1、初二平行四邊形的性質和判定專題1平行四邊形的定義(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形平行四邊形的定義有兩層意思：是四邊形；兩組對邊分別平行這兩個條件缺一不可(2)表示方法：平行四邊形用符號“”表示平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”(3)平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線平行四邊形的定義的作用：平行四邊形的定義既是性質，又是判定方法由定義可知平行四邊形的兩組對邊分別平行；由定義可知只要四邊形中有兩組對邊分別平行，那么這個四邊形就是平行四邊形【例1】對于平行四邊形ABCD，AC與BD相交于點O，下列說法正確的是()A平行四邊形ABCD表示為“ACDB”B

2、平行四邊形ABCD表示為“ABCD”CADBC，ABCDD對角線為AC，BO解析：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可知平行四邊形的兩組對邊平行，故選C.答案：C2平行四邊形的性質(1)平行四邊形的對邊平行且相等例如：如圖所示，在ABCD中，ABCD，ADBC.由上述性質可得，夾在兩條平行線間的平行線段相等如圖2，直線l1l2.AB，CD是夾在直線l1，l2間的平行線段，則四邊形ABCD是平行四邊形，故ABCD.(2)平行四邊形的對角相等，鄰角互補例如：如圖所示，在ABCD中，ABCCDA，BADBCD.ABCBAD180°，ABCBCD180°，BCDCDA180&#

3、176;，BADCDA180°.(3)平行四邊形的對角線互相平分例如：如圖所示，在ABCD中，OAOC，OBOD.圖(4)經過平行四邊形對角線的交點的直線被對邊截得的兩條線段相等，并且該直線平分平行四邊形的面積例如：如圖所示，在ABCD中，EF經過對角線的交點O，與AD和BC分別交于點E，F，則OEOF，且S四邊形ABFES四邊形EFCD.【例2】ABCD的周長為30 cm，它的對角線AC和BD交于O，且AOB的周長比BOC的周長大5 cm，求AB，AD的長分析：依題意畫出圖形，如圖，AOB的周長比BOC的周長大5 cm，即AOABBO(BOOCBC)5(cm)因為OAOC，OB為公

4、共邊，所以ABBC5(cm)由ABBC15(cm)可求AB，BC，再由平行四邊形的對邊相等得AD的長解：AOB的周長比BOC的周長大5 cm，AOABBO(BOOCBC)5(cm)四邊形ABCD是平行四邊形，AOOC，ABBC5(cm)ABCD的周長為30 cm，ABBC15(cm)得AB10 cm，ADBC5 cm.3平行四邊形的判定(1)方法一：(定義判定法)兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形平行四邊形的定義是判定平行四邊形的根本方法，也是其他判定方法的基礎關于邊、角、對角線方面還有以下判定定理(2)方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形如圖，連接BD，由ADBC，ABCD，可證

5、明ABDCDB，所以CDBABD，CBDADB，從而得到ABCD，ADBC.由定義得到四邊形ABCD為平行四邊形其推理形式為：ABDC，ADBC，四邊形ABCD是平行四邊形(3)方法三：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形如圖，由A=C，B=D，A+B+C+D=360°，可得B+C=180°，A+B=180°.從而得到ABDC，ADBC.由定義得到四邊形ABCD為平行四邊形，其推理形式為：A=C，B=D，四邊形ABCD是平行四邊形(4)方法四：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形其推理形式為：如圖，OA=OC，OB=OD，四邊形ABCD是平行四邊形(5)方法五：一組

6、對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形其推理形式為：如圖，ADBC，ADBC，四邊形ABCD是平行四邊形(1)判定方法可作為“畫平行四邊形”的依據；(2)一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形【例3】已知，如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，ABCD，AOCO.四邊形ABCD是平行四邊形，請說明理由解：因為ABCD，所以BACDCA.又因為AOCO，AOBCOD，所以ABOCDO.所以BODO.所以四邊形ABCD是平行四邊形4三角形的中位線(1)定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線(2)性質：三角形兩邊中點連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半(1)一個三角

7、形有三條中位線，每條中位線與第三邊都有相應的位置關系和數量關系；(2)三角形的中位線不同于三角形的中線，三角形的中位線是連接兩邊中點的線段，而三角形的中線是連接三角形一邊的中點和這邊所對頂點的線段【例4】如圖所示，在ABC中，點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，若ABC的周長為10 cm，則DEF的周長是_cm.解析：由三角形的中位線性質得，DFBC，EFAB，DEAC，所以DEF的周長×105(cm)答案：55兩條平行線間的距離定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離如圖所示，ab，點A在直線a上，過A點作ACb，垂足為C，則線段AC的

8、長是點A到直線b的距離，也是兩條平行線a，b之間的距離(1)如圖，過直線a上點B作BDb，垂足為D，則線段BD的長也是兩條平行線a，b之間的距離于是由平行四邊形的性質可知平行線的又一個性質：平行線間的距離處處相等(2)兩條平行線之間的距離是指垂線段的長度，當兩條平行線的位置確定時，它們之間的距離也隨之確定，它不隨垂線段的位置的改變而改變，是一個定值【例5】如圖所示，如果l1l2，那么ABC的面積與DBC的面積相等嗎？由此你還能得出哪些結論？解：ABC的面積與DBC的面積相等因為l1l2，所以它們之間的距離是一個定值所以ABC與DBC是同底等高的兩個三角形所以SABCSDBC.結論：l1上任意一

9、點與B，C連接，構成三角形的面積都等于ABC的面積，這樣的三角形有無數個6平行四邊形性質的應用平行四邊形性質的應用非常廣泛，可以利用它說明線段相等、證明線段平行、求角的度數、求線段的長度、求圖形的周長、求圖形的面積等對平行四邊形的性質、平行線的性質、勾股定理、含30°角的直角三角形、三角形的面積、三角形的內角和定理等知識點的理解和掌握，是解決此類問題的關鍵 【例6】如圖，ABCD的對角線相交于點O，過O作直線EF，并與線段AB，CD的反向延長線交于E，F，OE與OF是否相等，闡述你的理由解：OE與OF相等理由：四邊形ABCD是平行四邊形，BEDF，OBOD，FDOEBO，EF.BOE

10、DOF.OEOF.7平行四邊形的判定的應用熟練掌握判定定理是平行四邊形的判定的關鍵已學了平行四邊形的五種判定方法，記憶時要注意技巧，其中三種方法都與邊有關：(1)一種關于對邊的位置關系(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)；(2)一種關于對邊的數量關系(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)；(3)一種關于對邊的數量與位置關系(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)平行四邊形的判定方法是今后解決平行四邊形問題的基礎知識，應該熟練掌握判定平行四邊形的一般思路：考慮對邊關系：證明兩組對邊分別平行；或兩組對邊分別相等；或一組對邊平行且相等；考慮對角關系：證明兩組對角分別相等；考慮對角線關系：證明

11、兩條對角線互相平分【例7】如圖，請在下列四個關系中，選出兩個恰當的關系作為條件，推出四邊形ABCD是平行四邊形，并予以證明(寫出一種即可)關系：ADBC，ABCD，AC，BC180°.已知：在四邊形ABCD中，_，_；求證：四邊形ABCD是平行四邊形分析：選用關系時，證明兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；選用關系時，證明兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；選用關系時，證明一組對邊平行并且相等的四邊形是平行四邊形；選用關系時，證明兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形解：已知：，均可，其余均不可以舉例如下：已知：在四邊形ABCD中，ADBC，AC，求證：四邊形ABCD是平行四邊形證

12、明：ADBC，AB180°.AC，CB180°.ABCD.四邊形ABCD是平行四邊形8平行四邊形的性質和判定的綜合應用平行四邊形的性質和判定的應用主要有以下幾種情況：(1)直接運用平行四邊形的性質解決某些問題，如求角的度數、線段的長、證明角相等或互補、證明線段相等或倍分關系；(2)判定一個四邊形為平行四邊形，從而得到兩角相等、兩直線平行等；(3)綜合運用：先判定一個四邊形是平行四邊形，然后再用平行四邊形的性質去解決某些問題；或先運用平行四邊形的性質得到線段平行、角相等等，再判定一個四邊形是平行四邊形【例8】如圖所示，在ABCD中，E，F分別是AD，BC上的點，且AECF，A

13、F與BE交于G，DF與CE交于H，連接EF，GH，試問EF與GH是否互相平分？為什么？解：EF與GH互相平分理由：在ABCD中，ADBC，AECF，AECF.DEBF.四邊形AFCE，BEDF都是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)AFCE，BEDF.四邊形EGFH是平行四邊形(平行四邊形的定義)EF與GH互相平分9三角形的中位線性質的應用三角形的中位線的性質不僅反映了線段間的位置關系，而且還揭示了線段間的數量關系，借助三角形中位線的性質可以進行幾何求值(計算角度、求線段的長度)、證明(證明線段相等、證明線段的不等、證明線段的倍分關系、證明兩角相等)、作圖，且能解決生活實際問題

14、應用三角形中位線定理解決問題時，已知條件中往往給出兩個中點，若已知條件只給出一個中點，必須要證明另一個點也是中點，才能運用此定理【例9】在ABC中，AB12，AC10，BC9，AD是BC邊上的高將ABC按如圖所示的方式折疊，使點A與點D重合，折痕為EF，則DEF的周長為()A9.5B10.5C11D15.5解析：EDF是EAF折疊而形成的圖形，EDFEAF.AEFDEF.AD是BC邊上的高，由折疊可知ADEF，EFCB.AEFB，BDEDEF.BBDE.BEDEAE.E為AB的中點同理點F是AC的中點EF是ABC的中位線DEF的周長為EAF的周長，即AEEFAF×(ABBCAC)&#

15、215;(12910)15.5.答案：D10平行四邊形的性質探究題平行四邊形是一類特殊的四邊形，它的特殊性體現在對邊相等、對角相等、鄰角互補、對角線互相平分幾方面，因此，由平行四邊形可以得到很多相等線段、相等角所以，要學會利用對比的方法正確區分平行四邊形的判定定理和性質定理，正確地運用相關的結論解決相關的問題平行四邊形的探究型問題，關鍵是根據平行四邊形的性質和判定，構造出平行四邊形【例10】如圖，已知等邊ABC的邊長為a，P是ABC內一點，PDAB，PEBC，PFAC，點D，E，F分別在AC，AB，BC上，試探索PDPEPF與a的關系解：如圖，作DGBC交AB于點G，因為ABC為等邊三角形，所以ABC60°.所以AAGDADG60°.所以GDAG.又可得EPGD，所以EPAG，DPGE.同理可得PFEB，所以PDPEPFa.11平行四邊形的判定的探究題平行四邊形是一類特殊的四邊形，并且它是學習矩形、菱形、正方形和梯形的基礎在有關平行四邊形判定的探究型問題中，要會判定一個四邊形是平行四邊形，運動型問題的關鍵是把運動的問題轉化為靜止的問題運動