1、第四章導熱問題的數值解法第四章導熱問題的數值解法第四章導熱問題的數值解法24-0 引言引言1 求解導熱問題的三種基本方法求解導熱問題的三種基本方法：(1) 理論分析法；理論分析法；(2) 數數值計算值計算 法；法；(3) 實驗法實驗法 2 三種方法的基本求解過程三種方法的基本求解過程(1) 所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎上，直接對微分方程在所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎上，直接對微分方程在給定的定解條件下進行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理給定的定解條件下進行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；論解；(2) 數值計算法，把原來在時間和空間連續的物理量的場，用有限個

2、離數值計算法，把原來在時間和空間連續的物理量的場，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關于這散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關于這些值的代數方程，從而獲得離散點上被求物理量的值；并稱之為數些值的代數方程，從而獲得離散點上被求物理量的值；并稱之為數值解；值解；第四章導熱問題的數值解法33 三種方法的特點三種方法的特點(1) 分析法分析法 優點：優點：能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數值計算提供比能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數值計算提供比較依據；分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見。較依據；分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見。

3、 缺點：缺點： 局限性很大，對復雜的問題無法求解。局限性很大，對復雜的問題無法求解。(2) 數值法數值法：在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應性：在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應性 強，特別對于復雜問題更顯其優越性；與實強，特別對于復雜問題更顯其優越性；與實 驗法相比成本低驗法相比成本低(3) 實驗法實驗法: 是傳熱學的基本研究方法，是傳熱學的基本研究方法，a 適應性不好；適應性不好； b 費用昂貴費用昂貴2三種方法的基本求解過程三種方法的基本求解過程 (3) 實驗法實驗法 就是在傳熱學基本理論的指導下，采用對所研究對象的傳就是在傳熱學基本理論的指導下，采用對所研究對象的傳熱過程所求量的實

4、驗方法熱過程所求量的實驗方法第四章導熱問題的數值解法4數值解法：數值解法：有限差分法（有限差分法（finite-difference）、）、 有限元法（有限元法（finite-element） 、 邊界元法（邊界元法（boundary- element）、）、 分子動力學模擬（分子動力學模擬（MD） 有限差分：有限差分：邊界元法：邊界元法：將力學中的微分方程的定解問題化為邊界積分方程的定將力學中的微分方程的定解問題化為邊界積分方程的定解問題，再通過邊界的離散化與待定函數的分片插值求解問題，再通過邊界的離散化與待定函數的分片插值求解解 有限元法：有限元法：將連續的求解域離散為一組單元的組合體，用

5、在每個單將連續的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內假設的近似函數來分片的表示求解域上待求的未知元內假設的近似函數來分片的表示求解域上待求的未知場函數，近似函數通常由未知場函數及其導數在單元各場函數，近似函數通常由未知場函數及其導數在單元各節點的數值插值函數來表達。從而使一個連續的無限自節點的數值插值函數來表達。從而使一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。由度問題變成離散的有限自由度問題。是在微分方程中用是在微分方程中用差商代替偏導數差商代替偏導數，得到相應的，得到相應的差分方差分方程程，通過解差分方程得到微分方程解的近似值，通過解差分方程得到微分方程解的近似值第四章導熱問

6、題的數值解法54-1 導熱問題數值求解的基本思想導熱問題數值求解的基本思想 及內部節點離散方程的建立及內部節點離散方程的建立1 物物理理問問題題的的數數值值求求解解過過程程建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件確定節點（區域離散化）確定節點（區域離散化）建立節點物理量的代數方程建立節點物理量的代數方程設立溫度場的迭代初值設立溫度場的迭代初值求解代數方程求解代數方程是否收斂是否收斂解的分析解的分析改進初場改進初場是是否否第四章導熱問題的數值解法60tyf3thf2thf1thx二維矩形域內二維矩形域內穩態、無內熱穩態、無內熱源、常物性源、常物性的導熱問題，可的導熱問題，可以看做是溫度沿以看

7、做是溫度沿z軸方向不軸方向不發生變化。發生變化。(1) 控制方程及定解條件控制方程及定解條件0y2222txtLH邊界條件：左側 x=0, t=t0其它三邊：第三類邊界條件。7實現過程：實現過程：將研究區域分解成有限數量的小區域（單元），單元的頂點（或中心點）稱作節點（結點），節點（結點），每個節點都有自己的控制區域，(2) 區域離散化區域離散化xynNM稱作元體（控制容元體（控制容積）積），元體內所有特性都是均勻的，節點的溫度代表每個控制容積的溫度。第四章導熱問題的數值解法8(m,n)xyxynNmM(m,n+1)(m,n-1)(m+1,n)(m-1,n)節點：（節點：（m,n）空間步長：空

8、間步長： x，y當當 x=y均勻網格均勻網格單元，控制容積單元，控制容積（m，n）網格線：網格線： x，y任意任意節點之間的距離稱為節點之間的連線稱為控制容積的分界面稱為第四章導熱問題的數值解法9(3) 建立節點物理量的代數方程建立節點物理量的代數方程-離散方程離散方程 當x= y時，(4) 設立迭代初場設立迭代初場代數方程的求解方法有直接解法和迭代法兩大類。采用迭代法時要對被求解溫度場預先假定個解，稱為初場。(5) 求解代數方程組求解代數方程組方程個數: (M-1)N線性問題非線性問題第四章導熱問題的數值解法10(6) 解的分析解的分析獲得溫度分布，進一步計算熱流量，或根據溫度計算熱應力及熱

9、變形等。本章重點討論如何建立離散方程組，以及如何解離散方程組。第四章導熱問題的數值解法11建立離散方程的常用方法：建立離散方程的常用方法：(1) Taylor（泰勒）級數展開法；（泰勒）級數展開法；(2) 多項式擬合法；多項式擬合法；(3) 控制容積積分法；控制容積積分法；(4) 熱平衡法熱平衡法如果f(x)在點x=x0具有任意階導數，則第四章導熱問題的數值解法12(1) 泰勒級數展開法泰勒級數展開法根據泰勒級數展開式，用節點根據泰勒級數展開式，用節點( (m,nm,n) )的溫度的溫度t tm,nm,n來表示節點來表示節點( (m+1,nm+1,n) )的溫度的溫度t tm+1,nm+1,n

10、用節點用節點(m,n)(m,n)的溫度的溫度t tm,n m,n 來表示節點來表示節點(m-1,n)(m-1,n)的的溫度溫度t tm-1,nm-1,n! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm4-2 內節點離散方程的建立方法內節點離散方程的建立方法(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)第四章導熱問題的數值解法13將二式相加，整理即得二階導數的中心差分：將二式相加，整理即得二階導數的中心差分：同樣可得：同樣可得：)(222, 1, 1,22xoxtttxtn

11、mnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm截斷誤差截斷誤差未明確寫出的級數余項未明確寫出的級數余項中的中的x x的最低階數為的最低階數為2 2(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)第四章導熱問題的數值解法14 對于二維穩態、沒有內熱源導熱問題，在直角坐標中，對于二維穩態、沒有內熱源導熱問題，在直角坐標中，其導熱微分方程為：其導熱微分方程為：其節點方程為：其節點方程為：(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)02221,1,2, 1, 1mytttxttmtnmnmnmnmnmn02222ytxt當當x = y，得得

12、 ,1,1,1,114m nmnmnm nm nttttt第四章導熱問題的數值解法15(2) 熱平衡法熱平衡法基本思想：基本思想：對每個有限大小的控制容積應用能量守恒，從對每個有限大小的控制容積應用能量守恒，從而獲得溫度場的代數方程組，依據能量守恒和而獲得溫度場的代數方程組，依據能量守恒和Fourier導熱導熱定律即可。定律即可。能量守恒：流入控制體的總熱流量控制體內熱源生成熱能量守恒：流入控制體的總熱流量控制體內熱源生成熱 流出控制體的總熱流量控制體內能的增量流出控制體的總熱流量控制體內能的增量即：即： ovivoi)(穩態、無內熱源時：穩態、無內熱源時：從所有方向流入控制體的總熱量從所有方

13、向流入控制體的總熱量016內部節點：內部節點：0右左下上xyxynm(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m+1,n)(m-1,n)xttynmnm, 1左xttynmnm, 1右yttxnmnm,1,上yttxnmnm,1,下0,1,1, 1, 1yttxyttxxttyxttynmnmnmnmnmnmnmnm第四章導熱問題的數值解法17(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)yx04,1,1, 1, 1nmnmnmnmnmttttt1,1, 1, 1,4nmnmnmnmnmttttt可見，物體內每一個節點溫度都等于相可見，物體內每一個節點溫度都等于相鄰鄰4 4個

14、節點溫度的算術平均值。個節點溫度的算術平均值。 02221,1,2, 1, 1mytttxttmtnmnmnmnmnmn第四章導熱問題的數值解法18xtttttnmnmnmnmnm21,1,1,1,4重要說明：重要說明：所求節點的溫度前的系數一定等于其他所求節點的溫度前的系數一定等于其他所有相鄰節點溫度前的系數之和所有相鄰節點溫度前的系數之和。這一結論也適用。這一結論也適用于邊界節點。但這里不包括熱流于邊界節點。但這里不包括熱流(或熱流密度或熱流密度)前的前的系數。系數。0,1,1, 1, 1yxyttxyttxxttyxttynmnmnmnmnmnmnmnm有內熱源時：有內熱源時：yx第四章

15、導熱問題的數值解法194-3 4-3 邊界節點離散方程的建立及代數邊界節點離散方程的建立及代數 方程的求解方程的求解對于對于第一類邊界條件第一類邊界條件的熱傳導問題，處理比較簡單，因為的熱傳導問題，處理比較簡單，因為已知邊界的溫度，可將其以數值的形式加入到內節點的離已知邊界的溫度，可將其以數值的形式加入到內節點的離散方程中，組成封閉的代數方程組，直接求解。散方程中，組成封閉的代數方程組，直接求解。而對于而對于第二類邊界條件第二類邊界條件或或第三類邊界條件第三類邊界條件的熱傳導問題，的熱傳導問題，就必須用熱平衡的方法，建立邊界節點的離散方程，邊界就必須用熱平衡的方法，建立邊界節點的離散方程，邊界

16、節點與內節點的離散方程一起組成封閉的代數方程組，才節點與內節點的離散方程一起組成封閉的代數方程組，才能求解。能求解。為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。用密度表達式。用 表示內熱源強度。表示內熱源強度。第四章導熱問題的數值解法201.1.邊界節點離散方程的建立：邊界節點離散方程的建立：(1) 平直邊界上的節點平直邊界上的節點qwxyxynm(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)h,tf由能量守恒：由能量守恒：凈

17、導入（凈導入（m,n）單元體熱量）單元體熱量對流流入（對流流入（m,n）單元熱量）單元熱量+ =00222,1,1, 1yxyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnmyx2,1,1, 1,224xttqxttnmnmnmwnmnm第四章導熱問題的數值解法21(2) 外部角點外部角點2222,1, 1,xqxtttnmwnmnmnm0222222,1, 1yxyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnmyxxyxynm(m,n)(m,n-1)(m-1,n)h,tf第四章導熱問題的數值解法22(3) 內部角點內部角點)22322(6122, 11,1, 1,wnmnmnmnmn

18、mqxxttttt0432222,1,1, 1, 1yxqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnmyxxyxynm(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)(m,n+1)(m,n)h,tf第四章導熱問題的數值解法23討論討論 qw的情況：的情況：(1) 第二類邊界條件：將第二類邊界條件：將 ，帶入上面各式即可，帶入上面各式即可 絕熱或對稱邊界條件？絕熱或對稱邊界條件？(2)第三類邊界條件：將第三類邊界條件：將 ，帶入上面各式，帶入上面各式，即可分別得到平直邊界、外部角點和內部角點第三類邊界即可分別得到平直邊界、外部角點和內部角點第三類邊界條件下的離散方程條

19、件下的離散方程4-7、4-8和和4-9。constqw)(,nmfwtthq(3) qw)(4,4nmfwTTq為其他邊界條件為其他邊界條件引入以網格步長為特征長度的網格引入以網格步長為特征長度的網格Bi數：數：xhBi第四章導熱問題的數值解法241、導熱數值解法的重要意義2、導熱數值解法的基本思想3、網格劃分（區域離散）的過程及涉及的基本概念4、代數方程（離散方程）的建立方法和過程第四章導熱問題的數值解法254-3-3 一維無限大平板、穩態、常物性、無內熱源、左側第一類邊條，右側第三類，如右圖所示，將其均勻分成三個控制體，試建立離散方程1321223433441:2:03:04:()0wtt

20、ttttxxttttxxtth ttx邊界節點1234twth內部節點內部節點邊界節點第四章導熱問題的數值解法26形成如下代數方程組：11 112 21121 122 2221 12 2.n nn nnnnn nna ta ta tba ta ta tba ta ta tb代數方程組的通用形式為：ATb23234342:23:204:()wttttttth thtxx23421012100wtttxxhhtt 第四章導熱問題的數值解法272.2.節點方程組的求解節點方程組的求解寫出所有內節點和邊界節點的溫度差分方程寫出所有內節點和邊界節點的溫度差分方程n個未知節點溫度，個未知節點溫度，n個代數

21、方程式：個代數方程式：代數方程組的求解方法：代數方程組的求解方法：直接解法、迭代解法直接解法、迭代解法1112 211111j jn ntba ta ta ta2221 122221j jn ntba ta ta ta1 1(1)11nnnnj jn nnnntba ta tata第四章導熱問題的數值解法28直接解法：直接解法：通過有限次運算獲得代數方程精確解通過有限次運算獲得代數方程精確解; 矩陣求逆、高斯消元法矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：迭代解法：先對要計算的場作出假設、在迭代計算過程中不先對要計算的場作出假設、在迭代計算過程中不斷予以改進、直到計算結果與假定值的結果相差小于允許值。斷予

22、以改進、直到計算結果與假定值的結果相差小于允許值。稱迭代計算已經收斂。稱迭代計算已經收斂。缺點：缺點：所需內存較大、方程數目多時不便、不適用于非線性所需內存較大、方程數目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數，節點溫度差分方程中的系數不問題（若物性為溫度的函數，節點溫度差分方程中的系數不再是常數，而是溫度的函數。這些系數在計算過程中要相應再是常數，而是溫度的函數。這些系數在計算過程中要相應地不斷更新）地不斷更新）迭代解法有多種：迭代解法有多種：簡單迭代（簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯迭代）、高斯-賽德爾賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯高斯-賽德爾

23、迭代的特點：賽德爾迭代的特點：每次迭代時總是使用節點溫度的最每次迭代時總是使用節點溫度的最新值新值第四章導熱問題的數值解法2911000112 211111jnjntba ta ta ta21110022122221jnjntba ta ta ta1111111(1)1njnnnnjn nnntba ta tata 第四章導熱問題的數值解法30判斷迭代是否收斂的準則：判斷迭代是否收斂的準則：)(max)() 1()()() 1()() 1(maxmaxmaxkkikikikikikikittttttttk及及k+1表示迭代次數；表示迭代次數；第第k次迭代得到的最大值次迭代得到的最大值(k)ma

24、xt當有接近于零的當有接近于零的t 時，第三個較好時，第三個較好36 1010 允許的偏差；相對偏差 值一般取31判斷迭代能否收斂的判據：判斷迭代能否收斂的判據：對于常物性導熱問題所組成的差分方程組，迭代公式的選擇應使每一個迭代變量的系數總是大于或等于該式中其他變量系數絕對值之和，此時用迭代法求解代數方程一定收斂對角占優。11 112 213 3121 122 223 3231 132 233 33a ta ta tba ta ta tba ta ta tb1112 213 3112221 123 3223331 132 2331()1()1()tba ta tatba ta tatba ta

25、 ta1213111aaa2123221aaa3132331aaa第四章導熱問題的數值解法32圖中給出了二維、穩態、常物性條件下導熱問題的部分圖中給出了二維、穩態、常物性條件下導熱問題的部分離散網格，離散網格， x = y，環境溫度環境溫度tf ，對流換熱系數，對流換熱系數h，導，導熱系數熱系數，均勻分布的內熱源為，均勻分布的內熱源為 。參考圖中給定符號，。參考圖中給定符號，推導節點（推導節點（m，n）的離散方程。）的離散方程。In-Class Problems(m,n)(m+1,n)tf hxy(m,n+1)(m,n-1)334-3 4-3 非穩態導熱問題的數值解法非穩態導熱問題的數值解法非

26、穩態導熱與穩態導熱的主要區別：溫度不僅隨非穩態導熱與穩態導熱的主要區別：溫度不僅隨空間變化，還隨時間變化，控制方程中多一個非空間變化，還隨時間變化，控制方程中多一個非穩態項穩態項zg右左下上z非穩態項非穩態項熱源項熱源項能量平衡特點：能量平衡特點：網格單元不僅與相鄰的網格單網格單元不僅與相鄰的網格單元之間有熱量的導入或導出，元之間有熱量的導入或導出，單元本身的熱力單元本身的熱力學能也隨時間發生變化學能也隨時間發生變化擴散項擴散項第四章導熱問題的數值解法34一維、有內熱源、常物性的非穩態導熱問題一維、有內熱源、常物性的非穩態導熱問題1.離散方程的建立過程離散方程的建立過程空間和時間的離散化空間和

27、時間的離散化時間步長：從一個時層到下一個時層的間隔時間步長：從一個時層到下一個時層的間隔 稱為時間稱為時間步長步長xm-1, m, m+1 M0n+1nn-1xxxiInN(n,i )(n,i+1)(n,i-1)(n+1,i )(n-1,i )第四章導熱問題的數值解法352. 建立節點物理量的代數方程建立節點物理量的代數方程將溫度t在節點(n,i+1)對(n,i)作泰勒展開 22(1)( )2,2!nniin in itttt )(in1ini ,nottt）（）（,n it( )(1),nniin ittt類似地類似地,叫做叫做 的向后差分的向后差分.(1)(1),2nniin ittt叫做

28、叫做 的中心差分的中心差分.,n it叫做叫做 的向前差分的向前差分.,n it)(in1ini ,nottt）（）（第四章導熱問題的數值解法36一維平板非穩態導熱的數學描寫：一維平板非穩態導熱的數學描寫：導熱微分方程：導熱微分方程：初始條件初始條件:邊界條件：邊界條件：xtat22)0,x0(0tt04.4.2 一維平板非穩態導熱的顯式格式一維平板非穩態導熱的顯式格式0 x0 xt()fth ttxx溫度關于空間坐標的偏導數的差分格式)(222, 1, 1,22xoxtttxtnmnmnmnm37擴散項取中心差分，非穩態項取向前差分： 21112xtttattininininin為為“顯式差

29、分格式顯式差分格式”一旦一旦i時層上個節點的溫度已知，時層上個節點的溫度已知，可立即算出（可立即算出（i+1）時層上個內點溫度，不必求解聯立方程）時層上個內點溫度，不必求解聯立方程式。式。其優點是計算工作量小其優點是計算工作量小缺點是對時間步長及空間步長有一點限制缺點是對時間步長及空間步長有一點限制xi+1inn+1n-1第四章導熱問題的數值解法38若非穩態項選前差格式，擴散項選（若非穩態項選前差格式，擴散項選（i+1）層中心差分）層中心差分 21111112xtttattininininin隱式格式的缺點是計算工作量大隱式格式的缺點是計算工作量大優點是對步長沒限制，優點是對步長沒限制，不會出

30、現解的震蕩現象不會出現解的震蕩現象上式中，已知的是上式中，已知的是i時層的值時層的值 ，未知量有，未知量有3個：個：)(int)1(1)1(1)1(,inininttt因此，不能直接由上式立即算出因此，不能直接由上式立即算出 之值，而必須求解（之值，而必須求解（i+1）時層的）時層的一個聯立方程才能得出（一個聯立方程才能得出（i+1）時層個點溫度；）時層個點溫度；稱為隱式差分稱為隱式差分)1( intxi+1inn+1n-1第四章導熱問題的數值解法39熱平衡法熱平衡法1 假設溫度分布線型 溫度的階梯型分布如右圖所示，即溫度的分布是跳躍的，并不是連續的。t 1ii)(it) 1( it階梯分布(

31、1)( )1iiinnttc xt 1ii)(it) 1( it階梯分布顯示格式zg能量守恒：非穩態項：( )( )( )( )111iiiiinnnnzttttxx擴散項：如果溫度按左圖的方式階躍第四章導熱問題的數值解法40 xi+1inn+1n-1源項：11 1iiivnnxx 守恒方程：(1)( )( )( )( )( )11iiiiiiinnnnnnnttttttc xxxx 離散方程：111ivizi 11122+iiiiiinnnnnntttttaxc第四章導熱問題的數值解法41(1)( )( )( )111 2iiiiinnnnntFottFotcFoxaxc22以網格尺寸 為特征尺度的Fo 數x顯式格式1(1)(1)1 1iiivnnxx 擴散項：(1)(1)(1)(1)111iiiiinnnnzttttxx源項：t1ii)(it) 1( it階梯分布隱式格式如果溫度按右圖的方式階躍第四章導熱問題的數值解法(1)(1)(1)(1)(1)( )(1)11iiiiiiinnnnnnnttttttxc