1、第二輪講練思維方法·求異思維  所謂求異思維是一種不依常規(guī)、尋求變異、從多方面探索答案的思維形式求異思維又叫發(fā)散思維，它具有不落俗套、標(biāo)新立異、不拘一格的特點因此，用求異思維解題有利于培養(yǎng)思維的多向性、靈活性和獨特性在平面解析幾何中，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維能力，要注意以下幾個方面(一)變換思維方向解證解析幾何習(xí)題，常常會出現(xiàn)“思路自然、運算麻煩”的局面，甚至?xí)健吧礁F水盡疑無路”的地步這時，若能變換思維角度，多方位思考，多渠道辟徑，就會超過思維障礙，呈現(xiàn)“柳暗花明又一村”的美景例1  已知點A(1，-1)、B(7，2)，以A為圓心、8為半徑作A，以B為圓心，6為半徑作

2、B，求這兩個圓外公切線交點P的坐標(biāo)【分析】  如圖14解本題的自然思路是，先求出兩條外公切線的方程，再解方程求出交點坐標(biāo)但這種解法是入手容易出手難，由于運算量過大，使思維陷入困境如果能換一個角度思考，聯(lián)想到公切徑之比)，那么便可用線段定比分點公式，使問題獲得巧解【解】  如圖14，設(shè)M、N是一條外公切線與兩個圓的切點，連結(jié)AB、BP，則A、B、P三點共線，再連結(jié)AM、BN，則AMMP、BNMP  BNAM設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則由線段定比分點公式，得故點P的坐標(biāo)為(25，11)例2  如圖15，直線y=kxb與圓x2+y2=1交于B、C兩點，與雙曲線

3、x2-y2=1交于A、D兩點，若B、C恰好是線段AD的三等分點，求k與b的值【分析】  如圖15，解本題的自然思路是，由|AB|=|BC|=|CD|入手，先計算出|AB|、|BC|、|CD|(即用k、b表示)，然后解方程組求得k、b的值但由于線段AB、CD的端點不在同一曲線上，從而上述解法運算相當(dāng)麻煩如果變換思考角度，由|AB|=|CD|出發(fā)，可得線段BC與AD的中點重合，進而可用韋達定理，列出k、b的一個關(guān)系式，再【解】  如圖15，把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得(1+k2)x2+2bkx+b2-1=0    

4、0;                                                 

5、0;        從而  由韋達定理，得把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0                                

6、60;                           |AB|=|CD|，  AD與BC的中點重點解之，得k=0或b=0當(dāng)k=0時，方程化為x2=1-b2，(二)一題多解在解析幾何中，進行一題多解訓(xùn)練是培養(yǎng)求異思維能力的一種極好形式例3  已知直線l過坐標(biāo)原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，若點A(-1，0)和

7、點B(0，8)關(guān)于l的對稱點都在C上，求直線l和拋物線C的方程(1994年全國高考理科試題)【分析1】  設(shè)直線l的方程為y=kx，拋物線C的方程為y2=2px(p0)，先求出A、B關(guān)于l對稱的點A、B的坐標(biāo)(用k表示)，再代入拋物線C的方程中，可得k、p的方程組，最后解方程組即可【解法1】  如圖16由已知可設(shè)拋物線C的方程為y2=2px(p0)由于直線l不與兩坐標(biāo)軸重合，故可設(shè)l的方程為ykx(k0)              &#

8、160;                                              設(shè)A、B分別是A、B關(guān)于l的對稱點，則由 AAl可

9、得 直線AA的方程為將、聯(lián)立，解得線段AA的中點M的坐標(biāo)為分別把A、B的坐標(biāo)代入拋物線C的方程中，得由÷，消去p，整理，得k2-k-1=0                                     

10、0;                                 又由知k0                

11、0;                                                 

12、0;                     【分析2】  如圖17，設(shè)直線l的傾斜角為，則l的斜率為用的三角函數(shù)表示點A、B的坐標(biāo)，再把這些坐標(biāo)用k表示，以下同解法1l的斜率為k  |OA|=|OA|=1，|OB|=|OB|=8，xOA=-(-2)，  由三角函數(shù)的定義，得A的坐標(biāo)為xA=|OA|cosxOA=-cos2，yA=|OA|sinxOA=-sin2以下同

13、解法1，從略又|OB|=8，|OA|=1，從而此題可設(shè)極坐標(biāo)方程去解【解法3】  如圖17，以O(shè)為極點，Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，把x=cos代入方程y2=2px(p0)中，得拋物線的坐標(biāo)方程為由已知可設(shè)點B的極坐標(biāo)為(8，)、A的極坐標(biāo)為(1，  直線l平分BOB，=8，OAOB列出p、t1、t2的方程組，進而去求解  |OA|=|OA|=1，|OB|=|OB|=8，又由OAOB，得kOA·kOB=-1，【分析5】  如圖17，由于|OA|=1，|OB|=8，A【解法5】  如圖17把直角坐標(biāo)系視為復(fù)平面，設(shè)點A 得點B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(

14、x1y1i)8i=-8y1+8x1i  點A、B的坐標(biāo)為(x1，y1)、(-8y1，8x1)把它們分別代入拋物線C的方程y2=2px(p0)中，得即kOA'=-2，又|OA|=1，以下同解法4，從略【分析6】  本題也可以把拋物線的參數(shù)方程與復(fù)數(shù)法結(jié)合起來去解數(shù)乘法的幾何意義，得由復(fù)數(shù)相等的條件，得消去p，解得t2=2從而B的坐標(biāo)為(8p，4p)線段BB的中點C的坐標(biāo)為(4p，2p4)，【分析7】  在解法5中，利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，發(fā)現(xiàn)了A、B坐標(biāo)之間的關(guān)系式，從而獲得簡解如圖18，點B與點A的坐標(biāo)關(guān)系也可用平面幾何法得到【解法7】  如圖1

15、8，作ACOx于C，BDOx于D設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)  BODAOC=90°，  RtACORtODB又|OA|1，|OB|=8，  |OD|8|AC|，|BD|8|OC|于是x2=-8y1，y2=8x1以下同解法5，從略【解說】  本例給出了七種解法解法1是本題的一般解法，它的關(guān)鍵是求點A、B關(guān)于l的對稱點的坐標(biāo)解法2是三角法，它法3是極坐標(biāo)法，巧妙利用了A、B的特殊位置解法4是利用拋物線的參數(shù)方程去解的解法5和解法7是從尋找A、B的坐標(biāo)關(guān)系式入手的，分別用復(fù)數(shù)法和相似形法獲解解法6把參數(shù)法與復(fù)數(shù)法結(jié)合起來，體現(xiàn)

16、了思維的靈活性總之，本例運用了解析幾何的多種方法，是對學(xué)生進行求異思維訓(xùn)練的極好例題(三)逆向思維在人們的思維活動中，如果把AB的思維過程看作正向思維的話，那么就把與之相反的思維過程BA叫做逆向思維在平常的學(xué)習(xí)中，人們習(xí)慣于正向思維，而不善長逆向思維因此，為了培養(yǎng)思維的多向性和靈活性，就必須加強逆向思維訓(xùn)練在解題遇到困難時，若能靈活地進行逆向思維，往往出奇制勝，獲得巧解在解析幾何中，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力，要注意逆用解析式的幾何意義、逆用曲線與方程的概念和逆用圓錐曲線的定義例4  設(shè)a、b是兩個實數(shù)，A=(x，y)|x=n，y=nab，nZ，B=(x，y)|x=m，y=3(m25)，m

17、Z，C=(x，y)|x2y2144是平面xOy內(nèi)的點焦，討論是否存在a和b，使得：(1)ABf；(2)(a，b)C(1985年全國高考理科試題)【解】  由已知可得，a、b是否存在等價于混合組以上二式的幾何意義是：如圖19，在平面aOb中，nab=3(n25)是直線，a2b2144是圓面(即圓x2y2=144的邊界及其內(nèi)部)因此，這個混合組有解的充要條件是直線nab=3(n2+5)與圓a2b2=144有公共點，即圓心O(0，0)到這條直線的距離d12即(n25)216(n2+1)，  n4-6n2+90，即(n2-3)20又(n2-3)20，  n2=3這與n是整

18、數(shù)矛盾故滿足題中兩個條件的實數(shù)a、b不存在【解說】  這種解法中，把混合組翻譯成幾何語言(直線和圓面是否有公共點)就是解析法的逆向思維教學(xué)實踐表明，學(xué)生普遍認(rèn)為這種解法難想，其實，“難就難在逆向思維”，普遍認(rèn)為這種解法巧妙，其實，“巧就巧在逆向思維”  習(xí)題12  1已知圓C1：(x1)2(y-2)2=4與圓C2：(x-3)2+(y-4)2=25，求它們外公切線交點P的坐標(biāo)2已知直線l過點P(1，4)，求它在兩坐標(biāo)軸正向截距之和最小時的方程(要求至少5種解法)(要求至少4種證法)(1992年全國高考理科試題)4長度為3的線段AB的兩端點在拋物線y2=x上移動，記線段AB的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時點M的坐標(biāo)(要求至少4種解法)(1987年全國高考理科試題)5已知2a3b=5，求證：直線ax+by-5=0必過一個定點7已知三個集合M=(x，y)|y2=x1