圖示，已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求均為已知。求C 截面的撓度截面的撓度yC ；B截截面的轉角面的轉角 B1）將梁上的載荷分解）將梁上的載荷分解321CCCCyyyy 321BBBByC1yC2yC32）查表得）查表得3種情形下種情形下C截面的截面的撓度和撓度和B截面的轉角截面的轉角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333E

13、IqlyC384541EIqlyC4842EIqlyC1643解解6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形3） 應用疊加法，將簡單載荷作應用疊加法，將簡單載荷作用時的結果求和用時的結果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiByC1yC2yC36.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形例題例題6.5：已知：懸臂梁受力如圖已知：懸臂梁受力如圖示，示，q、l、EI均為已知。求均為已知。求C截面截面的撓度的撓度yC和轉角和轉角 C1）首先，將梁上的載荷變成

14、）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形有表可查的情形 為了利用梁全長承受均布為了利用梁全長承受均布載荷的已知結果，先將均布載載荷的已知結果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在變原來載荷作用的效果，在AB 段還需再加上集度相同、方向段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。相反的均布載荷。 Cy解解6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形Cy2Cy1Cy2By,841EIqlyC ,248128234222lEIqlEIqllyyBBC EIqlC631EIqlC4832 EIqlyyiCiC384414213）將結果疊加）將結果疊

15、加 EIqliCiC4873212）再將處理后的梁分解為簡單）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自載荷作用的情形，計算各自C截截面的撓度和轉角。面的撓度和轉角。 6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形解：解：將將AC段分為段分為AB和和BC兩段進行研究。兩段進行研究。AB段可視為懸臂梁受均段可視為懸臂梁受均布荷載作用，布荷載作用，BC段可視為簡支梁分別作用有段可視為簡支梁分別作用有集中集中荷載及在荷載及在B作用有作用有一集中力和一集中力偶。一集中力和一集中力偶。如下圖示：如下圖示：AaDF=qawACq2aBBaw2

16、qqaqa2/2AAaDF=qaw1C2aBqaqa2/2=+ 簡支梁簡支梁上集中力上集中力qa作用作用在支座在支座B處，不會使梁產生彎曲變形。處，不會使梁產生彎曲變形。A端及端及D處撓度和處撓度和B處轉角是集中處轉角是集中荷載荷載F及集中力偶及集中力偶qa2/2分別作用分別作用的疊加結果的疊加結果。例題例題6.6：外伸梁受力如圖所示，試用疊加法求截面外伸梁受力如圖所示，試用疊加法求截面B的轉角和的轉角和A端端及及BC段中點段中點D的撓度。的撓度。6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形EIqaEIqlw88442考慮簡支考慮簡支梁梁，由表查出，由表查出BC段段B端端轉角和轉角和D

17、處撓度處撓度:A端撓度端撓度wA由兩部分組成：由兩部分組成：BC段段B端轉角引起的端轉角引起的A端端撓度撓度w1和和AB段上均布載荷段上均布載荷q造成的彎曲變形引起的造成的彎曲變形引起的A端撓端撓度度w2。由疊加法得。由疊加法得:EIqaEIaqaEIaqaBMBFB12322/162322)(EIqaEIaqaEIaqawwwDMDFD241622/4824223()考慮考慮懸臂梁懸臂梁，由表查出，由表查出AB段段自自由端撓度：由端撓度：Baw2qqaqa2/2AAaDF=qaw1C2aBqaqa2/2EIqaEIqaEIaqawawwwBA245812443221()6.4 6.4 用疊加

18、法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形解：解：將將AC段分為段分為AB和和BC兩段進行研究。兩段進行研究。AB段可視為懸臂梁集中力作用在自由端，段可視為懸臂梁集中力作用在自由端，BC段可視為懸臂梁分別有一集中力和一集段可視為懸臂梁分別有一集中力和一集中力偶作用在自由端。中力偶作用在自由端。對以上各種載荷情對以上各種載荷情況，均可由表查出自由端變形況，均可由表查出自由端變形:AFBA1FwA1Faa321132AAFaFaABwEIEI ：32323 22 22 22BFBFBMBMFaFaBCwEIEIFaFawEIEI ：ABCFaaEI2EIFBwBFaBCBawA2EIFaEIFawwwBMBF

19、BBMBFB4312523例題例題6.7：變截面懸臂梁變截面懸臂梁AC受力如圖所示，已知受力如圖所示，已知EI為常數，試用疊為常數，試用疊加法求加法求A截面的轉角和撓度。截面的轉角和撓度。6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形AFBA1FwA1FaaABCFaaEI2EIFBwBFaBCBawA2EIFawwwAAA23321()由疊加法得由疊加法得:)(EIFaBAA4521EIFaawwBBA6732 B點的變形對點的變形對A點的影響是兩部點的影響是兩部分組成的：分組成的：B點的撓度點的撓度wB 和和A點繞點繞B點剛性地轉動點剛性地轉動 B 角所造成的位移角所造成的位移 B

20、a。因此。因此:6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形CAB2l2lwCqb)43(48)d()43(48dd2222xlEIxxqxlEIFxwC xxxlEIqwwbCCd)43(48d220 )23(48222blEIqb 例題例題6.8：等截面簡支梁等截面簡支梁AB手里如圖所示，已知手里如圖所示，已知EI為常數，試求梁為常數，試求梁重點重點C的撓度，設的撓度，設bl/2。6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形梁的設計：利用強度條件設計，利用剛度條件校核。梁的設計：利用強度條件設計，利用剛度條件校核。剛度條件：剛度條件： lwlwmax max lw精密機床主

21、軸精密機床主軸 齒輪齒輪 ( 0.0010.005) rad 10000150001 75014001 100012501 土建土建吊車梁吊車梁梁的剛度條件梁的剛度條件6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形 解：解： (1) 根據強度條件選擇梁的工字鋼型號根據強度條件選擇梁的工字鋼型號 梁的最大彎矩為：梁的最大彎矩為： Mmax =Fab/l=30 2 1/3=20kNm =2 107Nmm 梁所需抗彎截面模量為：梁所需抗彎截面模量為： 3357max1251025. 1160102cmmmMWz例題例題6.9：工字梁工字梁AB如圖所示，已知如圖所示，已知F=30kN，l=3m，

22、a=2m，b=1m，E=200GPa，=160GPa，wmax/l=1/400，試選擇梁的工，試選擇梁的工字鋼型號。字鋼型號。abAFBl6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形00212. 0300036. 6maxlw f/L=1/400=0.0025mmblEIFbw36.6101130102004810004300031000103043484322322max因此選擇因此選擇16號工字鋼可同時滿足強度和剛度條件。號工字鋼可同時滿足強度和剛度條件。由型鋼表查出由型鋼表查出16號工字鋼的抗彎截面模量和慣性矩分別號工字鋼的抗彎截面模量和慣性矩分別為：為：Wz =141cm3 ，

23、Iz =1130cm4 。初步選擇。初步選擇16號工字鋼。號工字鋼。(2) 剛度校核剛度校核此梁撓曲線無拐點，可用跨度中點的撓度代替最大撓度：此梁撓曲線無拐點，可用跨度中點的撓度代替最大撓度：討論討論疊加法求變形有什么優缺點？疊加法求變形有什么優缺點？6.4 6.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形1. 基本概念：基本概念：超靜定梁：超靜定梁：支反力數目大于有效平衡方程數目的梁支反力數目大于有效平衡方程數目的梁多余約束：多余約束：從維持平衡角度而言從維持平衡角度而言,多余的約束多余的約束超靜定次數：超靜定次數：多余約束或多余支反力的數目。多余約束或多余支反力的數目。2. 求解方法：求解方法

24、：解除多余約束，建立相當系統解除多余約束，建立相當系統比較變形，列變形協調條比較變形，列變形協調條件件由物理關系建立補充方程由物理關系建立補充方程利用靜力平衡條件求其他約利用靜力平衡條件求其他約束反力。束反力。相當系統：相當系統：用多余約束力代替多余約束的靜定系統用多余約束力代替多余約束的靜定系統7-66.5 6.5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁解解例題例題6.10：求梁的支反力，梁的抗求梁的支反力，梁的抗彎剛度為彎剛度為EI。1）判定超靜定次數）判定超靜定次數2）解除多余約束，建立相當系）解除多余約束，建立相當系統統0)()(ByFBFBByyy 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAA

25、FAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC3）進行變形比較，列出變形協）進行變形比較，列出變形協調條件調條件6.5 6.5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁4）由物理關系，列出補充方程）由物理關系，列出補充方程 EIFaaaEIaFyFB314)29(6)2()(32EIaFyByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy475）由整體平衡條件求其他約束反力）由整體平衡條件求其他約束反力 )(43),(2FFFaMAyA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFA

26、yACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAAA AM MA Ay yF F6.5 6.5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁例題例題6.11：梁梁AB 和和BC 在在B 處鉸接，處鉸接，A、C 兩端固定，梁的抗彎剛兩端固定，梁的抗彎剛度均為度均為EI，F = 40kN，q = 20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。畫梁的剪力圖和彎矩圖。 從從B 處拆開，使超靜定結構變處拆開，使超靜定結構變成兩個懸臂梁。成兩個懸臂梁。變形協調方程為：變形協調方程為：21BByyBBFFFByB1 FByB2物理關系物理關系EIFEIqyBB3484341322423 4263BBFFyEIEI解解6.5 6.5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁FB FByB1yB2kN75. 8484204610402334