1、三角函數(shù)的起源· 所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始終被認(rèn)為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關(guān)的某些線段，即三角學(xué)是以幾何的面貌表現(xiàn)出來的，這也可以說是三角學(xué)的古典面貌。三角學(xué)的現(xiàn)代特徵，是把三角量看作為函數(shù)，即看作為是一種與角相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。這方面的工作是由歐拉作出的。1748年，尤拉發(fā)表著名的無窮小分析引論一書，指出：”三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”。具體地說，任意一個(gè)角的三角函數(shù)，都可以認(rèn)為是以這個(gè)角的頂點(diǎn)為圓心，以某定長(zhǎng)為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點(diǎn)P向另一邊作垂線PM后，所得的線段OP、OM、MP(即函數(shù)線)相互之間所取的比值(如圖八)，sinMP/OP

2、，cosOM/OP，tan MP/OM等。若令半徑為單位長(zhǎng)，那麼所有的六個(gè)三角函數(shù)又可大為簡(jiǎn)化。三角學(xué)問題的提出三角學(xué)理論的基礎(chǔ)，是對(duì)三角形各元素之間相依關(guān)系的認(rèn)識(shí)。一般認(rèn)為，這一認(rèn)識(shí)最早是由希臘天文學(xué)家獲得的。當(dāng)時(shí)，希臘天文學(xué)家為了正確地測(cè)量天體的位置。研究天體的運(yùn)行軌道，力求把天文學(xué)發(fā)展成為一門以精確的觀測(cè)和正確的計(jì)算為基礎(chǔ)之具有定量分析的科學(xué)。他們給自己提出的第一個(gè)任務(wù)是解直角三角形，因?yàn)檫M(jìn)行天文觀測(cè)時(shí)，人與星球以及大地的位置關(guān)系，通常是以直角三角形邊角之間的關(guān)系反映出來的。在很早以前，希臘天文學(xué)家從天文觀測(cè)的經(jīng)驗(yàn)中獲得了這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)：星球距地面的高度是可以通過人觀測(cè)星球時(shí)所采用的角度來

3、反映的(如圖一)；角度(ABC)越大，星球距地面(AC)就越高。然而，星球的高度與人觀測(cè)的角度之間在數(shù)量上究竟怎麼樣呢？能不能把各種不同的角度所反映的星球的高度都一一算出來呢?這就是天文學(xué)向數(shù)學(xué)提出的第一個(gè)課題制造弦表。所謂弦表，就是在保持AB不變的情況下可以供查閱的表 (如圖二)，AC的長(zhǎng)度與ABC的大小之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。獨(dú)立三角學(xué)的產(chǎn)生雖然后期的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家已經(jīng)開始對(duì)三角學(xué)進(jìn)行專門的整理和研究，他們的工作也可以算作是使三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來的表現(xiàn)，但是嚴(yán)格地說，他們并沒有創(chuàng)立起一門獨(dú)立的三角學(xué)。真正把三角學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立學(xué)科加以系統(tǒng)敘述的，是德國(guó)數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦納斯。雷基奧蒙坦納斯是十

4、五世紀(jì)最有聲望的德國(guó)數(shù)學(xué)家約翰�謬?yán)盏墓P名。他生於哥尼斯堡，年輕時(shí)就積極從事歐洲文藝復(fù)興時(shí)期作品的收集和翻譯工作，并熱心出版古希臘和阿拉伯著作。因此對(duì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家們?cè)谌欠矫娴墓ぷ鞅容^了解。1464年，他以雷基奧蒙坦納斯的名字發(fā)表了論各種三角形。在書中，他把以往散見在各種書上的三角學(xué)知識(shí)，系統(tǒng)地綜合了起來，成了三角學(xué)在數(shù)學(xué)上的一個(gè)分支。現(xiàn)代三角學(xué)的確認(rèn)直到十八世紀(jì)，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始終被認(rèn)為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關(guān)的某些線段，即三角學(xué)是以幾何的面貌表現(xiàn)出來的，這也可以說是三角學(xué)的古典面貌。三角學(xué)的現(xiàn)代特徵，是把三角量看作為函數(shù)，即看作為是一種與

5、角相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。這方面的工作是由歐拉作出的。1748年，尤拉發(fā)表著名的無窮小分析引論一書，指出：”三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”。具體地說，任意一個(gè)角的三角函數(shù)，都可以認(rèn)為是以這個(gè)角的頂點(diǎn)為圓心，以某定長(zhǎng)為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點(diǎn)P向另一邊作垂線PM后，所得的線段OP、OM、MP(即函數(shù)線)相互之間所取的比值(如圖八)，sinMP/OP，cosOM/OP，tan MP/OM等。若令半徑為單位長(zhǎng)，那麼所有的六個(gè)三角函數(shù)又可大為簡(jiǎn)化。尤拉的這個(gè)定義是極其科學(xué)的，它使三角學(xué)從靜態(tài)地只是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來，使它有可能去反映運(yùn)動(dòng)和變化的過程，從而使三角學(xué)成為一門具有現(xiàn)代

6、特徵的分析性學(xué)科。正如歐拉所說，引進(jìn)三角函數(shù)以后，原來意義下的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進(jìn)行自由的運(yùn)算。一切三角關(guān)系式也將很容易地從三角函數(shù)的定義出發(fā)直接得出。這樣，就使得從希帕克起許多數(shù)學(xué)家為之奮斗而得出的三角關(guān)系式，有了堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)，而且大大地豐富了。嚴(yán)格地說，這時(shí)才是三角學(xué)的真正確立。“正弦”的由來公元五世紀(jì)到十二世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家對(duì)三角學(xué)作出了較大的貢獻(xiàn)。盡管當(dāng)時(shí)三角學(xué)仍然還是天文學(xué)的一個(gè)計(jì)算工具，是一個(gè)附屬品，但是三角學(xué)的內(nèi)容卻由於印度數(shù)學(xué)家的努力而大大的豐富了。三角學(xué)中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度數(shù)學(xué)家首先引進(jìn)的，他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。我們已知道，托勒密

7、和希帕克造出的弦表是圓的全弦表，它是把圓弧同弧所夾的弦對(duì)應(yīng)起來的。印度數(shù)學(xué)家不同，他們把半弦(AC)與全弦所對(duì)弧的一半(AD)相對(duì)應(yīng)，即將AC與AOC對(duì)應(yīng)(如圖五 )，這樣，他們?cè)斐龅木筒辉偈恰比冶怼保恰闭冶怼绷恕Ｓ《热朔Q連結(jié)弧(AB)的兩端的弦(AB)為”吉瓦”，是弓弦的意思；稱AB的一半(AC) 為”阿爾哈吉瓦”。后來”吉瓦”這個(gè)詞譯成阿拉伯文時(shí)被誤解為”彎曲”、”凹處”，阿拉伯語是 ”dschaib”。十二世紀(jì)，阿拉伯文被轉(zhuǎn)譯成拉丁文，這個(gè)字被意譯成了”sinus”。三角學(xué)輸入我國(guó)，開始於明崇禎4年(1631年)，這一年，鄧玉函、湯若望和徐光啟合編大測(cè)，作為歷書的一部份呈獻(xiàn)給朝廷

8、，這是我國(guó)第一部編譯的三角學(xué)。在大測(cè)中，首先將sinus譯為”正半弦”，簡(jiǎn)稱”正弦”，這就成了正弦一詞的由來。“弦表”問世根據(jù)現(xiàn)在的認(rèn)識(shí)，弦表的制作似應(yīng)該是由一系列不同的角出發(fā)，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，AC，AC之間的距離。然而，第一張弦表制作者希臘文學(xué)家希帕克 (Hipparchus，約前180前125)不是這樣作，他采用的是在同一個(gè)固定的圓內(nèi)，去計(jì)算給定度數(shù)的圓弧AB所對(duì)應(yīng)的弦AB的長(zhǎng)(如圖三)。這就是說，希帕克是靠計(jì)算，而不是靠工具量出弦長(zhǎng)來制表的，這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳，現(xiàn)在我們所知關(guān)於希帕克在三角學(xué)上的成就，是從公元二世紀(jì)希臘著名天文學(xué)家托勒密的遺著

9、天文集中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克，但事實(shí)上不少是他自己的創(chuàng)造。據(jù)托勒密書中記載，為了度量圓弧與弦長(zhǎng)，他們采用了巴比倫人的60進(jìn)位法。把圓周360等分，把它的半徑60等分，在圓周和半徑的每一等分中再等分60份，每一小份又等分為60份，這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以后，羅馬人把它們分別取名為”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”；后來，這兩個(gè)名字演變?yōu)椤眒inute”和”second”，成為現(xiàn)在角和時(shí)間的度 量上”分”和”秒”這兩個(gè)單位得起源。建立了半徑與圓周的度量單位以后，希帕克和托勒密先著手計(jì)算一

10、些特殊圓弧所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)。比如 60o弧(1/6圓周長(zhǎng))所對(duì)的弦長(zhǎng)，正好是內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)，它與半徑相等，因此得出60o弧對(duì)應(yīng)的弦值是60個(gè)半徑單位(半徑長(zhǎng)的1/60為一個(gè)單位)；用同樣的方法，可以算出120o弧、90o弧以及72o弧所對(duì)應(yīng)的弦值(如圖四)。有了這些弧所對(duì)應(yīng)的弦值，接著就利用現(xiàn)在所稱的”拖勒密定理”，來推算兩條已知所對(duì)弦長(zhǎng)的弧的”和”與”差”所對(duì)的弦長(zhǎng)，以及由一條弧所對(duì)的弦長(zhǎng)來計(jì)算這條弧的一半所對(duì)的弦長(zhǎng)。正是基於這樣一種幾何上的推算。他們終於造出了世界上第一張弦表。希伯諸斯據(jù)說曾編著了三角學(xué)起源于古希臘。為了預(yù)報(bào)天體運(yùn)行路線、計(jì)算日歷、航海等需要，古希臘人已研究球面三角形的邊角

11、關(guān)系，掌握了球面三角形兩邊之和大于第三邊，球面三角形內(nèi)角之和大于兩個(gè)直角，等邊對(duì)等角等定理。印度人和阿拉伯人對(duì)三角學(xué)也有研究和推進(jìn)，但主要是應(yīng)用在天文學(xué)方面。15、16世紀(jì)三角學(xué)的研究轉(zhuǎn)入平面三角，以達(dá)到測(cè)量上應(yīng)用的目的。16世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)系統(tǒng)地研究了平面三角。他出版了應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律的書。此后，平面三角從天文學(xué)中分離出來，成了一個(gè)獨(dú)立的分支。平面三角學(xué)的內(nèi)容主要有三角函數(shù)、解三角形和三角方程。三角測(cè)量在中國(guó)也很早出現(xiàn)，公元前一百多年的周髀算經(jīng)就有較詳細(xì)的說明，例如它的首章記錄“周公曰，大哉言數(shù)，請(qǐng)問用矩之道。商高曰，平矩以正繩，偃矩以望高，復(fù)矩以測(cè)深，臥矩以知遠(yuǎn)。”（商高說的矩就是

12、今天工人用的兩邊互相垂直的曲尺，商高說的大意是將曲尺置于不同的位置可以測(cè)目標(biāo)物的高度、深度與廣度）1世紀(jì)時(shí)的九章算術(shù)中有專門研究測(cè)量問題的篇章第一個(gè)三角函數(shù)表， 編輯本段三角學(xué)的歷史早期三角學(xué)不是一門獨(dú)立的學(xué)科，而是依附于天文學(xué)，是天文觀測(cè)結(jié)果推算的一種方法，因而最先發(fā)展起來的是球面三角學(xué)希臘、印度、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中都有三角學(xué)的內(nèi)容，可大都是天文觀測(cè)的副產(chǎn)品例如，古希臘門納勞斯（Menelaus of Alexandria，公元100年左右）著球面學(xué)，提出了三角學(xué)的基礎(chǔ)問題和基本概念，特別是提出了球面三角學(xué)的門納勞斯定理；50年后，另一個(gè)古希臘學(xué)者托勒密（Ptolemy）著天文學(xué)大成，初步發(fā)展了三

13、角學(xué)而在公元499年，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多（ryabhata I）也表述出古代印度的三角學(xué)思想；其后的瓦拉哈米希拉（Varahamihira，約505587年）最早引入正弦概念，并給出最早的正弦表；公元10世紀(jì)的一些阿拉伯學(xué)者進(jìn)一步探討了三角學(xué)當(dāng)然，所有這些工作都是天文學(xué)研究的組成部分直到納西爾丁（Nasir edDin al Tusi，12011274年）的橫截線原理書才開始使三角學(xué)脫離天文學(xué)，成為純粹數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支而在歐洲，最早將三角學(xué)從天文學(xué)獨(dú)立出來的數(shù)學(xué)家是德國(guó)人雷格蒙塔努斯（J Regiomontanus，14361476年）。?雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的論各種三角形

14、。這是歐洲第一部獨(dú)立于天文學(xué)的三角學(xué)著作。全書共5卷，前2卷論述平面三角學(xué)，后3卷討論球面三角學(xué)，是歐洲傳播三角學(xué)的源泉。雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數(shù)表。?雷格蒙塔努斯的工作為三角學(xué)在平面和球面幾何中的應(yīng)用建立了牢固的基礎(chǔ)他去世以后，其著作手稿在學(xué)者中廣為傳閱，并最終出版，對(duì) 16 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響，也對(duì)哥白尼等一批天文學(xué)家產(chǎn)生了直接或間接的影響?三角學(xué)一詞的英文是trigonometry，來自拉丁文tuigonometuia最先使用該詞的是文藝復(fù)興時(shí)期的德國(guó)數(shù)學(xué)家皮蒂斯楚斯（BPitiscus，15611613年），他在1595年出版的三角學(xué)：解三角形的簡(jiǎn)明處理中創(chuàng)造這個(gè)詞其構(gòu)成法是由三角形（tuiangulum）和測(cè)量（metuicus）兩字湊合而成要測(cè)量計(jì)算離不開三角函數(shù)表和三角學(xué)公式，它們是作為三角學(xué)的主要內(nèi)容而發(fā)展的?16世紀(jì)三角函數(shù)表的制作首推奧地利數(shù)學(xué)家雷蒂庫(kù)斯（GJRhetucu s，1514