1、.第六章第六章 價值分析基礎：貼現價值分析基礎：貼現Discounting.內容內容l6.1 貼現：貼現的計算貼現：貼現的計算 ，貼現率，等值性。，貼現率，等值性。l6.2 簡化公式：一系列有規律的現金流的復利與簡化公式：一系列有規律的現金流的復利與貼現計算。貼現計算。l永續年金，永續增長年金。永續年金，永續增長年金。l年金，增長年金。年金，增長年金。.6.1 貼現貼現 Discounting 1 貼現的計算l確定未來金額之現在價值的確定未來金額之現在價值的過程過程l與復利計算與復利計算(compounding)正好相反正好相反l現值（現值（present value,PV）公式：公式：l復利

2、終值（復利終值（futurevalue,FV）公式：公式： ttrCPV 1 trCFV 10.復利終值復利終值（future value, compound value）公式：）公式：表示（復利終值系數，以)n, i ,P/F)i()i(PVFVnn11. 現值現值（PV）將來的一筆收付款折合為現在的價值。)n, i ,F/P(FV)i(FVPVn1復利現值系數復利現值系數 1/(1+ i ) n 計作計作（P/F，i，n) 計算現值的過程也叫做貼現，其中最重要的是確定貼現率。計算現值的過程也叫做貼現，其中最重要的是確定貼現率。.l在復利計算下：現值終值現值終值復利現值系數復利現值系數終值現

3、值終值現值復利終值系數復利終值系數l在同期限及同利率下:復利現值系數與復利終值系數互為倒數關系。.l基本假設：基本假設：l再投資風險為零l不同期限的投資收益率相同，即收益率曲線是水平的。.l如果你能投資賺取如果你能投資賺取10%年收益，且得到了年收益，且得到了一年后收入一年后收入$1的承諾，這項承諾今天價值的承諾，這項承諾今天價值多少？多少？l如果如果$1是要等兩年后才能得到呢？是要等兩年后才能得到呢？.現金流量圖現金流量圖單期貼現單期貼現Single-period discountingInterest rate = 10%01$1P = ?909. 0$10.11$ P.現金流量圖現金流量

4、圖雙期貼現雙期貼現Two-period discountingInterest rate = 10%012$1P = ? 826. 0$10.11$2 P.2 現值系數現值系數與與現值表現值表r =t1%2%3%1.990.980.9712.980.961.943現值系數現值系數present value factor tr 11.3 貼現率貼現率 Discount Ratel投資者資金的機會成本投資者資金的機會成本l亦即投資者的預期收益率亦即投資者的預期收益率l常被用于就風險來調整投資的現金流量，所以又稱常被用于就風險來調整投資的現金流量，所以又稱風險調整貼現率風險調整貼現率 (risk-a

5、djusted discount rate).風險調整貼現率的構成風險調整貼現率的構成Risk-adjusted discount rate風險調整貼現率風險調整貼現率 = 無風險利率無風險利率+通脹率通脹率+風險溢價風險溢價Risk-free interest rate對機會成本對機會成本的補償的補償Inflation premium對購買力下降的對購買力下降的補償補償Risk premium對所擔風險的補對所擔風險的補償隨投資風險增償隨投資風險增大而增加大而增加Expected return風險資產的預期風險資產的預期收益率收益率.風險調整貼現率的另一種表示風險調整貼現率的另一種表示風險調

6、整貼現率風險調整貼現率 = 政府債券利率政府債券利率+風險溢價風險溢價前兩項和相當于政府債前兩項和相當于政府債券的預期收益率券的預期收益率/銀行存銀行存款利率款利率.復利與貼現計算舉例復利與貼現計算舉例例例1：老張正考慮出售一片空地。昨天，甲提出以：老張正考慮出售一片空地。昨天，甲提出以10萬元作一次性征地補償，他正準備接受；又有一萬元作一次性征地補償，他正準備接受；又有一個人乙報價個人乙報價107,219元，但元，但3年后付款。已知兩買主年后付款。已知兩買主皆有誠意，且均有支付能力，他應選擇哪個報價皆有誠意，且均有支付能力，他應選擇哪個報價呢？呢？（銀行利率（銀行利率2%） .解解1：終值法

7、：終值法若接受報價若接受報價1，將￥，將￥10萬存入銀行，則萬存入銀行，則3年后價年后價值值￥100,000(1.02)3 = 10,000(1.061) = ￥106,100r，公式無意義，公式無意義 (grow broke?).永續增長年金現值公式的要點（三）永續增長年金現值公式的要點（三）時間的假定時間的假定 The Timing Assumptionl現實世界中，現金的流入流出是隨機的、并現實世界中，現金的流入流出是隨機的、并幾乎是連續不斷的幾乎是連續不斷的l在公式中，我們假定現金流的支取是有規律在公式中，我們假定現金流的支取是有規律的，這樣可以節約很多計算時間，因而是合的，這樣可以節

8、約很多計算時間，因而是合理的，應用中只要不忘這是一個理的，應用中只要不忘這是一個“假定假定”.3 年金年金 Annuityl持續一段時期的等額現金流，最常見的金融工具，如：持續一段時期的等額現金流，最常見的金融工具，如：l養老金的發放養老金的發放l抵押貸款的等額還款抵押貸款的等額還款l租賃費繳納租賃費繳納 ?111132 trCrCrCrCPV僅收了僅收了t期利期利息的金邊債券息的金邊債券.普通年金普通年金后付年金，在各期期末收付的年金后付年金，在各期期末收付的年金 0 1 2 3 4 5(1+0.1)0=1.0 (1+0.1)1=1.1 (1+0.1)2=1.21 (1+0.1)3=1.33

9、1.普通年金終值普通年金終值 ii)(1n1普通年金終值系數普通年金終值系數記作：（F/A, i , n）i)i(A)i(A)i(A)i(AAFVnn1111112.年金現值簡化公式的推導年金現值簡化公式的推導期期/年末年末0123tt+1t+2現在現在金邊債券金邊債券1CCCCCC金邊債券金邊債券2CC年金年金CCCC金邊債券金邊債券1為一個正常的從第為一個正常的從第1期開始付息的金邊債券；期開始付息的金邊債券；金邊債券金邊債券2則從則從t+1期開始付息。期開始付息。.年金現值簡化公式的推導（續）年金現值簡化公式的推導（續）l一個一個t期內每期收到￥期內每期收到￥C的年金現值，正好等于金邊債

10、券的年金現值，正好等于金邊債券1的現值減去金邊債券的現值減去金邊債券2的現值：的現值：金邊債券金邊債券1的現值：的現值：rCPV 金邊債券金邊債券2的現值：的現值： trrCPV11.年金現值的簡化公式年金現值的簡化公式大括號內為大括號內為年金現值系數年金現值系數Annuity factortrA請自行推導年金終值公式（年付請自行推導年金終值公式（年付息￥息￥C，為期，為期t年，年，1年后起付）年后起付） ttrrrCrrCrCPV111111. 普通年金現值普通年金現值 .普通年金現值普通年金現值nnni)i(i)(A)i(A)i(AiAPV1111112nni)i(1i)(11普通年金現值

11、系數普通年金現值系數記作：（P/A, i , n）.年金現值計算舉例年金現值計算舉例例：廣藥足球隊雇傭了一名現役國腳，合約承諾每例：廣藥足球隊雇傭了一名現役國腳，合約承諾每年酬金￥年酬金￥50萬，在年末支付，共計萬，在年末支付，共計4年。若該名球年。若該名球員有每年員有每年16%的收益機會，該合約目前的價值是的收益機會，該合約目前的價值是多少？多少？ .￥200萬合約的現值萬合約的現值解解1：分期單獨貼現：分期單獨貼現PV = ￥500,000(.862+.743+.641+.552) = ￥1,399,000 解解2：年金現值簡化公式：年金現值簡化公式 000,399, 1000,50016

12、. 116.116.1000,500416.4￥ APV2.798.￥1,399,000 = ￥500,0004年年期初本金期初本金16%16%的利息的利息期末本金期末本金提款提款1￥1,399,000￥223,840 ￥1,622,840￥500,00021,122,840179,6541,302,494500,0003802,494128,399930,894500,0004430,89468,943499,836500,000賬戶在最后一次提款前尚缺賬戶在最后一次提款前尚缺￥164是由于四舍五入誤差是由于四舍五入誤差.年金把戲年金把戲 (一一)遞延年金遞延年金 Deferred annu

13、ityl多期以后開始的年金多期以后開始的年金l指第一次支付發生在第2期或第3期以后的年金.遞延年金遞延年金遞延年金的終值計算方法：遞延年金的終值計算方法：FV=A(F/A，i，n) .遞延年金的現值計算遞延年金的現值計算 l方法方法1：l是把遞延年金視為n期普通年金，求出遞延期末的現值，然后再將此現值調整到第一期初。l方法方法2：l是假設遞延期中也進行支付，先求出(m+n)期的年金現值，然后，扣除實際并未支付的遞延期(m)的年金現值，即可得出最終結果。.例：例：D先生在六年后開始的四年之內，每年會收到￥先生在六年后開始的四年之內，每年會收到￥500，若利，若利率為率為10%，該年金的現值多少？

14、，該年金的現值多少？ 0896751324￥500/年年要弄清確要弄清確切時間切時間.解：計算過程包括兩步解：計算過程包括兩步1.用簡化公式計算年金在用簡化公式計算年金在“現現”值值遞延年金的分步貼現遞延年金的分步貼現 585, 150010. 110.110.1500410.4￥ A易被誤當易被誤當作第作第6期期3.170 29.98410.11585, 15￥ 0.621將第將第5期的期的“現現”值貼現到當前值貼現到當前.年金把戲年金把戲 (二二) 先付年金與后付年金先付年金與后付年金 Annuity in advance & Annuity in arrearsl后付年金：年金的

15、首次支付發生在第后付年金：年金的首次支付發生在第1期期l先付年金：年金的首次支付發生在第先付年金：年金的首次支付發生在第0期期現在現在.預付年金預付年金先付年金，在每期期初支付的年金先付年金，在每期期初支付的年金1i 1) i1(AFV1n1i 1) i1(1n預付年金終值系數預付年金終值系數記作：記作： (F/A，i，n+1)-1.預付年金現值預付年金現值 V預付年金現值系數預付年金現值系數記作：記作： (p/A，i，n-1)+1普通年金與先付年金的現金流量和次數相同，但發生普通年金與先付年金的現金流量和次數相同，但發生的時間不同。因此其終值和現值的計算不同。的時間不同。因此其終值和現值的計

16、算不同。.若前例球員的為期四年每年￥若前例球員的為期四年每年￥50萬萬的年薪不是一年后才開始支付，而的年薪不是一年后才開始支付，而是簽約后立刻支付第是簽約后立刻支付第1年的年薪，年的年薪，則合約現值又是多少？則合約現值又是多少？.先付年金的現值先付年金的現值解：解： 0期的支付期的支付 + 3期后付年金的現值期后付年金的現值000,623, 1000,500000,500316.￥ APV切記：前述簡化公式和切記：前述簡化公式和年金現值系數表都是適用于年金現值系數表都是適用于后付年金的后付年金的.l有限時期內按固定比率增長的現金流有限時期內按固定比率增長的現金流l較永續增長年金常見，計算公式更

17、為有用較永續增長年金常見，計算公式更為有用4 增長年金增長年金 Growing annuity增長年金現值的簡化公式：增長年金現值的簡化公式： trggrCPV111第第1期開始期開始支付的數額支付的數額年金支付年金支付持續期持續期利率利率每期增長率每期增長率推導方法可參照推導方法可參照年金現值公式年金現值公式.增長年金現值計算舉例增長年金現值計算舉例例：王五是一名管科系三年級的學生，她已簽訂一份每例：王五是一名管科系三年級的學生，她已簽訂一份每年￥年￥18,000薪金的工作（薪金的工作（1年后開始支付），預計年薪年后開始支付），預計年薪每年會增長每年會增長5%，直到，直到40年后她退休為止，

18、若年利率為年后她退休為止，若年利率為10%，她工作期間收入的現值為多少？，她工作期間收入的現值為多少？ 解：解：不吃不喝工作一不吃不喝工作一輩子，夠不夠買輩子，夠不夠買一套房子一套房子 ？70.002,30410. 105. 1105.10.000,1840￥ PV.小結小結l貼現是確定未來金額之現在價值的過程，與復貼現是確定未來金額之現在價值的過程，與復利計算利計算(compounding)正好相反。正好相反。l投資者資金的機會成本亦即投資者的預期收益投資者資金的機會成本亦即投資者的預期收益率，常被用于就風險來調整投資的現金流量，率，常被用于就風險來調整投資的現金流量，所以又稱風險調整貼現率所以又稱風險調整貼現率 。l等值性：等值性：現值金額與未來現金流量在價值現值金額與未來現金流量在價值上完全相等。上完全相等。若今天你有現值金額，只若今天你有現值金額，只需按貼現率投資，就可以將它轉換成未需按貼現率投資，就可以將它轉換成未來的現金流量。來的現金流量。.年金年金 Annuityl年金：等額、定期的系列收支l養老金的發放、抵押貸款的等額還款、租賃費繳納普通年金，即后付年金，普通年金，即后付年金，于各期末收付的年金于各期末收付的年金01234預付年金，即于各期期初預付年金，即于各期期初