1、第 2 章 符號計算符號計算：解算數(shù)學(xué)表達式、方程不是在離散化的數(shù)值點上進行，而是憑借一系列恒等式，數(shù)學(xué)定理，通過推理和演繹，獲得解析結(jié)果。符號計算建立在數(shù)值完全準確表達和推演嚴格解析的基礎(chǔ)之上，所得結(jié)果完全準確。特點：一相對于MATLAB的數(shù)值計算“引擎”和“函數(shù)庫”而言，符號計算的“引擎”和“函數(shù)庫”是獨立的。二在相當(dāng)一些場合，符號計算解算問題的命令和過程，顯得比數(shù)值計算更自然、更簡明。三大多數(shù)理工科的本科學(xué)生在學(xué)過高等數(shù)學(xué)和其他專業(yè)基礎(chǔ)課以后，比較習(xí)慣符號計算的解題理念和模式。 2.1 符號對象和符號表達式 MATLAB依靠基本符號對象（包括數(shù)字、參數(shù)、變量）、運算符及一些預(yù)定義函數(shù)來構(gòu)

2、造和衍生符號表達式和符號方程。2.1.1 基本符號對象和運算算符1. 生成符號對象的基本規(guī)則l 任何基本符號對象（數(shù)字、參數(shù)、變量、表達式、函數(shù)）都必須借助專門的符號命令sym、syms、symfun定義。l 任何包含符號對象的表達式或方程，將繼承符號對象的屬性。2. 精準符號數(shù)字和符號常數(shù)符號（類）數(shù)字的定義：sym(Num)采用精準數(shù)值類數(shù)創(chuàng)建精準的符號數(shù)字（推薦格式!）sc=sym(Num)采用精準數(shù)值類數(shù)創(chuàng)建精準的符號常數(shù)sc（推薦格式!）說明：若輸入量Num是精準的浮點數(shù)（如0.321、10/3等），能生成精準的符號數(shù)字； 若輸入量Num是諸如sin(0.3)的數(shù)值表達式，那么就只能

3、生成由數(shù)字表達式獲得的16位精度的近似符號數(shù)字。sym('Num') 采用有理分數(shù)字符串創(chuàng)建精準的符號數(shù)字sc=sym('Num') 采用有理分數(shù)字符串創(chuàng)建精準的符號常數(shù)sc說明： Num必須處于（英文狀態(tài)下的）單引號內(nèi)，構(gòu)成字符串（關(guān)于字符串參見附錄A）；只有當(dāng)字符串?dāng)?shù)字'Num'采用諸如321/1000、10/3等整數(shù)構(gòu)成的有理分數(shù)形式表達時，sym('Num') 才能生成精準的符號數(shù)字；若字符串?dāng)?shù)字用諸如0.321、3.21e-1等“普通小數(shù)或科學(xué)記述數(shù)”表達，那么只能產(chǎn)生“近似符號數(shù)字”。在默認情況下，該近似符號數(shù)字為32

4、位精度?！纠?.1-1】（1）創(chuàng)建完全精準的符號數(shù)字或數(shù)字表達式clear allR1=sin(sym(0.3)% 輸入量為普通小數(shù)R2=sin(sym(3e-1)% 輸入量為科學(xué)記述數(shù)R3=sin(sym(3/10)% 輸入量為有理分數(shù)R4=sin(sym('3/10')% 輸入量為“整數(shù)構(gòu)成的有理分數(shù)”字符串?dāng)?shù)字disp('R1屬于什么類別？ 答：',class(R1)disp('R1與R4是否相等？（是為1，否為0） 答：',int2str(logical(R1=R4)R1 =sin(3/10)R2 =sin(3/10)R3 =sin(3/

5、10)R4 =sin(3/10)R1屬于什么類別？ 答：symR1與R4是否相等？（是為1，否為0） 答：1 （2）產(chǎn)生具有32位精度的“近似”符號數(shù)字（杜絕使用?。㏒1=sin(sym('0.3')% sym的輸入量是字符串小數(shù)，生成32位精度下的% 近似符號數(shù)，進而在sin作用下給出近似符號數(shù)。S2=sin(sym('3e-1')% syms的輸入量是字符串科學(xué)記述數(shù)。eRS=vpa(abs(R1-S1),64);disp('S1屬于什么類別？ 答：',class(S1)disp('S1與R1是否相同？ 答: ',int2st

6、r(logical(R1=S1)disp('S1與R1的誤差為')disp(double(eRS)S1 =0.29552020666133957510532074568503S2 =0.29552020666133957510532074568503S1屬于什么類別？ 答：symS1與R1是否相同？ 答: 0S1與R1的誤差為 6.3494e-41（3）產(chǎn)生具有16位精度的“近似”符號數(shù)字（杜絕使用?。〧1=sym(sin(3/10)% sym的輸入量為雙精度表達式sin(3/10)，% 就只能創(chuàng)建出僅16位精度的近似符號數(shù)。F2=sym(sin(0.3)% 同上eFS=vpa

7、(abs(F1-S1),32);disp('F1屬于什么類別？ 答：',class(F1)disp('S1與F1是否相同？ 答: ',int2str(logical(F1=S1)disp('F1與S1的誤差為')disp(double(eFS) F1 =5323618770401843/18014398509481984F2 =5323618770401843/18014398509481984F1屬于什么類別？ 答：symS1與F1是否相同？ 答: 0F1與S1的誤差為 2.8922e-17 3. 基本符號變量經(jīng)典教科書里，表達式e-axsin

8、bx中的a,b稱為參數(shù)，x為變量。在MATLAB的符號計算中，a、b、x統(tǒng)稱為基本符號變量，其中，x總被默認為“待解（自由）符號變量”，其他被作為“符號參數(shù)”處理。定義基本符號變量的命令格式：para=sym(' para') 定義單個復(fù)數(shù)域符號變量parapara=sym(' para', 'Flag') 定義單個Flag指定域符號變量parasyms para 定義單個復(fù)數(shù)域符號變量para的另一種方式syms para Flag 定義單個Flag指定域符號變量para的另一種方式syms para1 para2 paraN 定義多個復(fù)數(shù)域符

9、號變量para1 para2 paraNsyms para1 para2 paraN Flag 定義多個Flag指定域符號變量para1 para2 paraNl 符號參數(shù)名不要用處于“字母表中小寫字母x及其兩側(cè)的英文字母”開頭。l Flag表示數(shù)域的限定性假設(shè)，可具體取以下詞條：positive 正實數(shù)域； real 實數(shù)域。l 默認值是復(fù)數(shù)域符號變量l sym命令只能對單變量作用，syms不能用于對數(shù)值、常數(shù)相關(guān)的定義。4. 符號計算中的各種算符l 與數(shù)值計算中的算符在形狀、名稱和使用方法上相同。2.1.2 符號計算中的函數(shù)命令表2.1-2 MATLAB中可調(diào)用的符號計算函數(shù)指令類別情 況

10、 描 述與數(shù)值計算對應(yīng)關(guān)系符號工具包函數(shù)三角函數(shù)、雙曲函數(shù)及反函數(shù)；除atan2外相同指數(shù)、對數(shù)函數(shù)（如exp, expm）相同復(fù)數(shù)函數(shù)（如abs, angle）相同矩陣分解函數(shù)（如eig, svd）相同方程求解函數(shù)solve不相同微積分函數(shù)（如diff, int）不完全相同積分變換和反變換函數(shù)（如laplace, ilaplace）只有離散Fourier變換繪圖函數(shù)（如ezplot, ezsurf）數(shù)值繪圖命令更豐富特殊函數(shù)單位脈沖和階躍函數(shù)（如dirac, heaviside） 不完全對應(yīng)函數(shù)（如beta, gamma）橢圓積分（如ellipke）貝塞爾函數(shù)（如besseli, besse

11、lj）MuPAD庫函數(shù)借助evalin和feval指令可調(diào)用比mfunlist所列范圍更廣泛的MuPAD庫函數(shù)；需要具備MuPAD語言知識。無對應(yīng)函數(shù)說明2.1.3 符號表達式和符號函數(shù)1. 符號表達式和符號函數(shù)（1） 為表達某種數(shù)學(xué)算式、實現(xiàn)某種計算目的，采用基本符號對象（數(shù)字、常數(shù)、變量）、運算符、MATLAB函數(shù)命令等基本要素編寫而成的M碼。（2）為表達變量間抽象（或具體）約束關(guān)系而編寫的M碼。在符號函數(shù)中，構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的變量名必須明確指定。即，在定義符號函數(shù)時，不僅要指定函數(shù)名，而且要指定變量名。比如syms f（x,y）就定義了一個以x、y為變量的抽象符號函數(shù)f。2 自由符號變量 解

12、題通常是圍繞自由符號變量進行。 確定自由符號變量的規(guī)則：l 在專門指定變量名的符號運算中，解題一定圍繞指定變量名進行。l x是首選自由符號變量，其后的次序規(guī)則是：與x的ASCII碼值之差的絕對值小的字母優(yōu)先；差絕對值相同時，ASCII碼值大的字母優(yōu)先。l 自動識別符號變量時，字母的優(yōu)先次序為x,y,w,z,v等，大寫后排。自動識別表達式中自由、獨立的符號變量的命令： symvar(expression) 列出表達式中的所有基本符號變量 symvar(expression, n) 列出表達式中n個認定的自由變量【例2.1-2】1）各種符號對象的創(chuàng)建clearsyms a b c x y u v%

13、 定義基本符號對象syms F(X,Y,Z)% 定義“抽象”符號函數(shù)k=sym(3)% 定義符號常數(shù)G=sym('p*sqrt(q)+r*sin(t)')% 創(chuàng)建符號表達式EXPR=a*G*u+(b*x2+k)*v% 創(chuàng)建“衍生”符號表達式f(x,y)=a*x2+b*y2-c% 創(chuàng)建“具體”符號函數(shù)disp(F)% 顯示抽象符號函數(shù) k =3G =p*q(1/2) + r*sin(t)EXPR =v*(b*x2 + 3) + a*u*(p*q(1/2) + r*sin(t)f(x, y) =a*x2 + b*y2 - cF(X, Y, Z)symbolic function i

14、nputs: X, Y, Z 2）symvar對EXPR符號表達式的作用symvar(EXPR)%ans = a, b, p, q, r, t, u, v, x symvar(EXPR,20) %ans = x, v, u, t, r, q, p, b, a symvar(EXPR,1)% ans =x 3）symvar對符號函數(shù)的作用disp(symvar(f)% a, b, c, x, y disp(symvar(f,2)% x, y 【例2.1-3】用符號法求方程的解。1）產(chǎn)生符號表達式和符號函數(shù)clearsyms u v w z% Eq=u*w2+z*w-v% 表達式g(z)=u*w2

15、+z*w=v% 函數(shù)Eq =u*w2 + z*w - vg(z) =u*w2 + z*w = v 2）symvar認定的自由變量symvar(Eq,1)%<5>ans =w symvar(g(z),1)%<6> ans =w 3）solve對默認自由變量解方程R1=solve(Eq)%關(guān)于w解方程u*w2+z*w-v=0 <7>R2=solve(g)%關(guān)于w解g（z）所表達的方程 <8> R1 = -(z + (z2 + 4*u*v)(1/2)/(2*u) -(z - (z2 + 4*u*v)(1/2)/(2*u)R2 = -(z + (z2 +

16、 4*u*v)(1/2)/(2*u) -(z - (z2 + 4*u*v)(1/2)/(2*u) 4）對變量z求解S1=solve(Eq,z)%<9>S2=solve(g(z),z)% <10> S1 =(- u*w2 + v)/wS2 =(- u*w2 + v)/w 5）檢驗求解結(jié)果的正確性disp(simplify(subs(Eq,z,S1)% S1代替z，觀察Eq是否為00 disp(simplify(g(S2)% S2代替z，觀察g(S2)方程式是否成立TRUE 說明不要把g(z)理解為以z為自由變量的符號函數(shù)?！纠?.1-4】symvar確定自由變量是對整個矩

17、陣進行的。syms a b t u v x yA=a+b*x,sin(t)+u;x*exp(-t),log(y)+v%symvar(A,1)% A = a + b*x, u + sin(t) x*exp(-t), v + log(y)ans =x 2.1.4 符號對象的識別為了函數(shù)命令與數(shù)據(jù)對象的適配，MATLAB提供了用于識別數(shù)據(jù)對象屬性的命令：class(var) 給出變量var的數(shù)據(jù)類別（如double，sym等）isa(var, 'Obj') 若變量var是Obj代表的類型，給出1，表示“真”whos 給出所有MATLAB內(nèi)存變量的屬性【例2.1-5】數(shù)據(jù)對象及其識別命

18、令的使用。（1）cleara=1;b=2;c=3;d=4; % 產(chǎn)生4個數(shù)值變量Mn=a,b;c,d % 利用已賦值變量構(gòu)成數(shù)值矩陣Mc='a,b;c,d' % 字符串中的a,b,c,d與前面輸入的數(shù)值變量無關(guān)Ms=sym(Mc) % Ms是一個符號矩陣，它與前面各變量無關(guān)Mn = 1 2 3 4Mc =a,b;c,dMs = a, b c, d （2）SizeMn=size(Mn)SizeMc=size(Mc)SizeMs=size(Ms) SizeMn = 2 2SizeMc = 1 9SizeMs = 2 2 （3）CMn=class(Mn)CMc=class(Mc)CM

19、s=class(Ms) CMn =doubleCMc =charCMs =sym （4）isa(Mn,'double')isa(Mc,'char')isa(Ms,'sym') ans = 1ans = 1ans = 1 （5）whos Mn Mc Ms Name Size Bytes Class Attributes Mc 1x9 18 char Mn 2x2 32 double Ms 2x2 60 sym 2.1.5 符號運算機理和變量假設(shè)1. 符號運算的工作機理符號計算是由MuPAD引擎在其專有的內(nèi)存工作空間中執(zhí)行，而只是把計算結(jié)果送回到MA

20、TLAB的內(nèi)存空間。每當(dāng)借助sym或syms命令定義一個帶限定性假設(shè)的符號變量時，就發(fā)生以下過程：l 啟動MuPAD引擎，并開啟一個專供MuPAD使用的內(nèi)存空間l 被定義變量保存至Matlab內(nèi)存空間l 對變量的限定性假設(shè)被保存在MuPAD內(nèi)存空間中，并對此后的MuPAD的工作方式進行約束。2. 對符號變量的限定性假設(shè)assume（assumption） 清空后由assumption定義的新假設(shè)assume（expr,set） 清空后進行“符號表達式expr屬于集合set”的新假設(shè)設(shè)置assumeAlso(assumption) 繼續(xù)追加由assumption定義的新假設(shè)assumeAlso(

21、expr,set) 繼續(xù)追加由“符號表達式expr屬于集合set”的新假設(shè)a=sym('a',res) 創(chuàng)建帶res限定性假設(shè)的符號變量asyms a res 同上說明：l 在不對符號變量進行專門設(shè)置的情況下，MuPAD符號計算總把變量默認為“復(fù)數(shù)變量”。l assumption是那些可以用符號表達式、符號方程、符號關(guān)系、符號邏輯描述的假設(shè)。l set可取字符串'integer'、'rational'、'real'中的任何一個，分別表示整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集。l res只能取字符串'positive'或'

22、real'中的任何一個，表示創(chuàng)建變量是實數(shù)或正數(shù)。3. 清除變量和撤銷假設(shè)由于符號變量和其假設(shè)存放在不同的內(nèi)存空間，因此刪除符號變量和撤銷關(guān)于變量的假設(shè)是兩件需要分別處理的事。具體執(zhí)行命令如下：clear x % 清除MATLAB內(nèi)存中的x變量syms x clear % 撤銷MuPAD內(nèi)存中對變量x的任何假設(shè)，而恢復(fù)為“復(fù)數(shù)”變量syms（'x','clear'） % 功能同上assumptions(x) % 顯示符號變量x的限定性假設(shè)assumptions % 顯示MuPUD內(nèi)存中已帶限定性假設(shè)的全部符號變量reset(symengine) % 重啟

23、MuPUD引擎，清空MuPUD內(nèi)存中所有內(nèi)容【例2.1-6】符號變量的默認數(shù)域是復(fù)數(shù)域。1）在默認的復(fù)數(shù)域求根clear all% 清空MATLAB內(nèi)存，清除MuPAD中的所有假設(shè)syms x%f=x3+475*x/100+5/2;%r=solve(f,x)% 求使f=0的全部根r = -1/2 (79(1/2)*i)/4 + 1/4 1/4 - (79(1/2)*i)/4 assumptions(x)% 獲悉MuPAD內(nèi)存中關(guān)于x的假設(shè)ans =Empty sym: 1-by-0 2）求實數(shù)根assume(x,'real')% 限定x為實數(shù)的方法一r21=solve(f,x)

24、% r21 =-1/2 syms x clear%assume(imag(x)=0)% 限定x為實數(shù)的方法二r22=solve(f,x) r22 =-1/2 disp(assumptions(x)% imag(x) = 0 3）第一、四象限根sym(x,'clear')%assume(real(x)>0)%r3=solve(f,x) ans =xr3 = (79(1/2)*i)/4 + 1/4 1/4 - (79(1/2)*i)/4 disp(assumptions(x)% 0 < real(x) 4）第一象限根assumeAlso(imag(x)>0)%r4

25、=solve(f,x) r4 =(79(1/2)*i)/4 + 1/4 disp(assumptions(x) 0 < imag(x), 0 < real(x) 2.2 符號數(shù)字及表達式的操作2.2.1 符號數(shù)字轉(zhuǎn)換成雙精度數(shù)字Nd=double(Num_sym) 把符號數(shù)字Num_sym轉(zhuǎn)換為雙精度數(shù)字Nd說明：l 一般情況下，Nd是符號數(shù)字Num_sym雙精度近似。l 2.1.1-2節(jié)中，已經(jīng)介紹了sym(Num)能把數(shù)字類數(shù)字轉(zhuǎn)換成符號數(shù)字l 注意：命令double('Num')是把字符串?dāng)?shù)字'Num'轉(zhuǎn)換為各數(shù)字字符的ASCII碼值數(shù)組。2.

26、2.2 符號數(shù)字的任意精度表達形式為了兼顧計算精度和速度，或使某些無法用“封閉解析式”表達的計算結(jié)果以簡潔的“任意精度符號數(shù)”表達。MATLAB提供了控制符號數(shù)字或表達式數(shù)字精度的命令：digits 顯示當(dāng)前環(huán)境下十進制符號數(shù)字的有效位數(shù)digits(n) 把十進制符號數(shù)字有效位數(shù)設(shè)定為nxs=vpa(x) 據(jù)表達式x得到digits指定精度下的符號數(shù)字xsxs=vpa(x,n) 據(jù)表達式x得到n位有效數(shù)字的符號數(shù)字xs說明：· MATLAB對digits命令的默認精度設(shè)置是32位。· vpa(x,n)只在運行的當(dāng)時起作用。【例2.2-1】digits, vpa命令的使用。

27、（1）重新啟動符號計算引擎，產(chǎn)生準確符號數(shù)字reset(symengine) % 重新啟動符號計算引擎 sa=sym('1/3+sqrt(2)') % 定義準確符號數(shù)字表達式sa =2(1/2) + 1/3 （2）變精度算法的計算結(jié)果，有效位數(shù)的含義digits% 觀察當(dāng)前有效位數(shù) Digits = 32 format longa=1/3+sqrt(2)% 定義雙精度數(shù)sa_Plus_a=vpa(sa+a,20)% 給出20位有效數(shù)字結(jié)果sa_Minus_a=vpa(sa-a,20)% a = 1.747546895706428sa_Plus_a =3.495093791412

28、8567869sa_Minus_a =-0.000000000000000022658064826339973669 （3）digits設(shè)置和vpa指定對“數(shù)位”的不同影響sa32=vpa(sa)% 采用默認設(shè)置的32位有效數(shù)字 digits(48)% 設(shè)置48位有效數(shù)字sa5=vpa(sa,5)% 僅影響sa5數(shù)位，對其后無影響。sa48=vpa(sa)% 仍為48位有效數(shù)字 sa32 =1.747546895706428382135022057543sa5 =1.7475sa48 =1.74754689570642838213502205754303141190300520871 2.2.

29、3 符號表達式的基本操作 collect（合并同類項） factor（進行因式或因子分解） numden（提取公因式）等最常用：simplify(EXPR) 對EXPR（符號表達式或矩陣）運用多種方法進行一輪簡化simplify(EXPR,'Steps',value,'IgnoreAnalyticConstraints',true) 多輪純粹表達形式簡化【例2.2-2】簡化。syms xf=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3)g1=simplify(f)f =(12/x + 6/x2 + 1/x3 + 8)(1/3)g1 =(2*x + 1)3/x3)

30、(1/3) g2=simplify(f,'Steps',10,'IgnoreAnalyticConstraints', true)% g2 =1/x + 2 2.2.4 表達式中的置換操作1. 公因子法簡化表達RS=subexpr(S) 從S中自動提取公因子sigma，并把采用sigma重寫的S賦給RSRS=subexpr(S,'w') 從S中自動提取公因子，記為w，并把采用w重寫的S賦給RSRS,w=subexpr(S,'w') 該調(diào)用格式的效果與RS=subexpr(S, 'w')相同說明：S：符號表達式、符號

31、表達式矩陣【例2.2-3】對符號矩陣進行特征向量分解。（）clear% 清空所有內(nèi)存變量A=sym('a b;c d')% 經(jīng)字符串直接定義符號矩陣V,D=eig(A)% 符號矩陣的特征值、特征向量分解A = a, b c, dV =(a/2+d/2-a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2)/2)/c-d/c, (a/2+d/2+(a2-2*a*d+ d2+4*b*c)(1/2)/2)/c-d/c 1, 1D =a/2 + d/2 - (a2 - 2*a*d + d2 + 4*b*c)(1/2)/2, 0 0, a/2 + d/2 + (a2 - 2*a*d + d2 +

32、 4*b*c)(1/2)/2 （2）subexpr(V;D)% 自動提取公因式who % 列出工作內(nèi)存中的變量sigma = (a2 - 2*a*d + d2 + 4*b*c)(1/2)ans = (a/2 + d/2 - sigma/2)/c - d/c, (a/2 + d/2 + sigma/2)/c - d/c 1, 1 a/2 + d/2 - sigma/2, 0 0, a/2 + d/2 + sigma/2Your variables are:A D V ans sigma （3）Dw=subexpr(D,'w') % 把自動提取的公因式記為w,Dw是用w重記D后的表

33、達w = (a2 - 2*a*d + d2 + 4*b*c)(1/2)Dw = a/2 + d/2 - w/2, 0 0, a/2 + d/2 + w/2 （4）RVD,w=subexpr(V;D,'w')% <7> % 給出合成矩陣V;D的公因式表達方式RVD = (a/2 + d/2 - w/2)/c - d/c, (a/2 + d/2 + w/2)/c - d/c 1, 1 a/2 + d/2 - w/2, 0 0, a/2 + d/2 + w/2w =(a2 - 2*a*d + d2 + 4*b*c)(1/2) 2. 通用置換命令RES=subs(ES,ol

34、d,new) 用new置換ES中的old后產(chǎn)生符號結(jié)果RESRES=subs(ES,new) 用new置換ES中的自由變量后產(chǎn)生符號結(jié)果RES【例2.2-4】用簡單算例演示subs的置換規(guī)則。1）產(chǎn)生符號函數(shù)clearsyms a b x;f1=a*sin(x)+b f1 =b + a*sin(x) 2）被字符串置換f2=subs(f1,sin(x),'log(y)')%<4>class(f2)% f2 =b + a*log(y)ans =sym 3）單個符號參數(shù)被置換f3=subs(f1,a,sym(3.11)%<6>class(f3)% f3 =b

35、+ (311*sin(x)/100ans =sym 4）單個符號變量被數(shù)組置換f4=subs(f1,x,0,pi/2,pi)%<8>class(f4) f4 = b, a + b, bans =sym 5）所有變量被置換format% 恢復(fù)雙精度數(shù)字顯示的默認設(shè)置format compact% 在Notebook中緊湊顯示t=0:pi/10:2*pi;% （1*21）雙精度數(shù)組f5=subs(f1,a,b,x,2,3,t);%<13> 置換得到符號數(shù)字數(shù)組class(f5)plot(t,f5,'r:','LineWidth',5)%<

36、;15>% ans =sym圖2.2-1 利用符號表達式變量置換產(chǎn)生的單根曲線6）兩次置換k=0.6;0.8;1; %（3*1）數(shù)組f6=subs(subs(f1,a,b,k,2),x,t);%<17> class(f6)plot(t,f6) %<19> ans =sym圖2.2-2 利用兩次subs置換產(chǎn)生的多根曲線2.3 符號微積分2.3.1 極限和導(dǎo)數(shù)的符號計算大學(xué)本科高等數(shù)學(xué)中的大多數(shù)微積分問題，都能用符號計算解決，手工筆算演繹的煩勞都可以由計算機完成。limit(f,v,a) 求極限 limit(f,v,a,'right') 求右極限 l

37、imit(f,v,a,'left') 求左極限 【例2.3-1】兩種重要極限和。syms t x ks=sin(k*t)/(k*t);f=(1-1/x)(k*x);Lsk=limit(s,0)% t趨于0Ls1=subs(Lsk,k,1)%Lf=limit(f,x,inf)%Lf1=vpa(subs(Lf,k,sym('-1'),48)%給出48位精度的自然數(shù) Lsk =1Ls1 =1Lf =exp(-k)Lf1 =2.7182818284590452353602874713526624977572470937 diff(f,v,n) 求 (n缺省時，默認n=1)【例2.3-2】已知，求、 、。syms a t x;f=a,t3;t*cos(x), log(x);df=diff(f)%dfdt2=diff(f,t,2)%dfdxdt=diff(diff(f,x),t)% df = 0, 0 -t*sin(x), 1/xdfdt2 = 0, 6*t 0, 0dfdxdt = 0, 0 -sin(x), 0 2.3.2 序列/