1、利用子集解題(原創)深圳市龍城高級中學 劉楚元 518172高一的學生在初學集合時，會遇到一些困難；從集合的概念到集合的交集、并集、補集等運算，由于概念多、符號多、運算多，還要對文字語言、符號語言、圖形語言進行等價轉換，使得學生在對概念的理解、運用，做題的書寫格式等方面不知所措.究其原因，一是學生從初中到高中后，數學的內容、知識結構發生了較大變化，使學生一下難易適應；二是學生沒能抓住重點，把重點攻克了其它的就自然不攻自破.在學習集合的過程中，筆者認為“子集”的概念是個關鍵內容.歸納起來，在集合的交集、并集、補集等運算中，多數與“子集”有關且往往較易出錯而困擾一些學生。現將有關“子集”的知識點和

2、題型歸納出來，希望對同學們有所幫助.一、集合中“子集”的定義如果集合的任意一個元素都是集合的元素（若則），那么集合稱為集合的子集（subset），記為或，讀作“集合包含于集合”或“集合包含集合”.如果，并且那么集合稱為集合的真子集（proper set），記為或，讀作“集合真包含于集合”或“集合真包含集合”,如二、有關“子集”的一些結論（1）根據子集、真子集的定義知，當時，則A=B或AB.因此有：任何一個集合是它本身的子集,即.（2）若且,則反之也成立.（3）ABA, ABB.（4）（AB）A,（AB）B.（5）A（AB）,B（AB），（AB）（AB）.（5）如果，那么( 7) 設,是在A中的

3、補集,則有（）. (8 )規定：空集是任何集合的子集，即.(9) 規定：空集是任何非空集合的真子集，即(10)含有個元素的集合，它的子集個數為個，真子集的個數為（）個，非空的真子集的個數為（）個.三、涉及“子集”的基本題型基本的解題思路是：利用上述結論把交集、并集、補集等關系轉化為子集的關系，即集合之間的包含關系；這種包含關系化為元素與集合的屬于關系或化為兩集合中元素范圍的比較（即化為不等式組求解）.要結合文恩圖、數軸或相應的圖形等求解.特別要注意的，當用區間表示含有字母的集合時，要討論集合有可能是空集，因為空集是任何集合的子集，必須要研究這種情況.在下結論前要先進行檢驗，才能得出正確的結果.

4、、集合中的元素“例舉”出來且有限：常規解法：利用子集的包含關系，化為一個集合的元素屬于另一個集合，列出方程（方程組）求解.注意：可能有多種情況，要檢驗后作出結論.例1、已知集合，若，求實數m的值.解：因為，即集合B中的元素都是集合A中的元素，觀察知有兩種可能：（1），則；（2）解得2.而當時，集合B中出現相同的元素與集合中的元素互異矛盾，故舍去. 所以：m的值是例2、已知集合，若AB = A，求實數的值.解：因為AB = A，所以：，即集合B中的元素都是集合A中的元素，觀察知有三種可能：或或解得:經檢驗知：注：以上兩題都要分幾種情況討論, 例2中的并集化為子集求解.、集合中的元素用已知不等式“

5、描述”出來且無限： 常規解法：利用子集的包含關系，化為不等式端點值的大小關系式，列出不等式（不等式組）求解.注意：兩端點處是否相等，結合數軸或檢驗后作出結論.例3、設集合，且，則實數k的取值范圍.解：因為是已知非空，是不確定，且，利用子集的定義，在數軸上比較端點有：，經檢驗得實數k的取值范圍是：注：本題中由子集的定義知結論中的等號經檢驗知可以取到.例4、已知集合，若AB=A，求實數a的取值范圍.解：因為是已知非空，是不確定，因為AB=A，所以：， 利用子集的定義，在數軸上比較端點有： 經檢驗得實數的取值范圍是：注：本題中的交集化為子集求解.由子集的定義知結論中的等號經檢驗知不能取到.例5、已知

6、集合，且，求實數a的取值范圍.解：因為是已知且非空，是未知，且，是成立的. 當時，解得：當時，由及結合數軸知：解得：綜合知實數a的取值范圍是：注：本題中有兩點要注意：用不等式或區間表示的集合可能是空集容易忽視；空集是任何非空集合的真子集. 、集合的元素用方程“描述”，且含有字母：常規解法：利用“空集是任何集合的子集”，首先考慮不確定的集合可能是空集，再考慮不是空集的情況.例6、設集合若，求實數的值。解：由，知當時， 當時， 當時，綜上知：注：本題中的集合至多有一個根，學生往往會忘記.例7、設集合（1）若AB=B,求實數a的取值范圍.（2）若AB=B,求實數a的取值范圍.解：（1） 由，AB=B

7、, 知.則因為中的方程是二次式，所以要用到有實根的判別式.當時，方程無實數根，解得：當時，方程實數根是2，解得：當時，方程實數根是0，解得：當時，方程實數根是0，2，解得：綜上知實數a的取值范圍是：注：本題中的集合至多有兩個根，且，是確定的，所以要考慮，學生往往會忘記. （2）由AB=B, 知.因為中至多有兩個元素，即1，2是方程兩個實數根，由韋達定理知：解得：注：本題中的集合至多有兩個根，因，是確定的，所以中必有兩個元素，且，不必考慮這種情況。與（1）比較從中加以區別.、集合的元素用不等式、方程“描述”且涉及到函數定義域等問題.常規解法：一般要轉化為函數處理，根據自己的定義和結合圖像解題.例

8、8、設集合若，求實數k的取值范圍.解： 由已知得：,中的元素事實上就是函數的定義域， 即不等式的解集非空且是A的子集.設函數，結合圖像知： 解得：注：本題中若把改為，結合圖像知只需有解得：函數的定義域非空，所以本題中不考慮空集的情況. 一般的，涉及到本題類似的問題構造二次函數后要從四個方面考慮約束條件:開口方向，對稱軸位置，判別式的正負，端點值的正負. 四、鞏固練習1、設集合A = 3，0，1，B = t2t + 1 ，若AB = A，則t = . 2、已知，則滿足條件的集合A的個數為_.3、設集合A=1,3,2m-1, B=3,m2，若BA，則實數m .4、求適合條件的集合A.5、設集合A=xx2-3x+20, B=xx2-ax+a-1=0,且ABA,求a的值.6、設集合，求集合M的非空真子集.7、設集合A=2,5, B=xx2+px+q0,且ABA.（1）若AB，求實數p，q.(2)求實數p，q滿足的條件.8、設A=xa1xa2, B=x3x5，求能使BA成立的實數a的取值范圍.9、已知集合，若則實數的取值范圍是，求的值. 1