1、第二章第二章 行列式行列式 (determinant )2.1 行列式的定義行列式的定義2.2 行列式的性質行列式的性質2.3 行列式的應用行列式的應用 一一 、克拉默克拉默(Cramer) 二、矩陣求逆公式二、矩陣求逆公式 三、矩陣的秩三、矩陣的秩2.3 行列式的應用行列式的應用一一 、克拉默克拉默(Cramer)法則法則設設n n個方程個方程n n個未知數的非齊次線性方程組為個未知數的非齊次線性方程組為11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 如果線性方程組如果線性方程組(1)(1)的系數行列式的系數行列式11

2、12121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa定理定理2.2 克拉默法則克拉默法則 且解可以表示為且解可以表示為那么線性方程組那么線性方程組(1)有唯一解，有唯一解，.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系數行列式是把系數行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程組右端的常數項代替后所得到的組右端的常數項代替后所得到的 階行列式，即階行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 定理定理2.32.3 如果線性方程組如果線性方程組(1)(1)無解或有兩個不同的無解或有兩個不同的解，則它的系數行列式

3、必為零解，則它的系數行列式必為零. .對于齊次線性方程組對于齊次線性方程組 1111221211222211220020nnnnnnnnna xa xa xa xa xaxa xaxax 定理定理2.42.4如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組(2)(2)的系數行列式的系數行列式 , ,則齊次線性方程組則齊次線性方程組 (2)(2)只有零解只有零解. .0 D方程組方程組(2)(2)是方程組（是方程組（1 1）的特例，將定理）的特例，將定理2.22.2應用到方程應用到方程組組(2)(2)得到得到定理定理2.5 2.5 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組(2) (2) 有非零解有非零解, ,則

4、它則它的系數行列式必為零的系數行列式必為零. .例例1 用克拉默法則解線性方程組用克拉默法則解線性方程組 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DD

5、x, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx例例2 問問 取何值時，齊次方程組取何值時，齊次方程組 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？ 111132421D解解 101112431 1331212332212cc)2)(3( 齊次方程組有非零解，則齊次方程組有非零解，則0 D所以所以 或或 時齊次方程組有非零解時齊次方程組有非零解.20 ,3 001121223312)1(13 cc二、矩陣求逆公式二、矩陣求逆公式定義定義2.2 伴隨矩陣伴隨矩陣112111222212nnnnnnAAAAAAAAA稱為矩陣稱

6、為矩陣A 的的伴隨矩陣伴隨矩陣,(),ijn nijijAaaAn 設設矩矩陣陣元元素素的的代代數數余余子子式式按按如如下下的的順順序序構構成成的的 階階矩矩陣陣A 記記為為定理定理2.6n n()ijAa,AAA AA E. 設設則則證明證明 ,ijaA 設設 ,ijbAA 記記則則jninjijiijAaAaAab 2211 0 Aijij 111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAAAaaaAAA AAA EA112111112112222212221212nnnnnnnnnnnnAAAaaaAAAaaaA AAAAaaa AAA E

7、A定理定理2.72.7 矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 A0 A.的伴隨矩陣的伴隨矩陣為矩陣為矩陣其中其中AA 奇異矩陣與非奇異矩陣的定義奇異矩陣與非奇異矩陣的定義.,0,0非非奇奇異異矩矩陣陣稱稱為為時時當當稱稱為為奇奇異異矩矩陣陣時時當當AAAA AA.由由此此可可得得是是可可逆逆陣陣的的充充要要條條件件是是為為非非奇奇異異矩矩陣陣,11 AAA且且AA11 111 AAAAE例例3 (1) 3 (1) 求方陣求方陣 的逆矩陣的逆矩陣. . 343122321A解解343122321 A, 02 .1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A, 2432213 A

8、,222563462 A得得, 2341211 A, 6343221 A, 2432213 A, 6333122 A, 5123132 A, 4123231 A, 2432123 A, 2222133 A AAA11 22256346221, 3331212 A AAA11 22256346221.11125323231 例例4.)0(的逆矩陣的逆矩陣求求 bcaddcbaA解解, 0 bcadA.* acbdA.11 acbdbcadA二階矩陣的逆可以直接二階矩陣的逆可以直接“看出來看出來” 11AA,A,AA.A例例5 5 若若 可可逆逆 證證明明亦亦可可逆逆 且且AAAAA1)()(11

9、1*1 AAAA1)()(*11* AAAEAAA1)()1(1* 知知由由證明：證明： .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若逆矩陣的運算性質小結逆矩陣的運算性質小結 且且可逆可逆則則數數可逆可逆若若, 0,2AA .111 AA .,3AAAAT 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若TT1 1 .,411AAAAAA 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若 且且亦可逆亦可逆則則為同階方陣且均可逆為同階方陣且均可逆若若,5ABBA 1ABB1 1 A112(3 )2A, A,AA 設設 為為三三階階方方陣陣求求例例62741)32(323121)3(3111*1 AAAAAA解：解：1

10、2821A,BA BABAE,A,B 例例7 7設設滿滿足足方方程程求求解：等號兩邊同時左乘解：等號兩邊同時左乘A，右乘，右乘 整理后得整理后得1 AEBAAA8)2(* EBAE8)22( 242)(41EAB三、矩陣的秩三、矩陣的秩. , 數數是是唯唯一一確確定定的的梯梯形形矩矩陣陣中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行階階把把它它變變為為行行階階變變換換總總可可經經過過有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩陣陣nmA 矩陣的秩矩陣的秩定義定義2.32.3列列行行中任取中任取矩陣矩陣在在kkAmn (kmin m,n ), 位于這些行、列交叉處的位于這些行、列交叉處的2k個元素，個元素，.階

11、子式階子式的的稱為矩陣稱為矩陣k k階行列式，階行列式，中所處的位置次序而得的中所處的位置次序而得的kA不改變它們在不改變它們在A010R(4)2.ArD.rDArAA . 設設在在矩矩陣陣中中有有一一個個不不等等于于的的階階子子式式，且且所所有有階階子子式式（如如果果存存在在的的話話）全全等等于于 ，那那末末稱稱為為矩矩陣陣 的的最最高高階階非非零零子子式式，數數稱稱為為矩矩陣陣的的秩秩，記記作作并并規規定定零零矩矩陣陣定定的的秩秩等等于于零零義義.)( 子式的最高階數子式的最高階數中不等于零的中不等于零的是是的秩的秩矩陣矩陣AARAnm ，對于對于TA).()(ARART 顯有顯有( )R

12、 A 顯顯然然m,n,min( )=m,n,R Amin若若則稱則稱A為滿秩矩陣為滿秩矩陣例例8 8，求該矩陣的秩，求該矩陣的秩已知已知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解計算計算A的的3階子式，階子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR 8 2. AB,R AR B .若若經經過過初初等等變變換換得得到到則則定定理理做初等變換，做初等變換，對矩陣對矩陣 510231202231A如果如果31r2r1322132202130213B,20150000 顯然，非零行的行數為顯然，非零行

13、的行數為2，R(B)=2此方法簡單！此方法簡單！例例9 9 4321,6063324208421221bA設設 .)(的的秩秩及及矩矩陣陣求求矩矩陣陣bABA 解解),( bAB的行階梯形矩陣為的行階梯形矩陣為設設分析：分析：的行階梯形矩陣，的行階梯形矩陣，就是就是則則AA).()(),(BRARbA及及中可同時看出中可同時看出故從故從 46063332422084211221B1221100210(A|b)0000100000 . 3)(, 2)( BRAR下面討論矩陣秩的一些性質和公式下面討論矩陣秩的一些性質和公式性質性質1 0( )=r00rm nrEAmnAAEr 設設 為為矩矩陣陣,

14、 ,則則R R的的標標準準型型為為其其中中為為 階階單單位位陣陣. . ,.例例5 5 寫寫出出下下列列矩矩陣陣的的標標準準型型 并并指指出出哪哪個個是是滿滿秩秩矩矩陣陣, 2)(,A)1(43 AR, 3)(,A)2(43 AR, 3)(,A)3(33 AR, 1)(,A)4(41 AR性質性質2 (1) R( )=n(),R()=R( )AAABB若若此此時時稱稱 為為列列滿滿秩秩 則則(2) R( )=m(),R()=R( )AACAC若若此此時時稱稱 為為行行滿滿秩秩 則則,R()=R()=R( )AABBAB特特別別地地 若若 可可逆逆 則則mnmnnmCBA ,設設 23416232344630Ax,B 設設例例10()=2,x,R AABA. 若若求求 并并寫寫出出 的的標標準準型型解：解： 10012106433EB得得B+E可逆可逆)()()(2AREBARABAR 5001090432xA9 xA的標準形為的標準形為 000010001關于矩陣秩的幾個常見