1、1小結小結 思考題思考題 作業作業函數展開成冪級數函數展開成冪級數第四節第四節 函數展開成冪級數函數展開成冪級數泰勒級數泰勒級數 第十一章第十一章 無窮級數無窮級數2 所以有了函數展開成的冪級數所以有了函數展開成的冪級數,那末函數的那末函數的多項式逼近、函數值的近似計算多項式逼近、函數值的近似計算,以及一些積分以及一些積分、微分方程問題就應刃而解了、微分方程問題就應刃而解了. 將函數展開為冪級數的形式將函數展開為冪級數的形式,在理論上和應在理論上和應用中都是十分重要的用中都是十分重要的. 如如,對函數作數值分析時對函數作數值分析時,總離不開多項式逼總離不開多項式逼近給定的函數近給定的函數,而冪

2、級數的部分和恰是多項式而冪級數的部分和恰是多項式. 問問: 哪些函數在怎樣的區間上可展開為冪級數哪些函數在怎樣的區間上可展開為冪級數?冪級數的系數如何確定冪級數的系數如何確定? 這是本節要討論的主要問題這是本節要討論的主要問題.3一、泰勒級數一、泰勒級數nnnxxaxf)()(00 以以f (x)為和函數為和函數1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數在什么條件下才能展開成冪級數? 1nnnx上節例題上節例題)11( x存在冪級數在其收斂域存在冪級數在其收斂域內內)1ln(x 函數展開成冪級數函數展開成冪級數4的某鄰域內的

3、某鄰域內有有n+1階導數階導數, 則則 f (x)可表為可表為: 公式公式(1)是函數是函數f(x)在在x0處展開的處展開的泰勒公式泰勒公式, ,)()!1()()(10)1( nnnxxnfxR其中其中 介于介于x與與x0之間之間.回顧回顧Rn(x)是拉格朗日余項是拉格朗日余項.若函數若函數f (x)在在x0第三章第三節泰勒公式第三章第三節泰勒公式:(1)()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 函數展開成冪級數函數展開成冪級數5如函數如函數f (x)在在x0的某鄰域內是的某鄰域內是(2)稱冪級數稱冪級數(2)為函數為函數 f

4、(x)在在x0處的處的 f (x)是否可展為如下的冪級數是否可展為如下的冪級數:自然會想到自然會想到: 不管怎樣不管怎樣泰勒級數泰勒級數. . nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(! 2)()(! 1)()(00)(200000無窮次連續無窮次連續可微的可微的, ,函數展開成冪級數函數展開成冪級數6 顯然顯然,泰勒級數泰勒級數(2)在什么范圍上在什么范圍上,收斂于函數收斂于函數 f (x),. 0)(xRn特別特別,為函數為函數 f (x)的的)3(!)0(! 2)0(! 1)0()0()(2 nnxnfxfxff麥克勞林級數麥克勞林級數. .取決于取決于在什么范圍上有在什么范圍上

5、有當當x0 = 0時時,稱冪級數稱冪級數函數展開成冪級數函數展開成冪級數7證證 必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展開為泰勒級數能展開為泰勒級數設設xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 定理定理1 1內內處處泰泰勒勒級級數數在在在在點點)()(00 xUxxf)(xf收收斂斂于于. 0)(lim)(0 xRxUnn內內在在函數展開成冪級數函數展開成冪級數8充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(

6、lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒級數收斂于的泰勒級數收斂于0)(lim xRnn設設函數展開成冪級數函數展開成冪級數9證證 nnxxaxxaaxf)()()(0010由于冪級數在收斂區間內可逐項微分由于冪級數在收斂區間內可逐項微分,定理定理2(2(函數冪級數展開的唯一性函數冪級數展開的唯一性) )內可展為冪級數內可展為冪級數在在如果函數如果函數)()(0 xUxf則則其其系系數數,)()(00nnnxxaxf 于是于是, 1! 0 規規定定：).()(00)0(xfxf ), 2 , 1 , 0( n)(!10)(xfnann 函數展開成冪級數函數展開成冪級數10 )(23)

7、1(!)(01)(xxannanxfnnn,0 xx 令令), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系數是唯一的泰勒系數是唯一的, 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf泰勒系數泰勒系數,)()1()(23! 2)(20032 nnxxannxxaaxf即得即得函數展開成冪級數函數展開成冪級數所以所以, f (x)的展開式是唯一的的展開式是唯一的.11問題問題nnnxxnxfxf)(!)()(000)( 泰勒級數在收斂區間是否收斂于泰勒級數在收斂區間是否收斂于f (x)? 不一定不一定. . 0, 00,)(21xxexfx如如), 2 , 1 , 0(0)0()(

8、 nfn且且 00)(nnxxf的麥氏級數為的麥氏級數為. 0)(),( xs內內和和函函數數該該級級數數在在可見可見,0外外除除 x在在x = 0點任意可導點任意可導,函數展開成冪級數函數展開成冪級數 f (x)的麥氏級數處處不收斂于的麥氏級數處處不收斂于f (x).121. 直接展開法直接展開法( (泰勒級數法泰勒級數法) )步驟步驟;!)0()1()(nfann 求求.0)(lim)3( xRnn討論討論(2) 寫出泰勒級數寫出泰勒級數,!)0(0)(nnnxnf 并求收斂半徑并求收斂半徑R.如如,0)(lim xRnn二、函數展開成冪級數二、函數展開成冪級數函數展開成冪級數函數展開成冪

9、級數 則級數在收斂區間內收斂于則級數在收斂區間內收斂于f (x).13例例解解.)(的冪級數的冪級數展開成展開成將將xexfx ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn其收斂半徑其收斂半徑因因泰勒公式的余項泰勒公式的余項,)!1()(1 nnxnexR (介于介于0, x之間之間)它滿足不等式它滿足不等式 nxnxx!1! 2112xeR = +.函數展開成冪級數函數展開成冪級數14)(xRn.)!1(1 nxenx對任一確定的對任一確定的,Rx 是處處收斂的冪級數是處處收斂的冪級數 的一般項的一般項. 0!nnnx),(!1! 2112 xxnxxenxxe是

10、確定的數是確定的數,)!1(1 nxn而而所以在所以在 上恒有上恒有),( x.0)(lim xRnn有展開公式有展開公式1)!1( nxne 于是于是,函數展開成冪級數函數展開成冪級數15例例.sin)(的冪級數的冪級數展開成展開成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n其收斂半徑其收斂半徑 )!12()1(! 51! 311253nxxxxnn),( x對對 內任一點內任一點x,有有R = +.函數展開成冪級數函數展開成冪級數16)!1(1 nxn)(xRn于是于是,

11、有展開公式有展開公式 )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x1)!1(2)1(sin nxnn 0)( n函數展開成冪級數函數展開成冪級數17例例.)()1()(的冪級數的冪級數展開成展開成將將xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn ), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12 nnnaa1lim lim1nnn1 1 R函數展開成冪級數函數展開成冪級數18所以所以 的泰勒級數的收斂區間是的泰勒級數的收斂區間是 )1(x 對不同的對不同的,1處處在在 x 為了避免討論余項的極限為

12、了避免討論余項的極限,設在區間設在區間 )1(x 的泰勒級數和函數的泰勒級數和函數s(x),即設即設 nxnnxxs!)1()1(1)( 下面證明下面證明).1 , 1(,)1()( xxxs由逐項求導得由逐項求導得 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs ).1 , 1( 內內)1 , 1( 函數展開成冪級數函數展開成冪級數, 斂散性不同斂散性不同.11(1)(1)1.1!(1)!nnxxn19兩邊同乘以兩邊同乘以(1 + x)后后,注意右邊方括號內的注意右邊方括號內的 xn 系數為系數為.!)1()1(!)()1()!1()1()1(nnnnnn )()1(xsx 1222!)1(

13、)1(! 2)1(nxnnxx )(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且函數展開成冪級數函數展開成冪級數11(1)(1)( )1.1!(1)!nnS xxxn20兩邊積分兩邊積分,d1d)()(00 xxxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 牛頓二項式展開式牛頓二項式展開式注注.1的取值有關的取值有關處收斂性與處收斂性與在在 x);1 , 1(1 收收斂斂區區間間為為 ;1 , 1(11 收收斂斂區區間間為為 .1 , 11 收收斂斂區區間間為為 函數展開成冪級數函數展開成冪級數21有有時

14、時當當,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1(!)!2(!)!32() 1(64231421211132nnxnnxxxx 1 , 1(!)!2(!)!12() 1(64253142312111132nnxnnxxxx雙階乘雙階乘函數展開成冪級數函數展開成冪級數22),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 .1的取值有關的取值有關處收斂性與處收斂性與在在 x);1 , 1(, 1 收收斂斂區區間間為為 ;1 , 1(, 11 收收斂斂區

15、區間間為為 .1 , 1, 1 收收斂斂區區間間為為 常見的展開式常見的展開式函數展開成冪級數函數展開成冪級數23 將函數用直接展開法展開為冪級數將函數用直接展開法展開為冪級數,而且對許多函數來說求各階導而且對許多函數來說求各階導與討論拉格朗日型余項與討論拉格朗日型余項 Rn(x) 趨于零的范圍趨于零的范圍下面介紹下面介紹計算工作量大計算工作量大.一般一般數數間接展開法間接展開法. .都是困難的都是困難的.函數展開成冪級數函數展開成冪級數242. .間接展開法間接展開法 根據展開的唯一性根據展開的唯一性, 它與直接展開法得到它與直接展開法得到的結果是一致的的結果是一致的.利用常見展開式及等比級

16、數的和等利用常見展開式及等比級數的和等, 通過通過逐項求導逐項求導,逐項積分逐項積分, 變量代換變量代換,四則運算四則運算,恒等恒等變形變形等方法等方法,求展開式求展開式.函數展開成冪級數函數展開成冪級數25例例)(sincos xx1cos x),( x(1) 逐項求導逐項求導, 逐項積分法逐項積分法 展開展開為為x的冪級數的冪級數.解解)!2()1(20nxnnn )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x2! 21x 4! 41x )!2()1(2nxnnxcos)!2()1(20nxnnn ),( x函數展開成冪級數函數展開成冪級數xxfcos)( 將將2

17、6例例展開為展開為x的冪級數的冪級數.解解,11)(arctan2xx 而而,)1(1112422 nnxxxx)1 , 1( x 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 xxarctan 21dxxxarctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x0 x函數展開成冪級數函數展開成冪級數xxfarctan)( 將將27)1ln(x ,)1(3121132 nxxxxnn1 , 1( x例例 將將 展開為展開為x的冪級數的冪級數.解解,11 )1ln(xx 而而,)1(1112 nnxxxx)1 , 1( x注注利用間接展開法時利用間接展開法時,要注意區間端點的收

18、斂性要注意區間端點的收斂性. xx1d)1ln(x ,)1(3121132 nxxxxnn1 , 1( x0 x)1ln()(xxf 函數展開成冪級數函數展開成冪級數28有有 121)1(513114nn nn1)1(312112ln1 12)1(5131arctan1253nxxxxxnn nxxxxxnn 132)1(3121)1ln(, 2ln)11ln(1 時時，當當x,41arctan1 時，時，當當x有有1 , 1( x 1 , 1 x函數展開成冪級數函數展開成冪級數29 1989年研究生考題年研究生考題,計算計算,6分分.11arctan的冪級數的冪級數展為展為將函數將函數xxx

19、y 解解xxxf 11arctan)(由由41arctan)0( f且且21111)( xxxf2)1()1)(1()1(1xxx 211x xttf0d)(由由)0()(fxf xtf0)( 4)( xfnnnx20)1( )11( x例例 nnxxxx2422)1(111)1 , 1( x函數展開成冪級數函數展開成冪級數304)( xfttnxnnd)1(200 002d)1(4nxnntt 012121)1(4nnnxn )11( x.11arctan的冪級數的冪級數展為展為將函數將函數xxxy 函數展開成冪級數函數展開成冪級數31 1994年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分xx

20、xxxf arctan2111ln41)(將函數將函數.的的冪冪級級數數展展成成x,141)(141 nnxnxf解解 xxxf111141)()1(212x 1 1114 x 14nnx)0()(fxf xxxf0d)(141141 nnxn0)0( f由由)11( x由牛由牛萊公式得萊公式得例例441xx 函數展開成冪級數函數展開成冪級數32(2) 變量代換變量代換法法例例 將將 展開為展開為x的冪級數的冪級數,并指出收斂區間并指出收斂區間.2xe 解解 作作變量代換變量代換2xt ! 2122nttteentx !)1(! 3! 212642nxxxxnn)( x),(!1! 2112

21、xxnxxenx函數展開成冪級數函數展開成冪級數33例例 將將 展開為展開為x的冪級數的冪級數,并指出收斂區間并指出收斂區間.解解x 31將將 作作下述下述變形變形,再利用再利用變量代換變量代換.3xt x 31x 31 31t 1131)1(3112 nttt3331 3112 nxxx311x )1 , 1(11132 nxxxxx)1 , 1(11132 nxxxxx)1 , 1(11132 nxxxxx函數展開成冪級數函數展開成冪級數34 1122333131nnxxx, 131 x11 t. 33 x相當于相當于即即注注 今后為了書寫簡單起見今后為了書寫簡單起見,常可以不將新常可以不

22、將新的變量寫出的變量寫出.函數展開成冪級數函數展開成冪級數35例例.141)(處展開成泰勒級數處展開成泰勒級數在在將將 xxxxf解解)1(的的冪冪級級數數展展開開成成 x x41)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x1 3)1( x).1()(nf并求并求函數展開成冪級數函數展開成冪級數36xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x于于是是.3!)1()(nnnf 故故,31n !)1()(nfn), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann函數展開成冪級數函數展開成冪級數.141)(處展開成泰勒級數處展開成

23、泰勒級數在在將將 xxxxf)1(的的冪冪級級數數展展開開成成 x).1()(nf并求并求37解解xln2321212ln222232xxx 2212lnx 221ln2lnx. 222 x得得, 1221 x nnxn221)1(1展開區間展開區間.,ln并并指指出出展展開開區區間間的的冪冪級級數數展展開開為為將將x. 40 x2ln )2( x2 x)1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x函數展開成冪級數函數展開成冪級數38(3) 四則運算四則運算例例)(21chxxeex )!2(! 4! 21232nxxxn ! 4! 3! 21! 4! 3! 2121432

24、432xxxxxxxx)( x),(!1! 2112 xxnxxenx函數展開成冪級數函數展開成冪級數39例例 將將 展為展為x的冪級數的冪級數.xex 1解解. 1,1112 xxxxxn).,(,!1! 2112 xxnxxenx相乘得相乘得 2! 21! 111! 11111xxxex. 1 x,!1! 21! 111 nxn函數展開成冪級數函數展開成冪級數40例例 將將 展為展為x的冪級數的冪級數.ttxfxdsin)(02 解解 xnxxnnn,)!12()1(sin120 2sint逐項積分得逐項積分得ttxfxdsin)(02 tntnxnnd)!12()1()12(200 .

25、x,)34()!12()1(340 nnxnnn.,)!12()1()12(20 tntnnn2t函數展開成冪級數函數展開成冪級數41),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x熟記下面函數的展開式熟記下面函數的展開式函數展開成冪級數函數展開成冪級數42)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x函數展開成冪級數函數展開成冪級數43;11)1(0 xxnn ;11

26、)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx ).1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 常用已知和函數的冪級數常用已知和函數的冪級數函數展開成冪級數函數展開成冪級數44例例 求常數項級數求常數項級數 的和的和. 02!)1(nnn解解在在x = 1時對應的級數時對應的級數. nnxnn 02!)1(顯然這個冪級數收斂域為顯然這個冪級數收斂域為故先求此故先求此冪級數的和函數冪級數的和函數.nnxnnxs 02!)1()( 02!12nnxnnnnnxnn 02!nnxn 1)!1(12nnxnn 1)

27、!1(xe xnnenx 0!).,( nnxnn 0!2nnxn 0!1分析分析這個常數項級數是冪級數這個常數項級數是冪級數函數展開成冪級數函數展開成冪級數45nnxn 1)!1(12nnxnn 1)!1(11xe 2)!2(nnnxnnxn 1)!1(13xe 02!kkkxx 0!3kkkxxxe xexx)13(2 所以所以 02!)1(nnn)1( s e5 nnxn 1)!1(12nnxnn 1)!1(xe xnnenx 0!函數展開成冪級數函數展開成冪級數46 求常數項級數求常數項級數 的和的和. 0!12nnn法一法一解解 0!12nnn )!1(12n 0!13nne3 0!

28、2nnn 0!1nn 0!1nn 0!12nn 0!1nn1 n函數展開成冪級數函數展開成冪級數47法二法二,!12)(02 nnxnnxs令令逐項積分逐項積分 xxxs0d)( 012!1nnxn 0!)(nnnxx故故)()(2 xxexs 當當 x = 1時，時， 0!12)1(nnns. x2222xxexe .)21(22xex 122)21( xxex.3e xxnnnxnd!12002 得得 xe 2xxnnenx 0!分析分析令令 x = 1,得得 0!12)1(nnns 02!1nnxn2x函數展開成冪級數函數展開成冪級數48法三法三令令,!1)(012 nnxnxs上式兩邊

29、求導得上式兩邊求導得 02!12)(nnxnnxs.)21(22xex 令令 x=1,得得 0!12)1(nnns的的和和求求 0!12nnn. x 0!12)1(nnns2xxe 02!nnnxx 012!1)(nnxnxs 02!12)(nnxnnxs122)21( xxex分析分析的的和和求求 0!12nnn.3e )(xs2xxe 函數展開成冪級數函數展開成冪級數49 將函數將函數xxxxfarctan2111ln41)( 展開為展開為x的冪級數的冪級數,并指出收斂區間并指出收斂區間.解解21121111141)(xxxxf 22111121xx411x )11()(04 xxxfnn0)0( f xnnxxfxf004d)0()(140141 nnxn端點無定義端點無定義 )(xf)11(141140 xxnnn函數展開成冪級數函數展開成冪級數50泰勒級數收斂于函數的充分必要條件泰勒級數收斂于函數的充分必要條件函數展開成泰勒級數的方法函數展開成泰勒級數的方法:熟記熟記6個基本的展開式個基本的展開式. )1ln(,)1(,cos,sin,11xxxx