1、九年級(jí)學(xué)生相似形概念的范希爾幾何水平的調(diào)查目錄目錄1摘要21 前言1.1 問(wèn)題的提出1.1.1 研究背景71.1.2 研究課題91.1.3 研究意義101.2 相關(guān)概念界定1.2.1 相似形概念111.2.2 范希爾幾何111.3 相關(guān)研究2.1.1 國(guó)外研究現(xiàn)狀142.1.2 國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀152 研究對(duì)象與研究方法2.1 研究對(duì)象：九年級(jí)學(xué)生 1 62.2 研究設(shè)計(jì)162.3 研究方法2.3.1 文獻(xiàn)資料法182.3.2 專(zhuān)家訪談法182.3.3 問(wèn)卷調(diào)查法182.3.4 數(shù)理統(tǒng)計(jì)法182.3.5 邏輯分析法183 調(diào)查研究3.1 調(diào)查測(cè)試題目的編制193.1.1 幾何思維3.1.1 范希爾

2、幾何思維的五個(gè)水平193.2調(diào)查的實(shí)施過(guò)程213.3 調(diào)查結(jié)果的數(shù)據(jù)整理和分析 224 結(jié)論和教學(xué)建議4.1 研究的主要結(jié)論244.2 教學(xué)建議254.3 研究不足28參考文獻(xiàn)附件后記摘要幾何教學(xué)是一門(mén)十分重要的教學(xué)課程， 它有助于培養(yǎng)學(xué)生合理推理的思維習(xí) 慣、有利于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的世界觀和理性精神、 有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)精神、 品質(zhì)以及思想。但在實(shí)際的幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生總是存在著各種各樣的問(wèn)題， 導(dǎo)致對(duì)于幾何的學(xué)習(xí)十分困難。范希爾夫婦根據(jù)自身的幾何教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及學(xué)生 在幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中所遇到的幾何教材所使用的語(yǔ)言與專(zhuān)業(yè)知識(shí)與學(xué)生思維 水平不相符合的情況，結(jié)合皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，最終他們?cè)?

3、957 年發(fā)表的烏特勒克大學(xué)的博士論文上提出了范希爾幾何思維水平這樣一個(gè)理論。該理論 主要包括兩個(gè)核心內(nèi)容： 一是學(xué)生的幾個(gè)思維水平； 二是與這樣一個(gè)幾何思維水 平相對(duì)應(yīng)的五個(gè)教學(xué)階段。 該理論在提出后， 迅速被運(yùn)用到蘇聯(lián)和美國(guó)的幾何教 學(xué)中，并取得了驚人的成果。發(fā)展到二十世紀(jì)八十年代，范希爾幾何思維水平 逐漸成為幾何教學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)。即使是發(fā)展到21世紀(jì)的今天，范希爾幾何思維水平仍然具有相當(dāng)大的研究?jī)r(jià)值和實(shí)用價(jià)值。因此，本文就傳統(tǒng)的范希爾幾何思維水平進(jìn)行了創(chuàng)新性的研究， 將這樣一個(gè)對(duì)整個(gè)學(xué)生幾何學(xué)習(xí)進(jìn)行分析 研究的思維水平運(yùn)用到對(duì)某一個(gè)階段的學(xué)生對(duì)某一個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)研究之 上。換而言之

4、，本次課題研究就是把范希爾幾何思維水平用來(lái)對(duì)九年級(jí)學(xué)生相 似性概念的學(xué)習(xí)進(jìn)行分析研究。在研究方法上本次課題研究主要采用了文獻(xiàn)資料收集法、 專(zhuān)家訪談法、 調(diào)查 問(wèn)卷法以及數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析法等。本次課題研究的主要內(nèi)容是運(yùn)用范希爾幾何思維水平對(duì)九年級(jí)學(xué)生相似性 概念的學(xué)習(xí)進(jìn)行分析研究。具體內(nèi)容框架如下：第一部分，是前言部分，在該部 分，筆者對(duì)研究過(guò)程中需要的理論基礎(chǔ)以及一定的研究背景、 研究意義進(jìn)行了簡(jiǎn) 單的分析。第二部分， 是對(duì)研究對(duì)象和研究方法的簡(jiǎn)單分析介紹。 在研究對(duì)象上， 由于多方面的原因， 本次課題研究只是隨機(jī)抽取了 1191 名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查。 第三部分，是對(duì)整個(gè)問(wèn)卷調(diào)查研究實(shí)施過(guò)程的簡(jiǎn)

5、單陳述以及對(duì)整個(gè)問(wèn)卷調(diào)查的數(shù) 據(jù)進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)分析。第四部分，結(jié)論部分。在該部分，筆者結(jié)合本次問(wèn)卷調(diào)查研 究的數(shù)據(jù)分析，從學(xué)生和教師兩個(gè)角度，提出了自己的教學(xué)建議。此外，在該部 分也簡(jiǎn)單分析了，在本次課題研究中存在的不足之處。 關(guān)鍵詞：范希爾；幾何思維；相似性；九年級(jí)The Srvey about The Van Hill Geometric Level on The SimilarFigures Con cept of Ninth GradersAbstractGeometric is a very importa nt course .It can helps to cultivate the

6、 habit of to thinking reas on able of the stude nts.lt can hepls to cultivate scie ntific worldview and rational spirit of the students.lt can helps to cultivate the rigorous mathematical spirit and quality, thought of the students. But in actual the lear ning process of geometry, stude nts always e

7、xist various problems, this has caused the studying of geometric become very hard for the students .The couple of Van Hill accord ing to the geometry teachi ng experie nee of themselves and the problems that students have met in the learning process of the geometry -the Ianguage and professi onal kn

8、o wledge that the geometry teach ing material had used was not match with the thinking level of students. Combined with the theory of cognitive development ofPiaget, Eventually they puts forward The Van Hill geometrical thinking level such a theory ,on the doctoral thesis of Black Leg Uni versity wh

9、ich announced in 1957.There are two cort content includes in this thory,mainly.The first one is the several thinking level of the stude nts. The sec ond is five teach ing stage which based on the thinking level of geometrical. After this theory has bee n put forward,it was used to taech ing of thege

10、ometry by the Soviet Un io n and the Un ited States,so onl y,a ndthey had make a amaz ingachieveme nts.Evev n through in the developme nt of the 1980s,The Van Hill geometrical thinking level still has its own considerable value of research and practical.Therefore,on the basis of the traditional rese

11、arch of The Van Hill geometrical thinking level,this article has done a inno vative research.Usi ng the stude nts lear ning geometry an alysis research thinking level to studyt a certain stage of the students to a certain geometry knowledge.In other words,this research is use The Fan Hill geometrica

12、l thinking level to analysis the learning con cept similarity of the nine grade stude nts.In the method of the research , this research mainly adopts the method of the collecti on of literature data, in terview the expert, the questi onn aire and the statistical an alysis of data, etc.toThe main con

13、tent of this research is use The Van Hill geometrical thinking level analysis the study on the concept of similarity in nine year students.The framework of the specific cote nt is as follows:The first part is foreword part.ln this part ,we have an alysis theFoundations of the theory ,the background

14、of the research and the significance of theresearch which n eeded in the study of process.The sec ond part, is the in troduced to theresearch object, and study method.Due to the various reasons,we only choice1191stude nts by ran dom in the questi onn aire survey.The third part is the stateme nt to t

15、heProcess of the questio nn aire in vestigati on and the an alysis of the questio nn aire surveyand the statistical of the data.The fourth part is a con clusi on.ln this part, on the basis of the an alysis of questi onn aire in vestigati on data , the author puts forward his own suggesti on from poi

16、nt of the stude nts and teachers .In additi on, I have an alysis the in sufficie ncy place.i n ths research.Keywords:Van Hill;Geometrical thinking;Similarity;Nine year九年級(jí)學(xué)生相似形概念的范希爾幾何水平的調(diào)查一、前言1.1 問(wèn)題的提出1. 1. 1研究背景 數(shù)學(xué)主要是一門(mén)研究物質(zhì)世界的位置、形狀、結(jié)構(gòu)、變化、數(shù)量以及空間 模型等概念的自然學(xué)科。 幾何是數(shù)學(xué)中最基本的研究?jī)?nèi)容之一， 它主要研究的是 物體的位置、 形狀和大小的改變等

17、空間的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。 按照國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì) 的觀點(diǎn), “幾何作為一種理解、描述和聯(lián)系現(xiàn)實(shí)空間的工具 , 也許是數(shù)學(xué)中最直 觀、具體和真實(shí)的部分” 。在發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)家不斷的將數(shù)學(xué)的理論和知識(shí)運(yùn) 用到幾何之中， 使得幾何與數(shù)學(xué)之間的結(jié)合密度日益密切， 幾何也不再是最開(kāi)始 純粹的幾何。 因此，我們可以說(shuō)一部幾何學(xué)的發(fā)展史， 就是各種各樣的描摹現(xiàn)實(shí) 世界的數(shù)學(xué)框架。 一般來(lái)說(shuō)， 人們對(duì)于幾何的認(rèn)識(shí)， 應(yīng)該是人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到的時(shí) 間的幾何模型也就是時(shí)間和實(shí)數(shù)集形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的一維直線； 古希臘數(shù)學(xué)家 在這些認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上建立起研究點(diǎn)、 線、面三者間關(guān)系的公里體系， 從而促使了歐 式幾何學(xué)的誕生；發(fā)展到笛

18、卡爾時(shí)代，笛卡爾將數(shù)學(xué)的坐標(biāo)系引入到幾何之中， 用三元有序數(shù)組來(lái)描述歐式幾何空間里的點(diǎn)， 用參數(shù)方程式來(lái)表示幾何空間的曲 線和曲面， 將代數(shù)的研究方式運(yùn)用到幾何的研究中來(lái)， 這就在一定程度使幾何描 述世界變得更加精華， 從而誕生了解析幾何學(xué)； 數(shù)學(xué)家對(duì)歐式幾何平行公理的進(jìn) 一步研究， 發(fā)現(xiàn)歐式幾何的公理體系并非在任何時(shí)候都能滿足幾何的研究， 并且 在現(xiàn)實(shí)世界里也并非只存在一種幾何， 在此基礎(chǔ)上變誕生了非歐學(xué)； 后來(lái)又誕生 了以研究幾何圖形各種變換后的變和不變的射影幾何學(xué)； 高斯將微積分的原理運(yùn) 用到曲線和曲面的彎曲程度的解釋之中， 從而誕生了微分幾何； 愛(ài)因斯坦之后創(chuàng) 立構(gòu)建了“狹義相對(duì)論”和

19、“廣義相對(duì)論” ，“狹義相對(duì)論”是將一維的時(shí)間和三 維的空間放在一起，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)的思維空間以研究現(xiàn)實(shí)世界， “廣義相對(duì)論” 是將高維幾何和微分幾何相結(jié)合以研究宇宙空間。 在幾何這樣一個(gè)歷史發(fā)展長(zhǎng)河 之中，幾何課程也在不斷和豐富和發(fā)展著自己。從觀察幾何、實(shí)驗(yàn)幾何 , 到歐幾 里德的綜合幾何； 從變換幾何、向量幾何到以線性代數(shù)、 群論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代幾何。 這一個(gè)世紀(jì)以來(lái)，幾乎每一種幾何都曾經(jīng)做過(guò)幾何興衰史的見(jiàn)證人 , 直到今天它 們?nèi)匀辉谑澜绺鲊?guó)的中學(xué)課程中保留著自己的足跡。因此，可以說(shuō) , 每一種幾何 都有其自身存在的價(jià)值和意義。古希臘著名的哲學(xué)家柏拉圖同時(shí)是一個(gè)偉大的教育家， 其在理想國(guó) 一

20、書(shū)中提出了自己的教育理念， 強(qiáng)調(diào)學(xué)生理性思維的培養(yǎng)， 其更是十分重視幾何學(xué) 科的教育。 他甚至在其創(chuàng)辦的柏拉圖學(xué)院的門(mén)前樹(shù)立了一塊 “不懂幾何者不得入 內(nèi)”的牌子。因?yàn)樵谒磥?lái)幾何是一門(mén)要求嚴(yán)謹(jǐn)思維、理性思維與推理思維、邏 輯演繹能力和豐富想象力的學(xué)科。（1）、幾何有助于培養(yǎng)學(xué)生合理推理的思維習(xí)慣。 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課 程標(biāo)準(zhǔn)歷來(lái)都十分強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生合理推理能力的培養(yǎng)，其（發(fā)改稿）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教 育的目的不僅僅是讓學(xué)生了解和掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中必須具備的數(shù)學(xué)知識(shí)和 技能，更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)推理和思維創(chuàng)新等方面的能力。 尤其是在中學(xué) 階段培養(yǎng)學(xué)生合理推理能力最有時(shí)效性的訓(xùn)練手段便是幾何教育。 幾

21、何教育是讓 學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用不同的方式方法解決問(wèn)題， 對(duì)所需證明的幾何結(jié)果形成自己合理的 猜想，為具體問(wèn)題的解決提供更為直觀的模型， 從而養(yǎng)成講求理?yè)?jù)、 講求嚴(yán)謹(jǐn)性、 講求條理化的理性思維習(xí)慣； 此外，幾何是一門(mén)十分強(qiáng)調(diào)邏輯思維能力和推理能 力的學(xué)科。因此，學(xué)生在對(duì)幾何課程進(jìn)行學(xué)習(xí)的過(guò)程就是一個(gè)不斷的培養(yǎng)和提高 自身幾何邏輯思維能力和推斷力的過(guò)程。（2）、幾何有利于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的世界觀和理性精神。 愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò) : “世界第一次目睹了一個(gè)邏輯體系的奇跡。 這個(gè)邏輯體系如此精密地一步一步推 進(jìn), 以致它的每一個(gè)命題都是絕對(duì)不容置疑的我這里說(shuō)的是歐幾里德幾何。 ” 從愛(ài)因斯坦的這句話我們可以看出，

22、 幾何是一個(gè)精密的邏輯體系， 從最簡(jiǎn)單明了 的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)、 各種邏輯演繹法推理的運(yùn)用到一些列重要結(jié)論的有序推導(dǎo)出， 這些 都需要一定嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γ?而正是幾何的這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰τ兄?學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的過(guò)程中培養(yǎng)理性的精神和形成科學(xué)的世界觀；（ 3）、有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)精神、 品質(zhì)以及思想。 日本著名的教育家 米山國(guó)藏曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，“成功的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)的精神、思想方法深深地永 遠(yuǎn)地銘刻在學(xué)生的頭腦里， 長(zhǎng)久地活躍于他們?nèi)粘５臉I(yè)務(wù)中， 雖然那時(shí)， 數(shù)學(xué)的 知識(shí)可能已經(jīng)淡忘了。 ”所謂的數(shù)學(xué)精神是指敢于思考，在逆境中頑強(qiáng)思索的精 神。在幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程中， 大部分在遇到幾何問(wèn)題時(shí)都

23、能夠通過(guò)積極的思考添加 輔助線等解決問(wèn)題。 幾何越是難度大、 越具有挑戰(zhàn)性， 越能激發(fā)學(xué)生的求知欲和 探索欲，讓他們?cè)谀婢持兴伎肌?所謂的數(shù)學(xué)品質(zhì)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中所形 成的“求真”、“求實(shí)”的品質(zhì)。幾何的學(xué)習(xí)能夠讓學(xué)生在逐步的學(xué)習(xí)過(guò)程中理性 的判斷真假，從而深刻的認(rèn)識(shí)到“真是來(lái)不得半點(diǎn)虛的”的哲學(xué)道理，從而形成 “求真務(wù)實(shí)”的思想品質(zhì)。在思維上，幾何添線與構(gòu)造，聯(lián)想與類(lèi)比，直覺(jué)與變 換等幾何方法教會(huì)了學(xué)生如何圍繞一個(gè)中心， 進(jìn)行靈活多變的探索， 從而培養(yǎng)學(xué) 生自我的創(chuàng)新意識(shí)。但在實(shí)際的幾何教學(xué)中學(xué)生卻是存在著各種各樣的問(wèn)題： 其一、學(xué)生對(duì)幾何概念和定理的理解， 很多的是停留在文字表面，

24、 只會(huì)紙上 談兵。很多學(xué)生是理論學(xué)會(huì)了， 掌握了， 但在實(shí)際操作中卻常常不知道該怎樣用 理論指導(dǎo)實(shí)踐，將理論和實(shí)踐相結(jié)合。此外，對(duì)于公式、概念、定理學(xué)習(xí)，許多 學(xué)生也是學(xué)過(guò)就忘了。其二、學(xué)生的空間想象力的發(fā)展還相當(dāng)滯后。 幾何一般都是通過(guò)圖形的變換 等方式進(jìn)行構(gòu)建自己的體系。 因此， 在幾何中常常會(huì)遇到三維圖形， 甚至是一個(gè) 或幾個(gè)的幾何圖形疊加， 這就需要學(xué)生必須要具有一定的空間想象力。 但很多學(xué) 生由于空間想象力的滯后， 在遇到幾何中的立體圖形和多個(gè)復(fù)雜的圖形時(shí)常常會(huì) 出現(xiàn)看不懂、頭大的現(xiàn)象。其三、學(xué)生十分害怕做幾何證明題。 雖然在實(shí)際課程中學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)如何進(jìn)行 幾何證明， 但一旦到實(shí)際操作

25、中學(xué)生卻不知道該從何處該從何處下手， 同時(shí)也不 知道到哪一步才算是證明出來(lái)了。其四、由于學(xué)生具有形象思維的認(rèn)知特點(diǎn)， 并且過(guò)多的依賴于具體的操作和 實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)，這就使得學(xué)生在根據(jù)前提推到結(jié)論的演繹推理過(guò)程中時(shí)常會(huì)使用非 邏輯的演繹方式進(jìn)行推理。其五、學(xué)生很少具有很強(qiáng)的“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”意識(shí)， 遇到需要添加輔助線的題型是不知所措，徘徊在模仿做現(xiàn)成題的階段。基于以上幾何發(fā)展的歷史、幾何獨(dú)特的教育價(jià)值以及學(xué)生學(xué)習(xí)幾何中存在 的問(wèn)題，范希爾夫婦提出了范希爾幾何水平的教育理念。范希爾夫婦( Van Hieles )認(rèn)為，“學(xué)習(xí)過(guò)程是由各層次構(gòu)成的，用低層次的方法組織活動(dòng)就成為 高層次的分析對(duì)象；低層次的運(yùn)

26、算內(nèi)容又成為高層次的題材。 ”1.1.2 、研究課題本論文研究的課題是九年級(jí)學(xué)生對(duì)于相似形概念的范希爾幾何水平的調(diào) 查。本論文針對(duì)的調(diào)查研究對(duì)象是使用華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)教材的學(xué)生。此外， 本論文以華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)教材的課程設(shè)計(jì)為標(biāo)準(zhǔn)， 確定九年級(jí)學(xué)生的幾何課 程主要是相似圖形的學(xué)習(xí)。本研究課題主要是針對(duì)學(xué)生在學(xué)生幾何過(guò)程中存在的紙上談兵、想象力滯 后、害怕做幾何題等問(wèn)題，運(yùn)用范希爾幾何思維水平以華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)教 材的課程設(shè)計(jì)為標(biāo)準(zhǔn)，確定九年級(jí)學(xué)生幾何課程的主要內(nèi)容是相似圖形的學(xué)習(xí)， 從而針對(duì)九年級(jí)的學(xué)生做了一份“九年級(jí)學(xué)生相似形概念的范希爾幾何水平調(diào) 查”的問(wèn)卷調(diào)查。本次問(wèn)卷調(diào)查主要題型

27、有判斷題、選擇題、填空題、簡(jiǎn)單題、 證明題等，調(diào)查內(nèi)容則主要包括：相似圖形的判斷、位似圖形的判斷、圖形的放 大、相似性圖形的求證、 相似概念的判斷題和一些相關(guān)的簡(jiǎn)答題等。 本次問(wèn)卷調(diào) 查主要是為了了解學(xué)生對(duì)于“相似形”中的一些基本概念、性質(zhì)、定理的認(rèn)識(shí)、 理解和掌握， 以及學(xué)生利用這些理論進(jìn)行幾何證明的情況， 以便教師在以后的教 學(xué)過(guò)程中更具有針對(duì)性和有效性， 學(xué)生也能夠通過(guò)這次水平調(diào)查對(duì)自己的幾何學(xué) 習(xí)進(jìn)行查缺補(bǔ)漏。 本論文通過(guò)整理綜合運(yùn)用文獻(xiàn)資料法、 專(zhuān)家訪談法、 問(wèn)卷調(diào)查 法、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)法以及數(shù)據(jù)析法等方式方法獲取調(diào)查數(shù)據(jù)， 并對(duì)調(diào)查結(jié)果的數(shù)據(jù)進(jìn) 行分析和整理，再將這些數(shù)據(jù)與范希爾夫婦的幾

28、何思維水平相結(jié)合，分析九年 級(jí)學(xué)生在相似形上的幾何思維水平， 從而使得九年級(jí)的幾何教師在以后的教學(xué)過(guò) 程中能夠做到有的放矢、 因材施教， 使教師和學(xué)生在相似性的學(xué)習(xí)上都能夠輕松 快樂(lè)的教和學(xué)。、研究意義范希爾幾何思維水平是將所有學(xué)習(xí)幾何對(duì)象納入其中進(jìn)行水平的劃階段 分析，而本論文主要是針對(duì)九年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查， 從學(xué)生整個(gè)幾何學(xué)習(xí)中 截取一個(gè)知識(shí)點(diǎn)相似概念作為一個(gè)整體進(jìn)行分析， 并采用同樣的方法， 選取 幾何學(xué)習(xí)上一個(gè)階段的學(xué)生九年級(jí)學(xué)生， 作為調(diào)查對(duì)象。 本次課題研究的創(chuàng) 新之處在于用范希爾整體的階段性理論對(duì)一個(gè)階段的對(duì)象、一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整 合分析。本次問(wèn)卷調(diào)查的主要目的是為了了解學(xué)生對(duì)

29、于 “相似形” 中的一些基本 概念、性質(zhì)、定理的認(rèn)識(shí)、 理解和掌握， 以及學(xué)生利用這些理論進(jìn)行幾何的情況。 再用 范希爾幾何思維水平對(duì)調(diào)查的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和整理， 對(duì)九年級(jí)學(xué)生對(duì)“相 似性概念”的掌握情況進(jìn)行水平性的分析。其研究意義主要有以下幾點(diǎn)：（1）、對(duì)于學(xué)生而言，九年級(jí)學(xué)生相似形概念的范希爾幾何水平的調(diào)查 分析可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己在相似概念階段的幾何水平， 做好對(duì)自己的定位， 以 便取長(zhǎng)補(bǔ)短。本研究根據(jù)范希爾幾何思維水平將學(xué)生相似形水平分為五個(gè)階段： 0水平階段（前認(rèn)知） ；1水平：感受相似階段（直觀化） ；2水平： 分析相似階段（描述與分析） ；3水平：關(guān)系與推理階段（抽象與關(guān)聯(lián)、非形

30、式化論證）；4水平： 形式演繹階段； 5水平： 拓展階段（嚴(yán)密性元數(shù)學(xué)） 。 九年級(jí)學(xué)生可以根據(jù)這五個(gè)階段的水平進(jìn)行對(duì)號(hào)入座， 找到自己相似性所在的水 平位置，從而在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠進(jìn)行有針對(duì)性的階段性學(xué)習(xí)。（2）、對(duì)于教師而言， 教師可以根據(jù)該項(xiàng)調(diào)查研究的分析對(duì)自己所教授的學(xué) 生進(jìn)行一次相似性的幾何思維水平的分段分析， 使自己對(duì)每一個(gè)學(xué)生的相似性幾 何思維水平都有一個(gè)相應(yīng)的了解， 從而做出具體的教學(xué)分析。 只有充分的了解學(xué) 生個(gè)體和整體的幾何學(xué)習(xí)特點(diǎn)和水平等， 教師才能在以后的教學(xué)過(guò)程中做到因材 施教、有的放矢， 從而使教師和學(xué)生在相似性概念的學(xué)習(xí)上都能做到輕松快樂(lè)的 學(xué)和教，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教

31、學(xué)和教育的目的。（3）、對(duì)于教材編制方而言，九年級(jí)學(xué)生相似性概念的范希爾水平的調(diào)查 可以為他們以后的教材編制提供一定的編制依據(jù)。教材的編制不是憑空編制的， 它必須以學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和思維能力為基礎(chǔ)來(lái)開(kāi)展相應(yīng)的編制工作和做相應(yīng)的 調(diào)整工作。而本課程的主要研究便是針對(duì)九年級(jí)學(xué)生相似性概念的水平分析和研 究。雖然笨課程研究是對(duì)九年級(jí)學(xué)生相似性概念的分階段研究， 但在這個(gè)分階段 的思維水平研究的基礎(chǔ)上， 同樣在一定程度上反映著整個(gè)九年級(jí)學(xué)生對(duì)于相似性 概念的把握程度和學(xué)習(xí)水平。1.2 相關(guān)概念的界定、相似性概念 相似性是人感官上對(duì)事物內(nèi)在聯(lián)系的一致性的認(rèn)識(shí)。在語(yǔ)文里，相似性表 現(xiàn)為比喻、 擬人等修辭手法

32、； 在哲學(xué)里， 相似性表現(xiàn)為實(shí)物間的內(nèi)在聯(lián)系或共性 等；在數(shù)學(xué)里， 相似性表現(xiàn)為相似數(shù)學(xué)和相似幾何等。 這些的共性都在于人的形 象思維、邏輯思維、數(shù)學(xué)思維對(duì)于事物的認(rèn)識(shí)度（即你對(duì)事物的認(rèn)識(shí)越是深刻， 就越能把握事物之間的本質(zhì)聯(lián)系） ，這也就是所謂的相似性。幾何中的相似性概 念則是投影幾何中的一項(xiàng)不變性質(zhì)。 華師大版九年級(jí)的數(shù)學(xué)教材將具有相似性性 質(zhì)的圖形定義為： 日常生活中我們會(huì)碰到很多這種形狀相同、 大小不一定相同的 圖形，在數(shù)學(xué)上，我們把具有相同形狀的圖形稱(chēng)為相似圖形。122、范希爾幾何范希爾婦是荷蘭的數(shù)學(xué)教師，他們發(fā)現(xiàn)在實(shí)際的幾何教學(xué)過(guò)程中存在著 許多有關(guān)幾何的問(wèn)題， 并且學(xué)生的思維水平

33、也不能滿足教材和作業(yè)中對(duì)語(yǔ)言和專(zhuān) 業(yè)知識(shí)的要求。由于這一些列的問(wèn)題，范希爾夫婦開(kāi)始關(guān)注到皮亞杰的認(rèn)知發(fā) 展理論，將皮亞杰的理論與自己的實(shí)際教學(xué)相結(jié)合， 經(jīng)過(guò)實(shí)踐和理論兩方面的長(zhǎng) 期探索，他們最終提出了幾何思維的五個(gè)水平， 并逐步完成了對(duì)范希爾理論的 完整構(gòu)建。范希爾夫婦曾說(shuō)過(guò)：“學(xué)習(xí)過(guò)程是由各層次構(gòu)成的，用低層次的方 法組織活動(dòng)就成為高層次的分析對(duì)象； 低層次的運(yùn)算內(nèi)容又成為高層次的題材。 ” 對(duì)于這段話荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾進(jìn)行了另一個(gè)角度的闡述： 人們 不懂音樂(lè)理論仍可以唱歌，不學(xué)機(jī)械力學(xué)照樣可以獲得熟練的手藝與實(shí)驗(yàn)技能， 不掌握基本的天文學(xué)也可以了解天空， 不研究語(yǔ)言照樣可以熟

34、練地說(shuō)話。 而數(shù)學(xué) 必須將學(xué)生提高到更高層次， 如果不是全面提高， 也至少要在某部分上提高， 那 樣他才能理解最低層次活動(dòng)的意義。 從這段話我們可以看出， 學(xué)生幾何思維水平 層次的提高不會(huì)隨著學(xué)生年齡的增加、 生理的成熟而提高， 而是依靠于逐步的教 和學(xué)。因此，范希爾夫婦將逐步教和學(xué)過(guò)程中他們將學(xué)生幾何思維的發(fā)展分為 5 個(gè)水平，后來(lái)又將這 5 個(gè)水平合并為 3 個(gè)水平。但是絕大多數(shù)研究學(xué)者還是更 為認(rèn)同 5 個(gè)水平的劃分， 他們認(rèn)為 5 個(gè)水平更能夠細(xì)致、 準(zhǔn)確的描述學(xué)生的幾何 思維水平。后來(lái)，學(xué)者將范希爾理論作為作為基礎(chǔ)，結(jié)合皮亞杰認(rèn)知發(fā)展的觀 點(diǎn)進(jìn)行研究，表明還有一個(gè)更為原始的思維水平：

35、 0水平存在在范希爾水平之 前。因此，經(jīng)過(guò)逐步發(fā)展和完善的范希爾幾何思維水平應(yīng)該包括以下幾個(gè)階段：水平 0：前認(rèn)知階段。這個(gè)階段的特征是學(xué)生僅能憑自己視覺(jué)的整體感知 來(lái)區(qū)分一些基本的直觀圖形。 如：不能很好的區(qū)別三角形和正方形， 但能夠區(qū)分 圓和正方形。在這個(gè)水平階段的學(xué)生能夠識(shí)別一些“相同的形狀” ，其推理對(duì)象 也只是一些觸覺(jué)的刺激或具體的形象。水平 1：直觀化階段。這個(gè)階段學(xué)生在心理上把圖形轉(zhuǎn)化為直觀圖形，并 能夠按照?qǐng)D形的輪廓來(lái)辨別和操作形狀以及一些另外的幾何圖形。 比如：學(xué)生所 說(shuō)給的圖形是三角形， 因?yàn)樵谒麄兛磥?lái)三角形的圖形外觀看起來(lái)像座小山。 但是， 這個(gè)階段的學(xué)生僅是通過(guò)已知的事

36、物對(duì)圖形進(jìn)行聯(lián)想記憶， 而并不關(guān)心這些圖形 所表現(xiàn)出來(lái)的特征或這些圖形所具有的幾何性質(zhì)。 因此， 在這個(gè)水平階段， 直覺(jué) 決定了學(xué)生的推力行為。 這個(gè)階段的學(xué)生盡管不能說(shuō)出圖形的性質(zhì)特征， 但他們 可以根據(jù)已學(xué)過(guò)的知識(shí)以及自己的直觀化水平來(lái)判斷圖形以及圖形是否全等。水平 2：描述 /分析階段。這個(gè)階段的學(xué)生開(kāi)始學(xué)會(huì)通過(guò)圖形的性質(zhì)來(lái)辨別 圖形以及確定圖形所具有的基特征， 并能夠根據(jù)圖形全部要素間的關(guān)系進(jìn)行歸納 建立一個(gè)圖形的集合。他們識(shí)別圖形并確定圖形的特征主要是通過(guò)圖形的性質(zhì)， 而不再是單純的直觀化認(rèn)知。 比如：一個(gè)學(xué)生可能會(huì)認(rèn)為正方形是一個(gè)四條邊和 四個(gè)角均相等的圖形。 通過(guò)對(duì)圖形性質(zhì)的分析

37、， 學(xué)生可以正確的區(qū)別出兩種不同 的圖形，但卻不能看出兩個(gè)圖形間的關(guān)系。水平 3：抽象/關(guān)聯(lián)階段。 在這個(gè)階段的學(xué)生能形成抽象和關(guān)聯(lián)的能力。 可以 對(duì)圖形形成抽象的定義、 能夠區(qū)分要領(lǐng)的充分條件和必要條件、 能理解幾何的邏 輯論證、 甚至有時(shí)候還能做出一些論證。 能用層次分析方法對(duì)圖形進(jìn)行分類(lèi)、 并 用非形式化的論證判別圖形的類(lèi)別和性質(zhì)。 同時(shí)，這個(gè)階段也是學(xué)生推理能力和 邏輯思維能力開(kāi)始建立的階段。 隨著學(xué)生對(duì)不同圖形性質(zhì)的了解， 會(huì)開(kāi)始對(duì)這些 圖形性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)的組織，而組織分類(lèi)正是正確推理的第一步邏輯組織的表現(xiàn)。水平 4：形式推理階段。這個(gè)階段的學(xué)生能夠在公理化系統(tǒng)中建立理論。他 們能夠辨

38、別未定義術(shù)語(yǔ)、公理、定理以及定義間的區(qū)別，構(gòu)造原始的幾何證明。 即他們能夠?qū)ψ鳛?“已知條件” 的結(jié)果的進(jìn)行邏輯上的判斷， 從而做出一些列的 陳述。其推理的對(duì)象主要是圖形分類(lèi)性質(zhì)間的關(guān)系； 推理目的是為了建立關(guān)系之 間的亞序關(guān)系，并用邏輯鏈在幾何系統(tǒng)中表述出來(lái)。水平 5：嚴(yán)密性 /元數(shù)學(xué)階段。這個(gè)階段的學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)系統(tǒng)中進(jìn)行形式 推理。即使是沒(méi)有模型類(lèi)的參照物，他們也能獨(dú)立的通過(guò)對(duì)定義、定理、公理的 形式化操作對(duì)立的研究幾何。 他們推理的結(jié)果是建立幾何公理系統(tǒng)并對(duì)其進(jìn)行詳 細(xì)化的比較和闡釋?zhuān)渲饕耐评韺?duì)象時(shí)形式化結(jié)構(gòu)之間的相互關(guān)系。對(duì)于范希爾幾何思維水平發(fā)展模式的特點(diǎn)，不同的學(xué)者有著不同的

39、描述。 克勞雷認(rèn)為該理論具有以下特點(diǎn)： 其一、次序性。 即學(xué)生的幾何思維水平大發(fā)展 過(guò)程是逐步漸進(jìn)的過(guò)程。 只有掌握好了前一個(gè)水平中的各種概念和理論， 形成特 定的幾何水平， 學(xué)生才能順利的進(jìn)入到下一個(gè)水平。 換而言之， 就是學(xué)生沒(méi)有通 過(guò)前認(rèn)知階段，便無(wú)法進(jìn)入到直觀化階段。其二、進(jìn)階性。學(xué)生的幾何思維水平 不會(huì)隨著年齡的增長(zhǎng)或心理的發(fā)展而自然形成， 它必須要經(jīng)過(guò)一個(gè)逐步的教學(xué)過(guò) 程。其三、內(nèi)隱性及外顯性。 這是指某一水平的內(nèi)隱性質(zhì)會(huì)成為下一個(gè)水平的外 顯性質(zhì)。比如：在下一個(gè)水平階段可以通過(guò)外顯的符號(hào)等表征工具使得上一個(gè)水 平的個(gè)人化的模糊概念得到澄清。 其四、語(yǔ)言性。 即每個(gè)水平都有其特定的

40、階段 性語(yǔ)言符號(hào)。 在某一水平適用的語(yǔ)言符號(hào)可能到另一個(gè)水平就不再適用， 而必須 改成與另一個(gè)水平相適應(yīng)的語(yǔ)言符號(hào)。 其五、不適配性。 如果教師的教學(xué)和學(xué)生 的思維處在不同的水平， 那肯定是不能取到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)的。 尤其是教師在教 具選擇、教材內(nèi)容以及教學(xué)詞匯等方面的選擇都不符合當(dāng)前學(xué)生的幾何思維水 平，學(xué)生將無(wú)法對(duì)其過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行正確的理解和思考。其六、不連續(xù)性。是指 學(xué)生的幾何思維水平的發(fā)展是跳躍式過(guò)程，而不是一個(gè)平緩過(guò)渡的過(guò)程。發(fā)展到 20世紀(jì) 80年代，范希爾夫婦曾經(jīng)將這樣五個(gè)思維水平合并為三個(gè)。（1）、直觀水平。這個(gè)水平還是主要指的水平 1。這個(gè)水平的學(xué)生只能 夠從整體上對(duì)幾何的研

41、究對(duì)象進(jìn)行感性的認(rèn)識(shí)。 有學(xué)者曾經(jīng)認(rèn)為， 這樣一個(gè)階段 的學(xué)生一般是憑借對(duì)幾何圖形的外形形狀來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)、 命名，甚至是將 這些圖性進(jìn)行比較和繪畫(huà)描述。（2）、描述水平。這一水平是將水平 2 和水平 3 相結(jié)合而構(gòu)成。這 個(gè)水平的學(xué)生能夠通過(guò)對(duì)幾何性質(zhì)的認(rèn)識(shí)了解來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)幾何研究對(duì)象的認(rèn)識(shí)。 由 于這個(gè)水平是對(duì)水平 2和水平 3的融合，因此，學(xué)生對(duì)于幾何的學(xué)習(xí)水 平也差不多是處于兩者之間。 這一水平階段的學(xué)生能夠依據(jù)自身幾何學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn) 來(lái)對(duì)幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行確定認(rèn)識(shí)， 并會(huì)靈活的將這些認(rèn)識(shí)到的性質(zhì)運(yùn)用到實(shí)際 的幾何證明中去； 此外，這一水平階段的學(xué)生還能夠通過(guò)對(duì)圖形組成部分的認(rèn)識(shí) 以及對(duì)幾

42、何圖形組成部分間的關(guān)系的分析來(lái)對(duì)幾何圖形進(jìn)行整體性的認(rèn)識(shí)。（3）、理論水平。這一水平基本上是將水平 4和水平 5融合在一起。 發(fā)展到這一階段的學(xué)生已經(jīng)能順利的運(yùn)用幾何邏輯演繹推理的方式對(duì)幾何關(guān)系 進(jìn)行證明。這一個(gè)水平階段的學(xué)生能夠?qū)缀蜗嚓P(guān)的概念和定理等進(jìn)行正確的接 受和理解。并且，學(xué)生也能夠?qū)ξ挥趲缀螆D形內(nèi)部和幾何圖形之間的關(guān)系進(jìn)行正 確的理解和把握。 除此之外， 這個(gè)水平的學(xué)生已經(jīng)具有一定的邏輯思維能力， 能 夠熟練的運(yùn)用“如果那么”這樣一個(gè)邏輯思維模式。雖然，從根本上說(shuō)，范希爾的五個(gè)思維水平和三個(gè)思維水平?jīng)]有本質(zhì)上的區(qū) 別。但盡管范希爾后面提出的三個(gè)思維水平層次更加清晰， 在提法上也更加

43、接近 于皮亞杰的一般認(rèn)知心理理論， 但就目前而言， 使用的最多， 最容易被人們接受 的還是五個(gè)思維水平的分類(lèi)方法。從上面的分析， 我們知道學(xué)生的學(xué)習(xí)水平是一個(gè)逐步發(fā)展的過(guò)程， 是由一個(gè) 水平進(jìn)入到下一個(gè)水平。但學(xué)生這種幾何思維水平是經(jīng)過(guò)不斷的學(xué)習(xí)培養(yǎng)而成 的。因此，學(xué)生的幾何思維水平在一定程度上是離不開(kāi)學(xué)習(xí)的。因此，針對(duì)這樣 一個(gè)水平發(fā)展階段， 范希爾夫婦相應(yīng)的提出了 5 個(gè)不同的幾何教學(xué)階段。 這樣五 個(gè)水平教學(xué)階段分別為：學(xué)前咨詢階段、引導(dǎo)定向階段、闡明階段、自由定向階 段以及整合階段。（1）、階段 1學(xué)前咨詢階段。這個(gè)階段主要是教師和學(xué)生之間的雙向交 流。通過(guò)交流， 教師對(duì)學(xué)生的理解能力

44、等各方面進(jìn)行了一定的了解， 再在此基礎(chǔ) 之上對(duì)學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的幾何教學(xué)， 從而幫助學(xué)生正確的理解自己所需要理解掌握 的學(xué)習(xí)內(nèi)容。并根據(jù)學(xué)生的具體學(xué)生情況，確定下一步的教學(xué)計(jì)劃。（2）、階段 2引導(dǎo)定向階段。在這樣一個(gè)階段過(guò)程中教師主要是一個(gè)引 導(dǎo)者的身份，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)、學(xué)習(xí)步驟等進(jìn)行詳細(xì)而科學(xué)合理的安排。 讓學(xué)生明確自身學(xué)習(xí)的目標(biāo)， 并且能夠朝著這樣一個(gè)目標(biāo)有條不紊， 堅(jiān)定不移的 邁進(jìn)。在這樣一個(gè)教師實(shí)行引導(dǎo)定向的階段， 在這個(gè)環(huán)節(jié)上的許多活動(dòng)都是可以 引起一定特定反應(yīng)的步驟。（3）、階段 3闡明教學(xué)階段。通過(guò)前面兩個(gè)學(xué)前咨詢和引導(dǎo)定向階段， 學(xué)生已經(jīng)能夠?qū)ο鄳?yīng)詞匯的意義進(jìn)行明確和了解，

45、 并且，也能夠正確的表達(dá)自己 對(duì)于內(nèi)在結(jié)構(gòu)的一些看法。在這些基礎(chǔ)，教師就可以開(kāi)展對(duì)于學(xué)生的闡明教學(xué)。 讓學(xué)生通過(guò)這樣一個(gè)階段的學(xué)習(xí)，能夠形成一定的學(xué)習(xí)關(guān)系系統(tǒng)。 1984 年，范 希爾曾經(jīng)這樣一個(gè)教學(xué)階段， 指出： 在這個(gè)階段的學(xué)習(xí)過(guò)程中， 學(xué)生在課堂上對(duì) 自己所觀察到的結(jié)構(gòu)知識(shí)的討論以及語(yǔ)言符號(hào)的正確使用等， 都可以幫助學(xué)生獲 得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)， 促進(jìn)學(xué)生不斷的成長(zhǎng)。 因此， 為了使學(xué)生在該階段能夠獲取 正確的語(yǔ)言符號(hào)信息， 教師應(yīng)該在討論的過(guò)程中， 要對(duì)自己的習(xí)慣用詞進(jìn)行相應(yīng) 的注意。而在闡明階段的教學(xué)設(shè)計(jì)，主要是幫助學(xué)生形成一定的關(guān)系系統(tǒng)。（4）、階段 4自由定向階段。在自由定向的階段，

46、學(xué)生在學(xué)習(xí)上開(kāi)始所 遇到一些多部作業(yè)或者要運(yùn)用多種步驟方式才能完成的作業(yè)。 在這樣對(duì)作業(yè)進(jìn)行 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、 尋找解決方法以及最后解決問(wèn)題這樣一個(gè)不斷探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中， 學(xué) 生通過(guò)自主的學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而為自己的學(xué)習(xí)獲取了相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)。 并且，在這樣一個(gè)探索發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中， 學(xué)生可以逐步確定自己所要進(jìn)行的學(xué) 習(xí)領(lǐng)域的方向。 并且，對(duì)于學(xué)習(xí)對(duì)象之間的關(guān)系認(rèn)識(shí)也會(huì)在這樣一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中 日漸清晰。 按照范希爾最初的觀點(diǎn)， 認(rèn)為：這個(gè)階段主要就是學(xué)生在其所知道的 范圍內(nèi)進(jìn)行不斷的自主探索性學(xué)習(xí)。（5）、階段 5整合教學(xué)階段。在通過(guò)前面幾個(gè)階段的不斷學(xué)習(xí)，學(xué)生的 幾何思維水平已經(jīng)發(fā)展到一定的水平。

47、 因此，發(fā)展到這個(gè)階段的學(xué)生已經(jīng)具備一 定的自主學(xué)習(xí)能力。 并且也能夠開(kāi)始對(duì)自己在學(xué)習(xí)過(guò)程的知識(shí)、 經(jīng)驗(yàn)等進(jìn)行綜合 的分析整合。 換而言之，這些學(xué)生就已經(jīng)開(kāi)始進(jìn)入到范希爾五個(gè)學(xué)習(xí)階段的第五 個(gè)階段整合教學(xué)階段。 在這樣一個(gè)階段， 學(xué)生已經(jīng)具備一定的自我分析整合 能力，因此，他們能夠?qū)ψ约涸趯W(xué)習(xí)過(guò)程中所使用的知識(shí)點(diǎn)和方法等進(jìn)行一定的 總結(jié)，并能夠在這樣一個(gè)整合分析的過(guò)程中形成自己一定的觀點(diǎn)。 他們還能夠?qū)?這些內(nèi)化融合到一個(gè)新的思維領(lǐng)域內(nèi)。 因?yàn)椋@樣一個(gè)階段是學(xué)生的一個(gè)整合教 育階段，因此， 在這樣一個(gè)過(guò)程中， 除了學(xué)生需要不時(shí)的對(duì)自己的學(xué)習(xí)進(jìn)行整合 分析，教師也要不時(shí)的對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程作一個(gè)

48、全面性的述評(píng)， 從而給予學(xué)習(xí)過(guò) 程中的學(xué)生以正確的、及時(shí)的知道，幫助學(xué)生順利的完成自身的一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程。1.3 相關(guān)研究1.3.1 國(guó)外研究現(xiàn)狀范希爾幾何思維水平最初是 范希爾夫婦已博士論文的形式發(fā)表的。 該論文一經(jīng)發(fā)表，便很快引起了前蘇聯(lián)學(xué)者的關(guān)注， 1963 年皮什卡羅久對(duì)該論 文做了詳細(xì)的報(bào)道。美國(guó)在十年之后才考試了解 范希爾的理論。芝加哥大學(xué) 的威茲普在1974年召開(kāi)的大西洋城全美數(shù)學(xué)教師學(xué)會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng) NCTM上，正式將 范希爾的思想以及其前蘇聯(lián)幾何教學(xué)的“驚人進(jìn)展”介紹給了美國(guó)的學(xué)者。這 些使得全世界開(kāi)始對(duì)范希爾理論進(jìn)行廣泛的關(guān)注，使之成為幾何教學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)I 八、八、1968 年，

49、前蘇聯(lián)學(xué)者皮什卡羅參考范希爾的論文，設(shè)計(jì)了一項(xiàng)新的八年級(jí) 幾何教學(xué)大綱。在大綱里，他根據(jù)范希爾理論的幾個(gè)水平分析了了在I960年的 18 年級(jí)學(xué)生所使用的學(xué)習(xí)材料進(jìn)行了達(dá)四年的長(zhǎng)期調(diào)查研究。其主要發(fā) 現(xiàn)包括：其一、在前五個(gè)年級(jí)中，大部分的兒童對(duì)圖形的認(rèn)知都是“整體”上的 感知。其二、學(xué)生在范希爾水平 0 停留的時(shí)間較長(zhǎng)，只有 1 0% 1 5%的學(xué)生能 在五年級(jí)末的時(shí)候達(dá)到水平 2的。其三、學(xué)生到七年級(jí)才能對(duì)立體圖形進(jìn)行理解。 其四、為促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展可以對(duì)其進(jìn)行有目的性的幾何材料學(xué)習(xí)， 如讓 2 年級(jí)的 學(xué)生熟悉立體可以使他們提前達(dá)到水平， 超過(guò)傳統(tǒng)學(xué)校 7 年級(jí)的進(jìn)度。 其五、小 學(xué)兒童的有

50、序思維能力要比人們通常所認(rèn)為的要高， 也比傳統(tǒng)教學(xué)開(kāi)始時(shí)的水平 要高。在這些研究的基礎(chǔ)上， 皮什卡羅最終提出了 “學(xué)生幾何發(fā)展的連續(xù)路線” 。弗斯等人利用利用范希爾水平對(duì)美國(guó)的三套K- 8年級(jí)的數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了分析評(píng)估。維特曼等人還利用范希爾思維水平對(duì)日、美兩國(guó)幾何教材中的 范希爾水平差異進(jìn)行了對(duì)比性的分析研究。尤西斯金在芝加哥大學(xué)針對(duì)近 2900 名學(xué)習(xí)高中幾何的學(xué)生開(kāi)展了一項(xiàng)題 為“中學(xué)生幾何課上學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展和成就” 的研究， 確定了所研究對(duì)象所處的 認(rèn)知發(fā)展階段以及學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的水平對(duì)他們掌握幾何概念和證明的影響。其初步研究結(jié)果包括：其一、有8%勺初中生在紙筆測(cè)驗(yàn)中顯示，其可以達(dá)到范

51、希 爾水平3以上。其二、范希爾幾何思維水平與幾何測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)間有顯著地關(guān)系。 其三、部分學(xué)生的解答介于兩個(gè)水平之間，難以判斷屬于某一水平。其四、有 40%勺學(xué)生在完成中學(xué)幾何課程后其幾何發(fā)展仍然處于范希爾水平3 一下。其五、范希爾水平在性別間存在著差異現(xiàn)象。其六、利用范希爾幾何思維水平 可以預(yù)測(cè)學(xué)生在綜合幾何的學(xué)習(xí)上可能會(huì)遇到的困難。 尤西斯金的研究還發(fā)現(xiàn)大 約75%勺中學(xué)生適用于范希爾模式。伯格和肖內(nèi)西通對(duì)從幼兒園到大學(xué)不同階段的學(xué)生實(shí)施診斷性談話，發(fā)現(xiàn) 學(xué)生的行為與范希爾夫婦關(guān)于思維水平的一般描述相一致。DavidFuys等人曾通過(guò)6-8次45分鐘的教學(xué)評(píng)估對(duì)話方式結(jié)合范希爾幾何思維理論來(lái)研究

52、學(xué)生 在不同水平或者同一水平能力的發(fā)展。1.3.2 國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀李明振 （1989） 根據(jù)對(duì)初中二年級(jí)的部份測(cè)試分析以及他的實(shí)地調(diào)查研究， 結(jié)合范希爾幾何思維水平理論，對(duì)當(dāng)時(shí)貴州邊遠(yuǎn)民族地區(qū)初二學(xué)生的幾何思維 水平作描述性 “度量”。他發(fā)現(xiàn)： 50%的學(xué)生尚基本處于水平 2 并有向水平三過(guò)度 的跡象；40%的學(xué)生正處于向水平 3過(guò)渡扥階段； 10%的學(xué)生已達(dá)到水平 3。為實(shí) 現(xiàn)學(xué)生思維水平由低級(jí)向高級(jí)的過(guò)渡和發(fā)展的教學(xué)目標(biāo)， 他建議教師在進(jìn)行幾何 教學(xué)時(shí)，因材施教，使其都得到充分發(fā)展。林軍治（1992）研究了范希爾幾何思維水平與幾何概念理解及錯(cuò)誤概念間 的關(guān)系。其研究發(fā)現(xiàn)：1、范希爾幾何思維水

53、平越高，學(xué)生越傾向于場(chǎng)獨(dú)立型。 2、鄉(xiāng)村學(xué)生的幾何概念理解測(cè)試分?jǐn)?shù)明顯低于城市學(xué)生。3、在錯(cuò)誤概念出現(xiàn)率上，描述層次的學(xué)生第一視覺(jué)層次的學(xué)生， 而理論層次的學(xué)生又高于描述層次的 學(xué)生。王文正、紀(jì)妙貞（ 1992）以小學(xué)四、五、六年級(jí)學(xué)生為施測(cè)對(duì)象，研究小學(xué) 生三角形概念的幾何思維水平， 發(fā)現(xiàn)：其一、四年級(jí)學(xué)生大多位于水平 1和水平2； 其二、五六年級(jí)學(xué)生大多水平2和水平3;其三、四五六年級(jí)學(xué)生在范希爾幾何 思維水平上的分布是有年級(jí)差異的，但在性別上則無(wú)顯著差異。何森豪（ 1999,2000）用試題反應(yīng)理論取代傳統(tǒng)的“全有全無(wú)”的測(cè)試模式， 提出了范希爾幾何思維水平的量化模式。吳德邦、馬秀蘭（1

54、999）在講試題關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)分析法應(yīng)用于小學(xué)生范希爾幾 何思維水平的研究中，以小學(xué)各年級(jí)隨機(jī)抽取的3514名學(xué)生為研究對(duì)象，以范希 爾幾何思維模式為基礎(chǔ)，采用筆試測(cè)驗(yàn)方式，探討學(xué)生范希爾幾何思維水平分 布情形。其初步的分析結(jié)果如下：其一、學(xué)生的范希爾幾何思維水平，隨著年 級(jí)的增加而增加的; 其二、在正方形、 等腰三角形、 圓形、直角三角形等概念中， 學(xué)生的范希爾思維水平的分布，對(duì)年級(jí)作卡方檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)均有顯著地差異； 其三、 在正方形、等腰三角形、圓形、直角三角形等概念中，對(duì)縣市作卡方檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)也 有顯著地差異；其四、在等腰三角形、圓形、直角三角形等概念中，性別因素對(duì) 范希爾幾何思維水平分布均有顯著地差

55、異， 但在正方形的概念中，這種性別因 素對(duì)范希爾幾何水平的分析卻無(wú)顯著的差異； 其五、對(duì)于基本的幾何圖形概念， 絕大多數(shù)（91%以上）一到六年級(jí)的學(xué)生都可以被分派到相應(yīng)的范希爾幾何思 維水平中區(qū)。二、研究對(duì)象與研究方法2.1 研究對(duì)象 本次研究對(duì)象的確定，首先是范圍上的確定，由于條件及課題的限制，本 次調(diào)查研究只能在自己學(xué)校所在地區(qū)使用華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)教材的學(xué)校中開(kāi) 展；其次是具體調(diào)查對(duì)象的確定。 確定好調(diào)查范圍， 便開(kāi)始對(duì)所在范圍內(nèi)的學(xué)生 進(jìn)行隨機(jī)抽調(diào)， 以保證調(diào)查數(shù)據(jù)和調(diào)查結(jié)果的正確性和科學(xué)性。 此次隨即抽調(diào)一 共抽取了 1191 名在校的九年級(jí)學(xué)生。2.2 研究設(shè)計(jì) 本次研究主要包括以

56、下幾個(gè)方面的設(shè)計(jì)：相關(guān)文獻(xiàn)資料的搜集、問(wèn)卷調(diào)查試 卷的設(shè)計(jì)、對(duì)調(diào)查數(shù)據(jù)的分析整理等。(1) 、相關(guān)文獻(xiàn)資料的搜集：在前言的“相關(guān)研究”部分就已經(jīng)對(duì)所收集到 的相關(guān)文獻(xiàn)資料做了簡(jiǎn)單的綜述介紹。 前人的研究是本文開(kāi)展研究的基礎(chǔ)， 只有 站在前人研究的基礎(chǔ)上才能站得更高看得更遠(yuǎn)。 在前言部分本文綜述了國(guó)內(nèi)外的 相關(guān)研究情況，對(duì)范希爾幾何思維水平理論的發(fā)展以及國(guó)內(nèi)外學(xué)者所做的研究 有了一個(gè)大致的了解， 并在前人資料的綜述研究中找到一個(gè)突破口， 做一次創(chuàng)新 性的研究。前面綜述部分講授的國(guó)內(nèi)外關(guān)于范希爾幾何思維水平的研究都是局 限在范希爾幾何思維水平對(duì)不同階段學(xué)生幾何認(rèn)知思維的研究以及該項(xiàng)理論對(duì) 課程編制

57、等方面的研究上， 可以說(shuō)都是一個(gè)階段的歷時(shí)性研究。 而本文開(kāi)拓性的 認(rèn)為，對(duì)于學(xué)生幾何思維水平的研究， 不應(yīng)該僅僅局限在對(duì)不同階段的學(xué)生水平 層面上，對(duì)于同一個(gè)階段的學(xué)生也因人學(xué)習(xí)能力等各方面的原因都存在著幾何思 維水平上的差異性。 因此，本文就抓住這樣一個(gè)創(chuàng)新開(kāi)拓點(diǎn)， 在前人文獻(xiàn)資料研 究的基礎(chǔ)上，以范希爾幾何思維水平為理論指導(dǎo)，結(jié)合本人熟悉的華師大版九 年級(jí)數(shù)學(xué)教材， 截取其中具有研究?jī)r(jià)值的相似性概念這一點(diǎn)， 針對(duì)九年級(jí)的學(xué)生 開(kāi)展相似性概念的幾何思維水平調(diào)查研究。 當(dāng)然在研究的過(guò)程中， 本人也綜合運(yùn) 用網(wǎng)絡(luò)、圖書(shū)館等各種資料來(lái)源對(duì)相關(guān)資料進(jìn)行了全面的搜集， 以正確的指導(dǎo)和 開(kāi)展下面的研究

58、。(2) 、問(wèn)卷調(diào)查設(shè)計(jì)：?jiǎn)柧頃r(shí)本文開(kāi)展九年級(jí)相似性概念范 希爾幾何思維水 平調(diào)查的重要手段。因此，本文以華師大版的九年級(jí)數(shù)學(xué)教材為基礎(chǔ)結(jié)合范 希 爾幾何思維水平以及本文研究的重點(diǎn)相似性概念， 設(shè)計(jì)了一份具有科學(xué)性和創(chuàng)新 性的調(diào)查問(wèn)卷。本調(diào)查問(wèn)卷的設(shè)計(jì)主要目的是為了了解九年級(jí)學(xué)生對(duì)于 “相似形” 中的一些基本定義、 定理、性質(zhì)的等認(rèn)識(shí)、 理解和掌握的情況以及學(xué)生利用這些 知識(shí)進(jìn)行相關(guān)的幾何證明等的情況。 本次問(wèn)卷調(diào)查的設(shè)計(jì)目標(biāo)有二： 其一、讓學(xué) 生通過(guò)該次的調(diào)查了解自己在相似性概念上所處于的水平階段， 清楚的認(rèn)識(shí)自我 才能有效的針對(duì)自我特點(diǎn)做針對(duì)性的研究練習(xí)， 從而提高自我的相似性概念的幾 何思維水平； 其二、讓教師掌握自己所教授的各個(gè)學(xué)生在相似性概念上所處的幾 何思維水平階段， 從而在以后的教學(xué)過(guò)程中才能做到有的放矢， 因材施教， 從而 使得整個(gè)相似性概念的教學(xué)過(guò)程有效、 有針對(duì)性的開(kāi)展。 使得教