1、2022年3月6日星期日1/23MathStudioMathStudio for iPadfor iPad 使用方法入門使用方法入門 （7 7）楊輝三角楊輝三角 2014年4月18日2022年3月6日星期日2/23早年工作之余，喜歡涉獵一些科普讀物，物理、數學的都有；這些讀物即開闊了視野，增長了知識，又不失為排遣休閑的好方法。看到華羅庚的從楊輝三角談起，用現代數學方法探究中國古算的奧秘，深入淺出，饒有興趣。 退休后，自由支配的時間充裕了，閑暇無事，找一些數學題琢磨，對于不抽煙、不喝酒、不打牌的“枯燥型”老人，既能延緩大腦退化，又能打發時間，經濟實惠，何樂不為！ 近日，重溫從楊輝三角談起，又選讀

2、了一些關于楊輝三角的課件，頗有啟發，遂萌發了用MathStudio為工具，闡發中國古算題奧秘的念頭。原來覺得深奧難算的高階等差級數題，用MathStudio的 Binomial、list、loopend等函數，竟而簡捷明快、輕而易舉地得到答案。高興之余，整理成文，與同好者共享。 本文引用了一些百度文庫里課件的圖形資料，給我省了很多時間，未查到作者，在此敬向無名作者深致謝意。2022年3月6日星期日3/23 左圖 現稱楊輝三角，本名是開方作法本源或稱乘方求廉圖，是古人對任何數求任意次方根操作過程的運算工具。 設想如果在沒有電腦、計算器 、計算尺、對數表等現代計算工具的情況下，只用紙、筆（甚至紙筆

3、也不用）進行大數值的開高次方運算，我們該怎么做？會嗎？ 在這里，讓我們用MathStudio為工具，探索、演示楊輝三角的一些有趣的特性；這就好比騎著摩托車在古人開辟的古道上徜徉，感受一下前賢先哲們的精微睿智，體驗他們的艱辛苦樂。2022年3月6日星期日4/23上圖是擴展的楊輝三角，增加上圖是擴展的楊輝三角，增加了通項表達式。了通項表達式。每行數字對應于（每行數字對應于（a+ba+b）n n 的的 展開式的分離系數。展開式的分離系數。楊輝三角有很多有趣的特性1.三角形的兩側斜邊上都是數字1，而其余的數都等于它肩上的兩個數字其余的數都等于它肩上的兩個數字相加相加 (C(n,0)=1,C(n,n)=

4、0;C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)2.具有對稱性，每行與首末兩端“等距離 ”的兩個數相等(C(n,r)=C(n,n-r) 3.每一行的第二個數就是這行的行數（C(n,1)=1）4.第n行包含n+1個數，每行數字和為2n。5.所有行的第二個數構成等差數列； 所有行的第三個數構成二階等差數列； 所有行的第r個數構成r-1階等差數列； 6.左下向右上的斜線上數字之和構成斐波那契數列能用能用 MathStudio MathStudio 演繹這些有趣的特演繹這些有趣的特性嗎？請接著看性嗎？請接著看2022年3月6日星期日5/23nCr(n,r) 從n件物品中取出r件物品的組合數，只

5、作數值計算。Binomial(n,r)= n! / r! * (n-r)! , 二項式系數，可有限度地進行符號運算，r可以是非整數。Binomial 比 nCr 有更大的計算范圍因為因為Binomial(n,0)=1Binomial(n,0)=1 Binomial(n,n)=1 Binomial(n,n)=1所以楊輝三角每行兩側斜線數字都是所以楊輝三角每行兩側斜線數字都是1 1 Binomial(n,0),Binomial(n,n+1)以及nCr(n,0), nCr(n,n+1) 本無意義，為便于表達，作為記號分別定義為1，0 2022年3月6日星期日6/23 楊輝三角的基本性質楊輝三角形的每

6、行數列，除兩側斜邊上的數字1外，其余任何一個數都其余任何一個數都等于它肩上的兩個數字相加之和等于它肩上的兩個數字相加之和 上圖上圖 上式，稍加整理、化簡，就得下式上式，稍加整理、化簡，就得下式Binomial(n-1,r-1)+Binomial(n-1,r)=Binomial(n,r)2022年3月6日星期日7/23對 稱 性C(n，r)-C(n，n-r)=0Binomial(n，r)-Binomial(n，n-r)0即即C(n，r)=C(n，n-r)Binomial(n，r)=Binomial(n，n-r)對稱中心（最大值項）對稱中心（最大值項）n=n=偶數時偶數時 r=n/2r=n/2n=

7、n=奇數時奇數時 r1=(n-1)/2r1=(n-1)/2 r2=(n+1)/2 r2=(n+1)/2 注：b=-1.42109E-14 可能是Binomial計算過程的截尾誤差，極小，視為02022年3月6日星期日8/23MathStudio可以列出 指定行的整行數據或任意項的數據根據楊輝三角的通項表達式第n+1行C(n,0),C(n,1),C(n,2)C(n,r)C(n,n)C(n,0),C(n,1),C(n,2)C(n,r)C(n,n)左圖 n=16 的整行數據，a數列有17個數據，向左拖曳a數列表可看到全部數據。這行17個數據之和為 216 = 65536 2022年3月6日星期日9/

8、23 對 稱 性N=17 整行數據當n為奇數時，最大值有2個， r1=(n-1)/2 r2=(n+1)/2 ncr(17,8)=ncr(17,9)=24310 n ncr(n,r)=2n r=02022年3月6日星期日10/23第第n n行，逐項平方和行，逐項平方和 等于等于第第2n2n行的第行的第n n項項 n c (n,r)2= c (2n,n) r=02022年3月6日星期日11/23 楊輝三角 與高階等差級數C(r,r)+C(r+1,r)+C(r+2,r)+C(r+3,r)+C(r+m-1,r)=C(r+m,r+1) nrMathStudioMathStudio可以列出首項為可以列出首

9、項為1 1的的r r階等差級數數列及其前階等差級數數列及其前m m項之和項之和r r階等差級數階等差級數 首項首項1 1，第，第m m項是項是 C C(r+m-1,r(r+m-1,r）, ,前前m m項之和是項之和是 C C(r+m,r+1(r+m,r+1）2022年3月6日星期日12/23楊輝三角的斜線部分楊輝三角的斜線部分 構成等差級數構成等差級數r=2 1，2，3，4 等差級數r=3 1，3，6，10 二階等差級數r=4 1，4，10，20 三階等差級數r=5 1，5，15，35 四階等差級數左上圖 四階等差級數前6項，及6項之和左下圖 五階等差級數前10項，及10項之和 n=r+m-1

10、2022年3月6日星期日13/23MathStudio怎么計算任意高階等差級數從楊輝三角圖的斜線上觀察到的高階等差級數數列都是首項a1=1，dr=1的“原始型”高階等差級數，如果a11，dr1，怎么辦？下面列出運用MathStudio計算任意高階等差級數的通式，式子怎么來的？不贅述了，有興趣的朋友自己找資料探究吧an=an=a a1+C(n-1,1)1+C(n-1,1)d d1+C(n-1,2)1+C(n-1,2)d d2+C(n-1,r)2+C(n-1,r)d dr rSn=C(n,1)Sn=C(n,1)a a1+C(n,2)1+C(n,2)d d1+C(n,3)1+C(n,3)d d2+C

11、(n,r+1)2+C(n,r+1)d dr rnrnr如果要用上式計算r階高階等差級數的第n項，我們必須知道a1,d1,d2,dr的數值,共r+1個數據，用到式子的r+1項常見的二階等差級數，只需知道3個數字，用到式子的3項，很容易。至此，我們可以探討堆垛術了2022年3月6日星期日14/23 堆垛術 長方垛按左上圖題意，酒壇堆垛類似左下圖，上層49，下面每層長寬各遞加1，共8層。各層酒壇數如以下數列：3636，5050，6666，8484，104104，126126，150150，176176各層酒壇數之差為：1414，1616，1818，2020，2222，2424，2626各層酒壇數之差

12、之差為：2 2，2 2，2 2，2 2，2 2，2 2顯然，這是個二階等差級數a1=36,d1=14,d2=2左圖，算出各層酒壇數，累加數為792.按前面的通式計算：n=8,a1=ab=36 d1=(a+1)(b+1)-a1=50-36=14,d2=(a+2)(b+2)-(a+1)(b+1)-d1=66-50-14=2Sn=C(n,1)a1+C(n,2)d1+C(n,3)d2Sn=C(n,1)a1+C(n,2)d1+C(n,3)d2 =8 =836+2836+2814+5614+562=7922=792無誤無誤2022年3月6日星期日15/23長方垛在華羅庚科普著作從楊輝三角談起里，給出了計算

13、長方垛的通式（底層計算長方垛的通式（底層14141010，由，由底層向上遞減）底層向上遞減）：左圖 底層a=14 b=10起，每層長寬各遞減1，10層長方垛的計算結果。a數列 由頂到底，各層個數c 各層累計總和m 按長方垛計算通式的計算結果按前述通式計算：n=10,a1=5,d1=12-5=7,d2=21-12-7=2Sn=C(n,1)a1+C(n,2)d1+C(n,3)d2Sn=C(n,1)a1+C(n,2)d1+C(n,3)d2 =10 =105+455+457+1207+1202=6052=605不同方法計算結果相同不同方法計算結果相同 S2022年3月6日星期日16/23長方垛 Mat

14、hStudioMathStudio用通式的計算程序用通式的計算程序an=an=a a1+C(n-1,1)1+C(n-1,1)d d1+C(n-1,2)1+C(n-1,2)d d2 Sn=C(n,1)2 Sn=C(n,1)a a1+C(n,2)1+C(n,2)d d1+C(n,3)1+C(n,3)d d2 22022年3月6日星期日17/23正方垛如果每層長寬酒壇數相等，就是正方垛各層酒壇數為1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64各層酒壇數之差為3，5，7，9，11，13，15各層酒壇數之差之差為2，2，2，2，2，2Sn=C(n,1)a1+C(n,2)d1+C(n,3)d2Sn

15、=C(n,1)a1+C(n,2)d1+C(n,3)d2 =8 =81+281+283+563+562=2042=204在華羅庚科普著作從楊輝三角談起里，給出了計算正方垛的通式計算正方垛的通式： n=8 代入上式 S=8917/6 = 204計算結果相同S=2022年3月6日星期日 18/23C(0,0)=1, F（1）C(1,0)=1, F（2）C(2,0)+C(1,1)=2 F（3）C(3,0)+C(2,1)=3 F（4）C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=5 F（5）C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=8 F（6） C(n,0)+C(n-1,1)+C(n-2,2)+C(n-ce

16、il(n/2),floor(n/2) = Fibonacci(n+1) n3楊輝三角 與斐波那契數列從左圖可看出從左圖可看出Fibonacci(n)Fibonacci(n)是是4545斜線上數字之斜線上數字之和，數字的個數是和，數字的個數是ceil(n/2)ceil(n/2)因為C(5,0)=C(4,0)=C(3.0)=C(2,0)=1 C(4,1)=C(3,0)+C(3,1) C(3,2)=C(2,1)+C(2,2)所以F(6)=1+C(4,1)+C(3,2) =1+C(3,0)+C(3,1)+C(2,1)+C(2,2) =1+C(3,1)+C(2,2)+1+C(2,1) =F(5)+F(4

17、) 符合斐波那契數列定義，余類推2022年3月6日星期日19/23MathStudio用二項式系數計算斐波那契數列左圖 分別是Fibonacci(9)和Fibonacci(20)的計算結果a數列 楊輝三角圖上相應斜線上的數字b a數列各數字之和2022年3月6日星期日20/23關于數值范圍的限制前面說到運用MathStudio計算任意高階等差級數的通式，似乎說MathStudio法力無邊、神奇無比，如果不說明它的數域范圍，就未免有夸大之嫌了。事實上，我們的計算能力是受到軟硬件限制的；MathStudio這個只有1MB多個頭的精干軟件，它的計算能力究竟怎樣呢？請看左圖：階乘階乘 171171！溢

18、出！溢出 (7.2(7.2E E306)306)nCr (360,125)nCr (360,125)溢出溢出 (2.1(2.1E E99)99)BinomialBinomial（10301030，500500）溢出）溢出 (7.1 (7.1E E307)307)2n 10242n 1024溢出溢出 (8.9(8.9E E307)307)FibonacciFibonacci（605605）溢出）溢出 (7.5(7.5E E125)125)（猜想：觀察上述情況，在一般條件下，（猜想：觀察上述情況，在一般條件下，計算過程允許計算到計算過程允許計算到 E E308,308,在高精度條在高精度條件下，允

19、許計算到件下，允許計算到 E E100100）Binomial比nCn有大得多的數值范圍MathStudioMathStudio內置函數內置函數BinomialBinomial只能計算到第只能計算到第604604項，項，能不能突破這個能不能突破這個“瓶頸瓶頸”呢？能！呢？能！上面左圖是按斐波那契數列的定義，用上面左圖是按斐波那契數列的定義，用loopendloopend逐項計算到第逐項計算到第14761476項項上面右圖是用斐波那契數列的二項式系數表達式（楊輝三角上面右圖是用斐波那契數列的二項式系數表達式（楊輝三角4545斜線），逐項計算到斜線），逐項計算到 第第14761476項，注意：用項

20、，注意：用BinomialBinomial，不要用，不要用nCrnCr兩種方法都能把斐波那契數列的可計算項數擴大兩種方法都能把斐波那契數列的可計算項數擴大2.442.44倍，答案數值擴大了倍，答案數值擴大了1.71.7E E182182倍倍2022年3月6日星期日22/231 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49數字金字塔左圖 網上流傳的數字金字塔求解 第n行的項數，及其首項、 中項、末項、每行數字之和應用前面已有知識很容易得到答案各行的項數：各行的項數： 1，3，5，7，9（2n-12n-1）各行的首項： 1，2，5，10，17，26，37各行首項之差： 1，3，5，7， 9， 11各行首項之差之差： 2，2，2，2， 2這是2階等差級數，