1、9.8 9.8 串聯電路的諧振串聯電路的諧振諧振諧振( (resonanceresonance) )是正弦電路在特定條件下所產生的一是正弦電路在特定條件下所產生的一種特殊物理現象，諧振現象在無線電和電工技術中得到廣泛種特殊物理現象，諧振現象在無線電和電工技術中得到廣泛應用，對電路中諧振現象的研究有重要的實際意義。應用，對電路中諧振現象的研究有重要的實際意義。 含有含有R、L、C的一端口電路，在特定條件下出現的一端口電路，在特定條件下出現端口電壓、電流同相位的現象時，稱電路發生了諧振。端口電壓、電流同相位的現象時，稱電路發生了諧振。1. 1. 諧振的定義諧振的定義R,L,C電路電路UIRZIU

2、發生發生諧振諧振XRXXRCLRZCLj )( j)1( j IRj L+_Cj1 U2. 2. 串聯諧振的條件串聯諧振的條件諧振角頻率諧振角頻率 (resonant angular frequency)LC10 諧振頻率諧振頻率 (resonant frequency) LCf210 時時，電電路路發發生生諧諧振振。當當 1 0 00CLX 諧振條件諧振條件僅與電路參數有關僅與電路參數有關串聯電路實現諧振的方式：串聯電路實現諧振的方式：（1） L C 不變，改變不變，改變 。（2 2） 電源頻率不變，改變電源頻率不變，改變 L 或或 C ( ( 常改變常改變C ) )。 0由電路本身的參數決

3、定，一個由電路本身的參數決定，一個 R L C 串聯電路只串聯電路只能有一個對應的能有一個對應的 0 0 , , 當外加頻率等于諧振頻率時，電當外加頻率等于諧振頻率時，電路發生諧振。路發生諧振。3. 3. RLC串聯電路諧振時的特點串聯電路諧振時的特點. ).1( 同同相相與與 IU入端阻抗入端阻抗Z Z為純電阻，即為純電阻，即Z=R。電路中阻抗值電路中阻抗值| |Z Z| |最小最小。電流電流I I達到最大值達到最大值 I0=U/R (U一定一定)。X( )|Z( )|XL( )XC( )R 0 Z ( )O IRj L+_Cj1 U+_RU LU CU 相相當當于于短短路路。LCUUCL

4、, 0 (2) LC上上的電壓大小相等，相位相反，串聯總電壓為零，的電壓大小相等，相位相反，串聯總電壓為零，也稱電壓諧振，即也稱電壓諧振，即UUR 上上，電電源源電電壓壓全全部部加加在在電電阻阻LU CU RU IUjQRULjILjUL UjQRULjCIjUC QUUUCL RCLRRLQ 1 0特性阻抗特性阻抗品質因數品質因數當當 0L=1/( 0C )R 時，時， UL= UC U 例例某收音機某收音機 L=0.3mH，R=10 ，為收到中央電臺，為收到中央電臺560kHz信號，求（信號，求（1）調諧電容）調諧電容C值；（值；（2）如輸入電壓為）如輸入電壓為1.5 V求諧振電流和此時的

5、電容電壓。求諧振電流和此時的電容電壓。ARUI 15. 0105 . 1 )2(0 pFLfC269) 2(1 )1(2 +_LCRu解解VVXIUCC 5 . 1 5 .1580 URLQUUo0Cr (3) (3) 諧振時的功率諧振時的功率P=UIcos UIRI02=U2/R，電源向電路輸送電阻消耗的功率，電阻功率達最大。電源向電路輸送電阻消耗的功率，電阻功率達最大。0sin CLQQUIQ 2002002001 , LIICQLIQCL 電源不向電路輸送無功。電電源不向電路輸送無功。電感中的無功與電容中的無功感中的無功與電容中的無功大小相等，互相補償，彼此大小相等，互相補償，彼此進行能

6、量交換。進行能量交換。+_PQLCR(4) (4) 諧振時的能量關系諧振時的能量關系tLICuwCC cos2121022m2 tICLtCIuC0mo00m cos)90 sin( tLILiwL sin2121022m2 tUu0m sin 設設tItRUi0m0m sin sin 則則電場能量電場能量磁場能量磁場能量（1）電感和電容能量按正弦規律變化，最大值相等）電感和電容能量按正弦規律變化，最大值相等 WLm=WCm。L、C的電場能量和磁場能量作周期振蕩的電場能量和磁場能量作周期振蕩性的能量交換，而不與電源進行能量交換。性的能量交換，而不與電源進行能量交換。表明表明（2 2）總能量是常

7、量，不隨時間變化，正好等于最大值。）總能量是常量，不隨時間變化，正好等于最大值。22m2m2121LICULIwwwCCL 總總電感、電容儲能的總值與品質因數的關系：電感、電容儲能的總值與品質因數的關系：耗的能量諧振時一周期內電路消總儲能諧振時電路中電磁場的2202020202000TRILIRILIRLQ Q是反映諧振回路中電磁振蕩程度的量，是反映諧振回路中電磁振蕩程度的量，品質因數越大，品質因數越大，總的能量就越大，維持一定量的振蕩所消耗的能量愈小，總的能量就越大，維持一定量的振蕩所消耗的能量愈小， 振蕩程度就越劇烈。則振蕩電路的振蕩程度就越劇烈。則振蕩電路的“品質品質”愈好。一般講愈好。

8、一般講在要求發生諧振的回路中總希望盡可能提高在要求發生諧振的回路中總希望盡可能提高Q值。值。4. 4. RLC串聯諧振電路的諧振曲線和選擇性串聯諧振電路的諧振曲線和選擇性（1 1） 阻抗的頻率特性阻抗的頻率特性RXRXXRCLCL111tgtg1tg) ( )(| )(|)1( jZCLRZ 222222)()1(| )(|XRXXRCLRZCL 諧振曲線諧振曲線 物理量與頻率關系的圖形稱諧振曲線，物理量與頻率關系的圖形稱諧振曲線，研究諧振曲線可以加深對諧振現象的認識。研究諧振曲線可以加深對諧振現象的認識。幅頻幅頻特性特性相頻相頻特性特性2. 2. 電流諧振曲線電流諧振曲線幅值關系：幅值關系：

9、I( )與與 |Y( )|相似。相似。UYCLRUI| )(|)1()(22 ( ) 0 O /2 /2阻抗相頻特性阻抗相頻特性X( )|Z( )|XL( )XC( )R 0 Z ( )O阻抗幅頻特性阻抗幅頻特性 0 O|Y( )|I( )I( )U/R從電流諧振曲線看到，諧振時電流達到最大，當從電流諧振曲線看到，諧振時電流達到最大，當 偏偏離離 0 0時，電流從最大值時，電流從最大值U/R降下來。即，串聯諧振電路對降下來。即，串聯諧振電路對不同頻率的信號有不同的響應，對諧振信號最突出不同頻率的信號有不同的響應，對諧振信號最突出( (表現為表現為電流最大電流最大) )，而對遠離諧振頻率的信號加

10、以抑制，而對遠離諧振頻率的信號加以抑制( (電流小電流小) )。這種對不同輸入信號的選擇能力稱為這種對不同輸入信號的選擇能力稱為“選擇性選擇性”。l 選擇性選擇性 (selectivity)電流諧振曲線電流諧振曲線為了不同諧振回路之間進行比較，把電流諧振曲線的為了不同諧振回路之間進行比較，把電流諧振曲線的橫、縱坐標分別除以橫、縱坐標分別除以 0和和I( 0)，即，即000)()()()( ,IIIII l 通用諧振曲線通用諧振曲線2220)1(11)1(/| /)()(RCRLCLRRRUZUII 20020000)(11)1(11QQRCRL 220)1(11)(QII Q越大，諧振曲線越尖

11、。當稍微偏離諧振點時，曲線就越大，諧振曲線越尖。當稍微偏離諧振點時，曲線就急劇下降，電路對非諧振頻率下的電流具有較強的抑制能力，急劇下降，電路對非諧振頻率下的電流具有較強的抑制能力，所以選擇性好。所以選擇性好。因此，因此， Q是反映諧振電路性質的一個重要指是反映諧振電路性質的一個重要指標。標。Q=10Q=1Q=0.51 2 10)(II0.7070 通用諧振曲線通用諧振曲線. ,707. 02/1/210II和和對對應應橫橫坐坐標標分分別別為為交交于于兩兩點點與與每每一一諧諧振振曲曲線線處處作作一一水水平平線線在在 . , ,12022011 12 稱為通頻帶稱為通頻帶BW (Band Wid

12、th)可以證明：可以證明：.1 12012Q I/I0=0.707以分貝以分貝(dB)表示：表示：20log10I/I0=20lg0.707= 3 dB.所以，所以， 1， 2稱為稱為3分貝頻率。分貝頻率。Q=1 0 2 1I0.707I00 根據聲學研究，如信號功率不低于原有最大值一半，根據聲學研究，如信號功率不低于原有最大值一半，人的聽覺辨別不出，這是定義通頻帶的實踐依據。人的聽覺辨別不出，這是定義通頻帶的實踐依據。例例 +_LCRu10 一信號源與一信號源與R、L、C電路串聯，電路串聯，要求要求 f0=104Hz，f=100Hz，R=15 ，請設計一個線性電路。，請設計一個線性電路。解解

13、10010010 400 ffQ mHRQL8 .3910215100 40 pFL63601C 2 0 例例 一接收器的電路參數為：一接收器的電路參數為：L=250 H, R=20, , C=150pF(調好調好), U1=U2= U3 =10 V, 0=5.5 106 rad/s, f0=820 kHz.+_+_+LCRu1u2u3_f (kHz)北京臺北京臺中央臺中央臺北京經濟臺北京經濟臺 L8206401026X1290166010340 660577129010001611I0=0.5I1=0.0152I2=0.0173I=U/|Z| ( A)C1I0=0.5I1=0.0152I2=

14、0.0173I=U/|Z| ( A)%04. 301 II小得多小得多收到北京臺收到北京臺820kHz的節目。的節目。8206401200I(f )f (kHz)0%46. 302 II（3） UL( )與與UC( )的頻率特性的頻率特性222222)1( )1()( QQUCLRCUCIUC222222)11(1 )1(|)(QQUCLRLUZULLIUL UUC( Cm)QU Cm Lm 0UL( )UC( )U( )1UL( ) ：當當 =0，UL( )=0；0 0，電流開始減小，但速度不快，電流開始減小，但速度不快， XL繼續增大，繼續增大，UL 仍有增大的趨勢，但在某個仍有增大的趨勢

15、，但在某個 下下UL( )達達到最大值，然后減小。到最大值，然后減小。 ，XL， UL( )=U。類似可討論類似可討論UC( )。根據數學分析，當根據數學分析，當 = Cm時，時，UC( )獲最大值；獲最大值；當當 = Lm時，時，UL( )獲最大值。且獲最大值。且UC( Cm)=UL( Lm)。)2/1 ( Q條條件件是是Q越高，越高， Lm和和 Cm 越靠近越靠近 0 Lm Cm = 0020m211Qc 0220m122QQL QUQQUUULLcC 2mm411)()(例例 一接收器的電路參數為：一接收器的電路參數為：U=10V =5 103 rad/s, 調調C使電路中的電流使電路中

16、的電流最大，最大，Imax=200mA，測得電容電壓測得電容電壓為為600V，求求R、L、C及及Q+_LCRuV解解 50102001030IUR6010600 UUQQUUCCmHRQL601056050 30 FL 67. 61C 2 0 1. G、C、L 并聯電路并聯電路對偶：對偶：R L C 串聯串聯G C L 并聯并聯LC10 )1( jCLRZ )1( jLCGY 9.9 9.9 并聯電路的諧振并聯電路的諧振+_S IGCL ULC10 諧振角頻率諧振角頻率R L C 串聯串聯G C L 并聯并聯|Z| 0 0O OR 0 OI( )U/R 0 OU( )IS/GLU CU UUR

17、 ICI LI SGII U|Y| 0 0O OGR L C 串聯串聯G C L 并聯并聯電壓諧振電壓諧振電流諧振電流諧振UL( 0)=UC ( 0)=QUIL( 0) =IC( 0) =QIS LCGGLGCQ1100 CLRRCRLQ1100 推導過程如下：由定義得推導過程如下：由定義得LRGC00 22212GUTCUQCm GCf02 2. 2. 電感線圈與電容器的并聯諧振電感線圈與電容器的并聯諧振 實際的電感線圈總是存在電阻，因此當電感線圈與電實際的電感線圈總是存在電阻，因此當電感線圈與電容器并聯時，電路如圖：容器并聯時，電路如圖：BGj LRCYj1j )( j)(2222LRLC

18、LRR 諧振時諧振時 B=0，即，即0)(20200 LRLC20)(1LRLC CLR（1）諧振條件）諧振條件此電路發生諧振是有條件的，此電路發生諧振是有條件的，在電路參數一定時，滿足在電路參數一定時，滿足可可以以發發生生諧諧振振時時即即 , , 0)(1 2CLRLRLC 一般線圈電阻一般線圈電阻R L，則等效導納為：則等效導納為：LC10 )1( j)()( j)(22222LCLRLRLCLRRY 等效電路等效電路諧振角頻率諧振角頻率GeCLRLGRee20)(1 (b) 電流一定時，總電壓達最大值：電流一定時，總電壓達最大值：RCLIZIU000 (c) 支路電流是總電流的支路電流是總電流的Q倍，設倍，設R 1 1時，并聯部時，并聯部分呈容性，在某一角頻率分呈容性，在某一角頻率 2 2下可與下可與L3發生串聯諧振。發生串聯諧振。對對(b)電路電路L1、C2并聯，在低頻時呈感性。在某一角頻并聯，在低頻時呈感性。在某一角頻率率 1下可與